寒假作业15 导数的综合应用6类重点必刷题型（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 函数作业15 导数的综合应用 一、对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 二、导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方。 三、利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 四、双变量不等式的处理策略： 含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式， 具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元. 五、极值点偏移问题 1、和型（或）问题的基本步骤： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系， 得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； 2、积型问题的基本步骤： 五、导数与数列的综合问题 导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 利用导数解决恒成立与能成立问题 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设函数，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）若不等式恒成立，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 3．设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 题型二 利用导数求函数的零点 1．已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：． 2．已知函数. (1)讨论的单调性. (2)求证：若，有且仅有一个零点. 题型三 利用导数证明不等式 1．（2025高二·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，证明：； (2)若恒成立，求a的取值范围． 2．（2025高二·全国·专题练习）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，证明：. 题型四 利用导数研究双变量问题 1．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型五 利用导数研究极值点偏移问题 1．（2025高二·全国·专题练习）已知函数.当时，若函数有两个不同的零点，. (1)求m的取值范围； (2)证明：. 2．已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)若有两个实数解，，证明：. 题型六 导数与数列的综合问题 1．（2025·江苏·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 2．（24-25高二下·贵州黔西·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 1．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知函数，其中，函数在上单调递减.记函数的最小值为，若，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·重庆·月考）如图，由函数与函数的部分图象可得一条封闭曲线，可以证明封闭曲线的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（   ） A．封闭曲线的弦长的最大值为 B．封闭曲线上任意一点到原点的距离 C．封闭曲线的面积等于 D．直线被封闭曲线截得弦长的最大值为 3．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是 ． 4．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知函数，若对任意的，总存在使得，则的取值范围为 ． 1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数. (1)判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； (2)若函数在区间上恒成立，求正整数的最小值； (3)求证：. 2．（25-26高二上·云南玉溪·月考）对于函数的导函数，对于给定实数m，若在定义域内存在实数，使得成立，则称是“m跳点”函数，并称是函数的“m跳点”. (1)若，是“m跳点”函数，求实数m的取值范围； (2)函数，是“跳点”函数，求实数t的取值范围； (3)函数，是“1跳点”函数，且在定义域内有且仅有两个不同的“1跳点”，求实数a的值. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 函数作业15 导数的综合应用 一、对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 二、导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方。 三、利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 四、双变量不等式的处理策略： 含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式， 具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元. 五、极值点偏移问题 1、和型（或）问题的基本步骤： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系， 得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； 2、积型问题的基本步骤： 五、导数与数列的综合问题 导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 利用导数解决恒成立与能成立问题 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设函数，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据题意分析得出，构造新函数利用函数导数求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 当时，， 由恒成立，则有恒成立， 因为的值域为， 所以不一定恒成立，故不成立， 当时，由，， 由，， 所以要使得恒成立，则即， 所以， 设， 则， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 所以有最小值， 所以的最小值是， 故选：A. 2．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）若不等式恒成立，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据给定条件，确定，借助同构思想转化为恒成立，再构造函数，由求出值. 【详解】不等式恒成立， 若，恒成立，而当时，此不等式不成立； 若，则，而当时，，不符合题意； 因此，，不等式， 令函数，求导得，函数在上递增， 不等式， 因此不等式在恒成立，令， 即恒成立，而，则， 又，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 则方程有唯一解，由，得，解得， 所以的值为. 故选：D 3．设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.15 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题 【分析】设，，把问题转化为存在唯一的整数，使得在的下方，然后利用导数结合数形结合思想求解即可. 【详解】函数，其中，设，，．因为存在唯一的整数，使得， 所以存在唯一的整数，使得在的下方，因为， 所以当时，，当时，，所以当时，． ①如图1所示，要求：，即，解得：． ②如图2所示，要求：，即，及，解得． 综上可得，实数a的取值范围为：． 故选:D 4．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】利用导数求出函数在时的最小值，结合题意即可求得答案. 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是， 故选：A 题型二 利用导数求函数的零点 1．已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，分类讨论，根据导数的符号确定单调区间； （2）方法一分离参数，转化为不等式关系，构造新函数，求导，确定单调性可证；方法二利用泰勒展开式，进行放缩证明. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）法一：因为在区间上存在唯一零点， 所以存在唯一的，有，化简得， 若要证明，则只需，即只需，， 不妨设，，求导得， 令，， 求导得， 所以当时，单调递增， 所以， 当时，单调递增， 所以，即当时，有不等式成立. 法二：由于，由（1）可知且所以， 由泰勒展式可得，解得， 所以． 综上所述：若在区间上存在唯一零点，则． 2．已知函数. (1)讨论的单调性. (2)求证：若，有且仅有一个零点. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、零点存在性定理的应用、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先确定定义域，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，对进行讨论，即可求出结果； （2）利用（1）中结果，再利用零点存在性原理，即可得出结果. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，解得或， 若，则当时，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若，则当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增； 若，则恒成立，所以在上单调递减； 若，则当时，，当或时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知当时，在上单调递减， 又，， 因此存在唯一使，则有且仅有一个零点； 当时，函数在处取得极小值， 令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，即，， 当时，，，则， 因此存在唯一使，则有且仅有一个零点； 当时，函数在处取得极小值， ， 同理存在唯一使，则有且仅有一个零点； 所以有且仅有一个零点. 题型三 利用导数证明不等式 1．（2025高二·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，证明：； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用二阶导数和零点的存在性定理可得存在唯一，使得，进而得出函数的单调性，求出最小值即可； （2）法一（参变分离）：根据分离参数法将不等式转化为，利用导数求出函数的最大值即可；法二（隐点效应）：由（1）得，则，解得，解不等式即可.另一方面根据放缩法可得，利用导数求出的最小值即可. 【详解】（1）当时，函数，定义域为， 则，令，则， 所以在上单调递增，因为， 所以存在唯一，使得，得， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，取最小值， 即. （2）法一（参变分离）：因为恒成立， 所以， 令，则， 又函数在上单调递减， 所以在上单调递减，且， 故当时，单调递增；当时，单调递减， 所以，所以. 法二（隐点效应）：由（1）得，， 故，即， 得，解得， 则，解得. 另一方面， 设，则， 令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 得，符合题意， 故实数a的取值范围为． 2．（2025高二·全国·专题练习）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）先对函数求导，再构造，由判断得的正负，进而可得的单调性； （2）解法一：先将不等式变形为，再分别构造，，分别求两个函数的最小值，进而可证明不等式；解法二：先将不等式变形为，再结合解法一可分别求不等式左边的最小值及不等式右边的最大值，进而可证明不等式. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，， 令，，所以在上单调递增，且， 故，在上单调递减，，在上单调递增； （2）法一（同构保值性）：要证，只需证，即 . 令，，当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 所以时等号成立； 再令，，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，故. 所以. 所以当时，，当且仅当取等，不等式得证. 法二（分而治之）：要证，只需证，即证. 由解法一可知等号成立，即，当且仅当时取等. 所以不等式左边，当且仅当时取等， 再由解法一可知，即，当且仅当时取等. 所以不等式右边，当且仅当时取等.故当时取等，不等式得证. 题型四 利用导数研究双变量问题 1．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究双变量问题 【分析】由题意得，构造函数，说明在上单调递增，得，换元并求导即可求解最小值. 【详解】因为，所以， 即，所以， 令，求导得， 所以在上单调递增， 而，即， 从而，所以， 令，， 求导得，，， 所以在单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 故选：C. 2．已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】导数中的极值偏移问题、利用导数研究双变量问题、利用导数研究函数图象及性质、利用导数证明不等式 【分析】先利用同构法与构造函数，将题设条件转化为，再利用导数研究函数的图象与性质，结合图像即可排除AD，利用特殊值计算即可排除B，再利用极值点偏移的解决方法即可判断C. 【详解】因为，， 所以，则，即， 令，则，， 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增, 所以， 对于，总有，即在上单调递增， 故，即在上恒成立， 所以对于，对于任意，在上取， 则， 所以当且趋向于0时，趋向于无穷大， 当趋向于无穷大时，趋向于无穷大，趋向于0，故趋向于无穷大， 所以的大致图像如图所示： . 对于AD，因为，，不妨设， 由图象可知，，故，故AD错误； 对于B，假设成立，取， 则，显然不满足，故B错误； 对于C，令，又， 则， 所以在上单调递增， 又，则，即， 又，则， 因为，所以，又，在上单调递增， 所以，即，故C正确. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于利用同构法转化等式，从而构造函数，并研究其图像的性质，由此判断得解. 3．若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】将不等式变式为，设后转化为恒成立，只需求函数的最大值即可. 【详解】因为， 所以，设， 则，， 令 恒成立，故单调递减， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减；. 故 所以，得到. 故选:A. 4．已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题 【分析】通过构造函数，利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析. 【详解】因为，所以， 令，所以，对函数求导： ，  由有：， 由有：，所以在单调递增，在 单调递减，因为，由有：， 故A错误； 因为，所以，由有：， 故D错误； 因为，所以， 因为，所以，所以，故C正确； 令 有： =，当，.所以 在单调递增，当时，， 即，又，所以， 因为，所以，因为在 内单调递减，所以，即，故B错误. 故选：C. 题型五 利用导数研究极值点偏移问题 1．（2025高二·全国·专题练习）已知函数.当时，若函数有两个不同的零点，. (1)求m的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）当时，可化为，令，求导得，求其单调性，找到最小值，根据题意求m的取值范围即可； （2）要证明，即证，只需要证，即证，令，根据导函数求其单调性，然后证明即可. 【详解】（1）当时，可化为， 令，求导得， 令，因为，所以，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以的最小值为， 当时，；当时，， 函数有两个不同的零点，， 即与在上有两个不同交点， 所以的取值范围是； （2）由（1）可知，要证明，即证， 因为，且在上单调递增， 所以只需要证，又因为， 所以只需要证，即证， 即证，两边同时除以，得， 化简为，因为， 所以只需证，即证 令， 求导得， 令， 求导得在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以当时，， 即在上恒成立，所以在上单调递减， 所以当时，， 即，故， 即，所以. 2．已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)若有两个实数解，，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究方程的根、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）不等式变形得到在上恒成立，构造函数，求出单调性和最小值，只需，解得； （2）不妨设，由（1）知方程，，，且，欲证，即证，构造差函数，得到差函数的单调性，结合（1）可知，所以，则. 【详解】（1）由可知，，， 即在上恒成立，， 令，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 由于在上单调递增， 故只需，解得； （2）方程有两实数解，， 即有两实数解，不妨设， 由（1）知方程要有两实数解，则，即， 同时，，， 由（1）知有两根，即有两根， 则有， 欲证，即证，， 令，， 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 令， 在上恒成立， 故在上单调递增， 所以，故， 又，，结合在单调递增，， 所以，则. 题型六 导数与数列的综合问题 1．（2025·江苏·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)； (2)； (3) 证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出及，由点斜式求得切线方程； （2）由分析需满足条件，得到，再说明时不满足条件； （3）由（2）得，令可得，累加证明. 【详解】（1）当时，，，即切点坐标为， 又可得，即切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立， 所以 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以， 所以，得； 当时，，， 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 且时，，即， 令，则，所以， 即， 所以 . 2．（24-25高二下·贵州黔西·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 【答案】(1)函数的递增区间为，递减区间为； (2)； (3)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）直接利用函数的导数判断函数的单调区间； （2）将不等式转化为恒成立，进而再构造函数，故只需求出的最大值，即可得所求值的范围； （3）先证明不等式，再根据不等式进行放缩并累加求和即可证明不等式. 【详解】（1）因为函数，函数的定义域为，. 当时，，因为，所以，. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数的递增区间为，递减区间为. （2）由，即，得在上恒成立； 令，. 由得，即，所以当，. 所以在上单调递增，在单调递减，所以. 所以，故a的取值范围为 （3）先证明不等式，令，. 所以在单调递减，所以，即不等式成立. 令，即，所以. 所以，，，. 上述n个式子相加得 . 故，成立. 1．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知函数，其中，函数在上单调递减.记函数的最小值为，若，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由已知得，设，则，令，根据导数求得，进而得出恒成立，令，利用作商法得出的最大值为，则，再利用基本不等式即可求解． 【详解】， 设，则，令， ， 当，则， 所以，得，则在单调递减， 当，则， 所以，得，则在单调递增， 所以，即， 所以恒成立， 只需大于的最大值， 令， 则， 可得，则的最大值为， 所以， 因为，则， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 故选：C． 2．（24-25高二下·重庆·月考）如图，由函数与函数的部分图象可得一条封闭曲线，可以证明封闭曲线的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（   ） A．封闭曲线的弦长的最大值为 B．封闭曲线上任意一点到原点的距离 C．封闭曲线的面积等于 D．直线被封闭曲线截得弦长的最大值为 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】求已知函数的极值点、求点到直线的距离、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求函数被直线截得的弦长，判断A真假；求得的零点计算可判断B真假；构造四边形内含于图形，求四边形的面积，判断C的真假；求曲线上的点到直线距离的最大值，判断D的真假. 【详解】对于A选项，有. 设，则， 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 且，， 所以存在，使得，另. 所以上两点，，，所以. 所以的弦长最大值大于，故A错误； 对于B选项，由，可得， 令，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以在内有一个零点，另一个零点为， 所以存在到原点的距离，故B错误； 对于D选项，因为直线与直线垂直， 设曲线的切线为， 由，所以切点为，所以切线方程为. 直线与的距离为. 所以直线被截得弦长的最大值为即.故D正确； 对于C选项，由D选项可知， 设函数在点处的切线与直线平行， 由D选项可知，点到直线的距离为， 设函数在点处的切线与直线平行， 同理可知，点到直线的距离为， 所以的面积，C错. 故选：D. 3．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由题可得，令，求导可判断的单调性，进而可得对任意的恒成立，参变分离，利用导数求得函数的最值可求得的取值范围. 【详解】因为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则，所以在上单调递增， 又对任意的恒成立，， 所以对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，则，即的取值范围为． 故答案为： 4．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知函数，若对任意的，总存在使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由题意得，，进而利用导数分析两种函数的单调性，进而求得最小值，即可求解. 【详解】由题意得，， 由，， 则， 设，，则， 所以函数在上单调递增，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 由，， 则， 所以函数在上单调递增， 则， 由，则，即， 所以的取值范围为. 故答案为：. 1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数. (1)判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； (2)若函数在区间上恒成立，求正整数的最小值； (3)求证：. 【答案】(1)有且仅有1个零点，理由见解析 (2)3 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数研究函数单调性，结合零点存在定理判断零点个数； （2）先利用当时不等式成立，得，然后利用导数法证明在区间上恒成立； （3）先由（2）得，于是，利用累加法证明左边；再令，利用导数法研究单调性，求得，于是，利用累加法证明右边，即可证明. 【详解】（1）在区间上的零点个数为1，理由如下： ，当时，， 故在区间上单调递增，又因为， 故在区间上有且仅有1个零点. （2）当时，，于是， 下面证明：在区间上恒成立. 令， 则， 由（1）可知在区间恒成立， 于是在区间上单调递增，所以， 综上，正整数的最小值为3. （3）先证明左边： 由（2）知，在区间上恒成立，即， 于是 ， 累加得： . 再证明右边： 令，则， 由于时，，故存在唯一的，使得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即， 所以， 累加得：， 综上，. 2．（25-26高二上·云南玉溪·月考）对于函数的导函数，对于给定实数m，若在定义域内存在实数，使得成立，则称是“m跳点”函数，并称是函数的“m跳点”. (1)若，是“m跳点”函数，求实数m的取值范围； (2)函数，是“跳点”函数，求实数t的取值范围； (3)函数，是“1跳点”函数，且在定义域内有且仅有两个不同的“1跳点”，求实数a的值. 【答案】(1) (2) (3)或. 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究方程的根、函数新定义 【分析】（1）根据“跳点函数”的定义得到，即，利用二次函数性质即可求解. （2）根据“跳点函数”的定义得到，即，利用正弦函数性质即可求解. （3）根据“跳点函数”的定义得到，即，转化为函数有两个零点，利用导数求得单调性，即可求解. 【详解】（1），由题意知：，即， ∴. （2），由题意知：，即， ∵，∴. （3），由题意知：， ∴，令，，转化为有两个零点，∵ ， ∴或；； ∴在，单调递增，在单调递减；   由三次函数性质知：若有两个零点，则或， 解得或. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $