专题02 二分法的六大热点题型（高效培优专项训练）高一数学北师大版2019必修第一册

专题02 二分法的六大热点题型 题型一：二分法概念的理解 2 题型二：求初始区间 5 题型三：确定函数零点（方程根）所在区间 7 题型四：用二分法求方程的近似解 9 题型五：二分法求解的过程 12 题型六：二分法的实际应用 19 【方法指导】 1.用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点 （3）计算; ①若（此时)，则就是函数的零点； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2—4. 2.利用二分法求方程的近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M. (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 3.关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即； “精确到”是指某个数的数位达到某个规定的数位， 如计算，精确到0.01，即0.33 （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分； 此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。 4.运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． 题型一：二分法概念的理解 1．（25-26高一上·广东佛山·期中）用二分法求函数零点时，所求到的零点（    ） A．一定是近似值 B．一定不是近似值 C．一定不是准确值 D．可以是准确值 【答案】D 【分析】利用二分法的定义分析即可. 【详解】由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值. 故选：D 2．（2025高一·全国·课后作业）下列关于二分法的叙述中，正确的是（    ） A．用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位 C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D．只能用二分法求函数的零点 【答案】B 【分析】根据二分法的概念进行判断ABC选项，D选项，求零点的方法有多种. 【详解】A选项，由二分法求函数零点近似值需要函数图象在零点附近连续且区间端点函数值异号，A错误； B选项，二分法，反复求区间中点，确定函数值符号，故可求函数零点的近似值， 可精确到小数点后任一位，B正确； C选项，二分法是一种程序化的运算过程，反复求区间中点，确定函数值符号， 因而可以通过编程，在计算机上完成，C错误； D选项，求零点的方法有解方程法、作图法等，D错误． 故选：B． 3．（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【分析】结合结论二分法只能求变号零点，结合图象确定正确选项. 【详解】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点， 观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点， 所以选项A中函数不能用二分法求零点． 故选：A. 4．（2025高一·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是（    ）    A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．5，4 【答案】C 【分析】与轴的4个交点中，要判断交点左右两侧函数值异号的方可用二分法，即可得到答案. 【详解】图象与轴有4个交点，所以零点的个数为4，左右函数值异号的零点有3个， 所以可以用二分法求解的个数为3. 故选：C 5．（多选）（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二分法知识对选项中的函数逐一判断即可. 【详解】对于选项A：函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，A正确； 对于选项B：因为，故不能用二分法求零点的近似值，B错误； 对于选项C：因为，，且函数在上连续，故可以用二分法求函数在上零点的近似值，C正确； 对于选项D：当时，令，解得， 当时，令，解得， 且根据一次函数性质知函数值在零点两侧异号，故能用二分法求零点的近似值，D正确； 故选：ACD 6．(多选)（2025高一·湖南衡阳·阶段练习）下列函数中能用二分法求零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，由二分法的定义，可以用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的两侧函数值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论。 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 对于 ，，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，不能用二分法求零点，故选项错误； 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 故选：． 7．（2025高一·全国·课后作业）函数有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 ，函数的零点是 （用a表示）. 【答案】 【分析】根据题设条件可知抛物线与轴相切，从而可得的关系，进一步解一元二次方程即可求解函数零点. 【详解】详解因为函数有零点，但不能用二分法求出， 所以函数的图象与x轴相切，所以，所以， 令，解得. 故答案为：，. 题型二：求初始区间 8．（24-25高一上·安徽·期末）用二分法求函数的零点时，初始区间可选为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出，结合零点存在性定理得到答案. 【详解】， 则，即初始区间可选． 故选：D． 9．（2025高一·吉林延边·阶段练习）用“二分法”求的零点时，初始区间可取 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将每个区间的端点代入函数求值,得出结果异号时,即可得出答案. 【详解】解： , 所以, 故零点在区间内. 故选C 【点睛】此题主要考查二分法求函数的零点这个知识点,解答此题的关键是对于连续函数而言,零点区间左右两个端点的函数值异号,函数零点在该区间内,此题属于基础题. 10．（2025高一·浙江·期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理计算求解. 【详解】设，显然函数图象是连续的， 则有，，，，， 所以，，，， 故区间可以作为初始区间，故A，C，D错误. 故选：B. 11．（2025高一·山东淄博·期末）用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数并判断其单调性，借助零点存在性定理即可得解. 【详解】， 令，在上单调递增，并且图象连续，，，在区间内有零点， 所以可以取的一个区间是. 故选：B 题型三：确定函数零点（方程根）所在区间 12．（25-26高一上·安徽·期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用二分法及零点存在定理即可判断. 【详解】根据， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 13．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算判断. 【详解】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 由，，，得在内有零点 所以经过3次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 14．（21-22高一上·安徽安庆·期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理可知结果. 【详解】根据已知，，，，， 根据二分法可知该近似解所在的区间是. 故选：C 15．（25-26高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上零点的近似解，经验证有．若给定精确度，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，对于函数在区间上，有，所以函数在上有零点．取区间的中点．因为计算得，所以函数在上有零点，故． 16．（2025高一·江西吉安·期末）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的定义和计算方法求解即可. 【详解】由函数的详解式可得函数的定义域为，且函数单调递增， 因为， ， ，， 结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为， 故选：B 17．【多选】（2025高一·全国·课后作业）用二分法求函数零点近似值时，第一次取的区间是，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由二分法求解步骤即可判断. 【详解】第二次所取的区间可能为，第三次所取的区间可能为，． 故选：AD 18．（25-26高一上·安徽·期末）设, 用二分法求方程在区间内近似解的过程中, 计算得到则方程的根落在区间 内 【答案】 【分析】根据零点存在性定理，结合题设条件即可得解． 【详解】因为，可得方程的根落在区间内． 故答案为：． 题型四：用二分法求方程的近似解 19．（25-26高一·全国·课后作业）设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下： 0.125 0.4375 0.75 2 0.49 3.58 依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由表格数据可知，，又因为函数在上连续，且函数在上单调递增，所以函数在区间上存在一个零点.又因为，所以方程的近似解（精确度为0.5）可以是区间上的任意一个数，观察四个选项可知C正确. 20．（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】根据二分法求方程的的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内. 结合选项可知，方程的近似解可取为1.8. 故选：C. 21．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二分法基本原则确定满足精确度的区间即可得到近似解. 【详解】，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 满足精确度，， 方程的一个近似解为. 故选：C. 22．（2025高一上·重庆开州·专题练习）那么方程的一个近似解（误差不超过0.02）为 （　　） A．1.437 5 B．1.375 C．1.25 D．1.422 【答案】D 【分析】根据二分法直接判断即可得解． 【详解】设近似解为， 由零点存在性定理及二分法计算数据： 因为，，所以， 又，所以， 又，所以， 又，所以， 又，所以， 因为 且，， 所以可取近似解． 故选：D 23．（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的正实数解的近似值为 .（精确度为0.1） 【答案】2.4 【分析】先由零点存在性定理得到的正实数解，再利用二分法进行求解，得到答案. 【详解】令，，， 又在上单调递增， 故在内有唯一的零点，记作， 由对称性可知，在内有一个零点，不满足正实数解，舍去， 取区间中点，∵，∴； 再取区间的中点，∵，∴； 再取区间的中点，∵，∴， 此时； 再取区间的中点，∵，∴， 此时且. 故方程的正实数解的近似值可取为2.4. 故答案为：2.4 题型五：二分法求解的过程 24．（25-26高一上·上海静安·月考）小丁同学用二分法求方程在内近似解的过程中，由计算可得，则小丁同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法的计算方法即可判断. 【详解】因为，则方程的解应该落在区间内， 根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即. 故选：D. 25．（25-26高一上·陕西榆林·月考）用二分法求函数在区间上的零点近似值，给定精确度时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用二分法的特征计算即可. 【详解】区间长度为1，经过一次操作区间长度缩为原来的一半， 所以经过n次操作，区间长度变为原来的， 用二分法求函数在区间上的零点近似值，要求精确度， 则，解得，即至少需要4次操作. 故选：C 26．（2025高一·四川成都·期末）用二分法求函数在内的唯一零点时，当精确度时，结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的步骤，即可得出结果. 【详解】二分法求函数在内的唯一零点时，当精确度时，结束计算， 根据二分法的步骤知当区间长度小于精确度时，便可结束计算. 所以当时，便可结束计算. 故选：B. 27．（25-26高一上·湖南·月考）已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】经过次二分以后区间长度为，要求近似解的绝对误差不超过0.02得，求出. 【详解】设至少需要计算中点函数值的次数为； 区间[0，5]长度为，经过次二分以后区间长度为，要求近似解的绝对误差不超过0.02，所以，化简得到， 因为，所以，所以； 故选：C 28．(多选)（2025高一·浙江宁波·阶段练习）某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（   ） A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58 【答案】BC 【分析】先确定函数的单调性，再根据零点存在定理及精确度确定零点所在区间，即可得解. 【详解】因为函数在其定义域上单调递增，结合表格可知， 方程的唯一近似解在，，，内， 又精确度0.1， 所以方程的近似解（精确度0.1）可取为，. 故选：BC 29．（2025高一·天津南开·阶段练习）某同学在借助题设给出的数据求方程的近似数（精确到0.1）时，设，得出，且，他用“二分法”取到了4个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为，那么他所取的4个值中的第二个值为 . 【答案】 【分析】利用“二分法”的定义，每次把原区间缩小一半，且保证方程的近似解不能跑出各个小的区间，从而得解. 【详解】根据“二分法”的定义，最初确定的区间是，又方程的近似解是， 故后4个区间分别是， 故它取的4个值分别为， 故答案为：. 30．（25-26高一·全国·单元测试）用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为 ． 【答案】7 【分析】根据二分法，n次此操作后，区间长度变为，再解即可. 【详解】区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过次此操作后，区间长度变为． 因为用二分法求函数在区间上的零点近似解， 要求精确度为0.01，所以． 因为，，所以，即所需二分区间的次数最少为7． 故答案为：7. 31．（2025高一·江苏南京·期中）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则第二次应计算的函数值是 ． 【答案】 【分析】根据零点的存在性定理，以及二分法的计算方法，得到第二次计算，即可的得到答案. 【详解】由函数的零点时，第一次经过计算得，， 即，可得零点， 根据二分法，第二次计算. 故答案为： 32．（25-26高一·全国·单元测试）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则 ． 【答案】1 【分析】由指数函数、反比例函数单调性判断已知函数区间单调性，即知区间零点个数，再由二分法则列方程，即可得. 【详解】根据指数函数与反比例函数的性质，函数在上单调递增， 所以函数在上至多有一个零点． 又由二分法依次确定了零点所在区间为， 对于区间，由二分法知对应下一个区间有或， 当区间为时，显然不成立，故下一个区间为， 所以，化简得． 故答案为：1 33．（25-26高一上·吉林长春·月考）某同学在借助题设给出的数据求方程的近似解（精确到0.1）时，设，得出，且，他用“二分法”取到了4个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为，那么他所取的四个值中的第三个值为 ． 【答案】1.875 【分析】用二分法求函数在区间内的零点，精确到，已知，，通过反复取中点并判断函数值符号，逐步缩小区间，直到零点所在区间的长度小于 ，即可得到精确到 的近似解. 【详解】根据二分法原理，方程的根即函数的零点， 初始区间为（因， 第一个值：取区间的中点，计算得： ，新区间为； 第二个值：取区间的中点，计算得： ，新区间为； 第三个值：取区间的中点，计算得：，新区间为； 第四个值：取区间的中点，计算得： ， 由于，新区间为。此时区间长度， 满足精度要求，且区间两端点的值精确到均为，因此得出近似解为 此时区间两端精确到均为，即近似解为. 综上，所取四个值依次为，第三个值为. 故答案为： 34．（24-25高一上·全国·课堂例题）用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 【答案】 【分析】由零点的存在性定理，用二分法，逐步计算，直到区间长度小于等于为止，最后所得区间内的任何一个数均可作为函数的零点. 【详解】经计算，， 所以函数在内存在零点， 取的中点， 经计算， 因为， 所以， 如此继续下去，如下表： 区间 中点值 中点函数近似值 因为， 所以函数在区间内误差不超过的一个零点近似值可取为． 35．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 【答案】(1)在单调递增，证明见解析 (2)2.6（内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解） 【分析】（1）根据题意结合单调性的定义分析证明； （2）根据单调性以及零点存在性定理可知在内有且仅有一个零点，结合二分法分析求解. 【详解】（1）在单调递增；证明如下： 任取，不妨设，， 因为，则，，， 可得，即， 所以在上单调递增. （2）因为函数在区间上是连续且单调的， 可知其在区间上的零点即为方程在区间上的解， 且，，可得在内有且仅有一个零点， 在区间上利用二分法列表如下： 区间 中点 中点函数值 区间长度 1 此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为0.1，故区间， 即内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程在上的一个近似解． 题型六：二分法的实际应用 36．（24-25高一上·全国·课后作业）随着社会的发展，电动车进入了千家万户，给我们的生活带来了极大的方便．某品牌电动车2018年平均每台电动车生产成本为1500元，并以纯利润标定出厂价．2019年开始，公司加强管理，降低生产成本．2022年平均每台电动车尽管出厂价仅是2018年出厂价的，但却实现了纯利润的高收益．若以2018年的生产成本为基数，用二分法求2019—2022年生产成本平均每年降低的百分数（精确度为0.01）（参考数据：）． 【答案】2019～2022年生产成本平均每年降低． 【分析】设2019～2022年生产成本平均每年降低的百分数为，由题意构造函数，结合零点存在性定理即可判断. 【详解】解：设2022年每台电动车的生产成本为元，依题意得， 解得，所以2022年每台电动车的生产成本约为924元． 设2019～2022年生产成本平均每年降低的百分数为， 根据题意，得，令，作出的对应值表： 60.15 则，故函数在区间内有零点． 取区间的中点，可得． 由，得， 取的中点，得， 因为，所以， 同理，又， 所以原方程的近似解可取为0.1125， 故2019～2022年生产成本平均每年降低． 37．（24-25高一上·全国·课前预习）在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，在这条线路上有200多根电线杆．想一想：维修工人应怎样最合理地迅速查出故障所在地呢？ 【答案】答案见详解 【详解】如图所示．工人首先从线路的中点C查起， 如果CB段正常，就选择CA的中点D测试； 如果DA段正常，就选择DC的中点E继续测试，， 像检修线路所用的这种方法称作二分法． 38．（24-25高一上·全国·课后作业）现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同.你能用一架天平尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？ (1)当时，若只称3次就可以找到此“坏乒乓球”，并得出它是偏轻还是偏重，该如何称？ (2)若已知“坏乒乓球偏轻”，当时，至少称几次就一定可以找到此“坏乒乓球”？ 【答案】(1)答案见详解 (2)至少称4次就一定可以找到这个“坏乒乓球” 【分析】（1）（2）由二分法的相关知识即可求解； 【详解】（1）第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况： ①若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中，第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个“好乒乓球”为另一边，放在天平上. （i）若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个“好乒乓球”放上天平一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重； （ii）若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是偏轻还是偏重，任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”. ②若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边偏重，从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面“好乒乓球”中取3个乒乓球补入左边，看天平，有三种可能. （i）若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重； （ii）若左边重，则“坏乒乓球”已从一边换到另一边，因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻； （ⅲ）若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个（左右各一），“坏乒乓球”是其中之一（暂不知是偏轻还是偏重）. 显然对于以上两种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是偏轻还是偏重. （2）将26个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面； 从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面； 将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面； 从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一个即是“坏乒乓球”. 综上可知，至少称4次就一定可以找到这个“坏乒乓球”. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二分法的六大热点题型 题型一：二分法概念的理解 2 题型二：求初始区间 3 题型三：确定函数零点（方程根）所在区间 3 题型四：用二分法求方程的近似解 5 题型五：二分法求解的过程 6 题型六：二分法的实际应用 8 【方法指导】 1.用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点 （3）计算; ①若（此时)，则就是函数的零点； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2—4. 2.利用二分法求方程的近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M. (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 3.关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即； “精确到”是指某个数的数位达到某个规定的数位， 如计算，精确到0.01，即0.33 （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分； 此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。 4.运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． 题型一：二分法概念的理解 1．（25-26高一上·广东佛山·期中）用二分法求函数零点时，所求到的零点（    ） A．一定是近似值 B．一定不是近似值 C．一定不是准确值 D．可以是准确值 2．（2025高一·全国·课后作业）下列关于二分法的叙述中，正确的是（    ） A．用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位 C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D．只能用二分法求函数的零点 3．（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   4．（2025高一·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是（    ）    A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．5，4 5．（多选）（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的有（   ） A． B． C． D． 6．(多选)（2025高一·湖南衡阳·阶段练习）下列函数中能用二分法求零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一·全国·课后作业）函数有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 ，函数的零点是 （用a表示）. 题型二：求初始区间 8．（24-25高一上·安徽·期末）用二分法求函数的零点时，初始区间可选为（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一·吉林延边·阶段练习）用“二分法”求的零点时，初始区间可取 （    ） A． B． C． D． 10．（2025高一·浙江·期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025高一·山东淄博·期末）用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 题型三：确定函数零点（方程根）所在区间 12．（25-26高一上·安徽·期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 13．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 14．（21-22高一上·安徽安庆·期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上零点的近似解，经验证有．若给定精确度，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 16．（2025高一·江西吉安·期末）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 17．（多选）（2025高一·全国·课后作业）用二分法求函数零点近似值时，第一次取的区间是，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·安徽·期末）设, 用二分法求方程在区间内近似解的过程中, 计算得到则方程的根落在区间 内 题型四：用二分法求方程的近似解 19．（25-26高一·全国·课后作业）设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下： 0.125 0.4375 0.75 2 0.49 3.58 依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（    ） A． B． C． D． 20．（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 21．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 22．（2025高一上·重庆开州·专题练习）那么方程的一个近似解（误差不超过0.02）为 （　　） A．1.437 5 B．1.375 C．1.25 D．1.422 23．（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的正实数解的近似值为 .（精确度为0.1） 题型五：二分法求解的过程 24．（25-26高一上·上海静安·月考）小丁同学用二分法求方程在内近似解的过程中，由计算可得，则小丁同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高一上·陕西榆林·月考）用二分法求函数在区间上的零点近似值，给定精确度时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 26．（2025高一·四川成都·期末）用二分法求函数在内的唯一零点时，当精确度时，结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·湖南·月考）已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 28．(多选)（2025高一·浙江宁波·阶段练习）某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（   ） A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58 29．（2025高一·天津南开·阶段练习）某同学在借助题设给出的数据求方程的近似数（精确到0.1）时，设，得出，且，他用“二分法”取到了4个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为，那么他所取的4个值中的第二个值为 . 30．（25-26高一·全国·单元测试）用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为 ． 31．（2025高一·江苏南京·期中）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则第二次应计算的函数值是 ． 32．（25-26高一·全国·单元测试）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则 ． 33．（25-26高一上·吉林长春·月考）某同学在借助题设给出的数据求方程的近似解（精确到0.1）时，设，得出，且，他用“二分法”取到了4个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为，那么他所取的四个值中的第三个值为 ． 34．（24-25高一上·全国·课堂例题）用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 35．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 题型六：二分法的实际应用 36．（24-25高一上·全国·课后作业）随着社会的发展，电动车进入了千家万户，给我们的生活带来了极大的方便．某品牌电动车2018年平均每台电动车生产成本为1500元，并以纯利润标定出厂价．2019年开始，公司加强管理，降低生产成本．2022年平均每台电动车尽管出厂价仅是2018年出厂价的，但却实现了纯利润的高收益．若以2018年的生产成本为基数，用二分法求2019—2022年生产成本平均每年降低的百分数（精确度为0.01）（参考数据：）． 37．（24-25高一上·全国·课前预习）在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，在这条线路上有200多根电线杆．想一想：维修工人应怎样最合理地迅速查出故障所在地呢？ 38．（24-25高一上·全国·课后作业）现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同.你能用一架天平尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？ (1)当时，若只称3次就可以找到此“坏乒乓球”，并得出它是偏轻还是偏重，该如何称？ (2)若已知“坏乒乓球偏轻”，当时，至少称几次就一定可以找到此“坏乒乓球”？ 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $