寒假作业10 等差数列7类重点必刷题型（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业10 等差数列 1．等差数列的有关概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． 2．等差数列的通项公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）通项公式的推广：． 3．等差中项 （1）若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． 4．等差数列的前n项和 （1）设等差数列的公差为，其前项和． （2）．数列是等差数列⇔（为常数）． （3），…也成等差数列，公差为． （4）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 等差数列的定义 1．（25-26高二上·安徽·月考）已知数列满足，且，则（   ） A．60 B．62 C．64 D．66 2．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的公差为1，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京房山·期末）数列满足，且，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高二下·江西·月考）在等差数列中，，，则（   ） A．2015 B．2017 C．2019 D．2021 5．（25-26高二上·江苏·期中）在数列中，，，则的值为 . 6．（24-25高二下·云南昆明·月考）已知数列满足，，则 ． 题型二 求数列的通项公式 1．（25-26高二上·河北·月考）在等差数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北秦皇岛·月考）已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 . 4．（25-26高二上·重庆·月考）已知在等差数列中，且，则数列的通项公式 ． 5．（24-25高二上·福建龙岩·月考）已知数列满足则数列的通项公式为 . 题型三 等差中项 1．（25-26高二上·福建厦门·月考）数列是等差数列，，则（   ） A．12 B．40 C．6 D．20 2．（25-26高二上·山东泰安·月考）已知是方程的两个根，则的等差中项为（    ） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．10 D．15 4．（25-26高二上·陕西西安·月考）为等差数列，若，下列不是定值的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知等差数列满足，则等于（   ） A．9 B．6 C．3 D．2 题型四 等差数列的前n项和 1．（25-26高二上·福建·月考）已知数列满足，若数列的前5项依次成等差数列，从第4项起依次成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 2．（25-26高二上·安徽·月考）已知等差数列的前项和为，其中，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的的值构成的集合. 3．（24-25高二上·宁夏·期末）设为等差数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式和前项和； (2)若，，成等比数列，求的值． 4．（25-26高二上·云南玉溪·月考）若数列的首项为1，且. (1)求证：是等比数列； (2)若，求数列的前n项和. 题型五 与等差数列有关的最值问题 1．（25-26高二上·江苏·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（25-26高二上·天津·月考）已知等差数列的前项和为，，，则当取得最小值时，的值为 . 4．（2025高二·湖南·专题练习）设等差数列的前项和为，公差为，且满足，则当最大时， ． 题型六 与等差数列的前n项有关的性质 1．（25-26高二上·重庆·月考）在等比数列 中，成等差数列，则 （   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知，分别为等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．51 B．57 C．63 D．66 5．（25-26高三上·河北·月考）设等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 6．（25-26高二上·吉林四平·月考）已知等差数列的前项和为，若，则 . 题型七 综合应用 1．（25-26高二上·河北·月考）正项数列满足，对一切，有；为数列的前n项和. (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若数列前n项和，求数列的通项公式. 2．（2025·四川内江·一模）已知是等差数列的前项和，. (1)求； (2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 3．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）设为等差数列的前项和，已知. (1)求的通项公式; (2)求，并求的最大值及此时的值. 4．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前20项和. 1．（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 2．（25-26高二上·湖南·月考）已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二上·福建宁德·月考）各项均不为零的等差数列对任意的正整数满足：，为数列的前项和，则下面正确的是（   ） A．首项 B．公差 C． D． 4．（25-26高三上·安徽合肥·月考）数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，若存在正整数，使，则 . 1．（25-26高二上·江苏南京·月考）（多选题）若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”，则下列正确的是（   ） A．若是“数列”则为假命题 B．若是“数列”且是等差数列，则单调递增 C．若是“数列”且单调递减，则是等比数列 D．若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是50 2．（25-26高二上·陕西西安·期中）若数列满足，则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是 ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业10 等差数列 1．等差数列的有关概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． 2．等差数列的通项公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）通项公式的推广：． 3．等差中项 （1）若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． 4．等差数列的前n项和 （1）设等差数列的公差为，其前项和． （2）．数列是等差数列⇔（为常数）． （3），…也成等差数列，公差为． （4）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 等差数列的定义 1．（25-26高二上·安徽·月考）已知数列满足，且，则（   ） A．60 B．62 C．64 D．66 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据递推关系得到，再求出，结合等差数列的通项公式求出即可. 【详解】因为，所以， 两式作差得， 故数列中的偶数项构成的新数列是以为首项，为公差的等差数列， 又，，得， 故为偶数时，故. 故选：A 2．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的公差为1，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据已知关系，应用等差数列的通项公式求基本量，再写出通项公式. 【详解】若数列公差为，因为，所以， 又，解得，所以. 故选：C 3．（24-25高二下·北京房山·期末）数列满足，且，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】利用定义求等差数列通项公式 【分析】由等差数列定义得，代入计算即可. 【详解】因为，所以， 而，从而数列是首项为8、公差为的等差数列， 所以， 所以. 故选：C. 4．（24-25高二下·江西·月考）在等差数列中，，，则（   ） A．2015 B．2017 C．2019 D．2021 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列通项公式求数列中的项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据给定条件，求出及公差，进而求出通项公式即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 由，得，整理得，解得， 因此等差数列的通项公式， 所以. 故选：B 5．（25-26高二上·江苏·期中）在数列中，，，则的值为 . 【答案】201 【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】先由递推关系分析得到数列是以为首项，以4为公差的等差数列，再由等差数列的性质可得. 【详解】因为，所以数列是以为首项，以4为公差的等差数列， 所以. 故答案为：201 6．（24-25高二下·云南昆明·月考）已知数列满足，，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用等差数列通项公式求数列中的项、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】由得数列是以2为公差，首项为1的等差数列，进而求解. 【详解】由题意有：，所以数列是以2为公差，首项为1的等差数列， 所以， 故答案为：. 题型二 求数列的通项公式 1．（25-26高二上·河北·月考）在等差数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据求出公差，再求出，再利用等差数列通项公式即可得到答案. 【详解】设等差数列的公差为． 因为，所以，解得． 所以， 所以． 故选：D. 2．（25-26高二上·江苏·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据是等差数列，根据条件及公式，求出，代入公式，即可得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 则. 故选：B. 3．（25-26高二上·河北秦皇岛·月考）已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的性质先求出及，再根据即可求出 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列的性质可知， 由可得，所以公差， 所以数列的通项公式. 故答案为： 4．（25-26高二上·重庆·月考）已知在等差数列中，且，则数列的通项公式 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列基本量的计算求得公差，可求通项公式. 【详解】设等差数列公差为，由题意：， 又，所以，则； 故等差数列的通项公式为. 故答案为：. 5．（24-25高二上·福建龙岩·月考）已知数列满足则数列的通项公式为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】由递推关系变形，可转化为为等差数列，据此可求出通项公式. 【详解】， ，即， 解得， 由题意知，，故由可得， 所以是以为首项，为公差的等差数列， ， 故 故答案为： 题型三 等差中项 1．（25-26高二上·福建厦门·月考）数列是等差数列，，则（   ） A．12 B．40 C．6 D．20 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用 【分析】应用等差中项的性质求. 【详解】由题设，可得. 故选：D 2．（25-26高二上·山东泰安·月考）已知是方程的两个根，则的等差中项为（    ） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】由韦达定理和等差中项的概念可得. 【详解】由韦达定理可得， 所以的等差中项为1. 故选：A 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．10 D．15 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用 【分析】利用等差中项的性质可得出的值，进而利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】由等差中项的性质可得，解得， 所以. 故选：C 4．（25-26高二上·陕西西安·月考）为等差数列，若，下列不是定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和、等差中项的应用 【分析】利用等差数列的性质逐项判断即可. 【详解】因为数列为等差数列， 则，解得， 对于A选项，； 对于B选项，无法确定的值； 对于C选项，； 对于D选项，. 故选：B. 5．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知等差数列满足，则等于（   ） A．9 B．6 C．3 D．2 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差中项即可求解. 【详解】由等差数列可知：， 故选：C. 题型四 等差数列的前n项和 1．（25-26高二上·福建·月考）已知数列满足，若数列的前5项依次成等差数列，从第4项起依次成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，其中. (2)，其中. 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设数列的前5项的公差为，求得，，再设从第4项起构成的等比数列的公比为，得到，，得到，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）知数列求得的通项公式，分和，两种情况讨论，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）解：由数列满足， 因为数列的前5项依次成等差数列，从第4项起依次成等比数列， 设数列的前5项的公差为，可得，， 设从第4项起构成的等比数列的公比为，可得，则， 所以，解得， 当时，， 当时，， 所以数列的通项公式为，其中. （2）解：由（1）知数列的通项公式为，其中， 当时，； 当时，， 所以数列的前项和为，其中. 2．（25-26高二上·安徽·月考）已知等差数列的前项和为，其中，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的的值构成的集合. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和、解不含参数的一元一次不等式 【分析】（1）运用等差数列的通项公式及前项和公式建立方程组即可得解； （2）利用等差数列的前项和公式求出，再解一元二次不等式，结合为正整数，即可得解. 【详解】（1）由可知，，， 联立两式，解得，故， 因此数列的通项公式为； （2）因为， 故即， 解得，故， 即满足条件的的值构成的集合为. 3．（24-25高二上·宁夏·期末）设为等差数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式和前项和； (2)若，，成等比数列，求的值． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、等比中项的应用 【分析】（1）将条件关系利用等差数列的通项公式和前项和公式转化为的方程，解方程求，再结合公式求出答案； （2）根据等比中项的性质，结合（1）的结论列方程求即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以数列的通项公式为，数列的前项和为． （2）因为，，成等比数列，所以， 即，解得， 又，所以. 4．（25-26高二上·云南玉溪·月考）若数列的首项为1，且. (1)求证：是等比数列； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【分析】（1）将变形为，然后利用等比数列定义证明即可； （2）先求得，然后结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为，所以， 所以是以首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）可知，所以； 所以，所以 . 题型五 与等差数列有关的最值问题 1．（25-26高二上·江苏·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和的最值 【分析】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大. 【详解】因为数列为等差数列， 因为 所以 ； 由 . 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B. 2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】先利用与等差数列前项和公式分析项的符号，再利用分析项的符号，最后判断的最小值即可. 【详解】由等差数列前项和公式得：， 因为，所以，即， 因为，所以， 又因为，可得，即， 由，可知数列前6项为负，第7项开始为正， 因此当取得最小值时，. 故选：C. 3．（25-26高二上·天津·月考）已知等差数列的前项和为，，，则当取得最小值时，的值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和的最值 【分析】根据等差数列的前项和的性质和项的符号分析即可. 【详解】在等差数列中，， 所以由，得，则， 由，得，则， 由此可知，，说明等差数列的前项为负，第项开始为正， 因此在时取得最小值. 故答案为： 4．（2025高二·湖南·专题练习）设等差数列的前项和为，公差为，且满足，则当最大时， ． 【答案】14或15 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】方法1：根据等差数列的前项和公式将展开，判断公差的正负，然后解不等式组即可求得结果；方法2：根据等差数列的前项和公式将展开，得到，然后代入中得到关于n的二次函数，进而可求得结果. 【详解】方法1： 由，得，即． 由可知，解不等式组 即得． 又，故当或时，最大． 方法2：由，可得，所以． 由并结合对应的二次函数的图象知，当或时，最大． 方法3：由，得，即． 由可知，故当或时，最大． 故答案为：14或15. 题型六 与等差数列的前n项有关的性质 1．（25-26高二上·重庆·月考）在等比数列 中，成等差数列，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用 【分析】利用等差数列的等差中项的定义及等比数列的通项公式计算即可． 【详解】设等比数列 的公比为，则， 故， 由成等差数列，得， 即由于等比数列 中，， 故可得，解得：或， 由于，故即得， 故． 故选：D. 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知，分别为等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为，分别为等差数列，的前n项和， 所以， ， 所以. 故选：A. 3．（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、两个等差数列的前n项和之比问题、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质及求和公式得解. 【详解】根据等差中项的性质， 可得， 再由等差数列的前n项和公式可得， 所以 ， 故选：D 4．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．51 B．57 C．63 D．66 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据等差数列的前项和性质：片段和仍然成等差数列计算 【详解】等差数列的前项和为，，， ，，，成等差数列， ，，， ，则数列的前三项为，是公差为的等差数列，故，. 故选：D 5．（25-26高三上·河北·月考）设等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为是等差数列，且，，所以，，所以. 故选：A. 6．（25-26高二上·吉林四平·月考）已知等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】56 【难度】0.65 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】利用等差数列前项和的性质结合等差中项即可求解 【详解】因为是等差数列，所以成等差数列， 则，即，解得. 故答案为： 题型七 综合应用 1．（25-26高二上·河北·月考）正项数列满足，对一切，有；为数列的前n项和. (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若数列前n项和，求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析，， (2). 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项、求等差数列前n项和 【分析】（1）变形得，则求出，再作差得即可证明； （2）首先根据等差数列前项和公式得，从而得到，最后降次作差即可得到答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以数列是常数列，设（c为常数），则, 所以，所以数列是等差数列， 因为，所以，所以． （2）由（1）得， 所以． 当时，． 当时，， 因为不满足上式，所以数列的通项公式为 2．（2025·四川内江·一模）已知是等差数列的前项和，. (1)求； (2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意列出方程组，求得，即可写出通项； （2）先求出的表达式，将两个数列的项依次列出，再合并后从小到大排列推得，化简数列的通项，利用裂项相消法计算即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因，可得， 解得， 故； （2）由（1）得，则，则. 因数列的项依次为：，而数列的项依次为：， 将两数列的所有项从小到大排列依次为：，故其通项为. 则， 故数列的前项和为： . 3．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）设为等差数列的前项和，已知. (1)求的通项公式; (2)求，并求的最大值及此时的值. 【答案】(1). (2)，当且仅当时，的最大值为. 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，通过已知条件求出公差，进而得到通项公式和前项和公式； （2）根据前项和公式的函数特点求出其最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，解得，所以的通项公式是. （2）， 当且仅当时，的最大值为. 4．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前20项和. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【分析】（1）利用数列前项和与第项的关系求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）在数列中，， 当时，， 两式相减得， 则， 由可得， 所以当，依然成立， 的通项公式为. （2）由（1）得 则 ， 所以数列的前20项和. 1．（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用等差数列的性质计算、累乘法求数列通项 【分析】根据题意结合等差数列性质可得，利用累乘法运算求解即可. 【详解】因为数列为正项等差数列， 则，即， 可得，，，， 累乘可得. 故选：B. 2．（25-26高二上·湖南·月考）已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用赋值思想，结合等差数列的定义及通项公式来表达并加以判断即可. 【详解】令，则，因为， 所以，即为等差数列，故充分性成立. 反之，若为等差数列，设公差为， 则， 当时，，故必要性不成立. 故选：A. 3．（25-26高二上·福建宁德·月考）各项均不为零的等差数列对任意的正整数满足：，为数列的前项和，则下面正确的是（   ） A．首项 B．公差 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】当时，，进而结合题意得即可判断B；再结合时得，最后根据等差数列通项公式与前项和公式计算判断CD. 【详解】因为①， 所以当时，②， 因为等差数列的各项均不为零 所以，得，即， 所以公差，故B正确； 当时，，即 所以，整理得，解得或， 当时，，，满足条件， 当时，，与条件矛盾. 所以首项，故A错误； 所以等差数列的通项公式为，故C错误； 所以，故D错误. 故选：B 4．（25-26高三上·安徽合肥·月考）数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，若存在正整数，使，则 . 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】利用分组求和法求，且当时，，当时，，可发现位于两数之间，从而求. 【详解】由于， 则， 当时，，当时，， 根据， 则， 即此时的. 故答案为： 1．（25-26高二上·江苏南京·月考）（多选题）若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”，则下列正确的是（   ） A．若是“数列”则为假命题 B．若是“数列”且是等差数列，则单调递增 C．若是“数列”且单调递减，则是等比数列 D．若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是50 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】判断数列的增减性、数列新定义、判断等差数列、由定义判定等比数列 【分析】根据新定义数列，计算判断A，结合等差数列，单调性，周期数列计算判断BCD． 【详解】对于A，若是“数列”，当时，， ，若 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 故命题若是“数列”则为假命题，A正确； 对于B，若是“数列”且是等差数列，设公差为， 当时，，即， 当时，，则，，即， 此时，数列不单调递增，B错误； 对于C，若是“数列”且单调递减， 当时，，因为数列单调递减，所以. 当时，，因为数列单调递减，所以. 当时，，因为数列单调递减，所以. 可知数列不是等比数列，C错误； 对于D，若是“数列”且是周期数列，假设周期为， 当时，， 当时，，所以或 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 这样数列值会越来越大（非周期），所以 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 同理按此规律计算可得数列的取值可能是， 所以的元素个数最多是，D正确． 故选：AD． 2．（25-26高二上·陕西西安·期中）若数列满足，则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是 ． 【答案】100 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算、基本不等式求积的最大值 【分析】根据题设易知正项数列为等差数列，公差为，应用等差数列前n项和公式得，应用基本不等式求最大值. 【详解】由题意，正项数列为“调和数列”，则（为常数）， 所以正项数列为等差数列，公差为， 则，则， 则（当且仅当时等号成立）， 所以的最大值是100. 故答案为：100. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $