8.1 走近数学建模&8.2 数学建模的主要步骤&8.3 数学建模活动的主要过程(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

　走近数学建模 　数学建模的主要步骤 　数学建模活动的主要过程 学业标准 素养目标 1.了解数学建模的过程和意义． 2．掌握数学建模的步骤．(重点) 3．了解数学建模活动的主要过程．(难点) 1.通过数学建模活动，培养数学建模核心素养． 2．借助建模活动的实例，提升数据分析、直观想象、数学运算核心素养. 导学1 数学建模及数学建模的主要步骤 1.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建数学模型解决问题的过程，是数学应用的重要形式． 2．数学建模的主要步骤 (1)提出问题；(2)建立模型；(3)求解模型；(4)检验结果． 导学2 数学建模活动的主要过程 数学建模活动是微科研，研究过程包括选题、开题、做题、结题四个环节. 一、数学建模活动的实例 1．观察实际情景，发现和提出问题 中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．那么在25 ℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ 显然，如果能建立茶水温度随时间变化的函数模型，那么就能容易地解决这个问题．为此，需要收集一些茶水温度随时间变化的数据，再利用这些数据建立适当的函数模型． 2．收集数据 我们可以利用秒表、温度计等工具(或用计算机、数据采集器、温度传感器等信息技术更好)，收集茶水温度随时间变化的数据． 例如，某研究人员每隔1 min测量一次茶水温度，得到表1的一组数据． 表1 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 85.00 79.19 74.75 71.19 68.19 65.10 3.分析数据 茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型．为此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型． 设茶水温度从85 ℃开始，经过x min后的温度为y ℃.根据表1，画散点图(图1)． 图1 观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数y＝kax＋25(k∈R,0＜a＜1，x≥0)来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律． 4．建立模型 根据实际情况可知，当x＝0时，y＝85，可得k＝60. 为了求出温度的衰减比例a，可从第2 min的温度数据开始，计算每分钟(y－25)的值与上一分钟(y－25)值的比值，列出表2. 表2 x 0 1 2 3 4 5 y－25 60.00 54.19 49.75 46.19 43.19 40.10 比值 0.903 2 0.918 1 0.928 4 0.935 1 0.928 5 计算各比值的平均值，得 a＝(0.903 2＋0.918 1＋0.928 4＋0.935 1＋0.928 5)≈0.922 7. 我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型y＝60×0.922 7x＋25(x≥0)．① 5．检验模型 将已知数据代入①式，或画出函数①的图象(图2)，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律． 图2 6．求解问题 将y＝60代入y＝60×0.922 7x＋25， 得60×0.922 7x＋25＝60. 解得x＝log0.922 7. 由信息技术得x≈6.699 7. 所以，泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是7 min. 二、数据建模活动的选题 请同学们仿照上述过程开展一次建立函数模型解决实际问题的活动．可以继续研究不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中选择一个： 1．应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？ 2．根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重？ 3．用电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法． 4．估计阅读一本书所需要的时间． 也可以根据自己的兴趣，与老师协商后确定一个课题进行研究． 三、数学建模活动的要求 1．组建合作团队 数学建模活动需要团队协作．首先，在班级中组成3～5人的研究小组，每位同学参加其中一个小组．在小组内，要确定一个课题负责人，使每位成员都有明确的分工．拟定研究课题、确定研究步骤、编制研究手册，然后在班里进行一次开题报告． 2．开展研究活动 根据开题报告所规定的研究步骤，通过背景分析、数据收集、数据分析、数学建模、获得结论等过程，完成课题研究．在研究过程中，可以借助信息技术解决问题． 3．撰写研究报告 以小组为单位，撰写一份研究报告． 4．交流展示 (1)对同一个课题，先由3～4个小组进行小组交流，每个小组都展示自己的研究成果，相互借鉴、取长补短．在小组研究报告的基础上形成大组的研究报告．选定代表，制作向全班汇报的演示文稿． (2)与老师一起进行全班研究成果展示与交流，在各组代表作研究报告的基础上，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足．开展自我评价、同学评价和老师评价，完成本次数学建模活动． 学科网（北京）股份有限公司 $$