第4章 10-专题强化练11 数列求和（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦数列专题，涵盖周期数列、等差等比数列及裂项相消、错位相减等求和方法，通过实例导入连接数列定义与实际应用，搭建从基础到综合问题的学习支架。 其特色在于以数学眼光观察现实情境（如公司销售额增长问题），用数学思维推导递推关系（如构造等比数列求通项），通过向量与数列结合等综合题培养数学语言表达能力。学生能提升运算与推理能力，教师可借助丰富例题优化教学。

第4章 数列 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 专题强化练11　数列求和 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2026江苏苏州常熟期中]在数列{an}中,a1=2,a2=3,an+an+1+an+2=6,若{an}的前n项和为Sn,则S2 026= (　　) A.4 052　　　    B.4 053　　　    C.4 054　　　    D.4 055          A 解析　已知an+an+1+an+2=6,a1=2,a2=3, 令n=1,则a1+a2+a3=5+a3=6,得a3=1, 且an+1+an+2+an+3=6,可得an+3=an, 所以数列{an}是周期为3的周期数列, 所以S2 026=675(a1+a2+a3)+a1=675×6+2=4 052. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025江西九江期末]已知数列{an}的前n项和为Sn,且an= ,若Sn<k恒成立,则k的最小值是 （　　 　） A.2　　　    B.3　　　    C.4　　　    D.5     B     解析　由题意得Sn= + + +…+ , 所以 Sn= + + +…+ , 两式相减可得 Sn=1+ + + +…+ - =1+ - = - ,所以Sn=3- , 因为 >0,所以3- <3,即Sn<3恒成立,故k≥3,则k的最小值是3. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026黑龙江哈尔滨九中月考]某公司引进先进技术提升某农产品的深加工技术,以此达到10年内每 年此农产品的销售额(单位:万元)等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年(2024年)该公司该农产品的销 售额为100万元,则按照计划该公司从2024年到2033年该农产品的销售总额约为(参考数据:1.310≈ 13.79) （　　 　） A.3 937万元　　　    B.3 837万元 C.3 737万元　　　    D.3 637万元     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设该公司该农产品在2024年,2025年,…,2033年的销售额(单位:万元)分别为a1,a2,…,a10. 依题意,an+1=1.3an-3(n=1,2,…,9),则an+1-10=1.3(an-10)(n=1,2,…,9),所以数列{an-10}是首项为90,公比为1.3 的等比数列, 则an-10=90×1.3n-1,即an=90×1.3n-1+10, 则a1+a2+…+a10=10×10+ =300×1.310-200 ≈300×13.79-200=3 937, 故从2024年到2033年该农产品的销售总额约为3 937万元. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江苏苏州中学期中]如图,在平面直角坐标系xOy上,有一系列点P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),每一 个点Pn(n∈N*)均位于函数y=x2(x≥0)的图象上.以点Pn为圆心的☉Pn都与x轴相切,且☉Pn与☉Pn+1外切.若 x1=1,且xn+1<xn(n∈N*),Tn=xnxn+1,{Tn}的前n项和为Sn,则S10= （　　 　）   A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵PnPn+1=  = , 且☉Pn与☉Pn+1的半径之和为yn+yn+1= + , ∴ + = , 两边平方并整理,得 =4, ∵xn+1<xn, ∴ - =2, 又 =1,∴数列 是以1为首项,2为公差的等差数列, ∴ =1+2(n-1)=2n-1,∴xn= , 第1讲　描述运动的基本概念 ∴Tn=xnxn+1= =  , ∴S10=  = × = . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题]已知数列{an}满足a1+3a2+…+3n-1an=n·3n+1(n∈N*),设数列{an}的前n项和为Sn,则下列结论正确 的是 （　　　　 　） A.数列{an}为等差数列 B.Sn=3n2+6n C.数列{(-1)nan}的前100项和为300 D.数列{|an-20|}的前20项和为284     ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设bn=3n-1an,则b1+b2+…+bn=n·3n+1①, 当n≥2时,b1+b2+…+bn-1=(n-1)·3n②, ①-②得bn=(2n+1)·3n(n≥2), 当n=1时,b1=a1=9适合上式,则bn=(2n+1)·3n=3n-1an(n∈N*), 解得an=3(2n+1), 所以an+1-an=6,故数列{an}是以9为首项,6为公差的等差数列, 则Sn= =3n(n+2)=3n2+6n,故A,B正确; 数列{(-1)nan}的前100项和M=3[(-3+5)+(-7+9)+…+(-199+201)]=3×2×50=300,故C正确; |an-20|=|6n-17|= n∈N*, 则{|an-20|}的前20项和N=11+5+1+7+13+…+103=16+ =952,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025天津耀华中学月考]已知数列{an}是等差数列,bn= 记Sn,Tn分别为{an},{bn}的前n项 和,若S3=18,T2=10,则T20=___________.     370     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设等差数列{an}的公差为d. 由S3=18,得3a1+3d=18①, 由T2=10,得a1-8+2a2+1=a1-8+2(a1+d)+1=10, ∴3a1+2d=17②, 由①②可得a1=5,d=1,所以an=a1+(n-1)d=5+(n-1)×1=n+4, 则bn=  所以T20=(b1+b3+…+b19)+(b2+b4+…+b20)=(-3-1+1+…+15)+(13+17+…+49) = ×10+ ×10=370. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025山东潍坊第一中学阶段检测]设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a5=12,S7=63,bn= ,则 数列{bn}的前n项和为_______________.     tan(3n)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设等差数列{an}的公差为d, 由题意得 解得  则an=0+(n-1)×3=3n-3, 则bn= =  =  =  =tan(3n)-tan(3n-3), 则数列{bn}的前n项和为tan 3-tan 0+tan 6-tan 3+tan 9-tan 6+…+tan(3n)-tan(3n-3)=tan(3n)-tan 0=tan(3n). 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏苏州期中]已知数列{an}的前n项和为Sn,若对任意n∈N*,向量pn=(4,-2n-1),qn=(Sn,an),且pn·qn=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn= ,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn< . 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为向量pn=(4,-2n-1),qn=(Sn,an),pn·qn=1, 所以4Sn+(-2n-1)an=1,即4Sn-(2n+1)an=1.① 当n=1时,4S1-3a1=1, 又S1=a1,所以a1=1. 当n≥2时,4Sn-1-(2n-1)an-1=1,② 由①-②得4an=(2n+1)an-(2n-1)an-1(n≥2), 整理得 = (n≥2), 则an=a1× × ×…×  =1× × ×…× =2n-1(n≥2). 当n=1时,a1=1符合上式, 第1讲　描述运动的基本概念 所以数列{an}的通项公式为an=2n-1. (2)证明:由an=2n-1,得bn= = =  , 所以前n项和Tn=b1+b2+…+bn=   + +…+  =  . 因为n∈N*,所以 >0,所以1- <1,所以Tn< . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025江苏苏州六校调研]已知数列{an}满足a1=1,an+an-1=2n-1(n≥2). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}的前n项和为Sn,bn= (m∈N*),求S2n-1; (3)设Tn= + +…+ ,求[T2 024]的值(其中[x]表示不超过x的最大整数). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由an+an-1=2n-1(n≥2),得an+1+an=2(n+1)-1=2n+1, 两式相减得an+1-an-1=2,n≥2, 由a1=1,得a2=2, 所以数列{an}的奇数项是首项为1,公差为2的等差数列,偶数项是首项为2,公差为2的等差数列, 所以数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列, 所以an=1+(n-1)×1=n. (2)由题意得bn= (m∈N*), 所以S2n-1=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n-2) =(1+3+…+2n-1)+(22+24+…+22n-2) = + =n2+ . 第1讲　描述运动的基本概念 (3)由(1)知an=n,则T2 024=1+ + +…+ , 由 - = < ,k∈N*,得 >2( - ),k∈N*, 故1+ + +…+ >2×( -1+ - +…+ - )=2×( -1)=2×(45-1)=88. 由 - = > ,k∈N*,得 <2( - ),k∈N*, 故1+ + +…+ <1+2×( -1+ - +…+ - )=1+2×( -1)<1+2×(45-1)=89. 综上所述,88<T2 024<89,则[T2 024]=88. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江苏苏州实验中学月考]已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n+c,其中c为常数. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an}为等差数列. (i)若cn= ,设dn= 求数列{dn}的前n项和Hn; (ii)若数列{bn}的前n项和为Tn,且bn= ,求证:Tn<5. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得,当n=1时,S1=a1=3+c, 当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+2(n-1)+c, 所以an=Sn-Sn-1=2n+1, 当n=1时,2×1+1=3, 所以当c=0时,an=2n+1, 当c≠0时,an=  (2)(i)因为数列{an}为等差数列,所以an=2n+1,所以a2=2×2+1=5, 所以cn= =5n,故当n≥2时,有dn= = = × , 而d1= 也符合上式,故dn= × , 第1讲　描述运动的基本概念 所以数列{dn}是等比数列,所以Hn= =  . (ii)证明:因为bn= = , 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn, 所以Tn=3× +5× +7× +…+(2n-1)× +(2n+1)× ①, 所以 Tn=3× +5× +7× +…+(2n-1)× +(2n+1)× ②, ①-②得, Tn= +2× -(2n+1)× = +2× -(2n+1)× ,所以Tn=5-(2n+5)×  ,因为n∈N*,所以Tn<5. 第1讲　描述运动的基本概念 $