微专题4：平面向量的基本运算和应用【真题+模拟精选】讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学讲义聚焦平面向量高考核心考点，涵盖线性运算、数量积及综合应用三大模块，按“知识梳理-真题体验-题型突破-分层训练”逻辑架构知识网络。通过考点系统梳理构建内在联系，方法指导提炼解题模板，真题训练对接高考命题趋势，助力学生突破线性运算基底化、数量积坐标转化等难点，体现复习教学的系统性与针对性。 资料以“向量工具性”为特色，创新采用“题型分类+错点警示”教学策略，如线性运算中强化基底选择训练，数量积对比定义法与坐标法应用，培养学生数学思维与运算能力。设置分层练习与真题案例分析，帮助教师精准把控复习节奏，高效提升学生解决几何度量、位置关系问题的应考能力。

2025-2026年高考二轮专题复习 【微专题4：平面向量的基本运算和应用】 【高考定位】 平面向量是高考数学的核心工具性考点，兼具代数运算与几何直观双重属性，考查形式以选择题、填空题为主，偶尔渗透于解答题（如三角函数、解析几何、立体几何综合题）中，分值占比5-12分. 核心考查方向：①平面向量的线性运算（加减、数乘）及几何意义；②平面向量数量积的定义、坐标运算及应用；③平面向量数量积的取值范围问题（结合函数、不等式）；④平面向量与其他知识的综合应用（如与三角函数、解析几何、数列的结合）.命题趋势侧重“向量工具性”，强调利用向量运算解决几何度量（长度、夹角）、位置关系（平行、垂直）问题，突出逻辑推理与数形结合能力的考查. 核心知识梳理 1.平面向量的线性运算基础 ①加法：三角形法则（，首尾相接，指向终点）、平行四边形法则（，共起点，对角线）；性质：，. ②减法：三角形法则（，共起点，指向被减向量终点）；性质：. ③数乘：（为实数），几何意义：伸缩向量；性质：，，；共线定理：，使得（）. 2.平面向量数量积基础 ①定义：（为与的夹角，）. ②坐标运算：若，，则；夹角公式：；模长公式：，. ③性质：；；. 【真题体验】 1．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 3．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 4．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 6．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 7．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 8．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：平面向量的线性运算】 【核心归纳】 1.关键思路：线性运算的核心是“基底化”，即选取一组不共线的已知向量（如、）作为基底，将所有未知向量转化为基底的线性组合；2.常用工具：三角形中线向量公式（，为中点）、向量共线定理、分点向量公式（若分的比为，则）. 【易错提示】 1.混淆向量加法、减法的几何意义，尤其是三角形法则中“方向”（加法首尾相接，减法共起点指向被减向量）；2.利用共线定理时，忽略“”的前提条件；3.基底选择不当导致运算复杂，应优先选择共起点或关联已知条件的向量作为基底. （2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ）经典例题1例题 A．1 B． C． D． （2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ）经典例题2例题 A．4 B． C． D． （2025·四川内江·一模）已知向量，若与共线，则（    ）经典例题3例题 A． B．1 C．2 D． 【规律方法总结】 1.解题模板：①确定基底（不共线的已知向量）；②利用线性运算性质（加减、数乘）将未知向量转化为基底的线性组合；③对比系数求解参数或化简表达式；④验证结果的几何合理性. 2.技巧提炼：遇到中点、三等分点等分点问题，优先用“中线向量公式”“分点向量公式”简化运算；遇到平行、共线问题，直接套用共线定理，转化为线性方程求解. （2025·广东茂名·模拟预测）在平行四边形中，点E、F分别是边的中点，分别与交于R、T两点，，（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·安徽·模拟预测）已知在中，点D满足，设，则（   ）小试牛刀2 A．1 B． C． D．2 （24-25高一下·四川南充·月考）如图，点D、E分别在的边BC、AC上.且，，BE与AD交于点M，若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【热点题型2：平面向量的数量积】 【核心归纳】 1.数量积计算的两种核心方法：①定义法（已知模长、夹角时）：；②坐标法（已知向量坐标或可建立坐标系时）：；2.模长与夹角的求解依赖数量积：模长是数量积的开方（），夹角是数量积与模长乘积的比值（）. 【易错提示】 1.混淆数量积与模长的运算公式，如误将（仅共线同向时成立）；2.计算夹角时忽略夹角范围（），导致余弦值符号错误；3.建立坐标系时，坐标原点或坐标轴选择不当，导致计算复杂或出错. 【多选题】（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知向量，，则下列结论正确的是（    ）经典例题1例题 A．若 ，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【多选题】（2025·广东深圳·模拟预测）已知平面向量，，则（    ）经典例题2例题 A． B． C．与的夹角为锐角 D．在上的投影向量为 【多选题】（2025·河北衡水·模拟预测）在边长为3的等边三角形中，，则下列结论正确的是（    ）经典例题3例题 A． B． C． D． 【规律方法总结】 1.解题模板：①判断适用方法（定义法或坐标法）；②若用定义法，先求模长、夹角，代入数量积公式；若用坐标法，先建立坐标系，写出向量坐标，再进行坐标运算；③根据需求求解模长（平方后转化为数量积）、夹角（代入夹角公式）或判断垂直（数量积为0）. 2.技巧提炼：①遇到平面图形中的向量问题，优先建立坐标系（如以图形的顶点为原点，边为坐标轴），将向量转化为坐标后运算，降低思维难度；②涉及“向量的平方”，直接转化为模长的平方（），这是数量积运算的核心转化技巧. 【多选题】（2025·河北·模拟预测）已知，且向量的夹角为，下列说法正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C．向量和的夹角为 D．若，则 （2025·广东·模拟预测）已知向量满足，则 .小试牛刀2 （2025·天津·二模）在中，点D在边BC上，且，E为线段AD的中点.已知，，则 （用，表示）；若，，且，则 .小试牛刀3 【热点题型3：平面向量的综合应用】 【核心归纳】 1.与三角函数结合：利用向量平行、垂直的条件转化为三角函数的边角关系（如正弦定理、余弦定理），或利用数量积表示三角函数表达式，求三角函数的最值、周期；2.与解析几何结合：用向量表示直线的方向向量、法向量，或用向量垂直、平行的条件转化为直线、曲线的位置关系（如直线垂直斜率关系、点在曲线上的条件）；3.与数列结合：将数列的项表示为向量的坐标，利用向量运算性质推导数列的通项公式或前项和公式. 【易错提示】 1.向量与其他知识结合时，混淆向量条件与代数条件的转化关系（如将向量平行的条件误用于垂直问题）；2.忽略向量运算的几何意义，导致转化方向错误；3.计算过程中遗漏向量的方向信息，导致符号错误. （25-26高三上·陕西商洛·月考）已知．经典例题1例题 (1)求的最小正周期和对称轴方程； (2)已知的内角C满足，且点D在线段AB上，求CD的长． （2025·江苏·模拟预测）已知向量，设函数.经典例题2例题 (1)求的最小正周期； (2)若，求的最值和单调区间. （2025·湖北·模拟预测）已知点，，为坐标原点，函数经典例题3例题 (1)求的解析式及最小正周期 (2)三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积 【规律方法总结】 1.解题模板：①识别结合模块（三角函数、解析几何等）；②将向量条件转化为对应模块的代数条件（如向量垂直数量积为0代数方程）；③利用对应模块的知识求解问题；④验证结果与向量条件的一致性. 2.技巧提炼：①向量与解析几何结合时，优先用向量的坐标运算，将几何条件转化为坐标方程；②向量与三角函数结合时，利用向量数量积的定义转化为边角关系，辅助应用正、余弦定理；③遇到综合题时，先分离向量条件，单独转化后再融入其他 （2025·江苏淮安·模拟预测）已知，．小试牛刀1 (1)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的解析式； (2)若，求． 【多选题】（2025·四川达州·一模）在中，三个内角对边分别为，，则（ ）小试牛刀2 A． B． C． D．的范围为 【多选题】（2025·广东·模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．若，则 B． C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·江苏南通·三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（   ） A．2 B． C．0 D．1 2．（2025·福建漳州·模拟预测）已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·福建三明·模拟预测）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·福建福州·模拟预测）已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·福建泉州·模拟预测）已知平面向量、的夹角为，且满足，则以下四个向量中模长最大的是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·福建漳州·模拟预测）在中，是边上一点，且是的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖南·二模）设，对满足条件的点的值与无关，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·福建三明·三模）函数的部分图象如图所示，其中两点为图象与x轴的交点，为图象的最高点，且是等腰直角三角形，若，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ）    A． B． C． D． 9．（2025·福建福州·模拟预测）已知向量，.若，则可能是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高三上·全国·月考）设平面向量，，且，则=（    ） A．1 B．14 C． D． 11．（2024·福建泉州·模拟预测）若平面向量，满足，且时，取得最小值，则（    ） A．0 B． C． D． 12．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 13．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·云南昆明·期中）在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（） A．4 B． C．2 D． 二、多选题 15．（2025·福建南平·三模）已知向量满足，则（    ） A．当时，与的夹角为 B．当时，在上的投影向量为 C．的最大值为 D．的最小值为4 16．（2024·福建厦门·三模）已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值是 三、填空题 18．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，的图象与轴交于点C，且，，，则 ． 四、解答题 19．（24-25高一下·山东青岛·月考）已知向量，函数. (1)求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； (2)当，且时，求的值. 20．（2025·福建宁德·三模）在中，角的对边分别为.设向量，，记. (1)求函数的最大值； (2)若，求的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高考二轮专题复习 【微专题4：平面向量的基本运算和应用】 【高考定位】 平面向量是高考数学的核心工具性考点，兼具代数运算与几何直观双重属性，考查形式以选择题、填空题为主，偶尔渗透于解答题（如三角函数、解析几何、立体几何综合题）中，分值占比5-12分. 核心考查方向：①平面向量的线性运算（加减、数乘）及几何意义；②平面向量数量积的定义、坐标运算及应用；③平面向量数量积的取值范围问题（结合函数、不等式）；④平面向量与其他知识的综合应用（如与三角函数、解析几何、数列的结合）.命题趋势侧重“向量工具性”，强调利用向量运算解决几何度量（长度、夹角）、位置关系（平行、垂直）问题，突出逻辑推理与数形结合能力的考查. 核心知识梳理 1.平面向量的线性运算基础 ①加法：三角形法则（，首尾相接，指向终点）、平行四边形法则（，共起点，对角线）；性质：，. ②减法：三角形法则（，共起点，指向被减向量终点）；性质：. ③数乘：（为实数），几何意义：伸缩向量；性质：，，；共线定理：，使得（）. 2.平面向量数量积基础 ①定义：（为与的夹角，）. ②坐标运算：若，，则；夹角公式：；模长公式：，. ③性质：；；. 【真题体验】 1．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 【答案】 ； 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 【答案】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 3．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 6．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 7．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 8．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解. 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 9．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：平面向量的线性运算】 【核心归纳】 1.关键思路：线性运算的核心是“基底化”，即选取一组不共线的已知向量（如、）作为基底，将所有未知向量转化为基底的线性组合；2.常用工具：三角形中线向量公式（，为中点）、向量共线定理、分点向量公式（若分的比为，则）. 【易错提示】 1.混淆向量加法、减法的几何意义，尤其是三角形法则中“方向”（加法首尾相接，减法共起点指向被减向量）；2.利用共线定理时，忽略“”的前提条件；3.基底选择不当导致运算复杂，应优先选择共起点或关联已知条件的向量作为基底. （2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ）经典例题1例题 A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，以为基底，分别用表示，建立方程组求解. 【详解】 ， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得， 故选：B. （2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ）经典例题2例题 A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C （2025·四川内江·一模）已知向量，若与共线，则（    ）经典例题3例题 A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标运算及向量共线求解. 【详解】，， 由与共线，可得， 解得， 故选：A 【规律方法总结】 1.解题模板：①确定基底（不共线的已知向量）；②利用线性运算性质（加减、数乘）将未知向量转化为基底的线性组合；③对比系数求解参数或化简表达式；④验证结果的几何合理性. 2.技巧提炼：遇到中点、三等分点等分点问题，优先用“中线向量公式”“分点向量公式”简化运算；遇到平行、共线问题，直接套用共线定理，转化为线性方程求解. （2025·广东茂名·模拟预测）在平行四边形中，点E、F分别是边的中点，分别与交于R、T两点，，（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：设，得到，根据B，T，F三点共线，得到方程，可得答案； 方法二：根据，可得. 【详解】方法一：设， 且B，T，F三点共线， ，解得； 方法二：， 所以， 同理，， 故， 所以. 故选：B. （2025·安徽·模拟预测）已知在中，点D满足，设，则（   ）小试牛刀2 A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由平面向量基本定理结合，可得，再由，即可求出的值. 【详解】由，可得， 则 则 故， 所以 故选：C. （24-25高一下·四川南充·月考）如图，点D、E分别在的边BC、AC上.且，，BE与AD交于点M，若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据，可得，再利用向量相等得到方程组，求的值，再求，，即可． 【详解】因为，所以， 所以， 又，则 设， 设， 则， 所以 ， 又因为不共线， 所以， 故， 所以，所以． 故选：A. 【热点题型2：平面向量的数量积】 【核心归纳】 1.数量积计算的两种核心方法：①定义法（已知模长、夹角时）：；②坐标法（已知向量坐标或可建立坐标系时）：；2.模长与夹角的求解依赖数量积：模长是数量积的开方（），夹角是数量积与模长乘积的比值（）. 【易错提示】 1.混淆数量积与模长的运算公式，如误将（仅共线同向时成立）；2.计算夹角时忽略夹角范围（），导致余弦值符号错误；3.建立坐标系时，坐标原点或坐标轴选择不当，导致计算复杂或出错. 【多选题】（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知向量，，则下列结论正确的是（    ）经典例题1例题 A．若 ，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【答案】ABD 【分析】选项A，用向量平行的坐标条件，求；选项B，用向量垂直的数量积为0求.选项C，先由夹角求数量积，再用向量差的模长公式计算验证.选项D，先由相反向量得坐标，再用投影向量公式计算验证. 【详解】选项A，若，则， 即，()，得=，所以A正确。 选项B，若，则 即，得，所以B正确。 选项C，若与的夹角为， 又因为，而， 代入得：，所以C错误。 选项D，若与方向相反，则()，且， ，由，得， 故，在上的投影向量公式为： ，计算，， 代入得：，D正确. 故选：ABD. 【多选题】（2025·广东深圳·模拟预测）已知平面向量，，则（    ）经典例题2例题 A． B． C．与的夹角为锐角 D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】A利用向量的模的计算公式；B利用数量积的运算律以及向量的坐标运算；C利用公式；D利用公式 【详解】因，则，故A正确； 因，， 则，故B错误； ，故C正确； 在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD 【多选题】（2025·河北衡水·模拟预测）在边长为3的等边三角形中，，则下列结论正确的是（    ）经典例题3例题 A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】以为基底，表示，并通过数量积运算进行判断. 【详解】对于A：，A错误； 对于B：，所以 ，B正确； 对于C：因为， 所以， 所以，C正确； 对于D： ，D正确. 故选：BCD. 【规律方法总结】 1.解题模板：①判断适用方法（定义法或坐标法）；②若用定义法，先求模长、夹角，代入数量积公式；若用坐标法，先建立坐标系，写出向量坐标，再进行坐标运算；③根据需求求解模长（平方后转化为数量积）、夹角（代入夹角公式）或判断垂直（数量积为0）. 2.技巧提炼：①遇到平面图形中的向量问题，优先建立坐标系（如以图形的顶点为原点，边为坐标轴），将向量转化为坐标后运算，降低思维难度；②涉及“向量的平方”，直接转化为模长的平方（），这是数量积运算的核心转化技巧. 【多选题】（2025·河北·模拟预测）已知，且向量的夹角为，下列说法正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C．向量和的夹角为 D．若，则 【答案】BD 【分析】通过向量的数量积公式以及向量模长公式等进行计算和判断. 【详解】因为，且向量的夹角为， 对于选项A： ，则A错误； 对于选项B： 要使得，则它们的数量积为0. 即，则B正确； 对于选项C： 因为，则，则C错误； 对于选项D：因为， 所以，解得，则D正确． 故选：． （2025·广东·模拟预测）已知向量满足，则 .小试牛刀2 【答案】/ 【分析】数形结合，利用向量的几何意义求解. 【详解】如图： 设，，作平行四边形，则，， 因为，即，所以平行四边形为矩形. 又，所以. 所以 . 故答案为： （2025·天津·二模）在中，点D在边BC上，且，E为线段AD的中点.已知，，则 （用，表示）；若，，且，则 .小试牛刀3 【答案】 / 【分析】根据几何图形，结合向量的线性运算，即可用基底表示，首先用基底表示，再利用数量积公式，求，即可求解. 【详解】由条件可知， , 所以； 由，得， 得， 所以， 得，且，， 所以， 得,,所以. 故答案为： 【热点题型3：平面向量的综合应用】 【核心归纳】 1.与三角函数结合：利用向量平行、垂直的条件转化为三角函数的边角关系（如正弦定理、余弦定理），或利用数量积表示三角函数表达式，求三角函数的最值、周期；2.与解析几何结合：用向量表示直线的方向向量、法向量，或用向量垂直、平行的条件转化为直线、曲线的位置关系（如直线垂直斜率关系、点在曲线上的条件）；3.与数列结合：将数列的项表示为向量的坐标，利用向量运算性质推导数列的通项公式或前项和公式. 【易错提示】 1.向量与其他知识结合时，混淆向量条件与代数条件的转化关系（如将向量平行的条件误用于垂直问题）；2.忽略向量运算的几何意义，导致转化方向错误；3.计算过程中遗漏向量的方向信息，导致符号错误. （25-26高三上·陕西商洛·月考）已知．经典例题1例题 (1)求的最小正周期和对称轴方程； (2)已知的内角C满足，且点D在线段AB上，求CD的长． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用数量积的坐标表示及辅助角公式求出，再利用正弦函数性质求解. （2）由（1）及已知求出，再利用诱导公式及等腰三角形性质求解. 【详解】（1）由， 得， 所以的最小正周期为， 由，得， 所以图象的对称轴为. （2）在中，由，得，即， 而，即，则，， 由，得，而， 所以 （2025·江苏·模拟预测）已知向量，设函数.经典例题2例题 (1)求的最小正周期； (2)若，求的最值和单调区间. 【答案】(1) (2)的最小值为，最大值为的单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）利用向量数量积得出函数关系式，再利用二倍角正弦与余弦公式化简前者得正弦型函数，故可求周期； （2）根据正弦函数的性质可求的最值和单调区间. 【详解】（1）     ，     故的最小正周期为. （2）因为，所以， 所以当，即时，取得最小值，最小值为； 当，即时，取得最大值，最大值为. 令，即时，故在递增； 令，即时，故在递减. 综上，的最小值为，最大值为， 的单调递增区间为，单调递减区间为. （2025·湖北·模拟预测）已知点，，为坐标原点，函数经典例题3例题 (1)求的解析式及最小正周期 (2)三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积 【答案】(1)，最小正周期为 (2)或 【分析】（1）根据向量数量积坐标运算、二倍角公式和辅助角公式可化简得到，根据正弦型函数最小正周期求法可求得结果； （2）由，结合的范围可求得或；当时，根据余弦定理和勾股定理可证得，根据角度关系可求得，进而求得；当时，根据正弦定理可求得，结合两角和差正弦公式和三角形面积公式可求得. 【详解】（1），， ， 则的最小正周期. （2），， ，，则或， 或； 当时，，， ，，，， 又为的角平分线，，， ，， ； 当时，，，， 为的角平分线，， 在中，由正弦定理得：， ，在中，由正弦定理得：， ， . 综上所述：的面积为或. 【规律方法总结】 1.解题模板：①识别结合模块（三角函数、解析几何等）；②将向量条件转化为对应模块的代数条件（如向量垂直数量积为0代数方程）；③利用对应模块的知识求解问题；④验证结果与向量条件的一致性. 2.技巧提炼：①向量与解析几何结合时，优先用向量的坐标运算，将几何条件转化为坐标方程；②向量与三角函数结合时，利用向量数量积的定义转化为边角关系，辅助应用正、余弦定理；③遇到综合题时，先分离向量条件，单独转化后再融入其他 （2025·江苏淮安·模拟预测）已知，．小试牛刀1 (1)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的解析式； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算及降幂公式和辅助角公式得到的解析式，再利用三角函数的平移及伸缩变换得到的解析式； （2）根据的解析式求出，再利用同角关系求其余弦值，最后利用两角和的余弦公式求出的值. 【详解】（1） 将函数的图象向左平移个单位长度，则， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，则有． （2）由题意得，所以， . 【多选题】（2025·四川达州·一模）在中，三个内角对边分别为，，则（ ）小试牛刀2 A． B． C． D．的范围为 【答案】AC 【分析】A：利用正弦定理结合两角和的正弦公式，化简可得结果；B：假设成立后推出矛盾；C：根据向量的线性运算求出结果；D：将C的结果平方结合余弦定理可求解出关于的表示，根据的取值范围可求解出结果. 【详解】和正弦定理，可得， 即， 则， 所以， 则，即， 所以，由正弦定理，得，故A正确； 假设成立，因为，所以， 所以，且，所以， 所以，且，此时无解，假设错误，故B错误； 因为，故C正确； 因为， 所以，由余弦定理，， 所以， 又因为，所以， 由三角形性质可知，即，解得， 所以，即的范围为，故的范围为，故D错误. 故选：AC. 【多选题】（2025·广东·模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．若，则 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】当时，验证是否成立，即可判断A；根据平面向量数量积的坐标表示，验证是否成立，即可判断B；取，验证是否成立，即可判断C；验证是否成立，即可判断D. 【详解】若，则 ，所以，故A正确； 因为，而， 所以，故B正确； 取，则，此时， ，故C错误； 因为，故D正确. 故选：ABD. 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·江苏南通·三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（   ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据向量的减法运算求出，再由共线向量定理求解即可. 【详解】，， 因为与共线，， 故选：A． 2．（2025·福建漳州·模拟预测）已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，求出即可求出向量在上的投影向量. 【详解】因为， 所以， 所以，， 所以向量在上的投影向量为. 故选：D. 3．（2025·福建三明·模拟预测）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出和，再由向量共线的坐标表示列方程求解. 【详解】由，，得，， 若，则，解得 . 故选：B. 4．（2024·福建福州·模拟预测）已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由平面向量共线定理，列出方程，即可得到结果. 【详解】依题意，设，又是两个不共线的向量， 所以，所以． 故选：D 5．（2025·福建泉州·模拟预测）已知平面向量、的夹角为，且满足，则以下四个向量中模长最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查函数，其中，利用平面向量数量积的运算性质可得出的表达式，结合二次函数的单调性可得出合适的选项. 【详解】考查函数，其中， 由平面向量数量积的定义可得， 所以 ， 由二次函数的基本性质可知，函数在上单调递减， 又因为，故四个选项中，D选项中向量的模长最大. 故选：D. 6．（2024·福建漳州·模拟预测）在中，是边上一点，且是的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可. 【详解】 ， 故选：D．    7．（2024·湖南·二模）设，对满足条件的点的值与无关，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平面向量的坐标表示得出C点轨迹，结合直线与圆的位置关系计算即可. 【详解】易知，所以， 即C点轨迹为为圆心，为半径的圆， 易知到直线的距离为， 即该圆与直线相切， 若的值与无关， 则该圆在两平行直线之间， 所以到直线的距离为，    由图可知. 故选：B 8．（2024·福建三明·三模）函数的部分图象如图所示，其中两点为图象与x轴的交点，为图象的最高点，且是等腰直角三角形，若，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，过点作于点，由是等腰直角三角形，表示出的坐标，由最大值为1，即可求出，根据投影向量计算公式计算即可． 【详解】，则，过点作于点， 因为是等腰直角三角形，所以，    因为，所以， 因为最大值为1，所以，解得， 所以，则， 则在上的投影向量的坐标为：， 故选：B． 9．（2025·福建福州·模拟预测）已知向量，.若，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得向量的位置，根据向量单位化以及加法的几何意义，结合共线定理，可得答案. 【详解】由，则平行于平分线所在的直线， 所以，当时，. 且不存在使得等于. 故选：C. 10．（23-24高三上·全国·月考）设平面向量，，且，则=（    ） A．1 B．14 C． D． 【答案】B 【分析】根据，求出把两边平方，可求得，把所求展开即可求解. 【详解】因为，所以又， 则 所以， 则 ， 故选： 11．（2024·福建泉州·模拟预测）若平面向量，满足，且时，取得最小值，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，根据向量减法的几何意义，可得线段OB的中点C满足，即可求得，的夹角. 【详解】设，，则为直线OB上的点C与点A之间的距离， 由时，取得最小值，得C为线段OB的中点且， 由于，所以. 故选：B 12．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可. 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 13．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可得，又，易知，，将问题转化为平面点线距离关系：向量的终点为圆心，1为半径的圆上的点到向量所在射线的距离最短，即可求的最小值. 【详解】∵，而， ∴，又，即， 又，， ∴， 若，则， ∴在以为圆心，1为半径的圆上，若，则， ∴问题转化为求在圆上的哪一点时，使最小，又， ∴当且仅当三点共线且时，最小为. 故选：B. 14．（23-24高一下·云南昆明·期中）在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由推得；再由求得， ，最后由和平面向量基本定理可推得利用常值代换法即可求得所求式的最小值. 【详解】因，则，由， 可得，即， ， 又 解得因，故， 又 ，解得 又，所以，， 又，即 因为线段上的动点，即共线，且， ， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于，将各个条件分别化简，得出关于三角形的边长和夹角，代入向量等式，利用平面向量基本定理即得最后运用常值代换法即可求得最值. 二、多选题 15．（2025·福建南平·三模）已知向量满足，则（    ） A．当时，与的夹角为 B．当时，在上的投影向量为 C．的最大值为 D．的最小值为4 【答案】BCD 【分析】由题意可求得，可求夹角判断A；由题意可得，可求得投影向量着判断B；设的夹角为，可求得，进而可求得最大值，最小值可判断CD. 【详解】当时，可得，又，所以，故A错误； 由，可得，又，所以， 所以，所以在上的投影向量为，故B正确； 设的夹角为， 所以，， 所以， 设，所以， 因为，所以，所以， 当时，，所以，故C正确； 当时，，所以，故D正确. 故选：BCD. 16．（2024·福建厦门·三模）已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性运算，向量共享定理的推论，得出为中点，为上靠近点的四等分点，对选项进行判断，得出答案. 【详解】 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，因为为等边三角形，，为中点，所以， 所以，即，所以 ，故B正确； 对于C选项，设， 由（1）得，所以， 又三点共线，所以，解得，所以为上靠近点的四等分点，故C错误； 对于D，，设，则， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以为中点，所以，故D正确， 故选：ABD. 17．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ABD 【分析】利用基底表示向量判断A；利用数量积的运算律及夹角公式求解判断B；利用共线向量定理推论求解判断C；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断D. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，令，在等边中，， 由选项A得， ，，， ， 因此，B正确； 对于C，由选项A知，，而，， 则，而共线，因此，即，C错误； 对于D，由选项C知，， ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 三、填空题 18．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，的图象与轴交于点C，且，，，则 ． 【答案】 【分析】根据B、D点横坐标可确定周期得出，再把代入可求的值，利用得到A即可求解. 【详解】由题干图象可知，则，所以，所以 ， 由，得，，即，， 因为，所以，则． 又，则，又 ，， ，解得（负根舍去）， 所以，所以． 故答案为：. 四、解答题 19．（24-25高一下·山东青岛·月考）已知向量，函数. (1)求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； (2)当，且时，求的值. 【答案】(1)最小正周期为，对称轴为 (2) 【分析】（1）先求函数的解析式，利用性质可得答案； （2）根据条件求出，，结合角之间的关系可求答案. 【详解】（1）因为， 所以 ，所以. 最小正周期为，令,得， 即图象的对称轴为. （2）由得， 因为，所以，所以； . 20．（2025·福建宁德·三模）在中，角的对边分别为.设向量，，记. (1)求函数的最大值； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数量积的定义、二倍角的正弦公式化简和辅助角公式，再由三角函数的性质即可得出答案； （2）法一：先求出，由两角和的余弦公式求出，由正弦定理求出，再由三角形的面积公式即可得出答案；法二：先求出，由两角差的余弦公式，二倍角公式化简可求得，由此可求出，再由正弦定理和三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】（1）因为， 所以 又因为，所以， 所以， 所以. （2）法一：由（1）知若， 因为，所以， 因为， 所以，因为， 由正弦定理知， 所以，所以， 所以. 解法二：由（1）知. 因为，所以， 因为，所以， ， ， ， ，所以 又因为，所以或， 由正弦定理知， 所以， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $