5.1.2 利用二分法求方程的近似解-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦“利用二分法求方程的近似解”，通过课前自主落实精确度定义、二分法原理及步骤，课堂结合题型研究深化概念理解与迁移应用，构建从基础到进阶的梯度学习支架，帮助学生衔接函数零点与方程求解的知识脉络。 其亮点在于以“逐步逼近”和“程序化思想”为核心，通过概念辨析题（如判断不可用二分法的函数）、实例求解（如求2x³+3x-3=0近似解）及实际应用（找假币、线路故障定位），培养数学思维（逻辑推理）与数学语言（表格规范表达）。学生能提升问题解决能力，教师可依托清晰结构高效实施教学。

1.2 利用二分法求方程的近似解 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解二分法的原理及其适用条件.　　　　　　 2.掌握二分法的实施步骤. 3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 1.满足精确度ε的近似解 设是方程f(x)=0的一个解,给定正数ε,若x0满足_________,就称x0是满足精确度ε的近似解. 2.二分法的定义 对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线, __________,则每次取区间的______,将区间__________,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法. |x0-|<ε f(a)·f(b)<0 中点 一分为二 3.二分法求方程近似解的步骤 给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下: (1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证__________________. (2)求区间(a,b)的中点c. (3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间: ①若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点; ②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈______),则令b=c; ③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈______),则令a=c. (4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值(可以是[a,b]中的任意一个值);否则重复步骤(2)~(4). f(a)·f(b)<0 (a,c) (c,b) |微|点|助|解| 　 (1)二分法的求解原理是零点存在定理. (2)二分法的基本思想:逼近思想和算法思想. (3)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的零点为变号零点时适用,对函数的零点为不变号零点时不适用.如函数f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解. (4)用二分法求函数的零点时,要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的较小的区间,这样可以减小计算量. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)二分法所求出的方程的解都是近似解. (　 ) (2)函数f(x)=|x|可以用二分法求零点. ( 　 ) (3)用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内. (　 ) (4)只有求函数的零点时才用到二分法. (　 ) × × × × 2.用二分法求函数f(x)=log2x-的零点时,初始区间可选为(　 ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) √ 3.下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是 (　 ) √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　二分法概念的理解 [例1]　(多选)下列函数中,有零点但不能用二分法求零点的近似值的是 (　 ) A.y=+1 B.y= C.y=x2+4x+8 D.y=|x| √ √ 解析:对于选项C,y=x2+4x+8=(x+4)2≥0,故不能用二分法求零点的近似值.对于选项D,y=|x|≥0,故不能用二分法求零点的近似值.易知选项A、B有零点,且可用二分法求零点的近似值.故选C、D. |思|维|建|模| 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断. (2)在该零点左右函数值异号. 只有满足上述两个条件,才可用二分法求函数零点. 针对训练 1.已知函数f(x)的图象如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为 (　 ) A.4,4　　　 B.3,4 C.5,4 D.4,3 √ 解析:图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左右两侧的函数值异号的零点有3个,所以可以用二分法求解的个数为3. 2.用“二分法”求f(x)=x2-6的零点时,初始区间可取 (　 ) A.(0,1)　　 B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) √ 解析:因为f(0)=02-6=-6,f(1)=12-6=-5,f(2)=22-6=-2,f(3)=32-6=3, f(4)=42-6=10,所以f(2)f(3)<0.故零点在区间(2,3)内. [例2]　用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解(精确度为0.1). 题型(二)　用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似解) 解:令f(x)=2x3+3x-3, 经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)f(1)<0, 所以函数f(x)在(0,1)内存在零点. 即方程2x3+3x=3在(0,1)内有解. 取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0, 又f(1)>0,所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解. 如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如表: (a,b) 中点c f(a) f(b) f (0,1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0 (0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0 (0.687 5,0.75) |0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1 由于|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1,所以0.75可作为方程的一个正实数近似解. 变式拓展 1.若本例中的“精确度为0.1”换为“精确度为0.05”结论又如何? 解:在本例的基础上,取区间(0.687 5,0.75)的中点x=0.718 75,因为f(0.718 75)<0,f(0.75)>0且|0.718 75-0.75|=0.031 25<0.05,所以x=0.75可作为方程的一个近似解. 2.若本例中的方程“2x3+3x-3=0”换为“x2-2x=1”其结论又如何呢? 解:设f(x)=x2-2x-1. ∵f(2)=-1<0,f(3)=2>0. ∴在区间(2,3)内,方程x2-2x-1=0有一解,记为x0. 取2与3的平均数2.5, ∵f(2.5)=0.25>0,∴2<x0<2.5;再取2与2.5的平均数2.25, ∵f(2.25)=-0.437 5<0, ∴2.25<x0<2.5;如此继续下去,有f(2.375)<0,f(2.5)>0⇒x0∈(2.375,2.5); f(2.375)<0,f(2.437 5)>0⇒x0∈(2.375,2.437 5). ∵|2.375-2.437 5|=0.062 5<0.1, ∴方程x2-2x=1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5. |思|维|建|模| 利用二分法求方程的近似解的步骤 (1)构造函数,利用零点存在定理确定方程的解所在的大致区间,通常取区间(n,n+1),n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M. (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间M的一个端点. 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 √ 1.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是 (　 ) A.[-2，1] B.[-1，0] C.[0，1] D.[1，2] 解析：∵f(-2)=-3<0，f(1)=6>0，f(-2)·f(1)<0，∴可以取区间[-2，1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 √ 2.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是 (　 ) A.x1 B.x2 C.x3 D.x4 解析：能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)<0.而x3左右两侧的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 3.(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有 (　 ) A.f(x)=5x+2 B.f(x)=log5x C.f(x)=x2+2x+1 D.f(x)=3x-2 解析：选项A，由f(-1)f(1)=-3×7<0，可得f(x)=5x+2在(-1，1)内存在零点;选项B，由ff(5)=-1×1<0，可得f(x)=log5x在内存在零点;选项C，f(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0，则其零点为-1，但不存在实数a，b满足f(a)f(b)<0，因而不能用二分法求此函数零点;选项D，由f(0)f(1)=-1×1<0， 可得f(x)=3x-2在(0，1)内存在零点. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 4.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72) >0，f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为 (　 ) A.0.68 B.0.72 C.0.7 D.0.6 解析：已知f(0.72)>0，f(0.68)<0，所以零点在区间[0.68，0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 5.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a-b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0=与真实零点的误差的取值范围为(　 ) A. B. C.[0，ε) D.[0，2ε) 解析：真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b-=-a=<， 所以误差的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 6.已知函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[a，b]，都有>0，且f(a)·f(b)<0.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，，又f=0，则函数f(x)的零点为(　 ) A. B. C. D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：因为对任意x1，x2∈[a，b]，都有>0，且f(a)·f(b)<0，所以f(x)在[a，b]上单调递增，且f(a)<0，f(b)>0.因为a+1>a恒成立， 所以解得所以f(x)的零点为=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.(5分)用二分法求方程x3-2x-5=0在区间(2，4)上的实数根时，取中点x1=3，则下一个有根区间是________.  解析：设函数f(x)=x3-2x-5，∵f(2)=-1<0，f(3)=16>0，f(4)=51>0， ∴下一个有根区间是(2，3). (2，3) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0，0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01，取端点值为近似解)的近似值，那么应将区间(0，0.1)等分的次数至少为_____.  解析：设等分的次数为n，由<0.01，得2n>10，所以n的最小值为4.即将区间(0，0.1)等分的次数至少为4. 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称_____次就可以发现假币.  解析：将12枚硬币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚硬币里面;将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚硬币里面;将这3枚硬币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币;若不平衡，则轻的那一枚即是假币，依据上述分析，最多称3次就可以发现这枚假币. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(10分)证明函数f(x)=2x+3x-6在区间(1，2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度为0.1). 解：由于f(1)=-1<0，f(2)=4>0，又函数f(x)是连续的增函数，所以函数f(x)在区间(1，2)内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈(1，2). 下面用二分法求解： 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 区间 中点的值 中点函数近似值 (1，2) 1.5 1.328 (1，1.5) 1.25 0.128 (1，1.25) 1.125 -0.444 (1.125，1.25) 1.187 5 -0.160 因为f(1.187 5)f(1.25)<0，且|1.187 5-1.25|=0.062 5<0.1，所以函数f(x)=2x+3x-6精确度为0.1的零点可取为1.25. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在? (精确到50 m) 解：如图所示， 可首先从中点C开始检查，若AC段正常，则故障在BC段; 再到BC段中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段; 再到BD段中点E检查，…，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半. 经过8次查找，可将故障范围缩小到50 m之内，即可迅速找到故障所在. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)已知函数f(x)=x3-x2+1. (1)证明方程f(x)=0在区间(0，2)内有实数解;(3分) 解：证明：∵易知f(x)的图象是连续不断的， 且f(0)=1>0，f(2)=-<0，∴f(0)f(2)=-<0.由零点存在定理可得方程f(x)=0在区间(0，2)内有实数解. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)=0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内.(7分) 解：取x1=(0+2)=1，得f(1)=>0，由此可得f(1)f(2)=-<0，下一个有解区间为(1，2). 再取x2=(1+2)=，得f=-<0， ∴f(1)f=-<0，下一个有解区间为. 再取x3==，得f=>0， ∴ff<0，下一个有解区间为. 故f(x)=0的实数解x0在区间内. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(10分)已知函数f(x)=3x+，方程f(x)=0在(-1，+∞)上是否有根?若有根， 有几个?请你用二分法求出方程f(x)=0根的近似值.(精确度为0.01) 解：方程f(x)=0在(-1，+∞)上有根， f(x)=3x+=3x+1-， 当x∈(-1，+∞)时，函数f(x)单调递增， 所以若方程f(x)=0有根，则最多有一个根. 因为f(0)=-1<0，f(1)=>0，所以取(0，1)为初始区间. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 用二分法逐步计算，列出下表： 区间 中点的值 中点函数近似值 (0,1) 0.5 0.732 (0,0.5) 0.25 -0.084 (0.25,0.5) 0.375 0.328 (0.25,0.375) 0.312 5 0.124 (0.25,0.312 5) 0.281 25 0.021 (0.25,0.281 25) 0.265 625 -0.032 (0.265 625,0.281 25) 0.273 437 5 -0.005 (0.273 437 5,0.281 25)     由于|0.273 437 5-0.281 25|<0.01. 所以原方程的近似解可取为0.281 25.(实际上[0.273 437 5，0.281 25]上的任意一个值均可以) 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $