寒假作业12 数列的综合应用9类重点必刷题型（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业12 数列的综合应用 一、求通项公式的常用方法 1、观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 2、公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 3、累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： 4、累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 二、求前n项和的常用方法 1．公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． 2、分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 3、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 4、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 5、倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 题型一 公式法求数列的通项公式 1．（25-26高二上·浙江·月考）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）设的公差为d，的公比为，由题意得，联立可得和的值，即可得的通项公式，进而可得和的值，联立可得d值，代入公式，即可得答案. （2）由（1）可得，根据裂项相消求和法，即可得答案. 【详解】（1）设的公差为d，的公比为， 由题意得，则，即， 代入可得，所以. 所以，， 又，解得， 所以. （2）由（1）可知， 所以. 2．（25-26高三上·江苏·月考）已知是公差为2的等差数列，是公比为4的等比数列，满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)记，的前n项和分别为，，若，求m的值. 【答案】(1)，. (2) 【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据题意结合等差、等比数列通项公式可得，，即可得结果； （2）根据等差、等比数列求和公式可得，，代入求解即可. 【详解】（1）由题意得：，， 解得，， 所以，. （2）由（1）可得，， 若，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以m的值为15. 题型二 累加法与累乘法求数列的通项公式 1．（25-26高二上·江苏淮安·月考）在数列中，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】（1）利用“累加法”求数列的通项公式. （2）利用“裂项求和法”求数列的前项和. 【详解】（1）因为在数列中，， 当时，， 所以； 又符合上式，所以； （2）由（1）知, 则 ， 所以. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，，求数列的通项公式. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项 【详解】由得，所以当时， ，满足上式，所以数列的通项公式为. 题型三 已知前n项和，求通项公式 1．（25-26高二上·陕西宝鸡·月考）记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项的和，求及表达式 【答案】(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用求出即可； （2）利用裂项相消法求出. 【详解】（1）因为，所以当时， 两式作差得， 又，符合上式，故； （2）由（1）得，， 故， 故. 2．（重庆市重点高中2026届高三上学期12月联考检测数学试题）已知数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据与的关系即可求出通项公式. （2）根据错位相减法及等比数列前项和公式即可求出数列和. 【详解】（1）已知①，当时，②， ①-②得：，所以. 当时， ，所以，满足. 因此数列是首项，公比的等比数列，通项公式为. （2）， ， ， 相减可得：， 其中，是首项为，公比为的等比数列，其和为： 所以， 所以． 题型四 构造法求数列通项公式 1．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数n的值. 【答案】(1) (2)10 【难度】0.65 【知识点】构造法求数列通项、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）通过对递推式配凑构造出等比数列，即可求出数列的通项公式； （2）先求出数列的通项公式，再由题意得到新数列的通项公式，利用分组求和可求得其前项和，代入验证即可求得正整数的最小值. 【详解】（1）由，得, 即数列是以为首项，2为公比的等比数列， 故所以; （2）由题意得, 从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项， 按原来顺序组成新数列，可知, 则,可通过分组求和，即一个等比数列求和和一个常数列求和， 故, 故问题转化为求解满足的最小正整数， 由可知时，;时，, 故使得不等式成立的最小正整数的值为10. 2．已知数列满足，，求出数列的通项公式. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】构造法求数列通项、由递推关系证明等比数列、由递推关系式求通项公式 【详解】因为，令，即，得，，故，因为，所以，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，得，所以. 题型五 其它法求数列的通项公式 1．（25-26高二上·重庆江北·月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、等比中项的应用、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式、等比中项性质列方程组求解即可. （2）通过分组求和法，结合等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为（）. 由题意知，即，解得， 所以， 故数列的通项公式为：. （2）由题意得. 所以 . 故数列的前项和为：. 2．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知公差不为0的等差数列的首项为3，等比数列的前三项为，，. (1)求，的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】分组（并项）法求和、写出等比数列的通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列与等比数列综合应用 【分析】（1）设的公差为，的公比为，根据等比中项的性质和等差数列的通项公式可求出，从而可得和的通项公式； （2）由分组求和得到并化简即可证明. 【详解】（1）设的公差为，的公比为. 由题意得，得，得， 解得（舍去）. 故， ，，所以. （2）证明：由题意得， 所以 . 题型六 分组求和 1．（2025·陕西西安·模拟预测）等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前2n项和， (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)最大值，最小值. 【难度】0.4 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）通过基本量运算求得公差和公比，得到通项公式； （2）将分组，分别利用等差数列前项和公式和错位相减法求得各组的和，得到； （3）利用化简和式，讨论的奇偶得到最值. 【详解】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为， 则，解得， 所以，； （2）由（1），，， 所以 令， 即①， 则②， ①-②得： ， 整理得 所以； （3）因为，设 所以 ， 当为奇数时，，由反比例函数性质可知随增大而增大， 故； 当为偶数时，，由反比例函数性质可知随增大而减小， 故， 又当时，，介于与之间， 所以的最大值为，最小值为. 题型七 裂项相消法求和 1．（2025·云南昭通·模拟预测）在正项数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可； （2）利用裂项相消法进行运算证明即可. 【详解】（1）由，得， 因为数列为正项数列，所以，即， 又因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）可知，，即， 则， ∴， ∵，，∴． 题型八 错位相减求和 1．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列的前项和为，且，数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）由可得数列是等比数列，即可求得，由得数列是等差数列，即可求得. （2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）数列的前项和为，，， 当时，， 则，而当时，，所以， 所以是首项为1，公比为3的等比数列，则； 数列中，，，则数列是等差数列， 而，所以公差，则， 所以数列的通项公式分别是：，. （2）由（1）可得， 则， 则有， 两式相减得：， 从而得， 所以数列的前项和. 2．（25-26高二上·河北·月考）已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)，，； (2). 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）根据等差数列前项和公式即可求出，求出公比，再利用等比数列通项公式和求和公式即可得到； （2）写出，再利用错位相减法即可得到答案. 【详解】（1）因为数列的通项公式为，故， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列， 所以． 因为数列为公比大于0的等比数列，且， 设公比为，则，解得或（舍去）， 所以． 所以． （2）由（1）可得， 所以①． ②． ①②得， 所以． 题型九 其它法求和 1．（24-25高二上·陕西安康·期末）设正项等比数列的公比为（为已知常数），且数列满足. (1)求的值； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】数列求和的其他方法、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用等比数列的定义以及题目已知条件即可求得数列与以及的乘积关系，从而得出中相邻项的比例，从而得解.。 （2）利用（1）结论以及题目的初始条件，分别求出数列的奇数项和偶数项通项公式，最后利用通项公式计算的前2n项和即可. 【详解】（1）因为是公比为的等比数列，故有， 由，可得， 则， 由此可得， 即； （2）由（1）知，且和， 设数列中奇数项的公比为，偶数项的公比也为。 奇数项：，形成等比数列，首项，公比为， 因此，奇数项通项为，其中 偶数项：，形成等比数列，首项，公比为， 因此，偶数项通项为，其中. 当时，，，此时； 当时，奇数项和， 偶数项和， 此时； 所以 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解和应用等比数列的性质，以及如何利用给定条件构建数列的递推关系。通过将数列的乘积关系转化为比例关系，我们得以求解出数列的通项公式，进而求解出特定和式的值。在处理类似问题时，理解数列性质和递推关系的转换至关重要。 2．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知是数列的前项和，且. (1)判断数列是否为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和的最小值. 【答案】(1)不是等差数列，； (2). 【难度】0.85 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、数列求和的其他方法、判断等差数列、确定数列中的最大（小）项 【分析】（1）根据已知及求数列的前3项，再由等差数列定义判断，进而求数列的通项公式； （2）根据（1）及通项公式判断数列各项的符号，即可确定前项和的最小值. 【详解】（1）由已知，得， 所以，则数列不是等差数列， 当时，， 所以. （2）由（1）知， 当时，；当时，， 数列的前项和的最小值为. 1．（25-26高三上·重庆·月考）已知数列的前项和为，满足，记表示不超过的最大整数，设，则数列的前20项和为（    ） A．209 B．210 C．211 D．212 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据公式可得数列的递推公式，利用等比数列的概念，可得通项，结合题意，结合等差数列的求和公式，可得答案. 【详解】当时，；当时，，所以，故. 又因为，所以，所以，从而，得， 当时，；当时，，所以数列的前20项和为. 故选：C. 2．（25-26高二上·福建宁德·月考）各项均不为零的等差数列对任意的正整数满足：，为数列的前项和，则下面正确的是（   ） A．首项 B．公差 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】当时，，进而结合题意得即可判断B；再结合时得，最后根据等差数列通项公式与前项和公式计算判断CD. 【详解】因为①， 所以当时，②， 因为等差数列的各项均不为零 所以，得，即， 所以公差，故B正确； 当时，，即 所以，整理得，解得或， 当时，，，满足条件， 当时，，与条件矛盾. 所以首项，故A错误； 所以等差数列的通项公式为，故C错误； 所以，故D错误. 故选：B 3．（25-26高二上·江苏南京·月考）设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系证明数列是等差数列、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】由题意可得，结合已知可推出当时，，从而求得，利用即可求得答案. 【详解】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则由可得， 即，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：B. 4．（25-26高二上·江苏·期末）记数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】首先根据等差数列求和公式求出，即可得到，再利用裂项相消法计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 5．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】由与关系可得，然后可得及，最后由可得答案. 【详解】因，则， 两式相减可得：. 又，则，从而. 当时，； 当时， . 综上可得：，若.对任意恒成立，则. 故实数的最小值为3. 故答案为：. 6．（2025·江苏·模拟预测）已知正项等比数列中，，，则数列的前20项和为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】根据等比数列基本量的计算得公比为，进而得，再结合裂项求和法求解即可. 【详解】由题，设正项等比数列的公比为， 因为正项等比数列满足，， 所以，即，解得或（舍）， 所以， 设， 所以的前20项和为 故答案为： 7．（22-23高三上·天津滨海新·期中）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正切函数的诱导公式、特殊角的三角函数值、利用等差数列的性质计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到，，代入所求从而得到结果. 【详解】由题意得：，解得：， ，解得：， 所以. 故答案为：. 1．（25-26高三上·山东济宁·月考）已知等差数列满足，数列满足，则的前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和 【分析】先根据条件求解出的通项公式，再利用构造法求解出的通项公式，最后根据错位相减法求解出. 【详解】设的公差为，因为，所以，所以， 所以，所以， 所以且，所以是首项为公差为的等差数列， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：D. 2．（2025高二·全国·专题练习）斐波那契数列满足，，，又知高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过x的最大整数，则 ． 【答案】842 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、函数新定义 【分析】利用，得到，进而求出. 【详解】由，可得，，，，， 由， 得， 即有， 因为，可得， 所以，则． 故答案为：842． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业12 数列的综合应用 一、求通项公式的常用方法 1、观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 2、公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 3、累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： 4、累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 二、求前n项和的常用方法 1．公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． 2、分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 3、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 4、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 5、倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 题型一 公式法求数列的通项公式 1．（25-26高二上·浙江·月考）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 2．（25-26高三上·江苏·月考）已知是公差为2的等差数列，是公比为4的等比数列，满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)记，的前n项和分别为，，若，求m的值. 题型二 累加法与累乘法求数列的通项公式 1．（25-26高二上·江苏淮安·月考）在数列中，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，，求数列的通项公式. 题型三 已知前n项和，求通项公式 1．（25-26高二上·陕西宝鸡·月考）记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项的和，求及表达式 2．（重庆市重点高中2026届高三上学期12月联考检测数学试题）已知数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 题型四 构造法求数列通项公式 1．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数n的值. 2．已知数列满足，，求出数列的通项公式. 题型五 其它法求数列的通项公式 1．（25-26高二上·重庆江北·月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 2．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知公差不为0的等差数列的首项为3，等比数列的前三项为，，. (1)求，的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：. 题型六 分组求和 1．（2025·陕西西安·模拟预测）等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前2n项和， (3)求的最大值和最小值． 题型七 裂项相消法求和 1．（2025·云南昭通·模拟预测）在正项数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，设数列的前n项和为，证明：． 题型八 错位相减求和 1．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列的前项和为，且，数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 2．（25-26高二上·河北·月考）已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和； (2)令，求数列的前n项和. 题型九 其它法求和 1．（24-25高二上·陕西安康·期末）设正项等比数列的公比为（为已知常数），且数列满足. (1)求的值； (2)若，求的前项和. 2．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知是数列的前项和，且. (1)判断数列是否为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和的最小值. 1．（25-26高三上·重庆·月考）已知数列的前项和为，满足，记表示不超过的最大整数，设，则数列的前20项和为（    ） A．209 B．210 C．211 D．212 2．（25-26高二上·福建宁德·月考）各项均不为零的等差数列对任意的正整数满足：，为数列的前项和，则下面正确的是（   ） A．首项 B．公差 C． D． 3．（25-26高二上·江苏南京·月考）设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏·期末）记数列的前项和为，若，则 . 5．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为 . 6．（2025·江苏·模拟预测）已知正项等比数列中，，，则数列的前20项和为 ． 7．（22-23高三上·天津滨海新·期中）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 1．（25-26高三上·山东济宁·月考）已知等差数列满足，数列满足，则的前项和为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高二·全国·专题练习）斐波那契数列满足，，，又知高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过x的最大整数，则 ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $