2026年中考数学一轮复习必备讲义(核心考点+6大题型突破) 专题02代数式与因式分解（全国通用版）

该初中数学中考复习讲义聚焦“代数式与因式分解”专题，覆盖整式分式概念、运算及因式分解等中考核心考点，构建“概念-运算-方法-应用”知识体系，通过核心知识点梳理、易错点警示及六大常考题型精讲，形成“考点突破-方法归纳-真题训练”的系统复习流程，助力学生夯实基础并突破解题难点。 亮点在于“方法规范化”与“应用灵活化”策略，如因式分解“先提公因式再用公式法”的步骤训练，培养学生运算能力与推理意识，结合新定义运算、规律探究等题型提升抽象能力。设置分层练习与真题限时训练，确保学生高效掌握考点，教师可依此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

专题02代数式与因式分解中考一轮复习核心讲义 1.概念精准化:清晰区分整式、分式、单项式、多项式的定义，掌握因式分解与整式乘法的互逆关系，避免概念混淆。 2.运算熟练化:熟练掌握整式加减乘除、分式约分通分及四则运算，准确运用平方差、完全平方等公式，杜绝去括号漏变号、公式漏项等运算错误。 3.方法规范化:掌握因式分解 “先提公因式，再用公式法 / 十字相乘法” 的步骤，确保分解彻底；明确分式有意义、值为 0 的条件，解题步骤严谨。 4.应用灵活化:能运用代数式运算、因式分解解决化简求值、解方程、函数解析式变形等综合题型，提升知识迁移能力。 5.纠错常态化:精准规避中考高频易错点，形成自查习惯，减少因粗心或公式误用导致的丢分。 核心知识 点梳理 1.代数式 2.因式分解 3.代数式因式分解中考联考法 4.中考易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.代数式基础(概念.书写.化简求值) 2.因式分解(提公因式.公式法.十字相乘法) 3.综合应用(方程.不等式.函数.几何) 4.新定义运算(代数式背景) 5.规律探究(代数式/图形规律) 6.综合探究(开放性.跨知识点融合) 【知识点01.代数式】 （一）代数式的基础概念 1.代数式的分类 整式：单项式（数或字母的积，如3x2、−5）、多项式（几个单项式的和，如2x+y−1）。 分式：分母含字母且不为 0 的式子 根式：含根号的式子（如、，中考中常结合二次根式考查）。 2.代数式的书写规范 数字与字母相乘，数字写在字母前（如3a，不是a3）；带分数要化为假分数（如x，不是2x）。 除号用分数线表示（如a÷b写为）。 （二）整式的运算 1.整式的加减 核心操作：去括号（注意符号：−(a−b)=−a+b）+ 合并同类项（同类项：字母相同、相同字母指数相同，如3x2y与−5x2y）。 考法：化简求值（先化简代数式，再代入已知值计算）。 易错点：去括号时符号错误，或漏乘括号内的项。 2.整式的乘法 单项式 × 单项式：系数相乘（注意符号）、同底数幂相乘（am⋅an=am+n）、单独字母保留（如2x2y⋅3xz=6x3yz）。 单项式 × 多项式：分配律（a(b+c+d)=ab+ac+ad， 多项式 × 多项式： 法则：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd（逐项相乘再合并）。 常用乘法公式（中考高频）： 平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2（特征：两数和 × 两数差）。 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2（特征：两数和 / 差的平方，注意中间项是 “2 倍乘积”）。 拓展公式（部分地区考）： (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； (a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3（立方和）。 考法：公式的直接应用、公式逆用（为因式分解铺垫）、化简求值。 易错点：完全平方公式漏写中间项（如(a+b)2=a2+b2）； 符号错误（如(−a−b)2=(a+b)2，不是−(a+b)2）。 3.整式的除法 单项式 ÷ 单项式：系数相除、同底数幂相除（am÷an=am−n，m>n）、单独字母保留 多项式 ÷ 单项式：分配律（(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m， 【知识点02.因式分解】 （一）因式分解的概念 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式（与整式乘法是互逆运算，如x2−1=(x+1)(x−1)）。 注意：因式分解的结果必须是 “整式的积”，且分解到不能再分解为止（如x4−1要分解为(x2+1)(x+1)(x−1)，不能只到(x2+1)(x2−1)）。 （二）因式分解的方法（中考必考） 1.提公因式法 步骤：找出多项式各项的公因式（系数的最大公约数 + 相同字母的最低次幂），提取后写成 “公因式 × 另一个多项式”。 易错点：漏提公因式（如2x2−4x易写成2(x2−2x)，正确应为2x(x−2)）；提公因式后漏写 “1”（如a2−a=a(a−1)，不是a⋅a）。 2.公式法 平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)（特征：两项、符号相反、都是平方形式）。 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2（特征：三项、有两项是平方形式且符号相同、第三项是这两项底数乘积的 2 倍）。 拓展公式（部分地区考）： a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2； a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)（立方和 / 差）。 3.十字相乘法（中考高频，部分地区为重点） 形式 1：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)（二次项系数为 1，常数项拆为两个数的积，且和为一次项系数）。 形式 2：ax2+bx+c(a=1)（二次项系数拆为两个数的积，常数项拆为两个数的积，交叉相乘再相加等于一次项系数）。 4.分组分解法（部分地区考） 步骤：将多项式分组，每组分别分解后，再提取公因式。 （三）因式分解的一般步骤 先提公因式（优先提取，包括符号）； 再用公式法 / 十字相乘法 / 分组分解法； 最后检查是否分解彻底（每一个因式都不能再分解）。 【知识点03.代数式一因式分解的中考联考法】 1.结合二次根式：考查代数式有意义的条件（如分式 + 二次根式的定义域）。 2.结合方程 / 不等式：用因式分解解一元二次方程（如x2−3x+2=0分解为(x−1)(x−2)=0）。 3.结合函数：化简函数表达式（如二次函数解析式的因式分解形式）。 【知识点04.中考易错点警示】 1.代数式运算易错点：去括号漏变号、单项式乘多项式漏项；完全平方公式漏写 “2ab”、平方差公式用错。 2.因式分解易错点：提公因式漏提、提不彻底、首项为负漏提 “-”、提后漏写 “1”；分解不彻底（如x4−1未拆全）；十字相乘常数项拆分符号 / 系数错。 3.概念混淆易错点：单项式 / 多项式次数搞混；带分数与字母相乘未化假分数；把整式乘法当因式分解、因式分解结果含分式。 【题型1.代数式基础】 1．（2025·上海浦东新·模拟预测）中考新趋势是培养学生结合实际的开放性思维 对代数式“3x”，我们可以这样来解释：某人以米/秒的速度走了小时，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释： 【答案】香蕉每千克元，某人买了千克，共付款元(答案不唯一，合理即可) 【分析】本题考查了代数式在生活中的实际意义，代数式“”，是与的积，表示生活中的相乘计算，比如：香蕉每千克元，某人买了千克，共付款元． 【详解】解：香蕉每千克元，某人买了千克，共付款元． 故答案为：香蕉每千克元，某人买了千克，共付款元(答案不唯一)． 2．（2025·河南濮阳·一模）二次根式，给赋予一个实际意义为 ． 【答案】面积是的正方形的边长（答案不唯一） 【分析】本题考查了代数式的实际意义，二次根式的意义，根据代数式表示的实际意义的方法即可求解． 【详解】解：一个实际意义为：面积是的正方形的边长． 故答案为：面积是的正方形的边长（答案不唯一）． 3．（2025·河北邯郸·一模）表示代数式“”的意义正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式表示含义，整式合并同类项，整式加法，同底数幂相乘等．根据题意可知，继而得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 4．（2025·广东佛山·三模）若与的和是单项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同类项的定义，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据同类项的定义列出关于、的方程，求出、的值，代入计算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：； 5．（2025·吉林长春·模拟预测）某多项式按字母的降幂排列为：，则整数的值可能为 ．（写出一个即可） 【答案】2（或3） 【分析】本题考查了多项式降幂排列的定义，解题的关键是熟练掌握多项式降幂排列的定义．先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义即可求解． 【详解】解：某多项式按字母的降幂排列为：， ∴m的整数值可能为3或2． 故答案为：2（或3）． 6．（2025·上海·模拟预测）如果代数式为单项式，则p的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查单项式的概念，将代数式化为，根据单项式的概念即可得到答案． 【详解】解：， 要使其为单项式，则只可能为， 故， 故答案为：5． 7．（2025·云南昆明·三模）观察下列单项式：， ，则第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的变化规律，根据已知单项式找到规律即可，认真观察单项式是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ∴第个单项式是， 故选：． 8．（2025·重庆江津·一模.）如图，下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列代数式，解题的关键是理解题意；因此此题可根据图形及代数式的意义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：阴影部分的面积为或或， 所以不能表示阴影部分面积的只有C选项； 故选C． 9．（2025·湖北宜昌·二模）下列选项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度 B．整条线段的长 C．这个图形的面积 D．这个长方形的周长 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，熟练掌握计算线段的长度、长方形的周长及长方形的面积是解题的关键．根据计算线段的长度、长方形的周长及长方形的面积逐一判断即可求解． 【详解】解：A、整条线段长度为：，则错误，故本选项不符合题意； B、整条线段的长为：，则错误，故本选项不符合题意； C、这个图形的面积为：，则错误，故本选项不符合题意； D、这个长方形周长为：，则正确，故本选项符合题意， 故选：D． 10．（2025·甘肃定西·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】此题考查整式的混合运算及化简求值，先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则化简，再代入字母的值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵, ∴原式． 11．（2025·广西·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．利用平方差公式，单项式乘以多项式先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把代入化简后的结果计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 12．（2025·山东聊城·三模）已知，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要的考查整式的混合运算，先将变形为，再把整理为，最后整体代入计算即可 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：4． 13．（2025·江苏徐州·三模）已知，则 ． 【答案】10 【分析】此题考查了已知式子的值求代数式的值，正确理解已知代数式与所求代数式的关系正确变形代入是解题的关键． 将多项式变形代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ = ， 故答案为：． 【题型2.因式分解】 14．（2025·浙江杭州·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，掌握知识点是解题的关键． 根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15．（2025·江苏泰州·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再根据平方差公式分解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 16．（2025·江苏无锡·二模）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行分解． 先提取公因数为4，再将进行平方差公式分解． 【详解】解：原式， 故答案为． 17．（2025·安徽阜阳·一模）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握常见的因式分解法和定义成为解题的关键． 根据因式分解的定义、提公因式法、公式法、十字相乘法进行因式分解并判断即可解答． 【详解】解：A． ，故该选项符合题意； B． ，故该选项不符合题意； C． ，故该选项不符合题意；     D． 不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意． 故选：A． 18．（2025·上海静安·一模）下列多项式中，是完全平方式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据完全平方公式分别转化为完全平方式的形式即可求解． 【详解】A选项=，是完全平方式，符合题意 B选项=，不是完全平方式，不合题意误 C选项=，不是完全平方式，不合题意 D选项=，不是完全平方式，不合题意 故选：A 19．（2025·黑龙江绥化·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先提公因式，再利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为： 20．（2025·湖北十堰·一模）下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．根据十字相乘法，平方差公式和完全平方公式逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D正确，符合题意． 故选：D． 21．（2025·贵州·模拟预测）如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（    ） A．4 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和多项式的乘法．根据题意可将变为的形式，再根据题意进行判断即可． 【详解】解：由题意得， 二次三项式在整数范围内可因式分解为， ， ， 故选：C． 22．（2025·全国·一模）若多项式可分解为，则（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用公式法因式分解、完全平方公式等知识点，掌握因式分解的定义是解题的关键． 由题意可得，即，进而得到． 【详解】解：∵多项式可分解为， ∴， ∴， ∴，． 故选：B． 23．（2025·黑龙江·模拟预测）（1）计算：． （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，因式分解等知识． （1）先根据特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义化简，再算乘法，然后算加减即可； （2）整理后用完全平方公式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 24．（2025·上海·一模）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积，即可得解． 【详解】解：在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形， ∴第一个图形中剩余的面积为：， 由第一个图形可知，大平行四边形的高为：, ∴第二个图形的大平行四边形的面积为， ∴； 故选：C． 25．（2025·上海·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，前三项先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式即可完成分解． 【详解】解：， 故答案为：． 26．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了负整数指数幂，二次根式的混合运算，因式分解，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简负整数指数幂、绝对值，二次根式的乘法，再运算加减法，即可作答． （2）先运用提公因式进行因式分解，再结合平方差公式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（2025·宁夏银川·二模）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键． （1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，整体代入得出答案即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） 根据题意得：， ∴原式． 28．（2025·江苏扬州·三模）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；② 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解；②利用如解析图所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 【题型3.综合应用】 29．（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． (1)请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； (2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意，整理出代数式进行分析即可； （2）根据题意，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 得到的新的两位数为， ，且为整数， 这个新的两位数能被9整除； （2）解：由题意， 得， 解得． 30．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在中，，，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．根据平行线分线段成比例定理得到，把，，代入，然后利用比例性质即可得到的长． 【详解】解：， ． ，，， ，解得． 故答案为：4． 31.（2025·河南驻马店·三模）实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴上的点位置、化简二次根式、整式的加减运算法则等知识点，熟练掌握和运用各运算法则是解题的关键． 先由实数a、b在数轴上的位置可得，则，再根据二次根式的性质化简，最后根据整式的加减法则求解即可． 【详解】解：由实数a、b在数轴上的位置，可得， ∴， ∴ ． 故答案为：2． 32．（2025·浙江杭州·一模）（1）先化简，再求值：，其中， ． （2）解分式方程：． 【答案】（1），24；（2）无解 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解分式方程等知识． （1）利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a，b的值代入计算即可求解． （2）方程两边同时乘以，把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后即可得出分式方程的解． 【详解】解：（1） ， 当，时， 原式． （2）去分母得：， ， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根，原分式方程无解． 33．（2025·河北·一模）如图，一块矩形草坪的长为（a＋1）m，宽为（a）m（a1），现将草坪扩建后，长和宽都分别增加了2m． (1)求扩建前与扩建后矩形草坪的面积（用含a的代数式表示）； (2)若扩建后矩形草坪的面积增加了36，求扩建前这个矩形草坪的面积． 【答案】(1)扩建前：，扩建后： (2) 【分析】本题主要考查代数式的表示，多项式乘法运算以及通过建立方程解决的能力，准确计算是解题的关键． （1）扩建前后的面积均通过长宽计算，注意代数式的展开与化简； （2）利用扩建后面积与原面积的差建立方程，求解出未知数的值，进而求出原面积． 【详解】（1）矩形草坪的长为，宽为， 扩建前矩形草坪的面积为； 由题意可得，扩建后矩形草坪的长为，宽为， 扩建后矩形草坪的面积为； （2）由可得，扩建后矩形草坪的面积增加了， 。 解得：， ． 扩建前这个矩形草坪的面积为． 34．（2025·河北邯郸·二模）【方法】 有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和(和为非零数)作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项．例如：，A经过处理器得到． 【应用】 若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若，______， （2）若，求关于x的不等式的解集． 【延伸】 （3）已知，M是关于x的二次多项式，若是M经过处理器得到的一次多项式，求k的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了解不等式，多项式的次数和项的定义，代数式求值，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． （1）根据题目所给的转化方法即可解答； （2）先根据题目所给转化方法，将A转化为一次多项式，得出，根据，解不等式即可解答； （3）先根据二次多项式的定义，得出，再根据题目所给转化方法，得出m的值以及k的表达式，最后将m的值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴； 解得： （3）∵是关于的二次多项式， ∴，即， ∵是经过处理器得到的一次多项式，， ∴， ∴，． 35．（2025·江苏宿迁·三模）已知满足，则的最小值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了根的判别式，完全平方公式，设，又，则，所以，整理为，然后根据根的判别式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， 即， ∴的最小值为， 故答案为：． 36．（2025·河南郑州·三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成 的有机化合物，如图是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种化合物的分子结构模型中有4个氢原子，第2种化合物的分子结构模型中有6个氢原子，第3种化合物的分子结构模型中有8个氢原子……按照这一规律，这类化合物中某种化合物的分子结构模型中碳原子和氢原子的个数之和不可能是（   ） A．101 B．251 C．300 D．380 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化类—规律型，根据图形总结出第种化合物的分子结构模型中氢原子和碳原子个数和为， 从根据所给图形发现氢原子的个数依次增加个是解题的关键． 根据所给图形，依次求出模型中氢原子和碳原子的个数，总结规律即可解决问题． 【详解】解：第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为1， 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为2， 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为3， 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为4， ， 第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为n， ∴第种化合物的分子结构模型中氢原子和碳原子个数和为， 由得， 由得， 由得， 由得， 故选C ． 37．（2025·全国·一模）若，且，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．25 【答案】A 【分析】本题考查了整式乘法的应用，代数式求值等知识点，掌握多项式乘以多项式的乘法法则是解题的关键． 按照多项式的乘法法则进行计算后可得，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 38．（2025·江西九江·一模）如图，正方形的边长是1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续作图，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律，勾股定理，由特殊情况总结出一般规律，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理：， 按照此规律继续下去，则， 故答案为：． 39．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知方程有4个根，，，．则 【答案】 【分析】本题考查多项式方程根的相关性质、多项式乘以多项式及代数式的巧妙变形，关键在于得出． 根据方程的四个根得出，根据多项式乘以多项式法则展开，根据系数对应关系得出，利用平方差公式把所求式子变形，利用多项式乘以多项式法则得出，，利用平方差公式把所求式子变形即可得答案． 【详解】设多项式 有四根， ∴， ∴ 同理：， ∴ ． 故答案为： 40．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，，请用表示； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围为或． 【分析】本题主要考查二次函数的图象性质和解不等式组，平方差公式的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据二次函数的对称性即可得解； （2）根据二次函数的性质把，代入，整理得出，结合对称轴为，得出，则，再进行分类讨论，注意“对于，，都有，”的条件的充分运用，列出相应的不等式组，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，关于对称， ∵， ∴； （2）解：∵，是抛物线上任意两点， ∴把，分别代入 得出 ∵对于，，都有， ∴ 则 ∴ 则 整理得 ∵抛物线的对称轴为 ∴ 则 ∵ ∴ 第一种情况：当，且时 ∴，且 ∵对于，，都有， ∴且 ∴且 ∴； 第二种情况：当，且时 ∴，且 ∵对于，，都有， ∴且 ∴且 ∴； 综上或． 41．（2025·四川达州·三模）已知抛物线． (1)试说明：无论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个不同的交点； (2)当时，点，为抛物线上两点．试说明：无论n为何值，不等式恒成立； (3)如图，设该抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接．当m为何值时，平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）直接运用根的判别式证明即可； （2）易得抛物线解析式可化为，再把点，代入抛物线解析式可得，，然后运用作差法解答即可； （3）先求得、，即，再求出点；如图：过D作轴于E，则，，再说明，易得．再求出，最后根据正切函数列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与与x轴一定有两个不同的交点， ∵方程， ∴ ， ∴方程有两个不同的实数根， ∴无论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个不同的交点． （2）解：当时，抛物线解析式可化为：， 把点，代入抛物线解析式可得： ，， ∴， ∴． （3）解：令可得， ∴， ∴， ∴， 令可得，即，即， ∵抛物线， ∴对称轴为， 当时，， ∴， 如图：过D作轴于E，则，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 如图：作等腰直角三角形，，，则，作的角平分线，过D作 设， ∵的角平分线，，， ∴， ∵作等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴当时，平分． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象上的点、比较整式的大小、三角函数、等腰三角形的判定与性质等知识点，求得是解题的关键． 42．（2025·山东青岛·二模）如图，点，，，…，，为反比例函数（）图象上的点，其横坐标分别为1，2，3，…，，．过点，，，…，，为作轴垂线，垂足分别为点，，，…，，；连接，交于点，连接，交于点…；连接，点交于点，记的面积为，的面积为，的面积为． (1)当时，点的坐标为______；______； ______；______；（用含的代数式表示） (2)当时，______．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查反比例函数，一次函数交点的计算，几何图形面积的计算，掌握函数图象的性质，找出规律是解题的关键． （1）根据题意，得到点的坐标，根据得到对应阴影部分的面积，找出规律即可求解； （2）计算方法同（1）． 【详解】（1）解：当时，反比例函数解析式为， ∵点，，，…，，的横坐标分别为1，2，3，…，，， ∴， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴， 同理，直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ∴， 解得，， ∴，且， ∴ ， ， ∴， 同理，， ∴， ， 故答案为：； （2）解：当时，反比例函数解析式为， ∵点，，，…，，的横坐标分别为1，2，3，…，，， ∴， ∴， ∴， 同理，直线的解析式为， 直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴， 同理，直线的解析式为：，直线的解析式为：， 直线的解析式为：，直线的解析式为：， ∴，，且， ∴ ， ， ， ∴ ． 【题型4.新定义运算】 43．（2025·新疆·模拟预测）随着新疆旅游业的持续升温，喀什景区凭借其独特的人文风情与壮丽景色，成为了国内外游客心驰神往的热门打卡点．国庆假期第一天网络预约游客人，第二天网络预约游客人数比第一天的2倍多100人，则代数式“”的实际意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的游客人数 B．第二天比第一天多预约的游客人数 C．两天网络预约游客的总人数 D．第二天网络预约的游客人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的意义．根据第一天网络预约游客a人，得到第二天网络预约游客人，从而确定答案，准确用代数式表示相关数量是解决问题的关键． 【详解】解：第一天网络预约游客人，第二天人数为第一天的2倍加100，即． A：第一天比第二天多的人数应为，与代数式不符． B：第二天比第一天多的人数为，符合代数式． C：两天总人数为，不符． D：第二天人数为，不符． 故选：B． 44．（2025·浙江温州·一模）定义一种新运算：，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的混合运算、新定义，根据，可以将所求式子变形，然后化简即可，解题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【详解】解：∵， ∴ ， ， 故答案为：． 45．（2025·江苏连云港·模拟预测）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续奇数的平方差，并且这两个连续奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”． 例如：，且，所以是“差方数”． 则第个“差方数”是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式、“差方数”，设两个连续奇数为 和 ，其中 为正整数，根据差方数的定义可知，其中为偶数，为整数，根据“差方数”的定义可知，当时，代入求出第个“差方数”即可． 【详解】解：设两个连续奇数为 和 ，其中 为正整数， 则平方差为 ，即 ， 两个连续奇数的和为 ，且必须为某个正整数的平方， 设 ，则 ， 为整数， 必须为偶数， 令，则 ， 代入得 ， “差方数”为 ，其中 为正整数， 第个“差方数”对应， 即 ． 46．（2025·重庆·模拟预测）我们规定：一个四位正整数M，其各个数位上的数字均不为0，如果千位数字与百位数字之和为7，十位数字与个位数字之和为8，则称 为“齐发数”．把四位数 的千位数字与十位数字交换位置、百位数字与个位数字交换位置后得到新的四位数 规定 例如： ，∵，，∴是“齐发数”，则．如果“齐发数” ，则 ；已知四位自然数 是“齐发数”，若恰好能被8整除，则满足条件的数的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，列代数式，整式的加减，熟练掌握根据题意列式是解题的关键，根据题中“齐发数”的定义即可计算出的值，再根据题意求得，然后除以8，根据的取值找到满足条件的数的最大值． 【详解】解：∵“齐发数” ， ∴， ∴； ∵ 是“齐发数”， ∴千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵恰好能被8整除， ∴， ∴是8的倍数， ∵， ∴， ∴，即， ∴要求的最大值， ∴千位上的数字应尽可能大， ∵， 则百位上的尽可能小， ∴，， ∴，， ∴满足条件的数的最大值， 故答案为：；． 47．（2025·重庆·月考）规定：一个四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同，并满足千位数字是百位数字的倍，个位数字比十位数字大，则称这个四位数为“贰叁数”．若将的千位数字与百位数字组成的两位数记为，将的十位数字与个位数字组成的两位数记为，例如：当时，为，为．记，若一个“贰叁数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，当为整数时，则 ；且为完全平方数，则所有满足条件的正整数之和是 ． 【答案】 【分析】根据千位数字是百位数字的倍，个位数字比十位数字大，可得，，所以有，，且、均为整数，所以可得：，根据能被整除的数的个位是或，可知的个位数为或，又因为四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同，所以可知的个位数为； 把整理可得：，根据能被整除的数的个位数是或，可知的个位数是或，又因为的值为、、、，的值为、、、、、，可知的个位数不能是，只能是，又因为为完全平方数，所以只有当、和当，时满足条件，求出此时的即可． 【详解】解：的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ，， 则有，，且、均为整数， ，， ， 为整数， 的个位数为或， 的个位数为或， 或， 四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同， 的个位数为， ； 解：为完全平方数， 整理得：， 的个位数是或， 的个位数是或， 的值为、、、，的值为、、、、、， 若的个位是， 当，时，， 不是完全平方数， 不符合题意； 当，时，， 是完全平方数， 符合题意， 此时，， ； 当，时， ， 不是完全平方数， 不符合题意； 当，时， ， 是完全平方数， 此时，， ； 是偶数， 的个位不可能是， 符合条件的有和， 所有满足条件的正整数之和是． 故答案为： ；． 【点睛】本题考查了新定义计算、有理数的运算、列代数式、整式的加减运算、完全平方数，解决本题的关键是根据千位数字是百位数字的倍，个位数字比十位数字大，得到：，，列出关于、的代数式． 48．（2025·重庆·模拟预测）一个四位自然数，其中各数位上数字均不为零．如果的千位数字和十位数字组成的两位数与的百位数字和个位数字组成的两位数的和等于，那么就称这个数为“源数”．把“源数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：四位数，∵，∴为“源数”，且 ．按照这个规定，最大的“源数”是 ；若是“源数”，与均为完全平方数，，则满足条件的为 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，有理数的混合运算，根据定义及题意可得，，，，，要使最大，则越大越好，则，继而确定、、的值；先确定，根据为完全平方数，，，，，推出，即，然后分情况讨论即可得出结论．根据题意列出代数式再计算求值是解题的关键， 【详解】解：∵一个四位自然数，其中各数位上数字均不为零，， ∴，即， ∴，，，， 要使最大，则越大越好， ∴，， ∴， ∴， 要使最大，则越大越好， ∴，， ∴最大的“源数”是； ∵， ∴， ∴， ， ∵为完全平方数，，，，， ∴，此时， ∴，即， 当时，，则，，得， ∵不是完全平方数，则不符合题意； 当时，，则，，得， ∵不是完全平方数，则不符合题意； 当时，，则，，得， ∵不是完全平方数，则不符合题意； 当时，，则，，得， ∵是完全平方数，则符合题意； ∴满足条件的为． 故答案为：；． .49．（2025·重庆·二模）我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为7，则称A为“积减数”，并把A分解成的过程称为“积减分解”．例如：因为，15与12的十位数字相同，个位数字5与2的和为7，所以45是“积减数”．按照这个规定，最小的“积减数”是 ，把一个“积减数”A进行“积减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B与m的差除以17的余数为15，则满足条件的所有正整数A的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，整式的运算，设m的十位数字为a，个位数字为b，可得，然后求出“积减数”最小时，，；表示，即可得到余数为且，然后对a，b取不同的整数解计算得到A的值求和即可． 【详解】解：， 设m的十位数字为a，个位数字为b，则，， ∴， ∵“积减数”最小，又是正整数， ∴，， ∴最小的“积减数”是； ∵， ∴， ∴，且， 当时，余数为， 即，则； 当时，余数为， 即，则； 当时，余数为，无解； 当时，余数为， 即，则； 满足条件的所有正整数A的和为， 故答案为：，． 50．（2025·四川资阳·二模）阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解． 阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”． (1)在7和2中是“风月同天数”的是 ； (2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由； (3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解． 【答案】(1)7 (2) (3)或 【分析】本题考查了平方差公式的应用，完全平方公式的应用，因式分解的应用，二元一次方程组的解法，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解． （1）根据风月同天数的定义进行判断． （2）由题意可得，结合概念可得，进一步可得答案． （3）根据题意得：或，然后分情况分别计算即可． 【详解】（1）解：7是风月同天数，2不是风月同天数，理由如下： 设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则，即7是风月同天数； 设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， ∴，， 解得，， 因为a，b的值不是正整数，所以2不是“风月同天数”； （2）解：∵ ， ∵M是“风月同天数”， ∴， 解得：． （3）解：根据题意得：或， 当时，设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则； 当时，设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，这种情况不存在； 当，， 解得，， a，b是正整数，符合题意，故； 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，故这种情况不存在； 综上所述：N的所有平方差分解为：或． 51．（2025·广东珠海·三模）定义：如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数（a，b为正整数，且），则称正整数n为“智慧数”．例如：，是“智慧数”． 探究问题： 探究1：“智慧数”一定是什么数？ 假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使（a，b为正整数，且）． 可分为情况1：a、b均为奇数，或均为偶数；情况2：a、b为一奇数、一偶数这两种情况讨论． 讨论结果为：“智慧数”是奇数或4的倍数． 探究2：所有奇数和4的倍数都一定是“智慧数”吗？ 我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 先列举几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①～⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这些“智慧数”分成两类． 所以我们把这些“智慧数”分成两类， 表一 实际应用： （4）若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是，则这个直角三角形纸片的周长是 ． 【答案】（1）6，5；（2）见解析；（3）7，5；（4）24或40 【分析】本题主要考查了整数问题的综合运用，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案，根据“智慧数”的定义和规律即可解答． （1）根据定义进行解答即可； （2）证明，即表示所有4的倍数（4除外），即可得到结论； （3）根据定义进行解答即可； （4）根据即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴11是“智慧数”， 故答案为：； （2）验证：设（，且k为整数） ∵ ∴是“智慧数” 又∵ ∴，即表示所有4的倍数（4除外） ∴所有4的倍数（4除外）都是“智慧数” （3）∵， ∴24“智慧数”， 故答案为：； （4）， 这个直角三角形纸片的周长是或 故答案为：24或40 52．（2025·安徽宣城·三模）对于一个正整数，若能写成：（为正整数），且（其中为自然数），则称为“幸运整数”．例如：当时，，则，所以12是“幸运数”． (1)求三位数中最大的“幸运整数”； (2)如果两个“幸运整数”的差是72，求这两个“幸运整数”． 【答案】(1)903； (2)84和12． 【分析】本题考查的是整式乘法、因式分解的应用，熟练掌握其应用方法是解题的关键． （1）根据题意，先求得，计算知当时，，当时，，即可得出结果； （2）由（1）知：“幸运整数”可表示为（为自然数），则当时得到两个“幸运整数”为3 ，由题意可知：，即，根据m， n为自然数，可得，将其代入计算即可． 【详解】（1）解：， ． 为自然数， 当时，， 当时，， 三位数中最大的“幸运整数”是903； （2）解：由（1）知：“幸运整数”可表示为（为自然数）， 则时得到两个“幸运整数”为：， 由题意：． ， ， ． 为自然数， ∴或， 解方程组得：或（舍去）， ． ． 这两个“幸运整数”分别为84和12． 【题型5.规律探究】 53．（2025·陕西宝鸡·二模）棋源自中国，围棋中棋子与棋盘体现出古代“天圆地方”的东方哲学如图是由棋子摆成的图案，第个图案中有颗棋子，第个图案中有颗棋子，第个图案中有颗棋子，第个图案中有颗棋子，按此规律摆放，第个图案中有 颗棋子．用含的代数式表示    【答案】 【分析】本题考查规律型：图形的变化． 仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解． 【详解】解：第个图案中“”有：颗， 第个图案中“”有：颗， 第个图案中“”有：颗， 第个图案中“”有颗， 故答案为：． 54．（2025·江苏连云港·模拟预测）有这样一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得．第二步：算出的各位数字之和得，计算得．第三步：算出的各位数字之和得，计算得……以此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代入求值，数字规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算发现的值循环出现，周期为3，据此进行解答即可． 【详解】解：由题意， ； ； ； ； …， 发现的值是循环出现，周期为3， ， 故． 故答案为：． 55．（2025·河南郑州·一模）已知整数，满足下列条件：，，，，，…，依此类推，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握通过计算前几项归纳数列的奇偶项规律是解题的关键． 先计算数列的前几项，归纳出奇数项和偶数项的规律，再代入（奇数）求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， …， ∴ 当为奇数时，；当为偶数时，； ∵ 是奇数， ∴ ， 故选：A． 56．（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 【答案】(1)；； (2)存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383 【分析】本题考查了图形的变化类问题．解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律． 仔细观察图形发现：每一个图形的中心有一个圆，周围是图形序数减1的差乘图形序数2倍减1的差．利用这一规律解题即可． 【详解】（1）解：补充航航同学的分析： ， ． 补充悦悦同学的分析： 图n中有个圆， ∴． 故答案为：37；；． （2）解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383， 由题意得， 解得，（舍去）， 存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383. 57．（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3），然后求和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 58．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，的周长为4个单位长度，在的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，重合的点简记为，再将沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，则运动2025秒时，重合的点简记为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的周长相关知识、数轴上的运动以及周期性规律．求解出的运动终点是解决本题的关键． 先确定圆滚动一周的距离，再根据运动时间计算滚动的周数和额外的距离，从而确定重合点的坐标． 【详解】解：的周长为4个单位长度，在的4等分点处分别标0，1，2，3． 沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动， 运动2025秒时，上的点与数轴上表示的点重合． 的运动起点为， 当时，运动秒的终点为， 运动秒的终点为， 运动秒的终点为， 运动秒的终点为． ， 当时，的运动终点为． 故选：D． 59．（2025·重庆·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意发现方格中各部分数字的变化规律及之间的关系是解题的关键． 根据所给方格中的数字，发现数字的变化规律即可解决问题． 【详解】每个方格中左上角的数字依次为， 所以第n个方格中左上角的数字可表示为， 每个方格左下角的数字是左上角数字的一半，所以第n个方格中左下角的数字可表示为， 每个方格右上角数字比左上角的数字大5，所以第n个方格中右上角的数字可表示为: ， 当时，，，， 又， 所以． 故选：B． 60．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知 ，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用完全平方公式和平方差公式进行变形求值，解决此题的关键是正确的计算；先运用完全平方公式得到，再运用平方差公式即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 故， ∴， 故， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型6.综合探究】 61．（2025·云南昆明·三模）按一定规律排列的代数式：，，，，…，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了数字的变化规律，解此题的关键是明确题意，发现常数项和字母指数的变化特点及规律． 观察代数式的常数项和x的指数部分各自的规律，分别推导出第n项的表达式，再结合选项判断． 【详解】解：当时，第一个代数式为：， 当时，第二个代数式为：， 当时，第三个代数式为：， 当时，第四个代数式为：， ∴第n个代数式是． 故选：A． 62．（2025·江苏泰州·一模）如果，那么的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，同底数幂乘法，幂的乘方的逆运算．由条件可得 ，再将转化为，利用同底数幂乘法法则计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ， 则， 故答案为：9． 63．（2025·山东泰安·一模）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．将表示为 ，再代入已知条件计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 64．（2025·安徽淮南·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，同底数幂的乘除法、幂的乘方运算法则． 分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法、幂的乘方运算法则判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，故计算错误，不符合题意； B、，故计算错误，不符合题意； C、，故计算正确，符合题意； D、，故计算错误，不符合题意； 故选：C． 65．（2025·广东清远·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项等知识，根据各自的运算法则一一计算即可得出答案． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 66．（2025·陕西西安·模拟预测）下列各式计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据合并同类项法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 67．（2025·河北邯郸·三模）已知，若计算的结果为整式，则“”表示的式子不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘除法和整式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．将分式除法转化为乘法，约分后分析分母是否被完全约去，从而判断结果是否为整式． 【详解】解：原式化简为： 结果为整式时，分母必须能被分子整除， A：，则，为整式，可能； B：，则，为整式，可能； C：，则无法约分，结果非整式，不可能； D：，则，为整式，可能； 综上，“○”表示的式子不可能是C． 故选：C． 68．（2025·江苏无锡·二模）若一个多项式同时满足条件：①各项系数均为整数，②按某个字母“降幂排列”，③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式是“和谐多项式”，多项式是的“和谐多项式”． (1)把多项式按的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”？ (2)若关于，的多项式是的“和谐多项式”，求的值； (3)已知，均为关于，的三次三项式，其中，（，为整数），若新多项式是“和谐多项式”，且，求式子的值． 【答案】(1)，不是； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了整式的加减，有理数的大小比较，有理数的混合运算，对新定义的正确理解是解答问题的关键． （1）用和谐多项式的定义即可判断； （2）按b的降幂排列后，由和谐多项式的定义可知，即可求得； （3）计算出后，分情况分别讨论，求得m的值，代入整式即可求得式子的值． 【详解】（1）解：按的降幂排列：， 因为，，所以， 所以多项式 不是“和谐多项式”． （2）解：把多项式 按的降幂排列为． 因为多项式 是的“和谐多项式”， 所以．因为为整数，所以． （3）解：． 因为，所以不是的和谐多项式． 把原多项式按的降幂排列为． 由题意，得，所以，． 而，所以．所以． 所以． 69．（2025·黑龙江大庆·三模）先化简，再求值：，其中m满足． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入即可得出答案． 【详解】解：原式 ， 当，即时， 原式 70．（2025全国一模）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 先估算的大小后即可求得，的值，然后代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， 则，， 那么， 故选：D． 71．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是把a、b看作是方程的解，然后根据根与系数的关系解题．分两种情况：当时，直接计算表达式；当时，将a和b视为方程的两个根，利用根与系数关系求和，再化简表达式即可． 【详解】解：①当时： ∵a和b满足，且（因为代入得）， ∴原式； ②当时： ∵a和b是方程的两个根， ∴，， 原式， ∵， ∴分子，分母， ∴原式， 综上所述，原式的值为2或． 故选：C． 72．（2021·江苏南通·二模）若a，b是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，由一元二次方程的解求参数，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用根与系数的关系得到两根之和，并将代入方程化简求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即． ∴． 由根与系数的关系，， ∴． 即． 故答案为：1． 73．（2025·四川成都·一模）已知，a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，并利用方程变形简化表达式． 【详解】解：由根与系数的关系，得，． 由于a是方程的根，故，即， 所以． 因此，（，由 知）． 原式． 代入，得． 故答案为：4． 74．（2025·山东淄博·二模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握根与系数的关系． 先根据一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将待求式子提取公因式后整体代入求值． 【详解】解：∵若，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 75．（2025·山东菏泽·二模）已知是关于的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于的二次多项式，且关于的方程的解为负整数，则当为整数时， ． 【答案】 【分析】本题主要考查定义新概念问题，解体的关键是理解定义新概念及整式的定义． 根据题目已知的定义新概念，写出导出整式，再用m表示出方程的解．根据解为负整数，则当为整数时，即可求出答案． 【详解】解：由导出整式的定义可知， ∴，解得． 由于的解为负数，则，且或， 解得或， 由于是关于x的二次多项式，则，即 综上所述，． 故答案为：． 76．（2025·全国·一模）已知，能使等式恒成立的运算符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，完全平方公式，平方差公式等运算，解题的关键是掌握分式混合运算的法则．利用分式的加减乘除进行逐项判断即可． 【详解】解：A. ， 不符合题意； B. ， 不符合题意； C. ， 不符合题意； D. ， 符合题意； 故选：D． 77．（2025·重庆·模拟预测）已知整式M：，其中n，，，为自然数，为正整数，且满足，其中表示中最大的数．下列说法： ①满足条件的整式M 中只有4个单项式； ②在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为6； ③当时，满足条件的整式M 共有19个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查整式的相关定义，熟练理解题意，并分别列式讨论是解题的关键．先根据题意结合对时、时、时、时、时进行讨论，再判断各选项即可． 【详解】解：当时，， ∵ ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，，，，，，，，，； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，，，； 当时， ∵为正整数，. ∴，即不满足题意， 综上，满足题意得单项式有，，，，共4个，故①正确； 在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为当，对应的值为时，为（或当，对应的值为时），故②正确； 当时，满足条件的整式M 共有个，故③错误； 综上，正确的有2个， 故选：B． 78．（2025·重庆·三模）已知关于x的整式，其中a，b，c，d，e为整数，，且满足下列说法； ①所有满足条件的整式M中，不存在其中两个整式的和为单项式； ②若，则满足条件的整式M共有6个； ③满足条件的所有整式M共有个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据满足条件的两个整式M的和为单项式，需满足两个整式中的对应系数互为相反数，由此可判断①； 当时，根据所给条件，列出所有可能，由此可判断②； 以此类推分、两种情况，求出满足条件的系数取值，得出满足条件的所有整式M总个数，由此可判断③． 【详解】①要使满足条件的两个整式M的和为单项式，则需满足两个整式中的对应系数互为相反数，这与系数递减的条件矛盾，即不存在，①说法正确； ②当时， a，b可从5，4，3，2中取满足条件的值为：，或，或，或，或，或，共6种； d，e可从0，，，中取满足条件的值为，或，或，或，或，或，共6种； 再根据的条件，可得满足条件的有： ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； 共8个，故②错误； ③以此类推当时，满足条件的系数取值为： ，，，，； ，，，，； 共2个； 当时，满足条件的系数取值为： ，，，，； ，，，，；共2个； 当时，满足条件的系数取值为： ，共1个， 综上，满足条件的所有整式M共个，③错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式的有关概念，整数的不等关系，绝对值的性质，整式的加减运算，分类讨论思想的运用，解题关键是根据且为整数、这一条件，枚举并分析的所有可能取值，进而逐一验证． 79．（2025·山东临沂·二模）甲、乙、丙、丁四张卡片，正面分别写有，，，，四张卡片除正面的代数式不同外，其余均相同．现将四张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取两张，则两张卡片上代数式的和为整式的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加法运算，整式和概率，求出两张卡片上代数式的和的所有结果，进而根据概率公式计算即可求解，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 随机抽取两张卡片，两张卡片上代数式的和如下： ； ； ； ； ； ； 由上可知，共有种等结果，其中和为整式的结果有种， ∴两张卡片上代数式的和为整式的概率是， 故选：． 80．（2025·浙江·模拟预测）把数字1，2，3，… ，9分别填入右图的9个圈内，要求和的每条边上三个圈内数之和等于18，共有种不同填法，则(     ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查数的总和计算、方程思想及排列组合，解题的关键是通过边的总和与数字总和，确定关键位置 顶点、 顶点及中点）的数字组合，再统计排列数． 先算 总和为；设顶点和为、顶点和为、中点和为，由“每条边和为”得：条边总和条边总和，结合，联立解得、、；由此确定（4、5、6）、（7、8、9）、（1、2、3），再统计的排列数即为总填法． 【详解】解：∵总和，设顶点和、顶点和、中点和， ∴， 联立解得：，，． ∵中仅1、2、3和为6，故中点为1、2、3； ∵中仅7、8、9和为，故顶点为7、8、9； ∵，剩余4、5、6和为，故顶点为4、5、6． 顶点（4、5、6）可全排列，共种； 顶点及中点由顶点唯一确定（如、时,，无需额外排列． 综上，总填法6种，对应选项C． 故选：C． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02代数式与因式分解中考一轮复习核心讲义 1.概念精准化:清晰区分整式、分式、单项式、多项式的定义，掌握因式分解与整式乘法的互逆关系，避免概念混淆。 2.运算熟练化:熟练掌握整式加减乘除、分式约分通分及四则运算，准确运用平方差、完全平方等公式，杜绝去括号漏变号、公式漏项等运算错误。 3.方法规范化:掌握因式分解 “先提公因式，再用公式法 / 十字相乘法” 的步骤，确保分解彻底；明确分式有意义、值为 0 的条件，解题步骤严谨。 4.应用灵活化:能运用代数式运算、因式分解解决化简求值、解方程、函数解析式变形等综合题型，提升知识迁移能力。 5.纠错常态化:精准规避中考高频易错点，形成自查习惯，减少因粗心或公式误用导致的丢分。 核心知识 点梳理 1.代数式 2.因式分解 3.代数式因式分解中考联考法 4.中考易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.代数式基础(概念.书写.化简求值) 2.因式分解(提公因式.公式法.十字相乘法) 3.综合应用(方程.不等式.函数.几何) 4.新定义运算(代数式背景) 5.规律探究(代数式/图形规律) 6.综合探究(开放性.跨知识点融合) 【知识点01.代数式】 （一）代数式的基础概念 1.代数式的分类 整式：单项式（数或字母的积，如3x2、−5）、多项式（几个单项式的和，如2x+y−1）。 分式：分母含字母且不为 0 的式子 根式：含根号的式子（如、，中考中常结合二次根式考查）。 2.代数式的书写规范 数字与字母相乘，数字写在字母前（如3a，不是a3）；带分数要化为假分数（如x，不是2x）。 除号用分数线表示（如a÷b写为）。 （二）整式的运算 1.整式的加减 核心操作：去括号（注意符号：−(a−b)=−a+b）+ 合并同类项（同类项：字母相同、相同字母指数相同，如3x2y与−5x2y）。 考法：化简求值（先化简代数式，再代入已知值计算）。 易错点：去括号时符号错误，或漏乘括号内的项。 2.整式的乘法 单项式 × 单项式：系数相乘（注意符号）、同底数幂相乘（am⋅an=am+n）、单独字母保留（如2x2y⋅3xz=6x3yz）。 单项式 × 多项式：分配律（a(b+c+d)=ab+ac+ad， 多项式 × 多项式： 法则：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd（逐项相乘再合并）。 平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2（特征：两数和 × 两数差）。 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2（特征：两数和 / 差的平方，注意中间项是 “2 倍乘积”）。 拓展公式（部分地区考）： (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； (a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3（立方和）。 考法：公式的直接应用、公式逆用（为因式分解铺垫）、化简求值。 易错点：完全平方公式漏写中间项（如(a+b)2=a2+b2）； 符号错误（如(−a−b)2=(a+b)2，不是−(a+b)2）。 3.整式的除法 单项式 ÷ 单项式：系数相除、同底数幂相除（am÷an=am−n，m>n）、单独字母保留 多项式 ÷ 单项式：分配律（(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m， 【知识点02.因式分解】 （一）因式分解的概念 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式（与整式乘法是互逆运算，如x2−1=(x+1)(x−1)）。 注意：因式分解的结果必须是 “整式的积”，且分解到不能再分解为止（如x4−1要分解为(x2+1)(x+1)(x−1)，不能只到(x2+1)(x2−1)）。 1.提公因式法 步骤：找出多项式各项的公因式（系数的最大公约数 + 相同字母的最低次幂），提取后写成 “公因式 × 另一个多项式”。 易错点：漏提公因式（如2x2−4x易写成2(x2−2x)，正确应为2x(x−2)）；提公因式后漏写 “1”（如a2−a=a(a−1)，不是a⋅a）。 2.公式法 平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)（特征：两项、符号相反、都是平方形式）。 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2（特征：三项、有两项是平方形式且符号相同、第三项是这两项底数乘积的 2 倍）。 拓展公式（部分地区考）： a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2； a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)（立方和 / 差）。 形式 1：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)（二次项系数为 1，常数项拆为两个数的积，且和为一次项系数）。 形式 2：ax2+bx+c(a=1)（二次项系数拆为两个数的积，常数项拆为两个数的积，交叉相乘再相加等于一次项系数）。 4.分组分解法（部分地区考） 步骤：将多项式分组，每组分别分解后，再提取公因式。 （三）因式分解的一般步骤 先提公因式（优先提取，包括符号）； 再用公式法 / 十字相乘法 / 分组分解法； 最后检查是否分解彻底（每一个因式都不能再分解）。 【知识点03.代数式一因式分解的中考联考法】 1.结合二次根式：考查代数式有意义的条件（如分式 + 二次根式的定义域）。 2.结合方程 / 不等式：用因式分解解一元二次方程（如x2−3x+2=0分解为(x−1)(x−2)=0）。 3.结合函数：化简函数表达式（如二次函数解析式的因式分解形式）。 【知识点04.中考易错点警示】 1.代数式运算易错点：去括号漏变号、单项式乘多项式漏项；完全平方公式漏写 “2ab”、平方差公式用错。 2.因式分解易错点：提公因式漏提、提不彻底、首项为负漏提 “-”、提后漏写 “1”；分解不彻底（如x4−1未拆全）；十字相乘常数项拆分符号 / 系数错。 3.概念混淆易错点：单项式 / 多项式次数搞混；带分数与字母相乘未化假分数；把整式乘法当因式分解、因式分解结果含分式。 【题型1.代数式基础】 1．（2025·上海浦东新·模拟预测）中考新趋势是培养学生结合实际的开放性思维 对代数式“3x”，我们可以这样来解释：某人以米/秒的速度走了小时，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释： 2．（2025·河南濮阳·一模）二次根式，给赋予一个实际意义为 ． 3．（2025·河北邯郸·一模）表示代数式“”的意义正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东佛山·三模）若与的和是单项式，则 ． 5．（2025·吉林长春·模拟预测）某多项式按字母的降幂排列为：，则整数的值可能为 ．（写出一个即可） 6．（2025·上海·模拟预测）如果代数式为单项式，则p的值为 ． 7．（2025·云南昆明·三模）观察下列单项式：， ，则第个单项式是（     ） A． B． C． D． 8．（2025·重庆江津·一模.）如图，下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·湖北宜昌·二模）下列选项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度 B．整条线段的长 C．这个图形的面积 D．这个长方形的周长 10．（2025·甘肃定西·三模）先化简，再求值：，其中． 11．（2025·广西·一模）先化简，再求值：，其中． 12．（2025·山东聊城·三模）已知，则的值是 ． 13．（2025·江苏徐州·三模）已知，则 ． 【题型2.因式分解】 14．（2025·浙江杭州·二模）因式分解： ． 15．（2025·江苏泰州·二模）因式分解： ． 16．（2025·江苏无锡·二模）分解因式： ． 17．（2025·安徽阜阳·一模）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·上海静安·一模）下列多项式中，是完全平方式的为（   ） A． B． C． D． 19．（2025·黑龙江绥化·二模）因式分解： ． 20．（2025·湖北十堰·一模）下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（2025·贵州·模拟预测）如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（    ） A．4 B． C．7 D． 22．（2025·全国·一模）若多项式可分解为，则（   ） A．8 B． C．4 D． 23．（2025·黑龙江·模拟预测）（1）计算：． （2）分解因式：． 24．（2025·上海·一模）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 25．（2025·上海·模拟预测）因式分解： ． 26．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）计算： (1) (2)． 27．（2025·宁夏银川·二模）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 28．（2025·江苏扬州·三模）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 【题型3.综合应用】 29．（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． (1)请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； (2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 30．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在中，，，，，则 ． 31.（2025·河南驻马店·三模）实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 32．（2025·浙江杭州·一模）（1）先化简，再求值：，其中， ． （2）解分式方程：． 33．（2025·河北·一模）如图，一块矩形草坪的长为（a＋1）m，宽为（a）m（a1），现将草坪扩建后，长和宽都分别增加了2m． (1)求扩建前与扩建后矩形草坪的面积（用含a的代数式表示）； (2)若扩建后矩形草坪的面积增加了36，求扩建前这个矩形草坪的面积． 34．（2025·河北邯郸·二模）【方法】 有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和(和为非零数)作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项．例如：，A经过处理器得到． 【应用】 若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若，______， （2）若，求关于x的不等式的解集． 【延伸】 （3）已知，M是关于x的二次多项式，若是M经过处理器得到的一次多项式，求k的值． 35．（2025·江苏宿迁·三模）已知满足，则的最小值为 ． 36．（2025·河南郑州·三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成 的有机化合物，如图是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种化合物的分子结构模型中有4个氢原子，第2种化合物的分子结构模型中有6个氢原子，第3种化合物的分子结构模型中有8个氢原子……按照这一规律，这类化合物中某种化合物的分子结构模型中碳原子和氢原子的个数之和不可能是（   ） A．101 B．251 C．300 D．380 37．（2025·全国·一模）若，且，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．25 38．（2025·江西九江·一模）如图，正方形的边长是1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续作图，则的值为 ． 39．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知方程有4个根，，，．则 40．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，，请用表示； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 41．（2025·四川达州·三模）已知抛物线． (1)试说明：无论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个不同的交点； (2)当时，点，为抛物线上两点．试说明：无论n为何值，不等式恒成立； (3)如图，设该抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接．当m为何值时，平分． 42．（2025·山东青岛·二模）如图，点，，，…，，为反比例函数（）图象上的点，其横坐标分别为1，2，3，…，，．过点，，，…，，为作轴垂线，垂足分别为点，，，…，，；连接，交于点，连接，交于点…；连接，点交于点，记的面积为，的面积为，的面积为． (1)当时，点的坐标为______；______； ______；______；（用含的代数式表示） (2)当时，______．（用含的代数式表示） 【题型4.新定义运算】 43．（2025·新疆·模拟预测）随着新疆旅游业的持续升温，喀什景区凭借其独特的人文风情与壮丽景色，成为了国内外游客心驰神往的热门打卡点．国庆假期第一天网络预约游客人，第二天网络预约游客人数比第一天的2倍多100人，则代数式“”的实际意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的游客人数 B．第二天比第一天多预约的游客人数 C．两天网络预约游客的总人数 D．第二天网络预约的游客人数 44．（2025·浙江温州·一模）定义一种新运算：，则 ． 45．（2025·江苏连云港·模拟预测）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续奇数的平方差，并且这两个连续奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”． 例如：，且，所以是“差方数”． 则第个“差方数”是 ． 46．（2025·重庆·模拟预测）我们规定：一个四位正整数M，其各个数位上的数字均不为0，如果千位数字与百位数字之和为7，十位数字与个位数字之和为8，则称 为“齐发数”．把四位数 的千位数字与十位数字交换位置、百位数字与个位数字交换位置后得到新的四位数 规定 例如： ，∵，，∴是“齐发数”，则．如果“齐发数” ，则 ；已知四位自然数 是“齐发数”，若恰好能被8整除，则满足条件的数的最大值是 ． 47．（2025·重庆·月考）规定：一个四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同，并满足千位数字是百位数字的倍，个位数字比十位数字大，则称这个四位数为“贰叁数”．若将的千位数字与百位数字组成的两位数记为，将的十位数字与个位数字组成的两位数记为，例如：当时，为，为．记，若一个“贰叁数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，当为整数时，则 ；且为完全平方数，则所有满足条件的正整数之和是 ． 48．（2025·重庆·模拟预测）一个四位自然数，其中各数位上数字均不为零．如果的千位数字和十位数字组成的两位数与的百位数字和个位数字组成的两位数的和等于，那么就称这个数为“源数”．把“源数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：四位数，∵，∴为“源数”，且 ．按照这个规定，最大的“源数”是 ；若是“源数”，与均为完全平方数，，则满足条件的为 .49．（2025·重庆·二模）我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为7，则称A为“积减数”，并把A分解成的过程称为“积减分解”．例如：因为，15与12的十位数字相同，个位数字5与2的和为7，所以45是“积减数”．按照这个规定，最小的“积减数”是 ，把一个“积减数”A进行“积减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B与m的差除以17的余数为15，则满足条件的所有正整数A的和为 ． 50．（2025·四川资阳·二模）阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解． 阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”． (1)在7和2中是“风月同天数”的是 ； (2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由； (3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解． 51．（2025·广东珠海·三模）定义：如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数（a，b为正整数，且），则称正整数n为“智慧数”．例如：，是“智慧数”． 探究问题： 探究1：“智慧数”一定是什么数？ 假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使（a，b为正整数，且）． 可分为情况1：a、b均为奇数，或均为偶数；情况2：a、b为一奇数、一偶数这两种情况讨论． 讨论结果为：“智慧数”是奇数或4的倍数． 探究2：所有奇数和4的倍数都一定是“智慧数”吗？ 我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 先列举几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①～⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这些“智慧数”分成两类． 所以我们把这些“智慧数”分成两类， 表一 实际应用： （4）若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是，则这个直角三角形纸片的周长是 ． 52．（2025·安徽宣城·三模）对于一个正整数，若能写成：（为正整数），且（其中为自然数），则称为“幸运整数”．例如：当时，，则，所以12是“幸运数”． (1)求三位数中最大的“幸运整数”； (2)如果两个“幸运整数”的差是72，求这两个“幸运整数”． 【题型5.规律探究】 53．（2025·陕西宝鸡·二模）棋源自中国，围棋中棋子与棋盘体现出古代“天圆地方”的东方哲学如图是由棋子摆成的图案，第个图案中有颗棋子，第个图案中有颗棋子，第个图案中有颗棋子，第个图案中有颗棋子，按此规律摆放，第个图案中有 颗棋子．用含的代数式表示    54．（2025·江苏连云港·模拟预测）有这样一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得．第二步：算出的各位数字之和得，计算得．第三步：算出的各位数字之和得，计算得……以此类推，则的值为 ． 55．（2025·河南郑州·一模）已知整数，满足下列条件：，，，，，…，依此类推，则（   ） A． B． C． D． 56．（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 57．（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 58．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，的周长为4个单位长度，在的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，重合的点简记为，再将沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，则运动2025秒时，重合的点简记为（    ） A． B． C． D． 59．（2025·重庆·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 60．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知 ，则 ． 【题型6.综合探究】 61．（2025·云南昆明·三模）按一定规律排列的代数式：，，，，…，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 62．（2025·江苏泰州·一模）如果，那么的值为 ． 63．（2025·山东泰安·一模）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 64．（2025·安徽淮南·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 65．（2025·广东清远·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 66．（2025·陕西西安·模拟预测）下列各式计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 67．（2025·河北邯郸·三模）已知，若计算的结果为整式，则“”表示的式子不可能是（    ） A． B． C． D． 68．（2025·江苏无锡·二模）若一个多项式同时满足条件：①各项系数均为整数，②按某个字母“降幂排列”，③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式是“和谐多项式”，多项式是的“和谐多项式”． (1)把多项式按的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”？ (2)若关于，的多项式是的“和谐多项式”，求的值； (3)已知，均为关于，的三次三项式，其中，（，为整数），若新多项式是“和谐多项式”，且，求式子的值． 69．（2025·黑龙江大庆·三模）先化简，再求值：，其中m满足． 70．（2025全国一模）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 71．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 72．（2021·江苏南通·二模）若a，b是一元二次方程的两根，则 ． 73．（2025·四川成都·一模）已知，a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 74．（2025·山东淄博·二模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 75．（2025·山东菏泽·二模）已知是关于的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于的二次多项式，且关于的方程的解为负整数，则当为整数时， ． 76．（2025·全国·一模）已知，能使等式恒成立的运算符号是（   ） A． B． C． D． 77．（2025·重庆·模拟预测）已知整式M：，其中n，，，为自然数，为正整数，且满足，其中表示中最大的数．下列说法： ①满足条件的整式M 中只有4个单项式； ②在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为6； ③当时，满足条件的整式M 共有19个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 78．（2025·重庆·三模）已知关于x的整式，其中a，b，c，d，e为整数，，且满足下列说法； ①所有满足条件的整式M中，不存在其中两个整式的和为单项式； ②若，则满足条件的整式M共有6个； ③满足条件的所有整式M共有个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 79．（2025·山东临沂·二模）甲、乙、丙、丁四张卡片，正面分别写有，，，，四张卡片除正面的代数式不同外，其余均相同．现将四张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取两张，则两张卡片上代数式的和为整式的概率是（    ） A． B． C． D． 80．（2025·浙江·模拟预测）把数字1，2，3，… ，9分别填入右图的9个圈内，要求和的每条边上三个圈内数之和等于18，共有种不同填法，则(     ) A．4 B．5 C．6 D．7 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $