微专题5：与平面向量有关的最值范围问题【真题+模拟精选】讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量最值范围专题，覆盖模长、数量积、夹角、系数四大核心考点，按“高考定位-知识铺垫-题型分类-方法总结”逻辑架构，通过核心知识梳理、真题体验、题型精讲、规律总结、分层练习环节，帮助学生构建从代数运算到几何直观的解题框架。 讲义突出动态向量问题转化策略，如用坐标法将圆上动点向量转化为三角函数求最值，培养数学思维与转化能力。设置基础巩固与综合提升练习，配合真题案例解析，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统指导。

2025-2026年高考二轮专题复习 【微专题5：与平面向量有关的最值范围问题】 【高考定位】 一、高考定位 与平面向量有关的最值范围问题是高考数学的高频难点题型，兼具代数运算与几何直观的双重考查属性，常以选择题、填空题压轴形式出现，分值5分，偶尔渗透于解答题的关键步骤中（如解析几何、三角函数综合题中的最值求解）. 核心考查方向：围绕向量的模长、数量积、夹角、系数四大核心要素，考查利用向量运算性质、数形结合思想、函数与不等式工具求解最值或范围的能力.命题趋势侧重“动态向量”背景（如向量端点在直线、圆上运动），强调将向量问题转化为代数函数或几何图形的最值问题，突出逻辑推理与转化化归能力的选拔功能. 二、核心知识铺垫 1.模长相关公式：；；若，则. 2.数量积相关公式：（）；若，，则；. 3.夹角相关公式：，由的取值范围可推导夹角的范围. 4.共线与垂直性质：，（）；. 【真题体验】 1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 2．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得 ，或 然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 4．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    5．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D          6．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为 ；的最小值为 ． 【答案】 1 【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值. 【详解】设，，为边长为1的等边三角形，， ， ，为边长为的等边三角形，， ， ， ， 所以当时，的最小值为. 故答案为：1；. 7．（2017·浙江·高考真题）已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 4 【详解】设向量的夹角为，由余弦定理有：， ，则： ， 令，则， 据此可得：， 即的最小值是4，最大值是． 【名师点睛】本题通过设向量的夹角为，结合模长公式， 可得，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求． 8．（2017·全国II卷·高考真题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：． 9．（2016·四川·高考真题）在平面内，定点A，B，C，D满足==, = = =–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：由已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又 ，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B. 【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题 【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想． 10．（2016·浙江·高考真题）已知向量，若对任意单位向量，均有,则的最大值是 ． 【答案】 【详解】试题分析：，即最大值为. 【考点】平面向量的数量积． 【易错点睛】在两边同时平方，转化为的过程中，很容易忘记右边的进行平方而导致错误． 11．（2016·浙江·高考真题）已知平面向量，，．若为平面单位向量，则的最大值是______． 【答案】 【详解】试题分析：由已知得，不妨取，，设， 则 ，取等号时与同号． 所以 （其中，取为锐角）． 显然， 易知当时，取最大值1，此时为锐角，同为正， 因此上述不等式中等号能同时取到，故所求最大值为． 【考点】平面向量的数量积和模. 【思路点睛】先设，，和的坐标，再将转化为三角函数，进而用辅助角公式将三角函数进行化简，最后用三角函数的性质可得三角函数的最大值，进而可得的最大值． 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：向量模长的最值范围】 【核心归纳】 1.转化核心：利用模长平方与数量积的关系（），将模长最值转化为数量积的最值，再进一步转化为代数函数最值；2.常用方法：①坐标法（动态向量优先，建立坐标系将向量坐标化，模长表示为坐标的函数）；②基底法（静态向量或复杂图形，选取不共线基底，将目标向量表示为基底的线性组合，再求模长平方的最值）；③几何法（利用圆的性质、点到直线的距离公式，直观判断模长的最值）. 【易错提示】 1.忽略动态向量的取值范围：如向量端点在圆上运动时，未考虑参数角的范围（），导致函数值域求解错误；2.直接对模长表达式求导或变形，未先平方转化，增加运算难度且易出错（如误将直接展开为）；3.基底选择不当，导致模长表达式含多个独立变量，无法求解最值 （2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】将平方后利用二次函数的性质可求其最小值. 【详解】因为， 故 ， ， 故当时，的最小值为， 故最小值为. 故答案为：. （2025·云南昭通·模拟预测）已知向量满足，记，则的取值范围是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的模长公式可得，进而建立直角坐标系，根据坐标运算可得点的轨迹，进而根据点到直线的距离公式求解. 【详解】因为，所以．又， 所以，解得．因为， 所以． 建立如图所示的直角坐标系， 设， 因为，所以，整理得， 即点的轨迹是：圆心为，半径为2的圆． 设，则点在直线上运动，则， 令点到直线的距离为，则，无最大值， 故选：B． （2025·辽宁大连·一模）设单位向量，已知，则的最小值为（   ）经典例题3例题 A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】设，求出，再利用不等式即可求解. 【详解】设， 因为单位向量，， 则， 则，等号成立时方向相反， 故的最小值为. 故选：C 【规律方法总结】 1.解题模板：①判断向量类型（静态/动态），选择转化方法（坐标法/基底法/几何法）；②将目标模长平方，转化为数量积表达式；③将数量积表达式转化为单一变量的函数（如二次函数、三角函数）；④确定变量取值范围，求解函数最值，再开方得到模长的最值/范围. 2.技巧提炼：①遇到向量端点在圆上运动，优先用圆的参数方程（设点为）表示向量坐标，利用三角函数有界性（、）求最值；②遇到向量端点在直线上运动，设出直线的参数坐标（如），转化为二次函数，利用二次函数的顶点式或判别式求最值；③静态向量的模长范围，可利用三角不等式（）快速判断范围. （2025·四川广安·模拟预测）已知，，，，则函数的值域是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，再根据向量的模长公式可得，接着利用二倍角公式化简可得，继而可得到值域. 【详解】，， 则，， . 故选：C. （2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（    ）小试牛刀2 A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】设，从而得到，结合已知有，应用三角形面积公式得，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值. 【详解】设，则， 所以，解得， ，则， ，当且仅当时，等号成立， 的最小值为． 故选：C （2025·湖北襄阳·二模）已知平面向量，满足，，则的最大值为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】把向量，放在单位圆内，确定定点，，用，在单位圆上选择动点，用，结合向量加法法则及向量夹角的概念确定的最大值. 【详解】 如图所示：圆为单位圆，点在单位圆上且，， 所以，符合条件， 在单位圆上再取一点，令， 易知弦所对的圆心角，弦所对的圆周角， 因为，符合条件， 所以当线段为圆的直径时最大，最大值为. 故答案为： 【热点题型2：向量数量积的最值范围】 【核心归纳】 1.转化路径：①定义转化：，若、为定值，可转化为的最值问题；②坐标转化：若向量可坐标化，，转化为坐标变量的函数最值；③基底转化：将向量表示为基底的线性组合，数量积转化为基底数量积的线性表达式，再结合基底的已知条件求解；2.变量来源：动态向量的参数（如圆的参数角、直线的参数t、夹角）. 【易错提示】 1.混淆向量的夹角：将两个向量的夹角误视为线段的夹角（如三角形中向量与的夹角，误取为，实际为的补角）；2.变量转化不彻底：数量积表达式含多个独立变量（如x、y同时存在且无关联），无法求解值域；3.忽略向量的方向限制：如向量端点在线段上运动，未限制参数的取值范围，导致最值超出实际情况；4.误用基本不等式：在数量积为负的情况下，仍用基本不等式求最小值，忽略基本不等式的“正”前提. （2025·天津和平·三模）若正方形的边长为1，中心为，过作直线与边，分别交于，两点，点满足．（ⅰ）当时， ；（ⅱ）的最小值为 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据模长公式，结合数量积的运算律即可求解空1，利用向量的线性运算将问题转化为，求解的最大值，的最小值即可求解. 【详解】由于，则， ， （ⅰ）当，则，故， （ⅱ）, 由于为相反向量，故， 所以， 由，故当时，取最小值， 而的最大值为， 因此当取最大值，取最小值时，取最小值，故最小值为， 故答案为：， （2025·天津·一模）如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则 ；若点F为线段上的动点，则的取值范围为 ．经典例题2例题    【答案】 【分析】由题意得，从而；对于第二问，设，首先分解，然后由数量积的运算律转换成关于的二次函数在闭区间上的值域即可求解. 【详解】由题意 所以， 设， ， ， ， ， 设，对称轴是， 故单调递增， 从而当点F为线段上的动点时，的取值范围为. 故答案为：；. （2025·天津南开·二模）在梯形中，，，，记，，用和表示 ；若点为上一动点，则的最大值为 ．经典例题3例题 【答案】 【分析】（1），再根据向量之间的关系进行化简； （2）根据向量加法的三角形法则，得到，， 又，可得， 设，则，，     最后根据范围求解即可. 【详解】 因为，所以， ； 因为，， 又，即 可得， 设，则 ， ，     当时有最大值， 故答案为：；. 【规律方法总结】 1.解题模板：①优先选择坐标法（动态向量必用），建立合适的坐标系，写出向量的坐标表达式；②将数量积表示为坐标的乘积和，转化为单一变量的函数（二次函数、三角函数等）；③明确变量的取值范围（结合几何背景：线段端点、圆的参数角范围等）；④求解函数在对应区间上的最值，得到数量积的最值/范围. 2.技巧提炼：①“投影法”快速转化：（为在方向上的投影），数量积的最值可转化为投影的最值；②遇到“固定向量+动态向量”的数量积，固定向量为基底，动态向量用参数表示，简化运算；③圆上向量的数量积最值，可利用圆心到定点的距离与半径的关系求解（如，O为原点，A在圆上，B为定点，转化为，或坐标法转化为二次函数）. （2025·天津·二模）在中，已知，且，则 ；若为线段的中点，点满足，且为线段上的动点，则的最小值为 .小试牛刀1 【答案】 3 【分析】由题意，求得，结合，根据向量的线性运算法则，求得；再由，得到为直角三角形，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，得到，结合向量的数量积的坐标运算，得到，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 又由，且， 因为，所以， 即，所以； 因为，所以为直角三角形， 以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则, 因为为线段的中点，可得， 又因为点满足，即为（靠近的三等分点），可得， 由为线段上的动点，可得设，其中， 则， 所以， 根据二次函数的性质得，当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：；. （2025·天津和平·一模）已知平面四边形满足，且，为的中点，则 ，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】推导出，，然后以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的模长公式可求得的值；设点、，其中，，利用平面向量数量积的坐标运算得出，再结合基本不等式求得的最小值. 【详解】因为，可得， 因为，则， 因为，则，且，如下图所示： 以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如上图所示的平面直角坐标系， 则、、、、， ； 设点、，其中，， ，， 所以，，可得， 因为，则，则，， 所以，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：；. （2024·天津滨海新·三模）在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为 （请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】由向量在向量上的投影向量为，根据向量的线性运算和数量积的运算法则，求解即可；以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，用含的式子表示出点和点的坐标，再根据向量的数量积的坐标运算法则，求解即可. 【详解】由，知， 因为，， 所以 ， 所以向量在向量上的投影向量为 ； 若，则， 以为原点建立平面直角坐标系，则， 设，则，， 所以，， 所以，， 所以， 是关于的开口向上，对称轴为的二次函数， 当时，取得最小值. 故答案为：； 【热点题型3：向量夹角的最值范围】 【核心归纳】 1.关键关系：在上单调递减，故的最大值对应的最小值，的最小值对应的最大值；2.转化核心：将的表达式转化为含单一变量的函数，求该函数的值域，再结合反余弦函数的单调性得到的范围；3.约束条件：，且、. 【易错提示】 1.忽略夹角的取值范围：误将的范围直接等同于的范围，未结合的单调性（如，误得，实际为）；2.计算时，数量积或模长符号错误，导致符号错误，进而夹角范围判断错误；3.未排除向量共线的特殊情况（如时，时），导致范围遗漏或错误. （25-26高三上·河北·月考）为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，表示向量夹角的余弦，再结合二次函数的性质求最值. 【详解】不妨设等边的边长为1，则. , . 所以，则. 又因为， 所以，当时取等号. 所以. 故选：C （2025·江苏苏州·三模）已知向量在向量上的投影向量为，若，则向量与夹角余弦值的最小值为 ．经典例题2例题 【答案】/ 【分析】根据题意设出向量的坐标，再由向量夹角余弦公式，化简后利用二次函数性质求最值即可得解. 【详解】设向量， 因为向量在向量上的投影向量为， 所以，即，故可设， 所以， 所以 ， 由二次函数性质，当时，的最小值为 故答案为：. （2025·北京通州·一模）已知平面向量，，若满足，设与夹角为，则（   ）经典例题3例题 A．有最大值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最小值为 【答案】C 【分析】根据,可得，即可根据坐标运算以及夹角公式得，分离常数后构造函数，根据导数求解函数的最值即可求解. 【详解】设， 由得，故,因此， 故， 由于 ，则， 则， 令， 故在上单调递增，由于， 故当在上恒成立，在上恒成立， 故在单调递减，在单调递增， 故当时，取到极小值也是最小值，因此 因此， 故由于恒成立，故， 故选：C 【规律方法总结】 1.解题模板：①明确两个非零向量、，写出夹角公式；②将、、转化为含单一变量的表达式，得到；③求的值域（结合变量t的取值范围）；④利用在上的单调性，通过反余弦函数求出的范围/最值. 2.技巧提炼：①若已知、为定值，夹角范围直接由数量积的范围决定，即，再转化为的范围；②若向量含参数，优先用坐标法表示，转化为分式函数，利用判别式或均值不等式求值域；③遇到夹角为锐角或钝角的问题，需注意：锐角且、不共线；钝角且、不共线（排除共线反向/同向的情况）. 【多选题】（2025·辽宁·二模）已知平面单位向量满足．设，向量与的夹角为，则的取值可以是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由得，设，根据平面向量夹角公式表示出，设求得即可求解． 【详解】由得，，设， ， ， 则， 设，则， 则， 所以，即， 故选：AB． （2025高三·全国·专题练习）已知非零向量满足，则的最大值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数量积的运算律结合向量垂直得到向量夹角的余弦值，再利用基本不等式和同角的三角函数关系可得. 【详解】由题意，得， 因为，所以，当且仅当时取等号， 又由同角的平方和为1，所以． 故选：C． （2022·浙江温州·模拟预测）平面向量满足，，则与夹角取最大值时为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两边平方，结合得到，计算出，由基本不等式求出时，最大为，得到答案. 【详解】因为满足，， 所以， 所以，所以, 由夹角公式得， 当且仅当，即时等号成立， 因为，在上单调递减， 所以， 即时，最大为， 此时． 故选：D 【热点题型4：向量系数的最值范围】 【核心归纳】 1.转化路径：①坐标法：将向量坐标化，线性组合的系数转化为坐标方程中的变量，结合已知条件建立不等式（组），求解变量范围；②基底法：选取不共线基底，将所有向量表示为基底的线性组合，利用基底的数量积性质建立关于系数的方程或不等式；③几何法：利用向量线性组合的几何意义（如共线向量定理、平面向量基本定理），将系数转化为图形中的线段长度、比例，直观求解范围；2.约束条件来源：向量的模长限制、数量积限制（如）、共线限制等. 【易错提示】 1.未正确应用平面向量基本定理：忽略基底的“不共线”前提，或错误将线性组合中的系数等同于图形中的比例；2.约束条件建立不完整：如只考虑模长的平方关系，忽略向量的方向限制（如夹角范围），导致系数范围扩大；3.线性规划转化错误：将向量条件转化为线性约束时，符号错误或边界条件遗漏；4.忽略系数的隐含条件：如系数为正（表示向量的同向组合）、整数（特殊题型）等. （2025·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设则，， 所以， 设，则， 所以，所以， 因为，所以， 即的取值范围是， 故选：C. （25-26高三上·辽宁·期中）在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把用得到，， ，再根据的范围即可求解. 【详解】以为基底， ， 又，所以由平面向量基本定理可知，， 则，又，所以． 故选：C 在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为 ．经典例题3例题 【答案】3 【分析】过点作，交的延长线于点，结合已知得，问题化为求最大值，作，利用相似得，进而得最大，即可得. 【详解】如图1，过点作，交的延长线于点， 由，则， 由共线得，可得． 当最大时，取到最大值，此时， 如图2．作，又，则，即， 由，即，则四边形为平行四边形，故， 易知，可得，， 而，，得， 所以， 因此的最大值为3． 故答案为：3      【规律方法总结】 1.解题模板：①选择转化方法（坐标法优先，复杂图形用基底法）；②将目标向量的线性组合表示为坐标或基底形式，结合已知条件建立关于系数的方程或不等式（组）；③若为两个系数，转化为线性规划问题，利用可行域求最值；若为单个系数，转化为二次函数或分式函数，利用函数性质求最值；④验证系数对应的向量是否满足原始条件（如模长、夹角限制）. 2.技巧提炼：①“共线系数”问题：若且与某向量共线，利用共线定理建立x、y的线性关系，再结合其他条件求最值；②“模长约束”问题：对平方，转化为关于x、y的二次方程，结合已知条件用判别式或均值不等式求x、y的范围；③“数量积约束”问题：利用（模长平方非负）或建立不等式，转化为系数的约束条件. （2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧的方程为：，设，根据向量的坐标运算法则算出关于的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可． 【详解】由题意，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 结合已知得，，， 半圆弧的方程为：， 设，则，，， 由得：， 解得：， 所以 ， 因为在上，所以， 又， 则可设，，， 将，代入整理得： 由得， 所以，， 故的取值范围是. 故选：D. （2025·云南昆明·模拟预测）已知，是单位向量，，的夹角为，若向量满足，则的最大值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系内，利用向量的坐标表示及运算，结合向量模的坐标表示求出的终点的轨迹，进而求出最大值. 【详解】，且，的夹角为， 在平面直角坐标系中，令，设， 则，由，得， 因此点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 所以的最大值为. 故选：D （2025·北京·模拟预测）如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点，根据平面向量的加法运算，讨论点在点处与处时的值，从而得的取值范围. 【详解】如图，由于， 在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点， 则， 要使得点落在指定区域内，则点应落在上， 当点在点处时，， 当点在点处时，， 所以的取值范围是. 故选：D. 课后针对训练 一、单选题 1．（2024·江苏南京·模拟预测）若单位向量满足，向量满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中求出的坐标，由得到C在以为直径的圆上，求出该圆的方程，再设出的坐标，利用数量积的坐标表示，结合三角函数求出最小值. 【详解】令，依题意，，， 以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则， 令，由，得C在以为直径的圆上，该圆的方程为， 设，即， 则 ， 所以的最小值为. 故选：D 2．（2023·福建泉州·三模）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，，由已知可得，由向量的加法和模的坐标运算结合基本不等式求解即可. 【详解】在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，， 则，，， 所以， 当且仅当时等号成立， 因此，的最小值为2. 故选：C. 3．（2024·四川泸州·一模）已知平面向量，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】由题设分别在以为原点，半径为的圆上运动，且，数形结合及向量加法的几何意义确定的范围，即可得答案. 【详解】由题设，分别在以为原点，半径为的圆上运动，且， 所以，若是的中点，则，而，如下图示，    由图知，，而，即. 所以的最小值是. 故选：D. 4．（2024·湖北黄冈·一模）已知向量，且，则与夹角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的运算，以及平面向量的几何表示，结合圆的性质求解. 【详解】 已知向量，， 即,即， 建立如图所示平面直角坐标系， 设，，，， 则，，， 又，则，即N的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 由图可知，当与圆相切时，最大，此时， 则的最大值为，即与夹角的最大值为. 故选： 【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量数量积的运算，关键通过数形结合的方法建立坐标系解决问题. 5．（2025·辽宁·一模）已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长至，使，依题意可得共线，则是等边三角形，取的中点，求出，再由数量积的运算律计算可得. 【详解】延长至，使，则， 所以共线，又的最小值为，且， 所以为等腰三角形，当且仅当时取得最小值，则，    所以是等边三角形，取的中点，则，当且仅当时取等号， 所以，即的最小值为. 故选：C 6．（2025·河南·模拟预测）已知，，且对任意的，恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由向量关系得到几何中的垂直关系，再把向量问题转化为将军饮马问题即可求解. 【详解】如图， 设，则恒成立，等价于恒成立， 从而有， 故． 设，，则． 作点E关于直线的对称点F，连接由题可知，，, 则， 当且仅当三点共线时取等号． 故选：D. 7．（2025·江苏南通·模拟预测）已知向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，为线段的中点，则，从而将转化为，将转化为椭圆上点与点的距离问题求解即可． 【详解】令，为线段的中点，则， ∴转化为，且， ∴点P的轨迹是以为焦点的椭圆， 半焦距，长半轴长，短半轴长， ， 为椭圆上点与点的距离，则，即， 则的取值范围是． 故选：B． 8．（2025·北京丰台·一模）在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据题意确定为直角三角形并求出线段的长，然后以为基底去计算的值即可. 【详解】由可知O为的中点，又因为O为外接圆的圆心， 所以为直角三角形，，所以， 又因为所以所以， 又因为E为边上的动点，所以 ， 因为，所以即 所以的最大值为6. 故选：C 9．（2025·江西宜春·一模）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为，圆的半径为，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：建立平面直角坐标系，求出圆的方程，利用圆的参数方程设出点的坐标，结合辅助角公式可求得的最大值； 解法二：过点作平行于的直线分别交直线、于点、，设直线交直线于点，取线段的中点，连接，要使得取最大值，可得出，利用当为射线与圆的交点时，取最大值，即可得解. 【详解】解法一：建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、， 点P在圆上，设点， ，，， 因为， 所以， 所以，，， 所以，，即的最大值为； 解法二：过点作平行于的直线分别交直线、于点、， 设直线交直线于点，取线段的中点，连接， 因为、、三点共线，则存在，使得， 所以，，则， 因为、、三点共线，则存在，使得， 因为，且、不共线，则，， 所以，， 因为，且，，则， 所以，为等腰直角三角形，所以，， 易知，即，故、、三点共线， 要使得取最大值，则，且， 当且仅当为射线与圆的交点时，取最大值， 故选：C. 10．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，先利用坐标表示相关向量，再结合数量积的坐标表示和二次函数的性质计算可得. 【详解】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系（如图所示）， 则， 因为， 则点D在线段（不含端点）上， 设，则， 所以， 所以当时，取得最小值， 当时，， 故的取值范围为. 故选：A． 11．（2025·江苏南京·二模）在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立坐标系，表示出的坐标，根据是线段上的动点用参数表示点的函数，从而题目可转换为关于的二次函数在闭区间上的最小值问题. 【详解】由题以点为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，E是线段中点， 所以， 而是线段上的动点， 从而可设， 所以点的坐标是， 所以， ， 所以当时，的最小值是. 故选：C. 12．（2025·甘肃白银·模拟预测）在△ABC中，点D在BC上，，，，，且存在实数λ，使得，则的最小值是（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】用表示，由向量共线定理得出的关系式，然后由基本不等式得结论． 【详解】如图． 由题得D为BC的中点，，．又，． 则． ∵E，G，F三点共线．．即， ．当且仅当时取等号，则的最小值为． 故选：B． 二、填空题 13．（24-25高三上·天津滨海新·月考）在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示 .若，则余弦值的最小值为 . 【答案】 / 【分析】根据向量的加法和数乘的几何意义即可求出；同理可求出，根据可得，从而得出，然后根据，结合基本不等式即可求解. 【详解】 由已知可得 ； ， 因为， 所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以余弦值的最小值为. 故答案为：；. 14．（2025·湖北·模拟预测）平面向量满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据向量不共线时，借助平行四边形，可得，进而利用余弦定理以及基本不等式即可求解最值. 【详解】如图：当不共线时，取,则, 故，故, 在中，, 故， 故， 由于，故，故，当且仅当时取等号， 则，由于，故的最大值为， 由于的夹角为,即为, 由于与互补，故的最小值为， 当共线时，不妨设则，可得， 当时，此时的夹角为,即为, 时，此时的夹角为,即为, 综上可知：的夹角的最小值为 故答案为：    15．（24-25高一下·贵州遵义·月考）中，为边的中点，为中线上的一点（不包含端点），且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意可知，然后根据三点共线得出，再通过基本不等式求解即可. 【详解】如下图所示： 因为，为边的中点，所以， 又三点共线，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 16．（2025·湖南长沙·二模）已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中画出表示的有向线段，再利用向量的线性运算将向量的模转化为线段的长，根据几何关系求出最小值即可. 【详解】在如下图所示的平面直角坐标系中，设、、， 不妨设，，，由题意可得 ， 将绕点逆时针旋转得到， 则，， 其中点，故 ， 当且仅当点与点重合时，此时，点也与点重合，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 17．（2025·上海崇明·一模）在平面直角坐标系中，．设，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据条件，可得为等边三角形，设AB的中点为D，可求出，分析可得以D点轨迹是以O为圆心，为半径的圆，根据线性运算法则，可得，根据点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】因为，所以为等边三角形， 设AB的中点为D，连接OD，则， 所以D点轨迹是以O为圆心，为半径的圆，则方程为， 所以， 因为，所以， 所以的最小值为. 故答案为： 18．（2025·天津·一模）在边长为的菱形中，，且，，则 ；若为线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】依题意可得，根据平面向量线性运算及基本定理求出、，建立平面直角坐标系，求出点坐标，设，利用坐标法及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 又且、不共线，所以，所以； 如图建立平面直角坐标系，则，，， 所以，由，所以， 所以，因为为线段上的动点， 设，所以，所以， 所以， 所以 ，所以当时取得最小值，且最小值为. 故答案为：； 19．（2025·天津河北·二模）如图，已知矩形的边，，点，分别在边，上.若，，则用和表示 ；若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据已知及向量加减、数乘的几何意义用和表示，若且，，由已知得，，应用向量数量积的定义求值. 【详解】由，，则，， 由， 若且，，则， 所以，， 所以 ，而，， 所以的最小值为. 故答案为：； 20．（2025·天津·二模）在中，. （1）若，则向量在向量上的投影向量的模为 ； （2）边和的中点分别为，点为和的交点，为线段上靠近的三等分点，则的最小值为 . 【答案】 4； 【分析】根据三角形面积公式可得，即可根据投影向量的定义求解（1），根据重心的性质，结合基底表达，即可根据向量的数量积运算律，结合基本不等式求解（2）即可. 【详解】（1）因为，所以， 解得，则，结合，解得， 由投影向量公式得在向量上的投影向量为， 故向量在向量上的投影向量的模为， （2）如图，根据题意可知为的重心，故 ，    又为线段上靠近的三等分点，故, 因此， ， ， 由（1）知，故， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，则的最小值为. 故答案为：4， 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高考二轮专题复习 【微专题5：与平面向量有关的最值范围问题】 【高考定位】 一、高考定位 与平面向量有关的最值范围问题是高考数学的高频难点题型，兼具代数运算与几何直观的双重考查属性，常以选择题、填空题压轴形式出现，分值5分，偶尔渗透于解答题的关键步骤中（如解析几何、三角函数综合题中的最值求解）. 核心考查方向：围绕向量的模长、数量积、夹角、系数四大核心要素，考查利用向量运算性质、数形结合思想、函数与不等式工具求解最值或范围的能力.命题趋势侧重“动态向量”背景（如向量端点在直线、圆上运动），强调将向量问题转化为代数函数或几何图形的最值问题，突出逻辑推理与转化化归能力的选拔功能. 二、核心知识铺垫 1.模长相关公式：；；若，则. 2.数量积相关公式：（）；若，，则；. 3.夹角相关公式：，由的取值范围可推导夹角的范围. 4.共线与垂直性质：，（）；. 【真题体验】 1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 5．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为 ；的最小值为 ． 7．（2017·浙江·高考真题）已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 8．（2017·全国II卷·高考真题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 9．（2016·四川·高考真题）在平面内，定点A，B，C，D满足==, = = =–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是 A． B． C． D． 10．（2016·浙江·高考真题）已知向量，若对任意单位向量，均有,则的最大值是 ． 11．（2016·浙江·高考真题）已知平面向量，，．若为平面单位向量，则的最大值是______． 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：向量模长的最值范围】 【核心归纳】 1.转化核心：利用模长平方与数量积的关系（），将模长最值转化为数量积的最值，再进一步转化为代数函数最值；2.常用方法：①坐标法（动态向量优先，建立坐标系将向量坐标化，模长表示为坐标的函数）；②基底法（静态向量或复杂图形，选取不共线基底，将目标向量表示为基底的线性组合，再求模长平方的最值）；③几何法（利用圆的性质、点到直线的距离公式，直观判断模长的最值）. 【易错提示】 1.忽略动态向量的取值范围：如向量端点在圆上运动时，未考虑参数角的范围（），导致函数值域求解错误；2.直接对模长表达式求导或变形，未先平方转化，增加运算难度且易出错（如误将直接展开为）；3.基底选择不当，导致模长表达式含多个独立变量，无法求解最值 （2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为 ．经典例题1例题 （2025·云南昭通·模拟预测）已知向量满足，记，则的取值范围是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025·辽宁大连·一模）设单位向量，已知，则的最小值为（   ）经典例题3例题 A．0 B．1 C． D． 【规律方法总结】 1.解题模板：①判断向量类型（静态/动态），选择转化方法（坐标法/基底法/几何法）；②将目标模长平方，转化为数量积表达式；③将数量积表达式转化为单一变量的函数（如二次函数、三角函数）；④确定变量取值范围，求解函数最值，再开方得到模长的最值/范围. 2.技巧提炼：①遇到向量端点在圆上运动，优先用圆的参数方程（设点为）表示向量坐标，利用三角函数有界性（、）求最值；②遇到向量端点在直线上运动，设出直线的参数坐标（如），转化为二次函数，利用二次函数的顶点式或判别式求最值；③静态向量的模长范围，可利用三角不等式（）快速判断范围. （2025·四川广安·模拟预测）已知，，，，则函数的值域是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（    ）小试牛刀2 A．2 B．4 C． D． （2025·湖北襄阳·二模）已知平面向量，满足，，则的最大值为 .小试牛刀3 【热点题型2：向量数量积的最值范围】 【核心归纳】 1.转化路径：①定义转化：，若、为定值，可转化为的最值问题；②坐标转化：若向量可坐标化，，转化为坐标变量的函数最值；③基底转化：将向量表示为基底的线性组合，数量积转化为基底数量积的线性表达式，再结合基底的已知条件求解；2.变量来源：动态向量的参数（如圆的参数角、直线的参数t、夹角）. 【易错提示】 1.混淆向量的夹角：将两个向量的夹角误视为线段的夹角（如三角形中向量与的夹角，误取为，实际为的补角）；2.变量转化不彻底：数量积表达式含多个独立变量（如x、y同时存在且无关联），无法求解值域；3.忽略向量的方向限制：如向量端点在线段上运动，未限制参数的取值范围，导致最值超出实际情况；4.误用基本不等式：在数量积为负的情况下，仍用基本不等式求最小值，忽略基本不等式的“正”前提. （2025·天津和平·三模）若正方形的边长为1，中心为，过作直线与边，分别交于，两点，点满足．（ⅰ）当时， ；（ⅱ）的最小值为 ．经典例题1例题 （2025·天津·一模）如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则 ；若点F为线段上的动点，则的取值范围为 ．经典例题2例题    （2025·天津南开·二模）在梯形中，，，，记，，用和表示 ；若点为上一动点，则的最大值为 ．经典例题3例题 【规律方法总结】 1.解题模板：①优先选择坐标法（动态向量必用），建立合适的坐标系，写出向量的坐标表达式；②将数量积表示为坐标的乘积和，转化为单一变量的函数（二次函数、三角函数等）；③明确变量的取值范围（结合几何背景：线段端点、圆的参数角范围等）；④求解函数在对应区间上的最值，得到数量积的最值/范围. 2.技巧提炼：①“投影法”快速转化：（为在方向上的投影），数量积的最值可转化为投影的最值；②遇到“固定向量+动态向量”的数量积，固定向量为基底，动态向量用参数表示，简化运算；③圆上向量的数量积最值，可利用圆心到定点的距离与半径的关系求解（如，O为原点，A在圆上，B为定点，转化为，或坐标法转化为二次函数）. （2025·天津·二模）在中，已知，且，则 ；若为线段的中点，点满足，且为线段上的动点，则的最小值为 .小试牛刀1 （2025·天津和平·一模）已知平面四边形满足，且，为的中点，则 ，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为 .小试牛刀2 （2024·天津滨海新·三模）在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为 （请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ．小试牛刀3 【热点题型3：向量夹角的最值范围】 【核心归纳】 1.关键关系：在上单调递减，故的最大值对应的最小值，的最小值对应的最大值；2.转化核心：将的表达式转化为含单一变量的函数，求该函数的值域，再结合反余弦函数的单调性得到的范围；3.约束条件：，且、. 【易错提示】 1.忽略夹角的取值范围：误将的范围直接等同于的范围，未结合的单调性（如，误得，实际为）；2.计算时，数量积或模长符号错误，导致符号错误，进而夹角范围判断错误；3.未排除向量共线的特殊情况（如时，时），导致范围遗漏或错误. （25-26高三上·河北·月考）为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025·江苏苏州·三模）已知向量在向量上的投影向量为，若，则向量与夹角余弦值的最小值为 ．经典例题2例题 （2025·北京通州·一模）已知平面向量，，若满足，设与夹角为，则（   ）经典例题3例题 A．有最大值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最小值为 【规律方法总结】 1.解题模板：①明确两个非零向量、，写出夹角公式；②将、、转化为含单一变量的表达式，得到；③求的值域（结合变量t的取值范围）；④利用在上的单调性，通过反余弦函数求出的范围/最值. 2.技巧提炼：①若已知、为定值，夹角范围直接由数量积的范围决定，即，再转化为的范围；②若向量含参数，优先用坐标法表示，转化为分式函数，利用判别式或均值不等式求值域；③遇到夹角为锐角或钝角的问题，需注意：锐角且、不共线；钝角且、不共线（排除共线反向/同向的情况）. 【多选题】（2025·辽宁·二模）已知平面单位向量满足．设，向量与的夹角为，则的取值可以是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）已知非零向量满足，则的最大值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2022·浙江温州·模拟预测）平面向量满足，，则与夹角取最大值时为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【热点题型4：向量系数的最值范围】 【核心归纳】 1.转化路径：①坐标法：将向量坐标化，线性组合的系数转化为坐标方程中的变量，结合已知条件建立不等式（组），求解变量范围；②基底法：选取不共线基底，将所有向量表示为基底的线性组合，利用基底的数量积性质建立关于系数的方程或不等式；③几何法：利用向量线性组合的几何意义（如共线向量定理、平面向量基本定理），将系数转化为图形中的线段长度、比例，直观求解范围；2.约束条件来源：向量的模长限制、数量积限制（如）、共线限制等. 【易错提示】 1.未正确应用平面向量基本定理：忽略基底的“不共线”前提，或错误将线性组合中的系数等同于图形中的比例；2.约束条件建立不完整：如只考虑模长的平方关系，忽略向量的方向限制（如夹角范围），导致系数范围扩大；3.线性规划转化错误：将向量条件转化为线性约束时，符号错误或边界条件遗漏；4.忽略系数的隐含条件：如系数为正（表示向量的同向组合）、整数（特殊题型）等. （2025·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·辽宁·期中）在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为 ．经典例题3例题 【规律方法总结】 1.解题模板：①选择转化方法（坐标法优先，复杂图形用基底法）；②将目标向量的线性组合表示为坐标或基底形式，结合已知条件建立关于系数的方程或不等式（组）；③若为两个系数，转化为线性规划问题，利用可行域求最值；若为单个系数，转化为二次函数或分式函数，利用函数性质求最值；④验证系数对应的向量是否满足原始条件（如模长、夹角限制）. 2.技巧提炼：①“共线系数”问题：若且与某向量共线，利用共线定理建立x、y的线性关系，再结合其他条件求最值；②“模长约束”问题：对平方，转化为关于x、y的二次方程，结合已知条件用判别式或均值不等式求x、y的范围；③“数量积约束”问题：利用（模长平方非负）或建立不等式，转化为系数的约束条件. （2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·云南昆明·模拟预测）已知，是单位向量，，的夹角为，若向量满足，则的最大值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·北京·模拟预测）如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（2024·江苏南京·模拟预测）若单位向量满足，向量满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·福建泉州·三模）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（2024·四川泸州·一模）已知平面向量，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 4．（2024·湖北黄冈·一模）已知向量，且，则与夹角的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·一模）已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河南·模拟预测）已知，，且对任意的，恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 7．（2025·江苏南通·模拟预测）已知向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·北京丰台·一模）在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 9．（2025·江西宜春·一模）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为，圆的半径为，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·江苏南京·二模）在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·甘肃白银·模拟预测）在△ABC中，点D在BC上，，，，，且存在实数λ，使得，则的最小值是（    ） A． B． C． D．8 二、填空题 13．（24-25高三上·天津滨海新·月考）在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示 .若，则余弦值的最小值为 . 14．（2025·湖北·模拟预测）平面向量满足，则的最小值为 . 15．（24-25高一下·贵州遵义·月考）中，为边的中点，为中线上的一点（不包含端点），且，则的最小值为 . 16．（2025·湖南长沙·二模）已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为 . 17．（2025·上海崇明·一模）在平面直角坐标系中，．设，则的最小值是 ． 18．（2025·天津·一模）在边长为的菱形中，，且，，则 ；若为线段上的动点，则的最小值为 ． 19．（2025·天津河北·二模）如图，已知矩形的边，，点，分别在边，上.若，，则用和表示 ；若，则的最小值为 . 20．（2025·天津·二模）在中，. （1）若，则向量在向量上的投影向量的模为 ； （2）边和的中点分别为，点为和的交点，为线段上靠近的三等分点，则的最小值为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $