寒假作业07 数列中的奇偶项问题（5知识点+4大考点+分层巩固培优）高二数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 数列中的奇偶项问题 一、等差数列中 ①若项数为偶数，则；；． ②若项数为奇数，则；；． 二、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 三、项数问题 ①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项； ②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项； ③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数； 四、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 五、其他类型 ①数列中连续两项和或积的问题：或 ②含有类型 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 等差数列中的 1．（24-25高二下·山西晋中·月考）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 2．（24-25高二上·河北沧州·月考）设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（    ） A．60 B．70 C．75 D．85 3．（25-26高二上·江苏连云港·月考）等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差 ． 4．（24-25高二·全国·课堂例题）若等差数列的项数为，则 ． 题型二 等比数列中的 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 2．（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 3．（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 5．（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 题型三 含奇偶项求和（不分类讨论） 1．（25-26高二上·浙江宁波·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足. (1)证明数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 2．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知数列为等差数列，记分别为数列的前项和．． (1)求的通项公式； (2)求． 3．（24-25高二下·福建·期末）已知数列满足，，记， (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 4．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式． 5．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知数列满足，则数列的前9项和 ． 题型四 含奇偶项求和（分类讨论） 1．已知数列满足． (1)求证：是等比数列； (2)设求数列的前项和； 2．已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 3．已知为公差不为零的等差数列，，记、分别为数列、的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 1．已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 3．（25-26高二上·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 5．（24-25高二下·广东·月考）已知首项为3的数列满足，则数列的前项和 . 6．（23-24高二下·云南保山·期末）已知的前项和是，且． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前项和． 7．（24-25高二下·内蒙古赤峰·月考）为等差数列，，记，分别为数列，的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 8．（24-25高二下·福建·期末）已知数列满足，，记， (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 9．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列满足，，，. (1)数列满足：，试判断是否为等比数列，请说明理由； (2)数列满足：，当时，求数列的前n项和 10．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 11．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，满足，数列满足，． (1)求数列、的通项公式； (2)，求数列的前项和； 1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足 (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 2．已知数列的前项和为，且，数列满足且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 3．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且．数列满足，其前项和为． (1)求； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 4．（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求. (3)设，求的值（其中表示不超过的最大整数）. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 数列中的奇偶项问题 一、等差数列中 ①若项数为偶数，则；；． ②若项数为奇数，则；；． 二、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 三、项数问题 ①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项； ②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项； ③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数； 四、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 五、其他类型 ①数列中连续两项和或积的问题：或 ②含有类型 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 等差数列中的 1．（24-25高二下·山西晋中·月考）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数. 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 2．（24-25高二上·河北沧州·月考）设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（    ） A．60 B．70 C．75 D．85 【答案】A 【分析】设等差数列的奇数项的和为P，偶数项之和为Q，由等差数列的性质列方程组，可求出P、Q的值，从而可得出结果. 【详解】设， 因为数列是等差数列，且公差，， 所以，解得， 所以. 故选：A. 3．（25-26高二上·江苏连云港·月考）等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差 ． 【答案】 【分析】根据等差数列偶数项和与奇数项和的差即可求解. 【详解】由题意，①， ②， ②①可得，，即， 故答案为： 4．（24-25高二·全国·课堂例题）若等差数列的项数为，则 ． 【答案】 【分析】根据，与联立求出，即可化简得到结果. 【详解】因 联立解得： 故. 故答案为：. 题型二 等比数列中的 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以． 故选：D. 2．（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 【答案】 2 9 【分析】利用等比数列奇数项和与偶数项和的关系，及前n项和公式列式计算即可得解. 【详解】在等比数列中，由，得，解得， 设这个数列共有项，则，解得，所以这个等比数列的项数为9. 故答案为：2；9 3．（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【分析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 【答案】2 【分析】根据题意可得，结合等比数列的性质运算求解. 【详解】设， 由题意可知：，解得， 所以． 故答案为：2. 5．（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 【答案】/0.5 【分析】设数列共有项，根据等比数列的性质得出奇偶项的和之间的关系，即可求得答案. 【详解】设数列共有项， 由题意得，， 则， 解得， 故答案为： 题型三 含奇偶项求和（不分类讨论） 1．（25-26高二上·浙江宁波·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足. (1)证明数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据与的关系运用作差法和等差数列的定义即可判定等差数列，求得其通项公式； （2）根据数列的通项公式，对分奇偶两类分别求和，利用裂项相消法和公式法计算即得. 【详解】（1）因为，所以（）. 相减得，即. 所以. 因为是正项数列，所以， 所以，即. 故是等差数列. 令，得，解得， 所以. （2）（2）因为，则， 即. 所以， 所以. 2．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知数列为等差数列，记分别为数列的前项和．． (1)求的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，可求与，可明确数列的通项公式. （2）利用分组求和法结合等差、等比数列的求和公式求解. 【详解】（1）设的公差为． 可得． 由， 解得. 所以． （2） ． 3．（24-25高二下·福建·期末）已知数列满足，，记， (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）通过数列奇数项的递推关系，利用构造法求得数列相邻两项的比值，证明等比数列. （2）通过数列的通项公式得的通项公式，进而得的通项公式，分析通项公式得特点，分组求和、错位相减得前项和. 【详解】（1）证明：因为，，， 所以， 即，， 又， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知， 所以. 则， 设，其前n项和为， 则， ， 两式相减得， 所以， 所以. 4．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】由递推关系两式相除得到，则奇数项和偶数项分别成等差数列，分为奇数和为偶数得到通项公式. 【详解】因为，所以，两式相除可得． 由得， 当为奇数时，； 当为偶数时，． 所以 5．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知数列满足，则数列的前9项和 ． 【答案】70 【分析】根据题意求得，得到数列是首项为，公差为4的等差数列，数列是首项为，公差为4的等差数列，求得的通项公式，分为奇数和偶数，结合等差数列求和公式，即可求解． 【详解】由，可得， 两式相减，可得， 又由且，可得， 所以数列是首项为，公差为4的等差数列， 数列是首项为，公差为4的等差数列， 即n为奇数时，，n为偶数时，， ． 故答案为：70． 题型四 含奇偶项求和（分类讨论） 1．已知数列满足． (1)求证：是等比数列； (2)设求数列的前项和； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，求得，结合等比数列的定义，即可得证； （2）由（1）得，求得，分为偶数和为奇数，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）证明：由数列满足 可得，即， 又由，可得，所以数列是以为首项公比的等比数列. （2）解：由（1）得，即，可得， 当为偶数时， ； 当为奇数时，， 综上可得，数列的前项和为. 2．已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列的通项与前n项和关系，分和两种情况分析，得数列从第二项开始为常数列，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得到，从而得到数列的通项公式，然后分奇偶项讨论，求得求数列的前项和． 【详解】（1）①， ∴当时，令得②， 由①-②可得，，即， ∴数列从第二项开始为常数列，，可得； 当时，，计算可得，经检验不符合上式， ； （2）∵由（1）知， ， 当为偶数时，， 当为奇数时，． ∴综上，． 3．已知为公差不为零的等差数列，，记、分别为数列、的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由此可得出数列的通项公式； （2）分为偶数、奇数两种情况讨论，当为偶数时，可得出，利用等差数列的求和公式可求出的表达式；当为奇数时，可得出，可得出的表达式.综合可得出的表达式. 【详解】（1）设数列的公差为，由，则， 即，解得， 所以． （2）由可知， 当为偶数时， ． 当为奇数时，． 综上所述，． 1．已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 则，所以， 因为，即，则， 等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得， 所以. 故选：B 2．（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】/ 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 3．（25-26高二上·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 【答案】 【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比. 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 【答案】56 【分析】只需根据等差数列前项和性质求得的值，再结合等差数列性质即可求解. 【详解】当为偶数时，由题意可知， 所以，所以， 此时，解得， ，解得， 则． 故答案为：56. 5．（24-25高二下·广东·月考）已知首项为3的数列满足，则数列的前项和 . 【答案】 【分析】根据题意有，即数列的奇数项是以首项为，公差为4的等差数列，同时数列的偶数项是以首项为，公差为4的等差数列，分组求和即可. 【详解】依题意，，两式相减可得，. 因为，且，故， 所以数列的奇数项是以首项为，公差为4的等差数列， 同时数列的偶数项是以首项为，公差为4的等差数列， 所以当为偶数时， ； 同理可得，当为奇数时， . 综上所述， 故答案为： 6．（23-24高二下·云南保山·期末）已知的前项和是，且． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由递推公式得，有，即可求解； （2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，分别由等差数列求和及裂项相消法求和即可． 【详解】（1）由①得，当时，②， 联立①②得， 所以有， 因为，所以． （2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为， 由（1）知 则， ， 综上：． 7．（24-25高二下·内蒙古赤峰·月考）为等差数列，，记，分别为数列，的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2)当为偶数时，；当为奇数时，. 【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意用表示出，再由，，列式解方程即可求出，进而求出的通项公式； （2）先考虑为偶数时，由等差数列的前项和公式求出，当为奇数时，利用进行求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则， 则， 解得：，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 当为偶数时， . 当为奇数时，. 所以当为偶数时，；当为奇数时，. 8．（24-25高二下·福建·期末）已知数列满足，，记， (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）通过数列奇数项的递推关系，利用构造法求得数列相邻两项的比值，证明等比数列. （2）通过数列的通项公式得的通项公式，进而得的通项公式，分析通项公式得特点，分组求和、错位相减得前项和. 【详解】（1）证明：因为，，， 所以， 即，， 又， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知， 所以. 则， 设，其前n项和为， 则， ， 两式相减得， 所以， 所以. 9．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列满足，，，. (1)数列满足：，试判断是否为等比数列，请说明理由； (2)数列满足：，当时，求数列的前n项和 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由数列递推式构造数列，其中，根据数列的首项是否为0进行分类讨论，即可判断得出结论； （2）由（1）求得，则可得，化简数列的通项公式，得到，再分为奇偶，利用等差等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）当时不是等比数列；当时是等比数列. 理由如下： 因为，，故， 又，故， 当时，，故不是等比数列； 当时，，故是以为首项，3为公比的等比数列. （2）当时，由（1）可知，所以， 所以， 当为偶数时，； 当为奇数时，. 综上所述， 10．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据给定条件，依次求出，列出不等式求解即得. （2）①设，由已知借助恒成立求出，进而求出；②利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）依题意，，， 则，由，得，解得， 而，所以. （2）①由数列是公差为的等差数列，设， 又， 于是对任意恒成立， 即对任意恒成立， 则，又，解得，所以，从而； ②由①知， 故 . 11．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，满足，数列满足，． (1)求数列、的通项公式； (2)，求数列的前项和； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用可得，从而可得为等比数列，故可得其通项公式，利用累加法可求的通项公式； （2）利用分组求和法可求，注意就的奇偶性分类讨论. 【详解】（1）在数列中，当时，解得； 当时，由，则，即， 因为，故， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列即. 在数列中，，即， 则当时，，，，， 由累加法得， 所以， 当时，也符合上式，所以. （2）由（1）可得， 当为偶数时， = ； 当为奇数时， = ， 综上可得. 1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足 (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由及，即可求； （2）①设及求出，确定；②分为奇偶讨论求和. 【详解】（1）， 所以， 因为，所以，即， 解得，又，所以. （2）①因为， 所以， 因为是公差为的等差数列，所以可设为， 所以， 所以，又，所以解得 所以； ②， 当时， ； 当时， ； 综上，，即. 2．已知数列的前项和为，且，数列满足且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）先根据和的关系计算通项公式，再根据数列的递推公式证明的奇数项和偶数项分别是等比数列，进而得通项公式； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和； 【详解】（1）因为，故当时，； 当时，，满足上式， 所以，； 因为，所以，所以， 所以. （2）当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得：， ， ， 当为偶数时，， 记 ， ． 3．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且．数列满足，其前项和为． (1)求； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【详解】（1）当时，有， 所以，得， 当时，有， 即，而， 两式作差，得， 化简得， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是. 4．（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求. (3)设，求的值（其中表示不超过的最大整数）. 【答案】(1)； (2)； (3)88. 【分析】（1）由题设可得，，即数列奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为2，再结合，可得数列为以1为首项，1为公差的等差数列，进而求解即可； （2）由题意可得，进而结合分组求和求解即可； （3）利用裂项相消法与累加法证得，从而得解. 【详解】（1）由，， 则， 两式相减得，， 所以数列奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为2， 又，且，即， 所以数列为以1为首项，1为公差的等差数列， 则. （2）由题意， 所以 . （3）由（1）知，则， 由，，得，， 故，，，， 以上各式相加，得. 由，，得，， 故，，，， 以上各式相加，得， 则. 综上所述，则. 【点睛】关键点点睛：本题第3问关键在于利用，，，得到，进而求解即可. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $