精品解析：安徽省南陵中学2024-2025学年高二上学期期末检测数学试题

2024~2025学年第一学期高二期末检测 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法运算即可得解. 【详解】. 故选：B． 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 令该直线倾斜角为，则有， 而，于是， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 3. 已知数列的一个通项公式为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 26 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】由，代入通项公式求得，即可求解； 【详解】因为，代入通项公式可得：， 解得，所以， 所以， 故选：D 4. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的方程列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可得， 解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 5. 鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一部分，其宽为8m，高为0.8m，根据图中的坐标系，该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，设出抛物线方程，利用待定系数法求出抛物线方程. 【详解】依题意，设该抛物线的方程为， 由点在此抛物线上，得，解得， 所以该抛物线的方程为. 故选：C 6. 已知平面的法向量，且点，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量法，即公式，求点面距离即可得解. 【详解】由题意得，点到平面的距离为. 故选：A. 7. 斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列满足，，设，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】利用斐波那契数列的规律列方程来求得的值. 【详解】由斐波那契数列的定义及递推公式可得： ， 则． 故选：C 8. 如果圆上总存在点到原点的距离为，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆上的点到原点的距离转化为圆心到原点的距离加减半径得到答案. 【详解】，圆心为 半径为1 圆心到原点的距离为： 如果圆上总存在点到原点的距离为 即圆心到原点的距离 即 故答案选B 【点睛】本题考查了圆上的点到原点的距离，转化为圆心到原点的距离加减半径是解题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，因为，，所以，， ，设与的夹角为，则，故B正确； 对于C，因为，所以，则，解得，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选:BCD． 10. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 以为直径的圆与轴相切 【答案】BCD 【解析】 【分析】由抛物线的方程求出焦点的坐标，可判断A选项；利用抛物线的定义可求得的值，可判断B选项；先根据抛物线的方程求的值，再利用平面内两点间的距离公式可判断C选项；求出的中点坐标，进而可得该点到y轴的距离，结合直线与圆的位置关系判断D选项. 【详解】对于抛物线，可得，且焦点在y轴正半轴上，则点错误； 由拋物线的定义可得，可得正确； 由可知，，可得，C正确； ∵的中点坐标为，则点到y轴的距离， ∴以为直径的圆与轴相切，D正确. 故选：BCD. 11. 为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概念，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数（不为0）.已知数列是一个“等积数列”，，其前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的一个通项公式为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据数列新定义可得，结合已知确定通项公式，进而逐项判断正误. 【详解】由“等积数列”定义得：，而，则， 因此数列奇数项相同，偶数项相同，又，则当为奇数时，， 由，得，则当为偶数时，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，若，则当为奇数时，，当为偶数时，，符合题意，C正确； 对于D，当为奇数时，，满足， 当为偶数时，，满足，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点P在所在平面内，O为空间中任一点，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由空间共面定理可将题目中表达式化为，即可求出的值. 【详解】因为， 所以. 因为P，A，B，C四点共面，O具有任意性，所以， 故. 故答案为：. 13. 已知正项等比数列的前项和为，且，则______． 【答案】160 【解析】 【分析】利用等比数列前项和的性质计算即可. 【详解】因为为正项等比数列，所以也成等比数列， 则，解得或（舍去）， 则，解得． 故答案为：160 14. 在平面直角坐标系中 ，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的范围是______；当取得最大值时，椭圆的离心率为_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据在椭圆内部得到的取值范围，再求出的取值范围，根据得到关于的不等式组，两者结合可求的取值范围，当取得最大值时，可根据公式计算其离心率. 【详解】因为点是椭圆内一点，故， 由可得. 为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为，则， 而，当且仅当三点共线时等号成立， 故，所以， 所以，故. 的最大值为，此时椭圆方程为，故其离心率为， 故分别填：，. 【点睛】点与椭圆的位置关系可通过与的大小关系来判断，若，则在椭圆的内部；若，则在椭圆上；若，则在椭圆的外部．椭圆中与一个焦点有关的线段和、差的最值问题，可以利用定义转化到另一个焦点来考虑． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前n项和，已知，从以下两个条件中任选其中一个给出解答．①；②． （1）求公差； （2）求，并求的最小值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】（1） （2），最小值为 【解析】 【分析】（1）选条件①，根据得出数列的求和公式和题意，列出方程，即可求得的值； 选条件②，根据等差数列的通项公式，列出方程，即可求得的值； （2）由（1），根据等差数列的求和公式，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：选条件①：， 设的公差为，可得，解得， 又由，可得，故数列的公差． 选条件②：， 设的公差为，可得，即， 又由，可得，故数列的公差． 【小问2详解】 解：由（1）知，公差，且， 可得， 所以当时，取得最小值，最小值为． 16. 已知点N（0，1），直线l：3x－4y＝0，直线m过点N且与l垂直，直线m交圆x2+y2＝4于两点A，B． （1）求直线m的方程； （2）求弦AB的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系得直线m的斜率，写点斜式方程 （2）由直线与圆相交弦长公式计算 【小问1详解】 ∵直线l：3x－4y＝0，直线m与l垂直， ∴直线m的斜率为 ∴直线m的方程为，即 【小问2详解】 圆x2+y2＝4的圆心坐标为O（0，0），半径r＝2， 圆心O到直线的距离 弦长 17. 如图，四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，过直线的平面与棱分别交于点． （1）证明：； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，且平面，且，所以平面， 因为平面，平面平面，且平面， 所以，又， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形中的推出平面，再由线面平行的性质定理，结论即可得证； （2）建立空间直角坐标系，得点坐标，再求两个平面的法向量，再由公式求解平面与平面夹角余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系． 由（1）知且，则， 则，，，，， ，所以，，， ，设平面的一个法向量为， 则，得， 设平面的一个法向量为，则，得， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为.求. （3）在（2）条件下若都有不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先得，进一步由的关系得是以1为首项，为公比的等比数列，由此即可求解； （2）由等差数列求和公式、错位相减法求得表达式， （3）在（2）条件下进一步原问题等价于不等式恒成立，由此即可求解. 【小问1详解】 因为①， 当时可得，即. 当时，② 由①-②得，即， 即是以1为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 两式相得，， 即， 则， 故. 【小问3详解】 由（2）知， 所以有， 即， 依题意，不等式恒成立， 因为随着n增大而减小，所以， 即的取值范围为. 19. 在一张纸上有一个圆，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为. （1）求证：为定值，并求出点的轨迹的方程； （2）设为（1）中轨迹上位于轴右侧的一个动点，证明：在轴上存在定点，使得. 【答案】（1） 由题意得，所以， 即的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线， 又，，所以， 所以的方程为. （2） 假设存在点满足条件. 由（1）知，双曲线的右焦点为. 设为双曲线右支上的一点，则. ①当时，， 因为，所以， 于是，所以或5. 即或都满足条件. ②当时，根据①我们猜想定点为或， 当点在轴负半轴上时， ，. 因为，所以. （i）当时，上式化简为：. 又即，代入上式得. 所以，解得，即. （ii）当时，，即也能满足. 当点在轴正半轴上时，，. 过程同上，得到不能满足条件. 综上所述，在轴上存在定点，使得. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线定义判断出点的轨迹为双曲线，求出，得到双曲线方程； （2）假设存在点满足条件，设为双曲线右支上的一点，则，分和两种情况讨论，再讨论时，可以用先猜后证的思想证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期高二期末检测 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 已知数列的一个通项公式为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 26 D. 80 4. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一部分，其宽为8m，高为0.8m，根据图中的坐标系，该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面的法向量，且点，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列满足，，设，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 8. 如果圆上总存在点到原点的距离为，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 10. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 以为直径的圆与轴相切 11. 为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概念，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数（不为0）.已知数列是一个“等积数列”，，其前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的一个通项公式为 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点P在所在平面内，O为空间中任一点，若，则___________. 13. 已知正项等比数列的前项和为，且，则______． 14. 在平面直角坐标系中 ，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的范围是______；当取得最大值时，椭圆的离心率为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前n项和，已知，从以下两个条件中任选其中一个给出解答．①；②． （1）求公差； （2）求，并求的最小值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 16. 已知点N（0，1），直线l：3x－4y＝0，直线m过点N且与l垂直，直线m交圆x2+y2＝4于两点A，B． （1）求直线m的方程； （2）求弦AB的长． 17. 如图，四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，过直线的平面与棱分别交于点． （1）证明：； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为.求. （3）在（2）条件下若都有不等式恒成立，求的取值范围. 19. 在一张纸上有一个圆，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为. （1）求证：为定值，并求出点的轨迹的方程； （2）设为（1）中轨迹上位于轴右侧的一个动点，证明：在轴上存在定点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $