选择性必修第二册 第5章 第2课时 导数的四则运算法则与简单复合函数的导数-【玩转假期必刷题】2024年高二数学寒假作业

第二课时 导数的四则运算法则与简单复合函数的导数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 新课内容学习 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【课标要求】 1.能利用导数的运算法则求函数的导数. 2.掌握导数的四则运算法则及应用. 3.理解并能应用复合函数的求导法则求导. 4.综合运用函数的求导法则解决简单的问题. 导数的运算法则 (1)和差的导数 [f(x)±g(x)]'= . (2)积的导数 ①[f(x)·g(x)]'= ; ②[cf(x)]'= . (3)商的导数 f(x) g(x) 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁'=f' (x)g(x)-f(x)g'(x) [g(x)]2 (g(x)≠0). 【例1】 (1)下列导数运算正确的是 ( ) A.2x '=x·2x-1 B.(sinxcosx+1)'=cos2x C.(lgx)'=1x D.x-1 '=x-2 【解析】 对于A,2x '=2xln2,A错误; 对于B,(sinxcosx+1)'=(sinx)'=cosx+ sinx(cosx)'=cos2x-sin2x=cos2x,B正 确;对于C,(lgx)'= 1xln10 ,C错误; 对于D,x-1 '=-x-2,D错误. 故选B. 【答案】 B (2)(多选)曲线y=x3+11在点P(1,12) 处的切线与坐标轴交点的坐标是 ( ) A.(0,-9) B.(-3,0) C.(0,9) D.(15,0) 【解析】 ∵y'=3x2,∴y'|x=1=3,切线 方程为y-12=3(x-1),即y=3x+9, 令x=0,得y=9.令y=0,得x=-3. 【答案】 BC (3)已知函数f(x)=x3+ax+b的图象 在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y- 5=0,则a= ,b= . 【解析】 由f(x)=x3+ax+b,得f'(x) =3x2+a,由题意,得f'(1)=3+a=2, 解得a=-1.又在切线方程中,当x=1 时,y=-3,所以f(1)=13-1×1+b= -3,解得b=-3. 【答案】 -1 -3 复合函数的概念 一般地,对于两个函数y=f(u)和u= g(x),如果通过变量u,y可以表示成x 的 函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u =g(x)的复合函数,记作y= . 【例2】 (1)(选题)下列函数不是复合函数 的是 ( ) A.f(x)= 13 x B.f(x)=cosx C.f(x)=log4(x+1)D.f(x)=lnx 【解析】 f(x)=log4(x+1)是复合函数,是 由y=log4u和u=x+1复合而成的.选项 A、B、D对应的函数都不是复合函数. 【答案】 ABD (2)下列函数不是复合函数的是 ( ) A.y=2x+π6+sinx B.y=sin2x+π6 C.y=ln(x+2) D.y=cos3x-π4 【解析】 函数y=sin2x+π6 ,y=ln(x +2),y=cos3x-π4 是复合函数,函数y=2x+π6+sinx 不 是复合函数. 【答案】 A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·74· 复合函数的导数 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复 合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函 数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 y'x= ,即y对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的 . 【例3】 (1)函数y=x2cos2x的导数为 ( ) A.y'=2xcos2x-x2sin2x B.y'=2xcos2x-2x2sin2x C.y'=x2cos2x-2xsin2x D.y'=2xcos2x+2x2sin2x 【解析】 y'=(x2)'cos2x+x2(cos2x)' =2xcos2x+x2(-sin2x)·(2x)' =2xcos2x-2x2sin2x. 【答案】 B (2)已知fx =x3+sin3x,则其导函数 f'x = ( ) A.3x2+3cosx B.x3+3cosx C.x3+3cos3x D.3x2+3cos3x 【解析】 f'(x)=3x2+cos3x·(3x)'= 3x2+3cos3x,故选D. 【答案】 D (3)曲线y=e x 2在点(4,e2)处的切线与坐 标轴所围三角形的面积为 ( ) A.4e2 B.2e2 C.e2 D.12e 2 【解析】 由 导 数 的 几 何 意 义,切 线 的 斜率 k=y'|x=4= 1 2e x 2|x=4= 1 2e 2, 所以切线方程为y-e2=12e 2(x-4), 令x=0,得y=-e2;令y=0,得x=2. 所以切线与坐标轴所围三角形的面积为 S=12×2e 2=e2. 【答案】 C 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 新课随堂演练 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.函数f(x)=(x+1)2 的导函数为 ( ) A.f'(x)=x+1 B.f'(x)=2x+1 C.f'(x)=x+2 D.f'(x)=2x+2 2.函数y=2x(lnx+1)在x=1处的切线 方程为 ( ) A.y=4x+2 B.y=2x-4 C.y=4x-2 D.y=2x+4 3.曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处 的切线斜率为8,则实数a的值为( ) A.-6 B.6 C.12 D.-12 4.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的 切线方程为y=2x,则a= ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.已知函数fx =lnx-3x+f'1 x2,则 f1 = ( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 6.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与 直线y=0和y=x围成的三角形面积为 ( ) A.13 B. 1 2 C.23 D.1 7.若f(x)=(2x+a)2,且f'(2)=20,则 a= . 8.曲线y=sin2x在点M(π,0)处的切线方 程是 . 9.设函数f(x)=cos(3x+φ)(0<φ<π), 若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ= . 10.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x) =e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2) 处的切线方程是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·84· 8.【解析】 曲线y=xn 在x=2处的导数y'=nxn-1=n ·2n-1=12,解得n=3. 【答案】 3 9.【解析】 f'(x)+g'(x)=-sinx+1≤0, 所以sinx≥1,又sinx≤1,所以sinx=1, 所以x=π2+2kπ ,k∈Z. 【答案】 x|x=π2+2kπ ,k∈Z 10.【解析】 曲线y=1x 和y=x2在它们的交点坐标是 (1,1),两条切线方程分别是y=-x+2和y=2x- 1,它们与x轴所围成的三角形的面积是34. 【答案】 34 第二课时 导数的四则运算法则与 简单复合函数的导数 【新课内容学习】 知识点1 (1)f'(x)±g'(x) (2)①f'(x)g(x)+f(x)g'(x) ②cf'(x) 知识点2 f(g(x)) 知识点3 y'u·u'x 乘积 【新课随堂演练】 1.D 【解析】 ∵f(x)=(x+1)2=x2+2x+1 ∴f'(x)=2x+2,故选D. 2.C 【解析】 由已知y'=2(lnx+1)+2x·1x=2lnx +4,则y'|x=1=4,又x=1时,y=2,则切线方程为y =4x-2.故选C. 3.A 【解析】 由y=x4+ax2+1,得y'=4x3+2ax,则 曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处的切线斜率 为-4-2a=8,得a=-6.故选A. 4.D 【解析】 令f(x)=ax-ln(x+1),∴f'(x)=a- 1 x+1. 由题意,得f'(0)=2.解得a=3. 5.D 【解析】 因为f x =lnx-3x+f'(1)x2,则f'(x) =1x-3+2f' (1)x,所以f' 1 =1-3+2f' 1 ,则 f'(1)=2,所以f x =lnx-3x+2x2,所以f 1 = ln1-3+2=-1.故选D. 6.A 【解析】 ∵y'=(-2x)'e-2x =-2e-2x, ∴k=-2e0=-2.因此切线方程 为y-2=-2(x-0), 即y=-2x+2.如图所示. ∵y=-2x+2与y=x的交点为 2 3 ,2 3 ,y=-2x+2与x 轴的 交点坐标为(1,0), ∴S=12×1× 2 3= 1 3. 故选A. 7.【解析】 f(x)=4x2+4ax+a2,因为f'(x)=8x+4a, 所以f'(2)=16+4a=20,所以a=1. 【答案】 1 8.【解析】 y'=(sin2x)'=cos2x·(2x)'=2cos2x,所 以k=y'|x=π=2.又过点(π,0),所以切线方程为y= 2(x-π),即2x-y-2π=0. 【答案】 2x-y-2π=0 9.【解析】 f'(x)=- 3sin(3x+φ), f(x)+f'(x)=cos(3x+φ)- 3sin(3x+φ) =2sin 3x+φ+ 5π 6 . 若f(x)+f'(x)为奇函数,则f(0)+f'(0)=0, 即0=2sinφ+ 5π 6 ,∴φ+5π6=kπ(k∈Z). 又∵φ∈(0,π),∴φ= π 6. 【答案】 π6 10.【解析】 设x>0,则-x<0,因为x≤0时,f(x)= e-x-1-x,所以f(-x)=ex-1+x,又因为f(x)为 偶函数,所以f(x)=ex-1+x,f'(x)=ex-1+1, f'(1)=e1-1+1=2,所以切线方程为y-2=2(x- 1),即2x-y=0. 【答案】 2x-y=0 第三课时 函数的单调性 【新课内容学习】 知识点1 1.单调递增 单调递减 2.快 陡峭 平缓 知识点2 定义域 零点 【新课随堂演练】 1.A 【解析】 因为f'(x)>0,所以f(x)在(a,b)上为 增函数,所以f(x)>f(a)≥0. 2.B 【解析】 函数y=12x 2-lnx的定义域为(0,+∞), y'=x-1x= (x-1)(x+1) x ,令y'≤0,则可得0<x≤1. 3.B 【解析】 B项中,y=xex,y'=ex+xex=ex(1+ x),当x∈(0,+∞)时,y'>0,∴y=xex在(0,+∞)内 为增函数. 4.A 【解析】 y'=a(3x2-1)=3a x- 33 · x+ 33 , 当- 33<x< 3 3 时,x- 33 x+ 33 <0, 要使y=a(x3-x)在 - 33 ,3 3 上单调递减,只需y' <0,即a>0. 5.C 【解析】 设h(x)=f(x)-g(x),∵f'(x)-g'(x)>0, ∴h'(x)>0,∴h(x)在[a,b]上是增函数,∴当a<x< b时,h(x)>h(a),∴f(x)-g(x)>f(a)-g(a),即 f(x)+g(a)>g(x)+f(a). 6.BD 【解析】 由导函数的图象可知,导函数f'(x)的图 象在x轴下方,即f'(x)<0,故原函数为减函数,并且 递减的速度是先快后慢.所以f(x)的图象如图所示: f(x)<0恒成立,没有依据,故 A不正确;B表示(x1 -x2)与[f(x1)-f(x2)]异号,即f(x)为减函数.故 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·57·