第二章 函数全章复习（高效培优讲义）高一数学北师大版2019必修第一册

第二章 函数全章复习 教学目标 1. 通过复习理顺本章重点知识，掌握本章重要知识点及常见题型. 2. 能综合应用本章知识解决综合性强的问题. 教学重难点 1.重点：(1)函数的定义域、值域与表示方法；(2)函数的单调性与奇偶性、对称性； (3)幂函数的图象与性质. 2.难点：(1)抽象函数问题；(2)函数性质的综合应用. 一、构建知识网络 二、 回顾重点知识 知识点01函数的概念 1．函数的传统定义（变量观点） 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与与其对应，那么就称是的函数． 2．函数的近代定义（集合观点） 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 3．函数的四个特性 定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应． （1）非空性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A→B． 4.函数的三要素与函数相等 （1）定义域：使函数详解式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； （2）对应关系：对应关系是函数的核心，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则．如：，就是对自变量求平方． （3）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值．通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也就随之确定了． 5.函数相等 两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 知识点02 函数的表示法 1.三种表示方法 （1）详解法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用详解式可求任意函数值． 缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有详解式． （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值； 缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系． （3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：能形象直观地表示函数的变化情况； 缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大． 2.函数图象的变换 （1）函数图象的平移变换 左加右减：函数的图象沿轴方向向左()或向右()平移个单位长度得到函数; 上加下减：函数的图象沿轴方向向上()或向下()平移个单位长度得到函数 （2）函数图象的对称变换 ① ② ③ （3）函数图象的翻折变换 ① ② 知识点03 函数的单调性 1.增函数与减函数 （1）设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递增函数； 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减函数. （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 （3），的三个特征 ①区间上的自变量的两个值，必须是任意的，即区间内的全部，任意即所有，不可以随便取两个特殊值； ②有序性：一般要对和的大小进行规定，通常规定； ③同区间性：即，同属于一个单调区间． 2．函数的单调区间 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 【易错警示】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3．单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点4 函数的最大（小）值 1．函数的最大值 （1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0). （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标． 2．函数的最小值 （1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标． 【易错警示】 对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值． 知识点5 函数的奇偶性 1.奇函数与偶函数的定义 （1）奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称． （2）偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论． 2.奇函数、偶函数图象对称性的推广 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 点 点 点 知识点6 幂函数的图象与性质 1.幂函数的定义 形如的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.  2.幂函数的特征 幂函数要同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 3.幂函数的图象与性质 （1）幂函数图象 （2）常见幂函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 4.幂函数的特性 ①单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴． ②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． ③奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数． 当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数 三、熟记重要结论 1．常见函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0． (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)零次幂的底数不能为0. 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为． (3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R. 3．函数单调性的结论 (1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0⇔f(x)在D上是增函数；＜0⇔f(x)在D上是减函数． (2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]． (3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 4．函数最值存在的2个结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 5．函数奇偶性的三个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0． (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 6．周期性的几个常用结论（拓展） 对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则 (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)； (3)f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0). 7．幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1，1)； (2)当x∈(0，1)时，α越大，函数值越小；当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大． 8．与二次函数有关的恒成立问题 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 (1)f(x)＞0恒成立的充要条件是； (2)f(x)＜0恒成立的充要条件是； (3)f(x)＞0(a＜0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是； (4)f(x)＜0(a＞0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是. 题型01 判断函数相等 【典例1】（2025高一上·安徽·期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，A不是； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域 为或，两个函数定义域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，且， 两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，D不是. 故选：C 判断函数相等的方法 (1)先看定义域，若定义域不同，则不相等． (2)若定义域相同，再化简函数的详解式，看对应关系是否相同． 【变式1-1】（2025高一上·北京东城·期末）下列函数中，与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域与对应关系逐项判断即可得答案. 【详解】函数的定义域为， 对于A，函数的定义域为，且对应关系与函数相同，故A正确； 对于B，函数的定义域为，但是，对应关系与函数不相同，故B错误； 对于C，函数的定义域为，定义域不同，则不是同一函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，且，则对应关系与函数不相同，故D错误. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高一上·天津·阶段练习）下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用两函数的定义域与对应关系相同时是同一个函数，逐一分析判断即可得解. 【详解】对于A，函数的定义域为，而的定义域为， 两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数，故A错误； 对于B，因为，显然与的对应关系不相同， 所以两函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，因为，显然与的定义域与对应关系都相同， 所以两函数是同一个函数，故C正确； 对于D，因为，显然与的对应关系不相同， 所以两函数不是同一个函数，故D错误. 故选：C. 题型02 具体函数定义域的求解 【典例2-1】（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式组求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以所求定义域为. 故选：D 【典例2-2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数的定义域求参数 【分析】分析可知对任意实数都成立，分和两种情况，结合判别式列式求解. 【详解】由题意得对任意实数都成立， 当时，，符合题意； 当时，满足，解得； 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． 函数定义域的求解 (1)若fx是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若fx是由几个式子构成的，则定义域是几个部分定义域的交集． (4)若fx是实际问题的详解式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 【变式2-1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的详解式有意义，列出不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足， 即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 【变式2-2】（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数详解式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】根据题意得，解得， 故此函数的定义域为. 【变式2-3】（24-25高一上·天津静海·阶段练习）已知函数的定义域是R，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】当时，可得或， 当时，符合题意； 当时，，显然不符合题意. 当时，由于定义域为R，可得，解得：， 综上所述：的取值范围是 题型03 抽象函数定义域的求解 【典例3】（2025高一上·山东·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再由抽象函数求定义域的法则可得，解不等式即可得出答案. 【详解】函数的定义域为， 所以， 所以需满足， 解得且.故选：C. 抽象函数定义域的求解 (1)函数的定义域是指自变量的取值范围,函数中的自变量还是x,因此它的定义域仍是指x (而不是)的取值范围. (2)同在对应法则f下的范围相同，即f(t) ,f[h(x)]三个函数中的t, ,h(x)的范围相同. 【变式3-1】（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数的定义域，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据题意，得出不等式组，解不等式组即可求得函数的定义域. 【详解】由函数的定义域得要使函数有意义，则满足， 解得或，即函数的定义域为. 【变式3-2】（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【答案】(1) (2) 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】（1）由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域； （2）由的定义域可得，求出的取值集合即可得出的定义域，进而得出的取值集合，再求出x的取值集合即可； 【详解】（1）设，由于函数定义域为， 故，即，解得， 所以函数的定义域为； （2）因为函数的定义域为，即， 所以，所以函数的定义域为， 由，得， 所以函数的定义域为. 题型04 函数值域的求解 【典例4-1】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求得，换元令，结合二次函数求值域. 【详解】设， 则， 可得，解得，即， 令，则， 可得， 因为的图象开口向上，对称轴为， 可得在上单调递增，且当时，， 【典例4-2】（2025高三·全国·专题练习），，则的值域为 ． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域 【分析】化简函数详解式可得，令，通过换元法结合函数单调性可求函数值域. 【详解】由题意得，． 令，则，则可化为． ∵函数，在上均为增函数， ∴在上为增函数， ∵时，，时，， ∴的值域为． 故答案为：. 可得，即函数的值域为. 故选：B. 函数值域的求解 求函数值域问题须明确两点：一点是值域的概念，即对于定义A内的函数y=f(x),其值域就是指集合C={y|y=f(x),x∈A}，;另一点就是函数的定义域、对应关系为确定函数的依据. 求函数的值域的方法很多，常见的有： (1)直接观察法:通过对函数详解式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域，这就是观察法. (2)配方法:对于二次函数型的详解式，则可通过配方后再结合二次函数的性质求得值域. (3)判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围,常用于“分式函数”“无理函数”等.使用此法要特别注意自变量的取值范围. （4）分离参数法：此法常用于求形如的函数的值域，所谓分离常数，就是把函数式分子中含x的项分离掉,即分子不含x项. (5)换元法:对于一些无理函数(如带有根式的函数)或超越函数，通过换元把它们化为有理函数（如二次函数），再利用有理函数求值域的方法可直接把原函数的值域求出.“换元法”求函数值域其实质是等价转换的思想方法. 【变式4-1】（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】将问题转化为半圆与直线存在交点，画图象，再数形结合即可. 【详解】令，则， 则半圆与直线存在交点， 半圆方程为：， 画出图象如图： 当直线过点，即图中直线时，； 当直线与半圆相切时，即图中直线时，，得（舍）， 故，即值域为. 故答案为： 【变式4-2】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】令． 又因为，所以， 即函数的值域是． 故选：A． 【变式4-3】（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】首先求出函数的定义域，然后将函数平方，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】由题意可得，解得，即函数定义域为， 则， 当时，取最小值0，故取到最大值4， 则函数的最大值为2； 当时，取最大值1，故取到最小值2， 则函数的最小值为； 【变式4-4】（24-25高一上·河南驻马店·期末）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数在定义域上递减，且值域为，可得，根据二次函数的性质可得答案. 【详解】因为函数在定义域上递减，且值域为， 所以 ，即 ，即 ， 所以 ， 所以，设，则， 由可得， 在上递增，所以， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 题型05 函数详解式的求解 【典例5-1】（2025高一·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，通过换元法即可求解. 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以． 故选：B． 【典例5-2】（2026高三·全国·专题练习）若函数满足，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用方程组的方法求出函数详解式即得. 【详解】由，可得， 联立两式消去，可得． 故答案为：. 函数详解式的求解 (1)代入法:如已知f(x)=x2-1,求f(x+x2)时,有f(x+x2)=(x2+x)2-1. (2)待定系数法:已知f(x)的函数类型,则可通过设函数f(x)的详解式,根据题中的条件求得详解式,这种方法叫作待定系数法. (3)配凑法:已知f(g(x))的详解式,要求f(x)时,可从f(g(x))的详解式中配凑出g(x),即用g(x)来表示f(g(x)),再将详解式两边的g(x)用x代替即可. (4)换元法:解题时,把某个式子看作一个整体,用一个新的变量去替代它,从而使问题简化,这种方法叫作换元法. (5)解方程组法或消元法:在已知式子中,若含有两个不同变量,这两个变量又有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,联立这两个式子,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的详解式, 这种方法叫作解方程组法或消元法. (6)赋值法:依题目的特征,能够由特殊到一般寻找普遍规律,可将变量取特殊值,从而找出一般规律,求出详解式. 【变式5-1】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，解方程即可. 【详解】因①， 用代替①中的得：②， 则得：，解得. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高一上·四川·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 可得， 所以. 故选：B. 【变式5-3】（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）（1）已知，求的表达式； （2）已知奇函数的定义域为，当时，．求函数的详解式． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可． （2）设，可得出，求出的表达式，利用奇函数的性质可得出函数在时的详解式． 【详解】在中用替换，得， 于是有， 消去，得． 所求函数的表达式为． （2）奇函数的定义域为． 当时，，又当时，， ， ． 故． 题型06分段函数问题 【典例6】（24-25高一上·云南昭通·期中）已知函数的详解式为. (1)求，的值； (2)画出这个函数的图象，并写出的最大值. 【答案】(1)， (2)图象见详解，最大值为4 【分析】（1）根据自变量的取值，代入分段函数详解式即可； （2）根据图象最高点即可写出最大值. 【详解】（1）因为， 所以，，则. （2） 如图，由图象可知，最大值为4. 分段函数的求解 (1)分段函数是一个函数而不是几个函数.处理分段函数的问题时,首先确定自变量的数值属于哪一个范围,从而选择相应的对应关系. (2)画分段函数的图象时,应根据不同定义域上的详解式分别作出图象,再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象. (3)分段函数的定义域是函数各段自变量取值范围的并集,各段定义域的交集是空集. (4)分段函数的值域是各段函数在相应区间上函数取值集合的并集. (5)求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”,即自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的详解式. 【变式6-1】（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由题意可得或， 解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知函数的值域为R，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】要使得函数的值域为R，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由于的值域为R，当时，， 所以，解得． 故m的范围是. 故答案为：. 题型07 判断函数的单调性 【典例7-1】（24-25高一上·山东济南·期中）下列函数在其定义域上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用减函数概念，结合特殊值逐个判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，，且，而，所以A错误； 对于B，是幂函数，定义域为，因为，所以在其定义域是减函数，所以B正确； 对于C，是幂函数，定义域为，因为，所以在其定义域是增函数，所以C错误； 对于D，显然是定义在上的增函数，所以D错误. 故选：B. 【典例7-2】（23-24高一上·北京·期中）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质作出函数图象，即可得函数单调区间. 【详解】函数的图象即为的图象位于x轴下方部分对折至x轴上方，其余部分不变， 据此可得函数的图象，如图所示： 由图可知函数的单调递减区间是. 故答案为：. 函数单调区间的求解 (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象． 【变式7-1】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】首先求函数的定义域，再求函数的单调递减区间，最后求交集，即可求解. 【详解】由，得：或， 所以函数的定义域为， 函数的单调递减区间是， 再和定义域求交集得. 【变式7-2】作出下列函数的图像,并根据图像判断函数的单调性. (1)y=-x2+2x+1,x∈[0,4];(2)f(x)=+. 【详解】(1)作出函数y=-x2+2x+1,x∈[0,4]的图像如图①所示,可知函数在[0,1]上递增,在[1,4]上递减. (2)原函数可化为f(x)=|x-3|+|x+3|=其函数图像如图②所示.由图像知,函数f(x)在(-∞,-3)上递减,在(3,+∞)上递增,在[-3,3]上不具有单调性. 题型08 由函数的单调性求参 【典例8-1】（24-25高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性得出对称轴与的关系即可求解. 【详解】因为函数的对称轴为，图象开口向上， 所以函数在上单调递增， 因为函数在区间上单调递增， 所以， 解得. 【典例8-2】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数是上的增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数是上的增函数，由每一段函数为增函数，且在断点处，右边的函数值不小于左边的函数值求解. 【详解】由题意可得, 解得． 故答案为： 利用单调性求参数的值或范围 已知函数的单调性求函数中参数的取值范围的一般方法:(1)将参数看成已知数,求函数的单调区间,再与已知的单调区间比较,求出参数的取值范围;(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组),解不等式(组)求出参数的取值范围,即将函数值之间的不等关系与自变量之间的不等关系进行等价转化. 【变式8-1】（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】结合二次函数的单调性，根据在上单调递减列不等式组求解即可． 【详解】因为在上单调递减，且时，是单调递减， 则需满足，解得，即实数的范围是． 故答案为： 【变式8-2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知函数，其中． (1)当函数的图象关于点为中心对称时，求a的值； (2)若函数在区间上单调递增时，求a的取值范围． 【分析】（1）根据函数函数的图象关于点为中心对称，是奇函数，求出的值； （2）化简函数，根据在上的单调性，求出的取值范围. 【详解】（1）“函数的图象关于点成中心对称”的充要条件为：“是奇函数”， 当的图象关于点成中心对称时，是奇函数， 所以，解得； （2）因为函数， 函数在区间上单调递增时，， 解得，所以的取值范围是. 题型09 函数单调性的证明 【典例9】（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数为奇函数，且 (1)求的详解式 (2)求证：在区间上单调递增； 【分析】（1）根据求出参数的值，再根据，求出参数的值，最后检验即可. （2）根据单调性的定义求出即可. 【详解】（1）由函数为奇函数，且定义域为， 可得，即，解得， 又，解得，所以， 对任意的，， 满足为奇函数，综上可得， （2）任意的，，且， 有， 由，可得，， 则，即， 所以在区间上单调递增. 函数单调性的证明 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2． (2)作差变形：作差fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子． (3)定号：确定fx1－fx2的符号． (4)结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性． 【变式9-1】（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并用定义进行证明； (2)若，试讨论在上的单调性． 【分析】（1）分和，不同时为0两种情况讨论可得结论； （2）由已知得，分和两种情况讨论，当时，利用单调性的定义可得函数在上单调递增. 【详解】（1）当时，既是奇函数也是偶函数； 当，不同时为0时，是奇函数，证明如下： 函数的定义域为，对于，都有， 且， 故为奇函数． 综上：当时，既是奇函数也是偶函数；当，不同时为0时，是奇函数. （2）当时，． 当时，在上无单调性； 当时，任取，，且， 则， ，，且， ，，． 若，则，即， 在上单调递增； 若，则，即， 在上单调递减． 【变式9-2】（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)当时，求的详解式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 【分析】（1）令，则，再根据已知结合函数的奇偶性即可得解； （2）根据单调性的定义即可求解. 【详解】（1）当时，则， 又因为为奇函数，则， 所以当时，； （2）函数在单调递增， 证明如下：当时，， 对任意的且， ， 因为且，则， 所以，即， 所以函数在单调递增. 题型10 利用单调性比较大小或解不等式 【典例10-1】设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,a,b∈R,且a+b≤0,则下列选项正确的是(　　) A.f(a)+f(b)≤f(a)+f(b) B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) C.f(a)+f(b)≥f(a)+f(b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 【答案】C 【详解】∵a+b≤0,∴a≤-b,b≤-a, 又∵函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a), ∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). 故选C. 【典例10-2】已知f(x)是定义在[-2,2]上的增函数,求使f(2a-1)>f(a-1)成立的实数a的取值范围. 【详解】由题意知解得-≤a≤. ∵f(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且f(2a-1)>f(a-1), ∴∴0<a≤,故满足条件的实数a的取值范围为. 利用单调性比较大小或解不等式 1.利用函数单调性的定义比较大小,主要有两个方面:一是正用,即已知函数y=f(x)在定义域的某个区间上是增(减)函数,则当x1<x2时, f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),当x1>x2时, f(x1)>f(x2)(f(x1)<f(x2));二是逆用,即已知函数f(x)在定义域的某个区间上是增函数,则当f(x1)<f(x2)时,x1<x2,当f(x1)>f(x2)时,x1>x2,减函数也有类似的性质. 2 .利用函数单调性解不等式时，先将不等式整理成f(a)<f(b)或f(a)>f(b)的形式，再利用单调性脱去f，转化为具体不等式求解. 【变式10-1】（24-25高一下·云南昆明·期末）定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，再结合在区间上单调递增，即可求解. 【详解】由，则得， 因为，所以， 又函数图象关于直线对称，在单调递减，所以在区间上单调递增， 所以，故B正确. 故选：B. 【变式10-2】（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数． (1)若是偶函数，求不等式的解集； (2)若对任意的，且时，都有成立，求的取值范围． 【分析】（1）根据是偶函数求出可得的详解式，再解不等式可得答案； （2）根据单调性定义得在上单调递减，再利用单调性分、、 讨论可得答案． 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 即恒成立， 所以，解得，则， 不等式可化为， 解得，所以所求不等式的解集为； （2）不妨设，则不等式可化为， 即， 令，因为， 所以在上单调递减． 由，得．当时，是增函数，不符合题意； 当时，是减函数，所以符合． 当时，因为在上单调递减， 所以，即， 解得． 综上，的取值范围为． 题型11 利用单调性求函数的最值 【典例11】（24-25高一上·湖北武汉·开学考试）已知二次函数. (1)求二次函数的顶点坐标和对称轴； (2)当时，函数的最大值和最小值分别是多少？ (3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值. 【分析】（1）详解式化成顶点式即可求得； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值； （3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值和最小值，进而根据得到关于的方程，解方程即可. 【详解】（1） ∵， ∴对称轴为，顶点坐标为. （2）∵顶点坐标为， ∴当时，； ∵当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∵当时，随着的增大而增大， ∴当时，； 综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为. （3）当时，对进行分类讨论： ①当时，即，随着的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴，∴， 解得：（不合题意，舍去）； ②当时，顶点的横坐标在取值范围内，∴， 当时，在时，， ，即， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，在时，， ∴，即， 解得：，（不合题意，舍去）； ③当时，随着的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，即， 解得：（不合题意，舍去）； 综上所述：或. 【解后反思】定轴动区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 函数的最值与单调性 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． (3)定号：确定fx1－fx2的符号． (4)结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性． 【变式11】（24-25高一下·北京·开学考试）已知函数，. (1)当时，求函数的值域； (2)记函数的最大值，求的详解式． 【分析】（1）利用换元法和二次函数单调性求值域即可； （2）分和两种情况求最值即可. 【详解】（1）令，则，，， 则原函数转换为， 当时，，， 函数在区间上的单调递增，对应的函数值的取值范围是； 函数在区间上的单调递减，对应函数值的取值范围是； 所以函数的值域是，所以函数的值域是. （2）由（1）得，， 当时，， 当时，， 所以. 题型12 函数奇偶性的判断 【典例12-1】（2024高三·全国·专题练习）若函数是奇函数，函数是偶函数，则（    ） A．函数是奇函数 B．函数是奇函数 C．函数是奇函数 D．函数是奇函数 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，函数是奇函数，函数是偶函数， A选项，，所以是偶函数，A选项错误. B选项，， 所以函数是偶函数，B选项错误. C选项，， 所以函数是奇函数，C选项正确. D选项，， 所以函数是非奇非偶函数，D选项错误. 故选：C 【典例12-2】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=|x+b|-|x-b|; (2)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]; (3)f(x)=; (4)f(x)=(x-1). 【详解】(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), ①当b≠0时,f(-x)=|-x+b|-|-x-b|=|x-b|-|x+b|=-(|x+b|-|x-b|)=-f(x); ②当b=0时,f(x)=|x|-|x|=0. 又∵f(-x)=|-x|-|-x|=|x|-|x|=0,-f(x)=0,∴f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x). 综上可知,当b≠0时,函数f(x)是奇函数;当b=0时,函数f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)由于f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]的定义域不关于原点对称,因此f(x)是非奇非偶函数. (3)∵f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],∴f(x)==. ∴f(-x)===-f(x),∴f(x)是奇函数. (4)由≥0得f(x)的定义域为[-1,1),不关于原点对称,故f(x)为非奇非偶函数. 判断函数的奇偶性的基本方法 (1)定义法:若函数的定义域不关于原点对称,则可判断函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域关于原点对称,则判断f(-x)是否等于f(x)或-f(x). (2)验证法:即在定义法的基础上,验证f(-x)±f(x)=0、=±1(f(x)≠0)是否成立.这是因为若f(-x)+f(x)=0,则f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.其他可类似推知. (3)图像法:奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(y轴)对称,所以通过函数的图像可直观地看出函数的奇偶性. (4)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数和一个偶函数的积为奇函数. (5)①利用上述结论时要注意各函数的定义域. ②用定义判断函数奇偶性的步骤是判断定义域(关于原点对称)→验证f(-x)=±f(x)→下结论,还可以利用图像法或定义的等价命题f(-x)±f(x)=0或 =±1(f(x)≠0)来判断. ③利用定义判断函数的奇偶性时,既要判断f(x)与f(-x)的关系,又不能忽略与定义域有关的问题,如关于原点对称,x的任意性等. ④有些题目的求解过程是先确定函数的定义域,然后在定义域上化简函数关系式,观察其本质,最后利用定义去判断奇偶性. 【变式12-1】（2025•江苏海安市校级月考）设函数f（x），则下列函数中为奇函数的是（　　） A．f（x﹣2）﹣1 B．f（x﹣2）+1 C．f（x+2）﹣1 D．f（x+2）+1 【答案】A 【分析】化简函数f（x）＝1，分别写出每个选项对应的详解式，利用奇函数的定义判断． 【详解】由题意得，f（x）＝1． 对A，f（x﹣2）﹣1是奇函数； 对B，f（x﹣）+1＝2，关于（0，2）对称，不是奇函数； 对C，f（x+2）﹣1，定义域为（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，+∞），不关于原点对称，不是奇函数； 对D，f（x+2）+1＝2，定义域为（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，+∞），不关于原点对称，不是奇函数； 故选：A． 【变式6-1】（2022春•杨陵区校级期末）若函数f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函数，则g（x）＝2ax3+bx2+9x是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】A 【分析】根据题意，由二次函数的性质求出b的值，即可得g（x）的详解式，分析其奇偶性可得答案． 【详解】根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函数，而f（x）为二次函数， 则有b＝0， 则g（x）＝2ax3+9x，其定义域为R，有g（﹣x）＝﹣g（x），g（x）为奇函数， 故选：A． 【变式12-2】设函数，则下列函数中为偶函数的是（　　） A．f（x+1） B．f（x）+1 C．f（x﹣1） D．f（x）﹣1 【答案】A 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，即可得答案． 【详解】根据题意，， 由此分析选项： 对于A，，是偶函数，符合题意； 对于B，f（x）+11，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意； 对于C，f（x﹣1），既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意； 对于D，f（x）﹣11，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意； 故选：A． 【变式12-3】（2025•广东汕头期末）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）+g（x）为R上的奇函数 B．f（x）﹣g（x）为R上的奇函数 C．为R上的偶函数 D．|f（x）g（x）|为R上的偶函数 【答案】D 【分析】由已知结合函数奇偶性的定义即可判断． 【详解】因为f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0， 所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x）， 所以f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）≠﹣[f（x）+g（x）]， 故f（x）+g（x）为非奇非偶函数，A错误； 同理，f（x）﹣g（x）为非奇非偶函数，B错误； 设F（x），则F（﹣x）F（x）， 所以F（x）为奇函数，C错误； 设函数H（x）＝|f（x）g（x）|， 因为f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0， 所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x）， 则由函数奇偶性的定义得，H（﹣x）＝|f（﹣x）g（﹣x）|＝|﹣f（x）g（x）|＝|f（x）g（x）|＝H（x），D正确．故选：D． 题型13 由奇偶性求详解式或参数 【典例13-1】（21-22高一上·重庆璧山·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求得，进而求得. 【详解】由于是定义在上的偶函数，所以， ， 所以， 不恒为，所以， 所以. 【典例13-2】（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的详解式； (2)若，求实数的取值范围. 【分析】（1）利用奇函数的性质求时的对应详解式，即可得； （2）根据函数的定义域及单调性得，即可求参数范围. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，当时，， 任取，则，所以， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，， 综上，； （2）当时，，所以在上单调递增； 因为函数是定义在上的奇函数，所以函数在上单调递增， 所以可化为： 即，解得：，即实数的取值范围是. 由奇偶性求详解式或参数 (1) “求谁设谁”，既在哪个区间上求详解式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的详解式进行代入． (3)利用fx的奇偶性写出－fx或f－x，从而解出fx． (4)若函数fx的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0． 【变式13-1】（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性求出的值，再根据函数单调性求最值即可. 【详解】是定义在上的偶函数， ，. 又，，. 所以，，. 故选：C. 【变式13-2】（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，的详解式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】是定义域为的奇函数， 当时，，所以. 故选：A 【典例13-3】（24-25高二下·河南焦作·阶段练习）函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得出，结合函数的奇偶性可得出关于、的等式组，由此可解得函数的详解式. 【详解】因为函数是偶函数，函数为奇函数，则，， 由可得，即， 所以，，解得，其中， 故选：A. 题型14 奇偶性与单调性的综合 【典例14-1】（24-25高三上·新疆伊犁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是奇函数，且在上是减函数 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义验证为奇函数，根据增函数加增函数为增函数可判断为增函数. 【详解】的定义域为．．即函数为奇函数． 当时．为增函数，为减函数．故函数在时为增函数． 故选：B 【典例14-2】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由奇偶性单调性得到，求解即可. 【详解】由题意， 等价于， 又奇函数在上单调递增， 可知在R单调递增， 所以可得：， 解得：， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 函数的奇偶性与单调性的综合 (1)利用函数的奇偶性或单调性处理函数的综合性问题时,一定要注意先利用函数的奇偶性进行转化,然后利用单调性比较大小、求最值、求参数范围和解不等式(组). (2)利用函数的单调性和奇偶性解不等式问题,解题的关键是去掉函数符号.在解不等式的过程中,要充分利用偶函数的性质,同时要注意函数的定义域. 【变式14-1】（2026高三·全国·专题练习）已知定义在R上的奇函数满足，当时，单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性、周期性、单调性比较函数值的大小. 【详解】，∴函数是周期为4的周期函数，， 又因为当时，单调递增，，即． 故选：B. 【变式14-2】（2025高一上·河南郑州·期中）定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数的单调性和奇偶性的综合运用求出和的解，再分解为或，两种情况分别求解即可. 【详解】因为定义在上的偶函数在区间上单调递减， 所以在上单调增，又， 所以可化为 可得，解得：或，同理可得的解：， 由可得或，解得：或， 则不等式的解集为，故选：A. 【变式14-3】（24-25高一下·安徽·阶段练习）若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】令，由条件③可得，，且， 所以函数在上单调递减， 又为偶函数，且， 则，所以为奇函数，且， 所以在上单调递减，， 所以当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 题型15 函数的图象问题 【典例15-1】（23-24高一上·天津河北·期中）函数的图象为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以为奇函数，故排除A； 因为，故排除D； 当时，，在单调递增，故排除B， 故选：C. 【典例15-2】（24-25高一上·江苏·阶段练习）若函数的部分图象如图所示，则的详解式可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由图看出，为偶函数，定义域为R， A选项，，定义域为，不合题意， B选项，，定义域为R，且满足， 故为偶函数，且在上单调递增，增长速度越来越慢，B正确； C选项，的定义域为R，且， 故为偶函数，且在上单调递增，增长速度越来越慢，C正确； D选项，，不是偶函数，且在R上单调递减，D错误. 故选：BC 函数的图象识别问题 对于函数图象的识别问题，要注意以下几点：一是抓关键点，如图象与坐标轴的交点，顶点等；二是看奇偶性、单调性以及对称性；三是结合定义域、值域及特殊值验证匹配. 【变式15-1】（24-25高一上·广东·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知是偶函数，排除，又且，排除C. 故选：D. 【变式15-2】（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的详解式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 题型16对称性与周期性的综合（拓展） 【典例16】（2025·广东河源·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据奇函数性质、对称性求得、、，进而有，再确定的周期，利用周期性求函数值的和. 【详解】由为奇函数，知的图象关于点对称，则， 由，得．由的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，所以，，综上，， 由上，，得，所以，则4为的一个周期，所以.故选：C 【变式16-1】（24-25高一下·江西赣州·阶段练习）已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（   ）函数的对称性与周期性间的联系：双对称性函数具有周期性 结论1：两线对称型：如果定义在上的函数有两条对称轴、， 即,且,那么是周期函数,其中一个周期. 结论2：两点对称型:如果函数同时关于两点、成中心对称, 即和,那么是周期函数,其中一个周期. 结论3：一线一点对称型：如果函数的图象关于点成中心对称，且关于直线成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期. 推论1：如果偶函数的图象关于直线对称，那么是周期函数，其中一个周期. 推论2：如果偶函数的图象关于点,成中心对称,那么是周期函数，其中一个周期. 推论3：如果奇函数的图象关于直线对称，那么是周期函数，其中一个周期. 推论4：如果奇函数关于点,成中心对称,那么是周期函数，其中一个周期. A． B．为奇函数 C．的一个周期为8 D．是的一个对称中心 【答案】D 【分析】对中分别赋值，得出，进一步研究函数的奇偶性与对称性，对选项逐一分析即可. 【详解】对于A选项，由题，令，则 ，故A不正确； 对于B选项，令，则，即，则为偶函数，故B不正确； 对于C选项，令，则， 故，两式相加整理得：即 故，故的一个周期为6， 则，故的一个周期为8不成立，C不正确， 对于D选项，由且为偶函数，故， 所以是的一个对称中心，故D正确； 故选：D. 【变式16-2】（多选）（24-25高一上·福建南平·期末）对任意的，，函数满足，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．4为函数的一个周期 D． 【答案】ACD 【分析】令可判断A；根据 时 不成立判断B；求出后令可判断C；根据周期性结合可判断D. 【详解】由 ，令 ，则 ，又 ，所以 ，故 A 正确； 因为 时 ，则不成立，所以 不是奇函数，故 B 错误； 令可得 ，所以 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 所以 的周期为 4，故 C 正确； 由 ，得 ， 所以 ，故 D 正确. 故选： ACD. 题型17 抽象函数性质的综合 【典例17】（23-24高一上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【分析】（1）令得，令得，所以是奇函数； （2）利用是奇函数，得到时，，根据单调性的定义，得到在上单调递减； （3）由奇函数结合，得，再由，即可求得答案. 【详解】（1）函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. 抽象函数性质的综合求解策略 （1）赋值法，即赋予特殊的值，从而将函数式转化或得到相应的函数值； （2）用定义证明其单调性和奇偶性； （3）借助图象或模型函数（如一次函数、反比例函数等等）辅助求解; （4）对于抽象不等式问题,解题的关键是去掉函数符号.在解不等式的过程中,要充分利用偶函数的性质,同时要注意函数的定义域. 【变式17-1】（2025高一上·江苏宿迁·期中）已知函数为上的增函数，对于任意，都有，且当时，. (1)求； (2)证明函数是奇函数； (3)解关于的不等式， 【分析】（1）根据抽象函数关系式采用赋值法求解的值； （2）根据奇函数的定义验证即可； （3）根据知己确定函数的单调性，将不等式转化为含参一元不等式，分类讨论解不等式即可得结论. 【详解】（1）对于任意，都有. 令得即 （2）函数定义在上， 由（1）并令得，即 所以函数是奇函数 （3）原不等式即， 由（2）是奇函数及对，都有， 得即， 任取、，且， 则， 由，．， ，即， 从而在上是增函数； 所以，即， 当时不等式即，解集为， 当时，方程的两根为或， ①当时，，所求不等式的解集为； ②当时，，所求不等式的解集为； ③当时，，所求不等式的解集为； 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 【变式17-2】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 【分析】（1）通过赋值法来确定函数的特殊值；（2）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，（3）运用函数奇偶性，结合函数的单调性求解不等式即可. 【详解】（1）令，得，解得． ， （2）因为函数的定义域为R， 令，则有，，即， ∴函数为奇函数 （3）因为，所以， 又因为， 即由，则， 即， 又因为为增函数，所以，解得， 故x的取值范围为． 题型18 幂函数图象与性质的应用 【典例18-1】（24-25高一上·天津滨海新·期中）函数 是幂函数，且在 上是减函数，则实数m为（   ） A．1 B．- 1 C．2 D．- 1或2 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义列方程，再根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】由函数是幂函数， 得，解得或2． 当时，函数为，且在区间上单调递减，满足题意； 当时，函数为，且在上单调递增，不符合题意． 故选：B. 【典例18-2】（24-25高一下·广东·阶段练习）已知幂函数的定义域不为. (1)求的详解式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 【分析】（1）由幂函数定义求得或，再结合幂函数定义域不为验证即可； （2）结合幂函数的奇偶性、单调性列不等式求解. 【详解】（1）由幂函数的定义可得，解得或， 若，则的定义域为，不符合题意， 若，则的定义域为，符合题意， 所以的详解式为. （2）由（1）得，的定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数， 由可得， 因为在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或， 解得或， 所以a的取值范围为． 幂函数的图象与性质的应用 (1)幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)． (2)单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减． (3)复合函数的单调性：“同增异减”． (4)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 【变式18-1】（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值； (2)若函数，判断在上的单调性并用定义法证明你的结论. 【分析】（1）由幂函数的性质即可列方程求解； （2）由题意得，由对勾函数性质可判断在上单调递增，再结合定义法证明即可. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或， 因为在上单调递增，所以，所以，则. （2）由（1）可知，则，故在上单调递增. 证明如下： 任取，，且， 则. 因为，所以. 因为，，所以，所以， 所以，即， 所以，即在上单调递增. 【变式18-2】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知幂函数满足． (1)求函数的详解式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数m的值； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为?若存在，求出实数n的取值范围，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用幂函数的定义即可求解参数，再利用幂函数的性质，进行检验参数值即可得解； （2）利用分类讨论思想判断二次函数在闭区间上的最小值的取值情况，即可求解参数； （3）利用函数的单调性由定义域和值域对应关系组成方程组，再利用消元思想，得到的函数关系，最后通过研究定义域，即可求出的值域. 【详解】（1）∵是幂函数，∴得，解得：或， 当时，，不满足， 当时，，满足， ∴故得，函数的详解式为； （2）由函数，即，令， ∵，∴，记，其对称轴在， ①当，即时，则， 解得：，此时满足，保留； ②当时，即， 则，解得：，此时不满足，舍去； ③当时，即时， 则，解得：，此时不满足，舍去； 综上所述，存在使得的最小值为0； （3）由函数在定义域内为单调递减函数， 若存在实数，使函数在上的值域为， 则， 由两式相减可得： ， 所以有，代入可得： ，令， 因为，， 即，， 所以，即，则， 而．故得实数的取值范围. 题型19 函数的实际应用 【典例19】（24-25高一下·湖南·阶段练习）通过市场调查发现：某产品生产需投入年固定成本3万元，每生产万件，需要额外投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不少于万件时，（万元）.已知每件产品售价元，且生产的产品在当年可全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数详解式； (2)当年产量为多少万件时，生产销售该产品所获利润最大？最大利润是多少？ （注：若，当且仅当时等号成立） 【分析】（1）分和两种情况讨论，分别求出的详解式； （2）利用均值不等式分别求出各段的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为每件商品售价为元，则万件的商品销售收入为万元； 根据题意得， 当时，； 当时，； 所以. （2）当时， ， 当且仅当，即时，有最大值； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为，所以当年产量为万件时，利润最大，最大利润为万元 函数的实际应用问题 (1)阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等． (2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域． (3)求解函数模型：研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值． (4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来． 【变式19-1】（23-24高一上·云南昭通·期中）某市出租车收费标准：路程不超过千米，收费为元；路程超过千米但不超过千米的部分，每千米车费为元；路程超过千米的部分，每千米车费为元，若该乘客所付车费为元，求出租车行驶的路程是（    ）千米. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，列出收费与路程的分段函数详解式，分析可得行驶的路程超过千米，进而代入详解式，即可出结果. 【详解】由题知，收费（元）与路程（千米）关系为， 若出租车行驶的路程是千米， 则所付车费为元，不符合题意， 则出租车行驶的路程超过千米， 由，可得千米. 故选：D 【变式19-2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见.这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会的吉祥物产自中国.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出.若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？ (2)写出利润万元关于购进产品数量（万件）的函数详解式？（利润销售收入-成本） (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【分析】（1）根据题意和已知条件代入求解即可； （2）对进行分类讨论写出的详解式； （3）对分类讨论写出各段函数的最大值进行比较. 【详解】（1）（万元）. 所以当购进产品数量为10万件时，利润是200万元. （2）当时，， 当时，不妨设降价元，购进产品全部售出， 则，得到， 所以， 当时，， 所以 （3）由（2）知，当时，， 当（万件），利润最大，此时利润是450（万元）， 当时，， 当（万件），利润最大，此时利润是500（万元）， 当时，， 当且仅当，即， 当（万件），利润最大，此时利润是910（万元）， 因为，所以当（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元）. 题型20 函数的新定义问题 【典例20】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是. (1)已知函数，且，求的值； (2)证明：函数图象的对称中心为； (3)已知函数，求的值. 【分析】（1）根据函数，利用奇偶函数的判定方法得为奇函数，从而的图象关于点对称，即可求解； （2）构造函数，利用奇偶函数的判定方法得为奇函数，通过变形可得，再利用题设定义，即可求解； （3）先假设的对称中心为，根据题设可得，，进而可得，即可求解. 【详解】（1）令，易知其定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 则函数的图象关于点对称， 则，则， 又，所以. （2）因为， 令，则 易知的定义域为，定义域关于原点对称，又， 所以为奇函数，则函数图象的对称中心为. （3）假设函数图象有对称中心且对称中心为， 则，所以， 整理得到，所以，解得，， 所以函数有对称中心，则， 令， ， 相加得， . 函数的新定义问题求解策略 解函数新定义问题，首先紧扣定义，拆解核心要素（如定义域、对应法则等），明确运算规则或性质.接着，将新定义转化为熟悉的函数模型（如一次、二次函数等），利用已有知识分析.可通过代入特殊值、举实例验证理解，结合图象或单调性、奇偶性等性质简化求解.过程中注意定义域限制，逐步推导，最后检验是否符合新定义要求.核心是精准转化，用旧知解新题. 【变式20-1】（2025高三·全国·专题练习）定义区间的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度．用[x]表示不超过的最大整数，记，其中．设．若用分别表示不等式、方程、不等式解集区间的长度，则当时，有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题给出函数和，还定义了区间长度，解题关键是依据的取值范围，分情况判断与的大小，进而确定各解集区间的长度即可. 【详解】由题意得， 而，得到． 当时，，此时， 则，即，故解集的长度为1， 当时，，此时， 则，即，故解集的长度为1． 当时，，此时， 则，即，故解集的长度为， 得到，故B正确. 故选：B 【变式20-2】（24-25高一下·云南临沧·阶段练习）一般地，若的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”， （1）若为的跟随区间，则 ； （2）若函数存在“跟随区间”，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）分析函数在区间上的单调性，结合题中定义可得出，即可解得实数的值； （2）设跟随区间为，根据题意得出，变形得出，令，，所以，，从而可得，令，可知函数有两个不等的零点，结合二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】（1）因为为的跟随区间， 所以函数的值域为， 因为， 所以二次函数的对称轴为， 因此函数在上单调递增， 因此根据题中所给的定义有，解得； （2）函数的定义域为， 因为函数存在“跟随区间”，设跟随区间为， 所以的值域为， 而函数是定义域内的递减函数， 因此有，两式作差可得， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 令，，所以，， 因此有，同理可得， 设， 由题意可知，函数在区间上有两个不等的零点， 所以，，解得. 【变式20-3】（24-25高一下·北京房山·期末）若函数满足：对于任意是一个三角形的三边长，都有，，也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”. (1)判断，是否为“保三角形函数”，并说明理由； (2)如果是定义在上的周期函数，且值域为，判断是否为“保三角形函数”，并进行证明. 【分析】（1）给定的大小关系可得的大小关系，即可判断；取特值验证可判断； （2）取使得，取，取验证即可得证. 【详解】（1）为“保三角形函数”，不是“保三角形函数”，理由如下： 不妨设，则，即 因为是一个三角形的三边长，所以， 所以，即， 又，所以，，也是某个三角形的三边长， 所以为“保三角形函数”. 易知是一个三角形的三边长， 因为，且， 所以不满足定义，即不是“保三角形函数”. （2）不是“保三角形函数”，证明如下： 因为函数的值域为，所以不是常数函数， 所以函数的最小正周期，存在使得， 取正整数，则， 易知可以是一个三角形的三边长， 因为，， 所以不是任何三角形的三边， 即不是“保三角形函数”. 【变式20-4】（24-25高一上·福建三明·期中）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. (1)当时，求函数的不动点； (2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围. 【分析】（1）首先得到函数的解析式，然后根据不动点的概念列出方程求解方程的解即可. （2）首先根据不动点的概念列出方程，然后令判别式大于0，可得到关于的不等式，然后构造关于的新函数，令其最小值大于0，即可求得的取值范围. （3）根据韦达定理可得到关于的等式，然后化简用的表达式将表示出来，然后根据基本不等式的性质可求出的范围. 【详解】（1）因为，所以. 设函数的不动点为，则. 化简得，解得，所以的不动点为-1. （2）令，则有两个相异的解. 所以，即：对于任意恒成立. 令，则， 解得. （3）因为为的两个不动点，且， 所以. 因为由（2）知，，所以， 所以. 由（2）得到，根据基本不等式的性质可得，当且仅当时，即时等号成立， 所以.又， 所以.所以实数的取值范围为. 一、单选题 1．（2025·广东·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的详解式，列出使函数详解式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得且， 故函数的定义域为． 故选：B． 2．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知幂函数，则“”是“在第一象限单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据幂函数单调性和充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】当时，幂函数在第一象限单调递增， 所以“”是“在第一象限单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（24-25高二下·吉林长春·期末）下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和奇偶性定义，逐一验证判断. 【详解】对于A，，，所以为奇函数，故A错误； 对于B，由，则在上单调递增，且，所以为偶函数，故B正确； 对于C，由，，故为奇函数，故C错误； 对于D，因为，，，所以在上不是单调增函数，故D错误. 故选：B. 4.（24-25高一上·天津河北·期中）函数的图象为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据奇偶性、特殊值即单调性可以排除错误答案. 【详解】的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以为奇函数，故排除A； 因为，故排除D； 当时，，在单调递增，故排除B， 故选：C. 5．（24-25高二下·云南红河·期末）已知定义在上的函数满足：为偶函数，，且，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的对称中心及对称轴的定义得出周期，进而单调性结合对称性即可比较. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于对称， 因为，所以的图象关于对称， 所以的周期为. 又因为，都有， 所以在上单调递增，所以在上单调递减. 而，，所以. 故选：C. 6.（24-25高一下·云南昭通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对任意，且，都有，可知在上单调递减，然后由函数的奇偶性求解不等式即可. 【详解】由，且，都有， 则在上单调递减． 又函数是定义在上的奇函数， 则在上单调递减，由，则，且， 故或时，或时，， 所以的解集为， 故选：D． 7．（2025·甘肃白银·模拟预测）任意作一条直线分别与定义域均为的函数，，的图象交于点A，B，C，若点B始终为线段AC的中点，则称，是关于的“对称函数”．已知定义域为的函数，，且，是关于的“对称函数”．若，，成立，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称函数定义，确定的表达式；再通过给定条件分析的取值范围. 【详解】因为，是关于的“对称函数”， 所以，定义域为， . 令，， 在时取得最大值，在或时取得最小值. 则，，， 又，所以，那么. 由在上单调递增，可得的值域为， 因为，，成立， 所以. 则，解得. 故选：D． 8.（2025高三·北京·专题练习）已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】B 【分析】先利用赋值值法可求解A、B选项，再利用抽象函数的关系是结合函数的奇偶性和单调性的定义可求解C、D. 【详解】函数的定义域为R，对任意实数满足， 令，可得，即有，故A正确；由，可得，，即，可得，故B错误；令，则，即，则函数为奇函数，故D正确； 令，可得即，当时，，即， 设，即，即有， 则在上递增，故C正确． 故选：B． 二、多选题 9．（24-25高三上·山东滨州·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过点 C．函数图象过点，若，则 D．幂函数的图象不可能出现在第四象限 【答案】BCD 【分析】利用幂函数的性质计算可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，因为，所以点不在的图象上， 故的图象不是一条直线，故A错误； 对于B，幂函数的图象都经过点，故B正确； 对于C，因为函数图象过点，所以，解得， 所以，当，则，故C正确； 对于D，幂函数的图象不可能出现在第四象限，故D正确. 故选：BCD. 10.（25-26高一上·全国·单元测试）如图，一座小岛与海岸线上的点距离最近，最近距离是，从点沿海岸线正东处有一个城镇．假设一个人先从小岛驾驶小船到海岸上，再步行去城镇，驾驶的小船的平均速度为，步行的速度为，时间（单位：）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：）表示此人将船停在海岸线处距点的距离，表示他驾驶小船的行驶距离．设，，则（    ）    A．函数为增函数 B． C．当时，此人从小岛到城镇花费的时间最少 D．当时，此人从小岛到城镇花费的时间超过 【答案】BD 【分析】根据函数，结合图象逐项分析可得答案. 【详解】对于A，由，单调递增，可得， ，则在上单调递减； 对于B，，所以 ； 对于C，由B可得， 当且仅当时，取等号，此时，即； 对于D，当时，，， 即． 故选：BD. 11.（多选）（2025·河北邯郸·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，，则（    ） A． B．是偶函数 C．是增函数 D． 【答案】ACD 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】运用赋值法，结合奇偶性定义，单调性定义逐个判断即可. 【详解】对于A，B，令，得，再令，得，，，再令，则，即， 因为（若，则无意义），所以. 即，，即与同号， 时，，当时，也成立，时，，A正确，B不正确； 对于C，令，，，当时，，由已知得，，由A选项知，，C正确； 对于D，，，互换即可得到，D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12.（2024高三·全国·专题练习）若，则的详解式为 . 【答案】 【知识点】已知f（g（x））求详解式 【分析】利用换元法求详解式. 【详解】令，则，代入得: ，即. 故答案为： 13.（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 【答案】 【知识点】奇偶函数对称性的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】将函数详解式变形为，设，知其为奇函数，从而易推得，代入计算即得. 【详解】因， 设，则，可得函数为奇函数， 则在区间上的最大值与最小值的和为0，故， 于是，. 14．（24-25高二上·江苏盐城·期中）“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即：直角坐标平面中任意两点，的曼哈顿距离.已知点，点在直线上，则的最小值是 . 【答案】3 【分析】首先设，再代入绝对轴距总和公式，去绝对值后转化为分段函数，即可求解最值. 【详解】设，， ， 当时，取等号，当时，，当时，， 所以. 故答案为：3 四、解答题 15．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知幂函数满足． (1)求函数的详解式； (2)若函数，且的最小值为0，求实数的值． 【分析】（1）根据题意，得到，且，求得，即可得到的详解式； （2）由（1）可得，令，的，结合二次函数的性质，分类讨论，求得，即可求解. 【详解】（1）解：由函数为幂函数，可得，即，解得， 因为，可得，即，所以， 所以函数的详解式为. （2）解：由（1）可得， 令，因为，可得，则， 当时，即时，此时在区间上单调递增， 所以，解得； 当时，即时，在上单调递减，在单调递增， 所以，解得（舍去）； 当时，即时，此时在区间上单调递减， 所以，解得（舍去）， 综上可得，实数的值为. 16.（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数. (1)求，； (2)若，求的值； (3)若函数的图象与直线有三个交点，请画出函数的图象并写出实数的取值范围（不需要证明）. 【分析】（1）直接求解即可； （2）对a进行分类讨论求解； （3）结合图象直接得到m的范围． 【详解】（1），； （2）当时，； 当时，或， 或，； （3）函数图象如下图所示， 当时，，开口向下， 最大值为，由数形结合思想可知， 函数的图象与直线有三个交点， 只需，故实数的取值范围为. 17.（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）闪存（Flash Memory）是一种非易失性电子存储器，能够在断电后保持存储的数据不丢失.它由许多小的电容构成，通过高电压供电来写入数据，具有高信息密度、大量读写、随机存取时间短等特点.几乎所有的电子设备都依赖于闪存，包括智能手机、笔记本电脑、台式机等.鉴于目前闪存的市场行情，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为200元/片，且能全部售完. (1)求公司获得的利润的函数详解式； (2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)160万片 【知识点】求二次函数的值域或最值、基本（均值）不等式的应用、分段函数模型的应用 【分析】（1）根据条件列出关于的分段函数即可； （2）分成两种情况分别求出最值，再比较大小即可. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 故； （2）当时，， 函数图象开口向下，对称轴为， 故的最大值为(万元)； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为730（万元）， 因为，所以封装160万片时，公司可获得最大利润. 18.（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的详解式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据，求出，，再检验即得解； （2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明； （3）分析得到对任意的恒成立，解不等式组即得解. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 又因为，即，解得， 经检验可得，符合题意． 所以当时，， 令则， 所以， 则当 综上所述，； （2）函数在上是增函数． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为， 所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3）由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是. 19．（24-25高一下·广东广州·期末）已知函数 (1)对于函数 ，如果存在实数a，b使得 ，那么称为的生成函数，据此生成函数的定义，判断是否存在实数m使成为函数的生成函数，若存在请求出m的值，若不存在请说明理由. (2)若 其中 求 的取值范围. (3)若x，m均为正整数，求函数 的最小值（用m表示） 及的最大值. 【分析】（1）依据题意列出等式，化简整理，依据函数恒等式的意义，判断是否存在对应系数即可得到答案. （2）利用确定的情况，在结合的表达式，依据单调性等即可求出取值范围. （3）先求出的表达式，结合二次函数的性质分析当x，m均为正整数时函数 的最小值和最大值. 【详解】（1）假若存在实数m使成为函数的生成函数，由题意得， ，当时恒成立 ∴，恒成立，此方程无解， 不存在实数m使成为函数的生成函数. （2）设 ，则， 有两个解为，即， 得，且判别式，解得， ，在上单调递增， ， 即. （3）有题意得函数 ， x，m均为正整数，， 是开口向上的二次函数，其对称轴为， m均为正整数，要找到离对称轴最近的正整数来确定最小值， ①当时，对称轴为，，； ②当时，对称轴为，离对称轴最近的正整数是，，； ③当时，对称轴为，离对称轴最近的正整数是或，，； ④当时，，，， 综上所述， 通过前面计算可知当时， ； 当时， ；当时，， 当时，， 综上所述，. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 函数全章复习 教学目标 1. 通过复习理顺本章重点知识，掌握本章重要知识点及常见题型. 2. 能综合应用本章知识解决综合性强的问题. 教学重难点 1.重点：(1)函数的定义域、值域与表示方法；(2)函数的单调性与奇偶性、对称性； (3)幂函数的图象与性质. 2.难点：(1)抽象函数问题；(2)函数性质的综合应用. 一、构建知识网络 二、 回顾重点知识 知识点01函数的概念 1．函数的传统定义（变量观点） 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与与其对应，那么就称是的函数． 2．函数的近代定义（集合观点） 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 3．函数的四个特性 定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应． （1）非空性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A→B． 4.函数的三要素与函数相等 （1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； （2）对应关系：对应关系是函数的核心，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则．如：，就是对自变量求平方． （3）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值．通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也就随之确定了． 5.函数相等 两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 知识点02 函数的表示法 1.三种表示方法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用解析式可求任意函数值． 缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有解析式． （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值； 缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系． （3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：能形象直观地表示函数的变化情况； 缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大． 2.函数图象的变换 （1）函数图象的平移变换 左加右减：函数的图象沿轴方向向左()或向右()平移个单位长度得到函数; 上加下减：函数的图象沿轴方向向上()或向下()平移个单位长度得到函数 （2）函数图象的对称变换 ① ② ③ （3）函数图象的翻折变换 ① ② 知识点03 函数的单调性 1.增函数与减函数 （1）设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递增函数； 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减函数. （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 （3），的三个特征 ①区间上的自变量的两个值，必须是任意的，即区间内的全部，任意即所有，不可以随便取两个特殊值； ②有序性：一般要对和的大小进行规定，通常规定； ③同区间性：即，同属于一个单调区间． 2．函数的单调区间 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 【易错警示】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3．单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点4 函数的最大（小）值 1．函数的最大值 （1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0). （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标． 2．函数的最小值 （1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标． 【易错警示】 对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值． 知识点5 函数的奇偶性 1.奇函数与偶函数的定义 （1）奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称． （2）偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论． 2.奇函数、偶函数图象对称性的推广 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 点 点 点 知识点6 幂函数的图象与性质 1.幂函数的定义 形如的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.  2.幂函数的特征 幂函数要同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 3.幂函数的图象与性质 （1）幂函数图象 （2）常见幂函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 4.幂函数的特性 ①单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴． ②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． ③奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数． 当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数 三、熟记重要结论 1．常见函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0． (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)零次幂的底数不能为0. 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为． (3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R. 3．函数单调性的结论 (1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0⇔f(x)在D上是增函数；＜0⇔f(x)在D上是减函数． (2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]． (3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 4．函数最值存在的2个结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 5．函数奇偶性的三个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0． (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 6．周期性的几个常用结论（拓展） 对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则 (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)； (3)f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0). 7．幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1，1)； (2)当x∈(0，1)时，α越大，函数值越小；当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大． 8．与二次函数有关的恒成立问题 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 (1)f(x)＞0恒成立的充要条件是； (2)f(x)＜0恒成立的充要条件是； (3)f(x)＞0(a＜0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是； (4)f(x)＜0(a＞0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是. 题型01 判断函数相等 【典例1】（2025高一上·安徽·期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 判断函数相等的方法 (1)先看定义域，若定义域不同，则不相等． (2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． 【变式1-1】（2025高一上·北京东城·期末）下列函数中，与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·天津·阶段练习）下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型02 具体函数定义域的求解 【典例2-1】（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 函数定义域的求解 (1)若fx是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若fx是由几个式子构成的，则定义域是几个部分定义域的交集． (4)若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 【变式2-1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 【变式2-3】（24-25高一上·天津静海·阶段练习）已知函数的定义域是R，则的取值范围是 . 题型03 抽象函数定义域的求解 【典例3】（2025高一上·山东·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（　　） A． B． C． D． 抽象函数定义域的求解 (1)函数的定义域是指自变量的取值范围,函数中的自变量还是x,因此它的定义域仍是指x (而不是)的取值范围. (2)同在对应法则f下的范围相同，即f(t) ,f[h(x)]三个函数中的t, ,h(x)的范围相同. 【变式3-1】（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数的定义域，则函数的定义域为 . 【变式3-2】（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 题型04 函数值域的求解 【典例4-1】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2025高三·全国·专题练习） 函数值域的求解 求函数值域问题须明确两点：一点是值域的概念，即对于定义A内的函数y=f(x),其值域就是指集合C={y|y=f(x),x∈A}，;另一点就是函数的定义域、对应关系为确定函数的依据. 求函数的值域的方法很多，常见的有： (1)直接观察法:通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域，这就是观察法. (2)配方法:对于二次函数型的解析式，则可通过配方后再结合二次函数的性质求得值域. (3)判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围,常用于“分式函数”“无理函数”等.使用此法要特别注意自变量的取值范围. （4）分离参数法：此法常用于求形如的函数的值域，所谓分离常数，就是把函数式分子中含x的项分离掉,即分子不含x项. (5)换元法:对于一些无理函数(如带有根式的函数)或超越函数，通过换元把它们化为有理函数（如二次函数），再利用有理函数求值域的方法可直接把原函数的值域求出.“换元法”求函数值域其实质是等价转换的思想方法. 【变式4-1】（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）函数的值域为 ． 【变式4-2】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 ． 【变式4-4】（24-25高一上·河南驻马店·期末）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 题型05 函数解析式的求解 【典例5-1】（2025高一·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026高三·全国·专题练习）若函数满足，则 ． 函数解析式的求解 (1)代入法:如已知f(x)=x2-1,求f(x+x2)时,有f(x+x2)=(x2+x)2-1. (2)待定系数法:已知f(x)的函数类型,则可通过设函数f(x)的解析式,根据题中的条件求得解析式,这种方法叫作待定系数法. (3)配凑法:已知f(g(x))的解析式,要求f(x)时,可从f(g(x))的解析式中配凑出g(x),即用g(x)来表示f(g(x)),再将解析式两边的g(x)用x代替即可. (4)换元法:解题时,把某个式子看作一个整体,用一个新的变量去替代它,从而使问题简化,这种方法叫作换元法. (5)解方程组法或消元法:在已知式子中,若含有两个不同变量,这两个变量又有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,联立这两个式子,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式, 这种方法叫作解方程组法或消元法. (6)赋值法:依题目的特征,能够由特殊到一般寻找普遍规律,可将变量取特殊值,从而找出一般规律,求出解析式. 【变式5-1】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·四川·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）（1）已知，求的表达式； （2）已知奇函数的定义域为，当时，．求函数的解析式． 题型06分段函数问题 【典例6】（24-25高一上·云南昭通·期中）已知函数的解析式为. (1)求，的值； (2)画出这个函数的图象，并写出的最大值. 分段函数的求解 (1)分段函数是一个函数而不是几个函数.处理分段函数的问题时,首先确定自变量的数值属于哪一个范围,从而选择相应的对应关系. (2)画分段函数的图象时,应根据不同定义域上的解析式分别作出图象,再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象. (3)分段函数的定义域是函数各段自变量取值范围的并集,各段定义域的交集是空集. (4)分段函数的值域是各段函数在相应区间上函数取值集合的并集. (5)求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”,即自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的解析式. 【变式6-1】（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知函数的值域为R，则m的取值范围是 ． 题型07 判断函数的单调性 【典例7-1】（24-25高一上·山东济南·期中）下列函数在其定义域上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【典例7-2】（23-24高一上·北京·期中）函数的单调递减区间是 ． 函数单调区间的求解 (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象． 【变式7-1】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的单调减区间是 ． 【变式7-2】作出下列函数的图像,并根据图像判断函数的单调性. (1)y=-x2+2x+1,x∈[0,4];(2)f(x)=+. 题型08 由函数的单调性求参 【典例8-1】（24-25高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【典例8-2】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数是上的增函数，则的取值范围是 ． 利用单调性求参数的值或范围 已知函数的单调性求函数中参数的取值范围的一般方法:(1)将参数看成已知数,求函数的单调区间,再与已知的单调区间比较,求出参数的取值范围;(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组),解不等式(组)求出参数的取值范围,即将函数值之间的不等关系与自变量之间的不等关系进行等价转化. 【变式8-1】（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 【变式8-2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知函数，其中． (1)当函数的图象关于点为中心对称时，求a的值； (2)若函数在区间上单调递增时，求a的取值范围． 题型09 函数单调性的证明 【典例9】（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数为奇函数，且 (1)求的解析式 (2)求证：在区间上单调递增； 函数单调性的证明 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2． (2)作差变形：作差fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子． (3)定号：确定fx1－fx2的符号． (4)结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性． 【变式9-1】（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并用定义进行证明； (2)若，试讨论在上的单调性． 【变式9-2】（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 题型10 利用单调性比较大小或解不等式 【典例10-1】设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,a,b∈R,且a+b≤0,则下列选项正确的是(　　) A.f(a)+f(b)≤f(a)+f(b) B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) C.f(a)+f(b)≥f(a)+f(b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 【典例10-2】已知f(x)是定义在[-2,2]上的增函数,求使f(2a-1)>f(a-1)成立的实数a的取值范围. 利用单调性比较大小或解不等式 1.利用函数单调性的定义比较大小,主要有两个方面:一是正用,即已知函数y=f(x)在定义域的某个区间上是增(减)函数,则当x1<x2时, f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),当x1>x2时, f(x1)>f(x2)(f(x1)<f(x2));二是逆用,即已知函数f(x)在定义域的某个区间上是增函数,则当f(x1)<f(x2)时,x1<x2,当f(x1)>f(x2)时,x1>x2,减函数也有类似的性质. 2 .利用函数单调性解不等式时，先将不等式整理成f(a)<f(b)或f(a)>f(b)的形式，再利用单调性脱去f，转化为具体不等式求解. 【变式10-1】（24-25高一下·云南昆明·期末）定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数． (1)若是偶函数，求不等式的解集； (2)若对任意的，且时，都有成立，求的取值范围． 题型11 利用单调性求函数的最值 【典例11】（24-25高一上·湖北武汉·开学考试）已知二次函数. (1)求二次函数的顶点坐标和对称轴； (2)当时，函数的最大值和最小值分别是多少？ (3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值. 函数的最值与单调性 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． (3)定号：确定fx1－fx2的符号． (4)结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性． 【变式11】（24-25高一下·北京·开学考试）已知函数，. (1)当时，求函数的值域； (2)记函数的最大值，求的解析式． 题型12 函数奇偶性的判断 【典例12-1】（2024高三·全国·专题练习）若函数是奇函数，函数是偶函数，则（    ） A．函数是奇函数 B．函数是奇函数 C．函数是奇函数 D．函数是奇函数 【典例12-2】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=|x+b|-|x-b|; (2)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]; (3)f(x)=; (4)f(x)=(x-1). 判断函数的奇偶性的基本方法 (1)定义法:若函数的定义域不关于原点对称,则可判断函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域关于原点对称,则判断f(-x)是否等于f(x)或-f(x). (2)验证法:即在定义法的基础上,验证f(-x)±f(x)=0、=±1(f(x)≠0)是否成立.这是因为若f(-x)+f(x)=0,则f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.其他可类似推知. (3)图像法:奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(y轴)对称,所以通过函数的图像可直观地看出函数的奇偶性. (4)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数和一个偶函数的积为奇函数. (5)①利用上述结论时要注意各函数的定义域. ②用定义判断函数奇偶性的步骤是判断定义域(关于原点对称)→验证f(-x)=±f(x)→下结论,还可以利用图像法或定义的等价命题f(-x)±f(x)=0或 =±1(f(x)≠0)来判断. ③利用定义判断函数的奇偶性时,既要判断f(x)与f(-x)的关系,又不能忽略与定义域有关的问题,如关于原点对称,x的任意性等. ④有些题目的求解过程是先确定函数的定义域,然后在定义域上化简函数关系式,观察其本质,最后利用定义去判断奇偶性. 【变式12-1】（2025•江苏海安市校级月考）设函数f（x），则下列函数中为奇函数的是（　　） A．f（x﹣2）﹣1 B．f（x﹣2）+1 C．f（x+2）﹣1 D．f（x+2）+1 【变式6-1】（2022春•杨陵区校级期末）若函数f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函数，则g（x）＝2ax3+bx2+9x是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【变式12-2】设函数，则下列函数中为偶函数的是（　　） A．f（x+1） B．f（x）+1 C．f（x﹣1） D．f（x）﹣1 【变式12-3】（2025•广东汕头期末）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）+g（x）为R上的奇函数 B．f（x）﹣g（x）为R上的奇函数 C．为R上的偶函数 D．|f（x）g（x）|为R上的偶函数 题型13 由奇偶性求解析式或参数 【典例13-1】（21-22高一上·重庆璧山·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，则 . 【典例13-2】（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 由奇偶性求解析式或参数 (1) “求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用fx的奇偶性写出－fx或f－x，从而解出fx． (4)若函数fx的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0． 【变式13-1】（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例13-3】（24-25高二下·河南焦作·阶段练习）函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 题型14 奇偶性与单调性的综合 【典例14-1】（24-25高三上·新疆伊犁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是奇函数，且在上是减函数 【典例14-2】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是 . 函数的奇偶性与单调性的综合 (1)利用函数的奇偶性或单调性处理函数的综合性问题时,一定要注意先利用函数的奇偶性进行转化,然后利用单调性比较大小、求最值、求参数范围和解不等式(组). (2)利用函数的单调性和奇偶性解不等式问题,解题的关键是去掉函数符号.在解不等式的过程中,要充分利用偶函数的性质,同时要注意函数的定义域. 【变式14-1】（2026高三·全国·专题练习）已知定义在R上的奇函数满足，当时，单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2025高一上·河南郑州·期中）定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（24-25高一下·安徽·阶段练习）若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为 . 题型15 函数的图象问题 【典例15-1】（23-24高一上·天津河北·期中）函数的图象为（   ） A．   B．   C．   D．   【典例15-2】（24-25高一上·江苏·阶段练习）若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 函数的图象识别问题 对于函数图象的识别问题，要注意以下几点：一是抓关键点，如图象与坐标轴的交点，顶点等；二是看奇偶性、单调性以及对称性；三是结合定义域、值域及特殊值验证匹配. 【变式15-1】（24-25高一上·广东·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 题型16对称性与周期性的综合（拓展） 【典例16】（2025·广东河源·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式16-1】（24-25高一下·江西赣州·阶段练习）已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（   ）函数的对称性与周期性间的联系：双对称性函数具有周期性 结论1：两线对称型：如果定义在上的函数有两条对称轴、， 即,且,那么是周期函数,其中一个周期. 结论2：两点对称型:如果函数同时关于两点、成中心对称, 即和,那么是周期函数,其中一个周期. 结论3：一线一点对称型：如果函数的图象关于点成中心对称，且关于直线成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期. 推论1：如果偶函数的图象关于直线对称，那么是周期函数，其中一个周期. 推论2：如果偶函数的图象关于点,成中心对称,那么是周期函数，其中一个周期. 推论3：如果奇函数的图象关于直线对称，那么是周期函数，其中一个周期. 推论4：如果奇函数关于点,成中心对称,那么是周期函数，其中一个周期. A． B．为奇函数 C．的一个周期为8 D．是的一个对称中心 【变式16-2】（多选）（24-25高一上·福建南平·期末）对任意的，，函数满足，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．4为函数的一个周期 D． 题型17 抽象函数性质的综合 【典例17】（23-24高一上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 抽象函数性质的综合求解策略 （1）赋值法，即赋予特殊的值，从而将函数式转化或得到相应的函数值； （2）用定义证明其单调性和奇偶性； （3）借助图象或模型函数（如一次函数、反比例函数等等）辅助求解; （4）对于抽象不等式问题,解题的关键是去掉函数符号.在解不等式的过程中,要充分利用偶函数的性质,同时要注意函数的定义域. 【变式17-1】（2025高一上·江苏宿迁·期中）已知函数为上的增函数，对于任意，都有，且当时，. (1)求； (2)证明函数是奇函数； (3)解关于的不等式， 【变式17-2】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 题型18 幂函数图象与性质的应用 【典例18-1】（24-25高一上·天津滨海新·期中）函数 是幂函数，且在 上是减函数，则实数m为（   ） A．1 B．- 1 C．2 D．- 1或2 【典例18-2】（24-25高一下·广东·阶段练习）已知幂函数的定义域不为. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 幂函数的图象与性质的应用 (1)幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)． (2)单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减． (3)复合函数的单调性：“同增异减”． (4)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 【变式18-1】（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值； (2)若函数，判断在上的单调性并用定义法证明你的结论. 【变式18-2】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数m的值； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为?若存在，求出实数n的取值范围，若不存在，请说明理由． 题型19 函数的实际应用 【典例19】（24-25高一下·湖南·阶段练习）通过市场调查发现：某产品生产需投入年固定成本3万元，每生产万件，需要额外投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不少于万件时，（万元）.已知每件产品售价元，且生产的产品在当年可全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，生产销售该产品所获利润最大？最大利润是多少？ （注：若，当且仅当时等号成立） 函数的实际应用问题 (1)阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等． (2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域． (3)求解函数模型：研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值． (4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来． 【变式19-1】（23-24高一上·云南昭通·期中）某市出租车收费标准：路程不超过千米，收费为元；路程超过千米但不超过千米的部分，每千米车费为元；路程超过千米的部分，每千米车费为元，若该乘客所付车费为元，求出租车行驶的路程是（    ）千米. A． B． C． D． 【变式19-2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见.这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会的吉祥物产自中国.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出.若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？ (2)写出利润万元关于购进产品数量（万件）的函数解析式？（利润销售收入-成本） (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 题型20 函数的新定义问题 【典例20】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是. (1)已知函数，且，求的值； (2)证明：函数图象的对称中心为； (3)已知函数，求的值. 函数的新定义问题求解策略 解函数新定义问题，首先紧扣定义，拆解核心要素（如定义域、对应法则等），明确运算规则或性质.接着，将新定义转化为熟悉的函数模型（如一次、二次函数等），利用已有知识分析.可通过代入特殊值、举实例验证理解，结合图象或单调性、奇偶性等性质简化求解.过程中注意定义域限制，逐步推导，最后检验是否符合新定义要求.核心是精准转化，用旧知解新题. 【变式20-1】（2025高三·全国·专题练习）定义区间的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度．用[x]表示不超过的最大整数，记，其中．设．若用分别表示不等式、方程、不等式解集区间的长度，则当时，有（    ） A． B． C． D． 【变式20-2】（24-25高一下·云南临沧·阶段练习）一般地，若的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”， （1）若为的跟随区间，则 ； （2）若函数存在“跟随区间”，则的取值范围是 ． 【变式20-3】（24-25高一下·北京房山·期末）若函数满足：对于任意是一个三角形的三边长，都有，，也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”. (1)判断，是否为“保三角形函数”，并说明理由； (2)如果是定义在上的周期函数，且值域为，判断是否为“保三角形函数”，并进行证明. 【变式20-4】（24-25高一上·福建三明·期中）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. (1)当时，求函数的不动点； (2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（2025·广东·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知幂函数，则“”是“在第一象限单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二下·吉林长春·期末）下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 4.（24-25高一上·天津河北·期中）函数的图象为（   ） A．   B．   C．   D．   5．（24-25高二下·云南红河·期末）已知定义在上的函数满足：为偶函数，，且，都有，则（    ） A． B． C． D． 6.（24-25高一下·云南昭通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·甘肃白银·模拟预测）任意作一条直线分别与定义域均为的函数，，的图象交于点A，B，C，若点B始终为线段AC的中点，则称，是关于的“对称函数”．已知定义域为的函数，，且，是关于的“对称函数”．若，，成立，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8.（2025高三·北京·专题练习）已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 二、多选题 9．（24-25高三上·山东滨州·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过点 C．函数图象过点，若，则 D．幂函数的图象不可能出现在第四象限 10.（25-26高一上·全国·单元测试）如图，一座小岛与海岸线上的点距离最近，最近距离是，从点沿海岸线正东处有一个城镇．假设一个人先从小岛驾驶小船到海岸上，再步行去城镇，驾驶的小船的平均速度为，步行的速度为，时间（单位：）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：）表示此人将船停在海岸线处距点的距离，表示他驾驶小船的行驶距离．设，，则（    ）    A．函数为增函数 B． C．当时，此人从小岛到城镇花费的时间最少 D．当时，此人从小岛到城镇花费的时间超过 11.（多选）（2025·河北邯郸·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，，则（    ） A． B．是偶函数 C．是增函数 D． 三、填空题 12.（2024高三·全国·专题练习）若，则的解析式为 . 13.（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 14．（24-25高二上·江苏盐城·期中）“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即：直角坐标平面中任意两点，的曼哈顿距离.已知点，点在直线上，则的最小值是 . 四、解答题 15．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，且的最小值为0，求实数的值． 16.（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数. (1)求，； (2)若，求的值； (3)若函数的图象与直线有三个交点，请画出函数的图象并写出实数的取值范围（不需要证明）. 17.（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）闪存（Flash Memory）是一种非易失性电子存储器，能够在断电后保持存储的数据不丢失.它由许多小的电容构成，通过高电压供电来写入数据，具有高信息密度、大量读写、随机存取时间短等特点.几乎所有的电子设备都依赖于闪存，包括智能手机、笔记本电脑、台式机等.鉴于目前闪存的市场行情，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为200元/片，且能全部售完. (1)求公司获得的利润的函数解析式； (2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 18.（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 19．（24-25高一下·广东广州·期末）已知函数 (1)对于函数 ，如果存在实数a，b使得 ，那么称为的生成函数，据此生成函数的定义，判断是否存在实数m使成为函数的生成函数，若存在请求出m的值，若不存在请说明理由. (2)若 其中 求 的取值范围. (3)若x，m均为正整数，求函数 的最小值（用m表示） 及的最大值. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$