精品解析：江苏省淮北中学、泗阳县海门实验中学2025-2026学年高一上学期1月检测数学试题

2026年1月第一次高一数学检测 分值：150分 时间：120分钟 声明：亲爱的同学们，2026年已经到来，愿你新年快乐，一起加油吧，最后，感谢本次高一数学组老师命题，预祝考试顺利. 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，正数满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 0或1 7. 设函数（，），若在区间上具有单调性，且，则函数是的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，若有3个不等实根，，，且，则（ ） A. 的单调递增区间为， B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 方程有5个根 11. 已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 的最小正周期是 C. 的对称中心， D. 若方程在上有且只有个根，则 三、填空题（共15分） 12. =________________. 13. 已知定义在上的偶函数满足：对任意的，都有且，则不等式的解集为__________. 14. 设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________． 四、解答题（共77分） 15. （1）已知，且，求的值． （2）已知，若，求的值． 16. 已知函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）设函数，求在上的最小值. 17. 已知函数为奇函数，且不为常函数. （1）求的值； （2）若，用定义法证明：在上单调递减； （3）若（2）中的对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟． （1）求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离； （2）求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； （3）在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值． 19. 设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，例如，，．取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为，值域为； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为的整数部分，为的小数部分． （1）若，求关于的方程的解； （2）求关于的不等式的解集； （3）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月第一次高一数学检测 分值：150分 时间：120分钟 声明：亲爱的同学们，2026年已经到来，愿你新年快乐，一起加油吧，最后，感谢本次高一数学组老师命题，预祝考试顺利. 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义进行求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：C. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定要求，改变量词，否定结论即得. 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：B. 3. 已知函数，正数满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件得到函数定义域为，代入，得到函数为奇函数，判断函数为定义域上增函数，再结合题目条件正数满足得到，代入目标函数使用基本不等式求出最小值. 【详解】已知，定义域为， ，故是奇函数， 令，则，因随增大而增大， 且随增大而增大，故在上单调递增， 由条件得：，利用奇函数性质，于是， 由于单调递增，必有，即， 已知，求的最小值： 由基本不等式，，当且仅当时等号成立，故， 当时，，符合条件，故最小值为. 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的概念及指数幂的运算求解判断即可. 【详解】因为，所以． 故选：A． 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可. 【详解】，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 6. 已知函数，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 0或1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求出的值，再代入计算可得. 【详解】因为且， 所以或， 解得或， 当时，； 当时，； 综上可得的值为. 故选：B 7. 设函数（，），若在区间上具有单调性，且，则函数是的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据单调性可求出，再根据题意得函数关于点对称，关于直线对称，得到等式组，通过作差分析可得，最后检验即可. 【详解】若在区间上具有单调性,则， 则的图象关于点对称,的图象关于直线对称, ①， 且，② 两式相减,可得,又因为，故. 当时,则结合和①式可得，. 所以. 故它的最小正周期为， 故选：B. 8. 已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数，根据三角函数的图象变换得到，令，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可. 【详解】函数，向右平移个单位长度，得， 再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到， 令， 得， 所以， 若函数在上没有零点， 则需， 所以， 所以， 若函数在上有零点， 则， 当k=0时，得，解得， 当k=1时，得，解得， 综上：函数在上有零点时，或， 所以函数在上没有零点，. 所以的取值范围是. 故选：A 【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题. 二、多选题（共18分） 9. 已知实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断AB选项，利用基本不等式判断CD选项. 【详解】对于A，当时，有，A选项正确； 对于B，当时，有，B选项错误； 对于C，若，则， 当且仅当时等号成立，C选项正确； 对于D，， ， 则， 当且仅当时等号成立，D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，若有3个不等实根，，，且，则（ ） A. 的单调递增区间为， B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 方程有5个根 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出函数的草图，数形结合，可逐项判断真假. 【详解】作函数草图如下： 由图可知：的单调递增区间为，，故A正确； 有3个不等实根，则，故B错误； 因为，由；由. 所以，所以的取值范围是，故C正确； 由，且，所以； 由. 所以，由或. 因为方程有3个不同的实根，方程有2个不同的实根，且两方程的根互不相同，所以方程有5个不同实根，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 的最小正周期是 C. 的对称中心， D. 若方程在上有且只有个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，可以由两个特值；得到和；对于B，利用函数周期性的定义可判断；对于C，利用正弦型函数的对称性可判断；对于D，结合图象列不等式，解不等式判断D． 【详解】对A，由图分析可知：，，得，或， 因为，所以， 由，得，即， 又，所以， 又， 所以，即得，， 又，所以，所以，故A正确； 对B，， 因为， ， 故函数的最小正周期不是，结合图象可知，函数的最小正周期为，故B错误； 对C，， 由可得， 因此，函数的对称中心为，故C正确； 对D，由，得， 因为，所以， 令、、、、、， 解得、、、、、． 又在上有个根，则根从小到大为、、、、、． 再令，解得，则第个根为，，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题（共15分） 12. =________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数和对数的运算法则化简即可. 【详解】 . 故答案为： 13. 已知定义在上的偶函数满足：对任意的，都有且，则不等式的解集为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】先根据 ，可推断在上单调递减，又由于是偶函数，可知在单调递增．分区间判断的取值情况，可得不等式的解集． 【详解】定义在上的偶函数满足对任意的，都有， 所以在上单调递减， 根据偶函数的对称性可得，在上单调递增， 因为，所以， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 当或或时，， 则不等式可得或， 所以或. 故答案为：或. 14. 设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的单调区间来求解参数范围即可. 【详解】由可得：， 因为正弦函数的单调递增区间是， 所以，解得：， 由解得：， 因为，所以当时，有， 当时，有， 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. （1）已知，且，求的值． （2）已知，若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式列式计算即得. （2）利用诱导公式及同角公式计算得解. 【详解】（1）由，两边平方得， 即，解得， 所以. （2）由，得，又，则， 所以. 16. 已知函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）设函数，求在上的最小值. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用分类讨论解含参一元二次不等式即可； （2）由题设，结合二次函数的性质，讨论对称轴与已知区间的位置关系求最小值. 【小问1详解】 由题设， 当时，，则解集为， 当时，无解，则解集为， 当时，，则解集为； 【小问2详解】 由题设，其图象开口向上且对称轴为， 当，即时，在上单调递增，则最小值 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则最小值 当，即时，在上单调递减，则最小值. 综上，. 17. 已知函数为奇函数，且不为常函数. （1）求的值； （2）若，用定义法证明：在上单调递减； （3）若（2）中的对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 由（1）知，， 任取，则， ，则，， ，即所以， 所以函数在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义导出关于的方程，解出，再结合“不为常函数”排除得到结果； （2）将值代入，化简函数表达式，在定义域内任取自变量作差，利用对数性质与真数大小比较证明函数值随自变量增大而减小； （3）将不等式分离出，构造关于的函数，利用其在给定区间上的单调性求出最大值，由大于该最大值确定参数范围； 【小问1详解】 由为奇函数，则对定义域内的每一个都有， 所以，即，所以， 当时，函数为常函数，与已知矛盾， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对任意的，， 即，得， 记函数，， 则函数在区间上单调递减， 函数在区间上的最大值为， ，因此，实数的取值范围是. 18. 某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟． （1）求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离； （2）求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； （3）在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值． 【答案】（1）米 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）首先求出旋转的角度，再求出初始高度及旋转上升的高度，即可得解； （2）依题意设，即可得到，，再由周期求出，最后求出即可； （3）令，结合正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为旋转一周所需时间分钟，所以旋转分钟转过的角度为， 号座舱（点）离地面的初始高度为米， 又摩天轮的半径为30米，所以逆时针旋转时上升的高度为米， 所以旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离米； 【小问2详解】 依题意1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（其中）， 依题意可得，，则． 又，， 当时，，又，所以， 所以． 【小问3详解】 令，即，， ，， 或，解得或， 故或时，1号座舱与地面的距离为17米． 19. 设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，例如，，．取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为，值域为； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为的整数部分，为的小数部分． （1）若，求关于的方程的解； （2）求关于的不等式的解集； （3）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）或或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分，，，三种情况进行讨论，结合取整函数的定义求方程的解； （2）分，，，，四种情况进行讨论，结合取整函数的定义求不等式的解集； （3）分，两种情况进行讨论，结合分离参数求最值和函数的单调性求最值确定的取值范围. 【小问1详解】 ①，此时，， 则方程可化为，解得，符合题意． ②，此时，， 则方程可化为，解得，符合题意． ③，此时，， 则方程可化为，解得，符合题意． 综上所述，若，关于的方程的解为或或． 【小问2详解】 ①，此时，，，此时不等式恒成立． ②，此时，，则不等式可化为， 解得，又，． ③，此时，，则不等式可化为， 解得，又，． ④，此时，，，此时不等式无解． 综上所述，关于的不等式的解集为． 【小问3详解】 ①，此时，则不等式可化为， 整理得：在上恒成立， 设，则，又， ，当且仅当时等号成立， ，． ②，此时，则不等式可化为， 整理得：在上恒成立， 设，， 令，， 则， ，且， 则， 又，则，，， ，故在上单调递减． 即在上单调递减． ，．又， 综上所述，． 【点睛】方法点睛：高斯函数常见处理策略： （1）高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法. （2）由求时直接按高斯函数的定义求即可.由求时，因为不是一个确定的实数，可设处理. （3）求由构成的方程时先求出的范围，再求的取值范围. （4）求由与混合构成的方程时，可用放缩为只有构成的不等式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $