26.2.1 实际问题与反比例函数（第一课时）导学案2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学导学案聚焦九年级下册“实际问题与反比例函数”第一课时，通过复习巩固反比例函数基础，以煤气储存室、码头卸货等实例为支架，引导学生经历“实际问题—建立模型—解决问题”过程，衔接函数概念与实际应用。 以真实情境问题驱动学习，如漏斗制作、行程问题等，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过建立函数关系、分析取值范围发展数学思维（推理与运算能力），课堂检测与中考题结合，强化数学语言表达（模型意识与应用意识），助力提升解决实际问题能力。

九年级下册26.2.1实际问题与反比例函数第一课时 导学案 一、学习目标 1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力. 2. 进一步运用反比例函数的知识解决实际问题. 3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围; 4. 经历“实际问题—建立模型—问题解决”的过程，提高分析问题、解决问题的能力. 二、复习巩固 三、新知探究 1. 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m) 有怎样的函数关系? (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深? (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)? 2. 码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了8天时间. (1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系? (2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨? 课堂练习 1. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1L(1L=l dm3)的圆锥形漏斗. (1) 漏斗口的面积S(单位：dm2)与漏斗的深d(单位：dm)有怎样的函数关系？ (2) 如果漏斗口的面积为100 cm2，那么漏斗的深为多少？ 2.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h 的平均速度用6h到达目的地. (1) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系? (2) 如果该司机必须在4h之内回到甲地，那么返程时的平均速度不能小于多少? 课堂检测 1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( ) 2. 体积为 20 cm3 的面团做成拉面，面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位：cm2)的函数关系为 ，若要使拉出来的面条粗 1 mm2，则面条的总长度是 cm. 3. A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城，若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低于____________． 4.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h的平均速度用2h到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t的函数关系是( ) A. v = B. v = C. v = D. v = 5.列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的反比例函数关系如图所示，若列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到( )km/h. A. 180 B.240 C.280 D.300 6.如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x(s)，△ADP的面积为y(cm2)，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是( ) 7. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示. (1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式； (2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？ (3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 (按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少 m？ 8.元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为100km/h时，行驶时间为1.5h；设小汽车匀速行驶的速度为v km/h，行驶的时间为t h. (1)求v关于t的函数表达式. (2)若小汽车匀速行驶的速度为60km/h，则从乙地返回甲地需要几小时? 9.便民商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为每件80元，在销售中发现，该衬衣的日销售量y(件)是销售价x(元)的反比例函数，且当销售定价为120元时，每日可销售25件. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1400元，则销售单价应定为多少元? 链接中考 1.(2024·河北省·中考真题)节能环保已成为人们的共识。淇淇家计划购买 500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天。下列说法错误的是( ) A 若x=5，则y=100 B.若y =125，则x=4 C.若x减小，则y也减小 D.若x减小一半，则y增大一倍 2.(2024·山东烟台·中考真题) 如图，正比例函数y=x与反比例函数y=的图象交于点A(，a)，将正比例函数图象向下平移n(n>0)个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足BE:CE=3:2.过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接CG. (1) 求反比例函数的表达式； (2) 求n的值及△BCG的面积. 参考答案 二、复习巩固 三、新知探究 1. 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m) 有怎样的函数关系? 解：根据圆柱体的体积公式S圆柱=S底·h， 得 S·d =104， ∴ S 关于d 的函数解析式为 S = (d ＞0). (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深? 解：把S=500代入S= ，得 500 = ， 解得 d=20(m) 如果把储存室的底面积定为500 m2，施工时应向地下掘进20m深. (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)? 解：根据题意，把d=15 代入S= ，得 S = ， 解得 S ≈666.67 (m2) 如果把储存室的深度改为15 m 时，储存室 的底面积应改为666.67 m2. 2. 码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了8天时间. (1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系? (2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨? 分析： 2 根据“平均装货速度×装货天数＝货物的总量”，可以求出轮船装载货物的总量； ②再根据“平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数”，得到v关于t的函数解析式. 解：(1)设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得 k=30×8=240， 所以v关于t的函数解析式为 v =. 解：(2)把t=5代人v =，得 v ==48(吨/天). 从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，那么平均每天卸载48 吨，对于函数v= ，当t>0 时，t越小，v越大，这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 方法二：解：由v =，得t =，根据题意得：t ≤5， 即 ≤5，解得v ≥48. 因此，若要求货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 【点睛】在解决反比例函数相关的实际问题中，若题目要求“至多”、“至少”，可以利用反比例函数的增减性来解答. 课堂练习 1. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1L(1L=l dm3)的圆锥形漏斗. (1) 漏斗口的面积S(单位：dm2)与漏斗的深d(单位：dm)有怎样的函数关系？ 解：由圆锥体积公式：V= Sd 及V=1得S = . (2) 如果漏斗口的面积为100 cm2，那么漏斗的深为多少？ 把S= 100 cm2= 1dm2代入S = ，得1 = .解得：d=3(dm) 因此，当漏斗口的面积为100 cm2，漏斗的深为3dm. 2.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h 的平均速度用6h到达目的地. (1) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系? 解：设甲乙两地总路程为S km，根据已知条件得S=80×6=480(km) ， 所以v关于t的函数解析式为v = . (2) 如果该司机必须在4h之内回到甲地，那么返程时的平均速度不能小于多少? 解：把t=4代入v = ，得v=120(km/h) 对于函数v = ，当t>0时，t越小，v越大.因此，如果该司机必须在4h之内回到甲地，则返程时的速度不能低于120 km/h. 课堂检测 1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( C ) 2. 体积为 20 cm3 的面团做成拉面，面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位：cm2)的函数关系为 y = (S＞0)，若要使拉出来的面条粗 1 mm2，则面条的总长度是 2000 cm. 3. A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城，若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低于240千米/时 ． 4.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h的平均速度用2h到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t的函数关系是( D ) A. v = B. v = C. v = D. v = 5.列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的反比例函数关系如图所示，若列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到( B )km/h. A. 180 B.240 C.280 D.300 6.如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x(s)，△ADP的面积为y(cm2)，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是( B ) 【解析】过点P作PD⊥AB于点D，分类求出点P从A→C和从C→B函数解析式，即可得到相应的函数图象． 过点P作PD⊥AB于点D，△ABC是边长为4cm的等边三角形，则AP=2x，当点P从A→C的过程中，AD=x，PD=x，如图1所示，则y= AD·PD= x · x = x2，(0≤x≤2)，当点P从C→B的过程中，BD=(8﹣2x)× =4﹣x，PD= (4﹣x)，PC=2x﹣4，如图2所示，则△ABC边上的高是：ACsin60°=4× = 2，∴y=S△ABC - S△ACP - S△BDP = ×4 × 2 - × (2x-4) × 2 - × (4-x) × = x2 +2x(2＜x ≤4). 故选B. 7. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示. (1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式； 解：y = (2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 解：由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 (m)， 2 台挖掘机需要 1200÷(2×15)=40 (天). (3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 (按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少 m？ 解：1200÷30=40 (m)，故每天至少要完成40 m． 8.元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为100km/h时，行驶时间为1.5h；设小汽车匀速行驶的速度为v km/h，行驶的时间为t h. (1)求v关于t的函数表达式. 解：由题意可得：vt=100×1.5=150，所以v与t的关系式为：v = . (2)若小汽车匀速行驶的速度为60km/h，则从乙地返回甲地需要几小时? 解：当v = =60时，t= =2.5h. 答：小汽车速度为60km/h时，从乙地到甲地需要2.5h. 9.便民商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为每件80元，在销售中发现，该衬衣的日销售量y(件)是销售价x(元)的反比例函数，且当销售定价为120元时，每日可销售25件. (1)求y与x之间的函数关系式； 解：设y与x之间的函数关系式为y = ，由题意得：25= ， ∴ k= 3000， ∴ y与x之间的函数关系式为y= ； (2)若商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1400元，则销售单价应定为多少元? 解：由题意得(x-80)· =1400， 解得x=150， 经检验x =150是原方程的解， ∴销售单价应定为150元. 答：销售单价应定为150元. 链接中考 1.(2024·河北省·中考真题)节能环保已成为人们的共识。淇淇家计划购买 500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天。下列说法错误的是( C ) A 若x=5，则y=100 B.若y =125，则x=4 C.若x减小，则y也减小 D.若x减小一半，则y增大一倍 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可. 【详解】解：∵淇淇家计划购买 500度电，平均每天用电x度，能使用y天. ∴xy=500，∴y=当x = 5时， y =100，故A不符合题意； 当y= 125时，x= =4，故B不符合题意； ∵ x>0， y >0， ∴当x减小，则y增大，故C符合题意； 若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；故选：C. 2.(2024·山东烟台·中考真题) 如图，正比例函数y=x与反比例函数y=的图象交于点A(，a)，将正比例函数图象向下平移n(n>0)个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足BE:CE=3:2.过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接CG. (1) 求反比例函数的表达式； (2) 求n的值及△BCG的面积. 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用. 1 先求出a的值，进而求出反比例的数的解析式即可； 2 根据平移规则，得到平移后的解析式y=x-n，联立两个解析式，表示出B，C的坐标，过点B，C作x轴的平行线交y轴于点M，N，根据BE:CE=3:2，进而求出n的值，进而根据对称性得出∠CBG=90°，勾股定理求得BD，进而求得BG，BC的长，即可求解. 解：(1)∵正比例函数y=x与反比例函数y=的图象交于点A(，a)， ∴ a= ， ∴A(， ). ∴ k= · =6， ∴y= ； 解：(2)∵A(， ). ∴ xA = yA， ∴tan∠AOD= =1， ∴ ∠AOD= 45 °， ∵将正比例函数图像向下平移n(n ＞0)个单位， ∴平移后的解析式为：y=x-n， 如图所示，过点B，C作x轴的平行线交y轴于点M，N，则△BME，△CNE是等腰直角三角形， ∴∠BEM=∠CEN=45°， ∴BM∥CN， ∴ △BME ∽ △CNE ∴ = = ， 设B(3m， )，则BM=3m， ∴CN=2m， ∴ C(-2m， -)， ∵ B(3m， )，C(-2m， -)，在y=x-n上， ∴ 解得： (负值舍去) ∴n=1， ∴B(3，2)，C(-2，-3)， ∴BC的解析式为y=x-1，BC==5 ， 当y=0时，x=1，则D(1，0)， ∴BF=DF=2，OE=OD=1，则DE= ， ∵直线BC与BG关于直线BF成轴对称，BF⊥x轴， ∴ DF=FG=2，△BFD和△BFG是等腰直角三角形， ∴G(5，0)， ∴BD=BG=2 ， ∵ △BFD和△BFG是等腰直角三角形， ∠DBF=∠GBF=45°， ∴∠DBG=90°， ∴S△BCG=BG ×BC= × 2 × 5 =10. 学科网（北京）股份有限公司 $