寒假作业11 等比数列6类重点必刷题型（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业11 等比数列 1．等比数列的有关概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． 2．等比数列的通项公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． （2）等比数列的通项公式推广形式： 3．等比中项 （1）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． （2）等比中项的推广：若时，则，特别地，当时，． 4．等比数列的前n项和 （1）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 （2）为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 等比数列的定义 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知等比数列的公比不为1，且成等差数列，则数列的公比为（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高二下·安徽亳州·期末）已知数列满足，则（   ） A．64 B．128 C．256 D．512 3．（2024·黑龙江·二模）在公差不为0的等差数列中，，，是公比为2的等比数列，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 4．（2024·贵州·三模）已知数列满足且，则（    ） A． B． C． D．1 5．（23-24高二下·北京石景山·期末）已知数列是等比数列，且，，则 . 6．已知等比数列{}中，，则{}的公比q＝ ． 题型二 求数列的通项公式 1．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广西·月考）已知是递增的等比数列，若，，则 ． 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式 . 5．（25-26高二上·陕西西安·月考）数列的前项和为，且满足.则的通项公式为 . 6．（25-26高三上·江苏·月考）已知数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式为 ． 7．（25-26高二上·上海·开学考试）已知数列中，，，那么该数列通项公式 题型三 等比中项 1．（25-26高二上·福建·月考）在等比数列中，若是方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 2．（25-26高二上·湖南长沙·月考）设，，若9是与的等比中项，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 3．（25-26高二上·陕西延安·月考）若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知等差数列的公差，若，，构成等比数列，则 ． 5．（25-26高三上·上海·开学考试）若为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 题型四 等比数列的前n项和 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏·期末）已知为等比数列，且，则（    ） A．189 B．93 C．63 D．33 3．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东青岛·月考）设数列的前n项和为，若，则＝（   ） A．－63 B．－31 C．31 D．63 5．（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知等比数列，第三项是12，第六项是96，则 ． 6．（25-26高二上·江苏·期末）记为数列的前项和，若，则 . 题型五 等比数列的证明 1．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知数列中，，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 2．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知数列满足． (1)求证：为等比数列，并求出的通项公式； (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值． 3．（25-26高二上·江苏·期末）在数列中，已知. (1)证明：是等比数列； (2)求的前项和. 4．（25-26高二上·广西·月考）已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列前项的和. 题型六 综合应用 1．（25-26高二上·河北·月考）已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和； (2)令，求数列的前n项和. 2．（25-26高二上·重庆江北·月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 3．（25-26高二上·福建宁德·月考）记数列的前n项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求； (3)，数列中的最大项是第k项，求正整数k的值. 4．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知正项数列的前项为，且满足，等比数列是递增数列，，为其前项和，且满足. (1)求，的通项公式； (2)设，当时，若对任意的恒成立，求的最大值. 1．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列的前n项和为，且．设，则＝（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京·期中）定义：已知数列，，，若，，使，则称，互为阶友好数列.已知为无穷项等差数列，是数列的前项和，是公比为的无穷项等比数列，，.下列说法正确的是（    ） A．若，则，，互为5阶友好数列 B．若，则，，互为5阶友好数列 C．若，则，使，互为4阶友好数列 D．若，则，使，互为4阶友好数列 3．（25-26高三上·重庆·月考）已知数列{an}满足数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北衡水·月考）（多选题）下列命题中正确的是（    ） A．在等比数列中，为其前项和，若，则 B．在数列中，，，则的最小值是9 C．若，则 D．在数列中，，，，则 5．（25-26高二上·福建漳州·期中）无穷数列满足：对于，，其中p为常数，则称数列为P数列．若一个公比为的等比数列为“P数列”，则 ；若，，是首项为1，公比为3的等比数列，在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，…，则数列前30项的和 1．（2025高二·全国·专题练习）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用．斐波那契数列满足，，给出下列四个结论： ①存在，使得，，成等差数列； ②存在，使得，，成等比数列； ③存在常数t，使得对任意，都有，，成等差数列； ④存在正整数，，…，，且，使得． 其中所有正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二上·江苏扬州·月考）（多选题）有一列数：1，1，2，3，5，8，．．．，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列（当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）．在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的有（    ） A． B．，若数列为等比数列，公比为，则 C． D． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业11 等比数列 1．等比数列的有关概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． 2．等比数列的通项公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． （2）等比数列的通项公式推广形式： 3．等比中项 （1）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． （2）等比中项的推广：若时，则，特别地，当时，． 4．等比数列的前n项和 （1）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 （2）为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 等比数列的定义 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知等比数列的公比不为1，且成等差数列，则数列的公比为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、等比数列的定义、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差中项可得，再结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】设等比数列的公比为，， 因为成等差数列，则， 即，且， 可得，即，解得或 又因为，所以. 故选：A. 2．（24-25高二下·安徽亳州·期末）已知数列满足，则（   ） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等比数列的定义、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据题意，得，则. 【详解】根据题意，， 则，即， 即数列的奇数项和偶数项分别成公比为2的等比数列， 又，所以. 故选：B 3．（2024·黑龙江·二模）在公差不为0的等差数列中，，，是公比为2的等比数列，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等比数列的定义、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用基本量法可求的值. 【详解】设等差数列的公差为，则， 因为，，是公比为2的等比数列， 所以，由前者得到，代入后者可得， 故， 故选：C. 4．（2024·贵州·三模）已知数列满足且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列的定义 【分析】由条件得数列为等比数列，利用等比数列的通项公式列方程求解. 【详解】因为数列满足，所以数列是公比为2的等比数列， 因为，则，解得. 故选：A. 5．（23-24高二下·北京石景山·期末）已知数列是等比数列，且，，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等比数列的定义 【分析】根据等比数列的定义得到，然后利用已知项的值即可得到结果. 【详解】由是等比数列，知. 所以. 故答案为：. 6．已知等比数列{}中，，则{}的公比q＝ ． 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】等比数列的定义 【分析】由定义直接求出公比. 【详解】因为在等比数列{}中，， 所以{}的公比q＝. 故答案为：2 题型二 求数列的通项公式 1．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用与的关系以及的值证明得到数列是从第 1项起是公比为 3 的等比数列，得 【详解】已知， 则当时，， 两式相减得到，即 ； 所以数列是从第 2 项起是公比为 3 的等比数列， 当时，； 所以数列是从第 1项起是公比为 3 的等比数列， 所以； 故选：A. 2．（25-26高二上·江苏·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】当时，可得，两式相减，求得，得到数列为等比数列，进而求得其通项公式. 【详解】由，当时，可得， 两式作差，可得，即， 所以，即， 当时，可得，即，解得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 3．（25-26高二上·广西·月考）已知是递增的等比数列，若，，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的通项公式及性质求解即可. 【详解】设等比数列的公比为． 由等比数列的性质可知，又， 所以是方程的两个根，解得或27， 又是递增的等比数列，所以．所以． 故． 故答案为：. 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列通项公式即可得到方程组，解出即可. 【详解】由题意得，结合，解得， 则. 故答案为：. 5．（25-26高二上·陕西西安·月考）数列的前项和为，且满足.则的通项公式为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据和的关系得到，然后再验证不满足该式，最后根据等比数列通项公式即可求解. 【详解】由可得，两式作差得，即， 又，所以，，不满足， 所以 故答案为： 6．（25-26高三上·江苏·月考）已知数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式 【分析】先求得，当时，根据，可得，最后由等比数列的定义求解即可. 【详解】当时，则有，解得， 当时， 则有， 所以， 即， 所以， 所以数列是等比数列，其首项为，公比， 所以. 当时也符合，所以. 故答案为： 7．（25-26高二上·上海·开学考试）已知数列中，，，那么该数列通项公式 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式、由递推关系式求通项公式 【分析】由数列递推式变形构造等比数列，利用等比数列的基本量运算即可求出其通项公式. 【详解】由可得，， 因，故数列是首项为3，公比为3的等比数列， 则，即得. 故答案为：. 题型三 等比中项 1．（25-26高二上·福建·月考）在等比数列中，若是方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等比中项的应用、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据韦达定理以及等比数列的性质即可求解. 【详解】由于是方程的两个根，故，， 因此，从而， 又是等比数列，故，， 故选：B 2．（25-26高二上·湖南长沙·月考）设，，若9是与的等比中项，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等比中项的应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先求出，再利用基本不等式即可求出答案. 【详解】因为是与的等比中项， 所以，即，所以， ， 因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 故选：D. 3．（25-26高二上·陕西延安·月考）若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、等比数列的其他性质 【分析】利用等差数列的通项公式得、等比中项的性质及等比数列通项公式得，即可求. 【详解】若1，，，，4的公比为，则， 由题设，，则（负值舍）， 所以. 故选：A 4．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知等差数列的公差，若，，构成等比数列，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用 【分析】利用等比中项的性质求出的关系，结合等差数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意知等差数列的公差，，，构成等比数列， 则，即， 即得，则， 故， 故答案为： 5．（25-26高三上·上海·开学考试）若为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用、等比中项的应用 【分析】先由等差数列前n项和的性质求得，然后利用等比中项的概念求解即可. 【详解】由题意为等差数列的前项和，， 则由等差数列前n项和的性质得，解得， 则与的等比中项. 故答案为： 题型四 等比数列的前n项和 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知实数成等比数列，则（    ） 11．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据，可求出首项，继而结合的关系可判断为等比数列，即可求得答案. 【详解】由题意知，当时，，即， 当时，，则， 即，， 故是以为首项，3为公比的等比数列， 故， 故选：C. 2．（25-26高二上·江苏·期末）已知为等比数列，且，则（    ） A．189 B．93 C．63 D．33 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】应用等比数列的前n项和公式计算求解. 【详解】因为为等比数列，且， 则. 故选：A. 3．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】由等比数列的性质及前项和求解． 【详解】设等比数列的公比为， 由，得， 又，所以，解得， 又，所以， 所以. 故选：B. 4．（25-26高三上·山东青岛·月考）设数列的前n项和为，若，则＝（   ） A．－63 B．－31 C．31 D．63 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等比数列的定义、等比数列前n项和的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项 【分析】本题首先根据可判断出数列是公比为的等比数列，然后根据计算得出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果． 【详解】因为，所以， 所以，，其中, 而，结合可得，此时， 故数列是公比为的等比数列， 所以. 故选：D 5．（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知等比数列，第三项是12，第六项是96，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】先通过等比数列的通项公式求出首项和公比，再用前项和公式计算即可. 【详解】因为，，代入通项公式， 得： 除以，消去得：， 因此，公比， 将代入： 即：，解得：， 把，，， 代入（）得： . 故答案为：. 6．（25-26高二上·江苏·期末）记为数列的前项和，若，则 . 【答案】63 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据与的关系，可得为等比数列，进而根据等比数列的前项和公式可得. 【详解】当时，，得， 当时，，得， 故是以为首项，为公比的等比数列， 故. 故答案为：. 题型五 等比数列的证明 1．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知数列中，，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）变形为，进而利用等比数列定义证明即可； （2）先求得，然后结合等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 设，则， 又因为， 所以是以2为首项，4为公比的等比数列. （2）由（1）可知，是以2为首项，4为公比的等比数列， 则， 所以 . 2．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知数列满足． (1)求证：为等比数列，并求出的通项公式； (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值． 【答案】(1)证明见解析， (2)214 【难度】0.4 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据等比数列的定义即可求解； （2）根据分组求和即可求解. 【详解】（1）因为，则，且，故是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以． （2）因为与之间插入个1， 所以在中对应的项数为， 当时，， 当时，， 所以，，且． 因此． 3．（25-26高二上·江苏·期末）在数列中，已知. (1)证明：是等比数列； (2)求的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）在已知递推式两边同时减1，即可构造出结果； （2）由（1）得，通过分组求和结合等比数列前项和公式即可得结果. 【详解】（1）由，得 又，所以是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）可得，即. 4．（25-26高二上·广西·月考）已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列前项的和. 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）根据条件可得，利用等比数列的定义推理得证，再求出等比数列通项公式. （2）由（1）得，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）由，得，而， 所以是首项为5，公比为5的等比数列，则，即. （2）由（1）得， 则， 于是， 两式相减得 ，则， 所以数列前项的和. 题型六 综合应用 1．（25-26高二上·河北·月考）已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)，，； (2). 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）根据等差数列前项和公式即可求出，求出公比，再利用等比数列通项公式和求和公式即可得到； （2）写出，再利用错位相减法即可得到答案. 【详解】（1）因为数列的通项公式为，故， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列， 所以． 因为数列为公比大于0的等比数列，且， 设公比为，则，解得或（舍去）， 所以． 所以． （2）由（1）可得， 所以①． ②． ①②得， 所以． 2．（25-26高二上·重庆江北·月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、等比中项的应用、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式、等比中项性质列方程组求解即可. （2）通过分组求和法，结合等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为（）. 由题意知，即，解得， 所以， 故数列的通项公式为：. （2）由题意得. 所以 . 故数列的前项和为：. 3．（25-26高二上·福建宁德·月考）记数列的前n项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求； (3)，数列中的最大项是第k项，求正整数k的值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项、求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据给定的递推关系，结合计算，再利用等差数列定义求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，再利用错位相减法求和即得. （3）由（1）（2）的结论求出，确定数列的单调性求出最大项. 【详解】（1）在数列中，， 当时，，解得， 当时，，即， 又，所以， 因此是首项为1，公差为2的等差数列，. 所以的通项公式为. （2）由（1）得，则， 于是， 两式相减得， 所以. （3）由（1）（2）得，则， 令，得，又，则解得， 当时，得，即，因此数列从第2项起单调递减， 所以数列中的最大项为第2项，即. 4．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知正项数列的前项为，且满足，等比数列是递增数列，，为其前项和，且满足. (1)求，的通项公式； (2)设，当时，若对任意的恒成立，求的最大值. 【答案】(1)，； (2) 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据得出的递推公式，从而可判断为等差数列，利用等比数列的求和公式计算出公比，即可得出其通项公式； （2）分别求出与的前项和，分离参数得出，判断函数的单调性，求出的最小值即可得出的取值范围. 【详解】（1）由于①， 当时②， ①－②得， ， ，， 又当时，得，， 故是以为首项，为公差的等差数列，， 等比数列是递增数列，，故公比， 由可得，解得，故； （2）数列的前项和， 数列的前项和，， 由题意可知，只需即可，， 当时，；当时，，故， ，故实数的最大值为. 1．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列的前n项和为，且．设，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和、由递推关系证明等比数列 【分析】先根据与的关系求数列的通项公式，再利用裂项相消求和. 【详解】当n＝1时，，∴＝2． 当时，，①，，② ∴①－②得，即. ∴数列是首项为2，公比为3的等比数列， ∴． ∴. 所以 ． 故选：C 2．（25-26高二上·北京·期中）定义：已知数列，，，若，，使，则称，互为阶友好数列.已知为无穷项等差数列，是数列的前项和，是公比为的无穷项等比数列，，.下列说法正确的是（    ） A．若，则，，互为5阶友好数列 B．若，则，，互为5阶友好数列 C．若，则，使，互为4阶友好数列 D．若，则，使，互为4阶友好数列 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据阶友好数列的定义排除A、B、C. 【详解】A选项，当时，数列的公差为，，， 是公比为的无穷项等比数列，所以， 因为，，所以在上单调递增， 在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 所以，当时，，则， 此时不存在，使得，不满足5阶友好数列的定义，故A错误； B选项，当时，数列的公差为，， 当时，， 令，， 所以，可知在上单调递减， 所以，可知在上单调递减， 所以，即， 所以，则， 此时不存在，使得，不满足5阶友好数列的定义，故B错误； C选项，由A知，，， 在上单调递增，则， 又因为，所以，， 则，即， 所以不存在，使，互为4阶友好数列；故C错误； D选项，时，数列的公差为，， 取，时，，满足4阶友好数列，故D正确. 故选：D 3．（25-26高三上·重庆·月考）已知数列{an}满足数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、由递推关系式求通项公式 【分析】由已知得出是等比数列，可得其通项公式，由，可得，计算可得. 【详解】因为， 所以， 又，则， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列. 于是， 因为， 所以， 又， 所以， 故选：A 4．（25-26高二上·河北衡水·月考）（多选题）下列命题中正确的是（    ） A．在等比数列中，为其前项和，若，则 B．在数列中，，，则的最小值是9 C．若，则 D．在数列中，，，，则 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推数列研究数列的有关性质、求等比数列前n项和、前n项和与通项关系 【分析】对于A，求出，利用等比中项即可求出；对于B，利用累加法求得，再利用基本不等式即可判断；对于C，利用等比数列前项和公式即可求出；对于D，求出，然后证明当时，，从而得到，，，，累乘即可证明. 【详解】对于A，当时，， 当时，， 因为为等比数列，则，则，所以，故A正确； 对于B，由题意知，，所以，，，，， 把以上个等式相加， 得，，也满足上式， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以，解得，故C错误； 对于D，由题意知，，所以，，， 又因为，所以单调递增， 又因为在上单调递增， 当时，，所以，即， 所以当时，，，，，， 把以上6个不等式相乘，得，故D正确. 故选：ABD. 5．（25-26高二上·福建漳州·期中）无穷数列满足：对于，，其中p为常数，则称数列为P数列．若一个公比为的等比数列为“P数列”，则 ；若，，是首项为1，公比为3的等比数列，在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，…，则数列前30项的和 【答案】 1622 【难度】0.4 【知识点】数列新定义、分组（并项）法求和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据等比数列的通项公式，列出“数列”的式子，变形后得，与无关，即可求解； （2）由题意确定数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，结合等差和等比数列的前项和公式，即可求解． 【详解】数列是等比数列，则，， 则， 因为与无关，所以，即； 由题意可知，，而，所以， 是首项为1，公比为3的等比数列， 而新数列中项（含）前共有项， 令，结合，解得：， 故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项， 所以数列中前30项的和. 故答案为：；1622． 1．（2025高二·全国·专题练习）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用．斐波那契数列满足，，给出下列四个结论： ①存在，使得，，成等差数列； ②存在，使得，，成等比数列； ③存在常数t，使得对任意，都有，，成等差数列； ④存在正整数，，…，，且，使得． 其中所有正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】数列新定义、等比中项的应用、等差中项的应用、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】由，，成等差数列可判断①；假设，，成等比数列，求得，与斐波那契数列相邻两项的比为有理数矛盾，可判断②；利用递推公式得到，即，可判断③；写出斐波那契数列直接观察可判断④. 【详解】对于①，由，，，可得，即，，成等差数列，故①正确； 对于②，若存在，使得，，成等比数列， 可得． 又，代入得，即， 由于，解得，由斐波那契递推公式可得相邻两项的比为有理数， 与矛盾，故②错误； 对于③，， 即，若成等差数列，则， 所以，解得，所以当时，对任意， 都有，，成等差数列， 故③正确； 对于④，写出数列中的项：，，，，，，，，，55,，，，，，，，，可得，故④正确． 故选：C． 2．（25-26高二上·江苏扬州·月考）（多选题）有一列数：1，1，2，3，5，8，．．．，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列（当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）．在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的有（    ） A． B．，若数列为等比数列，公比为，则 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】选项A，先确定数列的周期，再结合周期计算的值.选项B，结合等比数列定义与斐波那契数列递推关系，推导与公比的关系进行判断.选项C，利用的周期求出一个周期内的和，再结合项数的周期余数计算前2020项和.选项D，通过累加斐波那契数列的递推式，化简得到前项和与的关系. 【详解】由题意，斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，．．．， 各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为， 可得数列的各项分别为， 所以数列是周期为6的周期数列．因为， 所以，故正确； 因为，且， 所以 ，故C正确； ，若数列为等比数列，公比为， 则，又， 则，则，且， 则，且，故错误； 因为， 将上面各式相加得， ， 即， 则， 即，故D正确. 故选：ACD 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为 ，次操作后图中所有圆的面积总和为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】等比数列的简单应用、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】由题意可知小圆半径是首项为，公比为等比数列；大圆半径是首项为，公比为等比数列，结合等比数列前项和公式计算即可求解. 【详解】次操作后，小圆的半径依次为， 大圆的半径依次为， 所以小圆半径是首项为，公比为等比数列， 大圆半径是首项为，公比为等比数列， 4次操作后图中最小的圆的半径为； 次操作后，小圆面积和为： ， 大圆面积和为： 所以大圆与小圆面积和为， 则所有圆的面积总和为. 故答案为： 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $