相似三角形与动点问题、相似三角形的实际应用问题专项训练-2025-2026学年 北师大版九年级数学上册

相似三角形与动点问题、相似三角形的实际应用问题专项训练 相似三角形与动点问题、相似三角形的实际应用问题专项训练 考点目录 相似三角形与动点问题 相似三角形的实际应用问题 考点一 相似三角形与动点问题 例1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，在中，，点P从A点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动． (1)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，与相似？ (2)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，并且P到B又继续在边上前进，Q到C后又继续在边上前进，经过几秒钟，的面积等于12厘米2？ 例2．（24-25九年级上·湖南怀化·月考）如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ 例3．（25-26九年级上·四川眉山·期中）已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当、两点中有一点到达终点，则同时停止运动． (1)如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (3)如果，分别从，同时出发，那么几秒后与相似？ 例4．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，在中，，，，点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)求的长． (2)当t为何值时，与相似？ 变式1．（25-26九年级上·河北张家口·月考）如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点． (1)若与的周长比为，求的长． (2)点从点出发沿边以每秒个单位长度的速度向点移动，移动时间为秒．请通过计算说明：当为何值时，？ 变式2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点． (1)求点、的坐标； (2)如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 变式3．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，D为边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点B停止，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）． (1)当点Q与点D重合时，t的值为________； (2)用含t的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求t的值； (4)当点Q不与的顶点重合时，过点Q作交的边于点M，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 变式4．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，中，，是的中点，厘米，厘米，点从出发，以2厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为秒．    (1)_____厘米； (2)当为何值时，； (3)是否存在值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出值，若不存在，说明理由． 考点二 相似三角形的实际应用问题 例1．（25-26九年级上·吉林长春·月考）某校初三学生开展主题为“测量校园凉亭高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内凉亭的高度（凉亭顶端M与底部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺． 实践活动 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向凉亭顶端M，调整人到凉亭的距离，使得点M与点C，A恰好在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如示意图所示． 示意图 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离，． 解决问题 利用得到的数据求出凉亭的高度． 例2．（24-25九年级下·陕西西安·期中）三国时期，魏人刘徽撰写的《海岛算经》乃中国最早的一部测量数学专著，专注于测高望远之术．受此启发，小刚设计了一种测量塔高的方案：如图，在地面上C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E、标杆的顶端点 D与塔尖点B恰好在同一直线上，测得的距离为5米．随后，将标杆向后平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的顶端点H 与塔尖点B仍在同一直线上（点F、点G、点E、点C 与塔底处的点A 在同一直线上），并测得 米， 米，请依据这些数据计算该塔的高度 例3．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）塔刹位于塔的最高处，是“观表全塔”和塔上最显著的标记．如图①，北寺塔为九级八面砖身木檐混合结构，塔刹高耸，宏伟秀逸．小明采用了如下方式测量北寺塔的塔刹高度． 【学科融合】光的反射定律：如图②，光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角； 【探索活动】如图③，小明先测量了北寺塔的高度，他先在地面点处平放一面镜子，然后沿直线退至点处，此时眼睛恰好在镜子中看到北寺塔塔刹的顶端．经测量，小明的眼睛到地面的距离，，，求北寺塔的高度； 【解决问题】小明再将镜子移至直线上的点处，当他回到点处时，恰好可以通过镜子看到塔刹的顶部． ①请用无刻度直尺和圆规，在图④中作出表示镜子位置的点（不写作法，保留作图痕迹）； ②经测量，，求塔刹的高度（精确到）． 例4．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）【问题背景】 （1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； 【活动探究】 （2）观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． 变式1．（25-26九年级上·广东深圳·月考）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点C处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端E，已知淇淇眼睛A到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度： (2)如图②所示，嘉嘉采用影长法测量旗杆高度．同一时刻，他测得1米长竹竿竖直放置时影长为2米；测量旗杆时，其影子一部分落在地面上（），另一部分落在斜坡C上（），与地面成角，求旗杆的高度． 变式2．（25-26九年级上·安徽滁州·月考）（）由光的反射定律知：反射角等于入射角如图①，即小丽测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小丽的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； （）观察小丽的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法如图②：他让小丽站在点处不动，将镜子移动至处，小丽恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小丽的眼睛离地面的距离，，求这个广告牌的高度． 变式3．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）如图，小华和小军同学想要测量学校教学楼的高度，小华站在地面上的点A处，此时小华在太阳光线下的影子顶端和教学楼在太阳光线下的影子顶端恰好重合于地面上的点B处，接着小军从点B处沿方向移动米到达点C处（即米），并在点C处测得，已知小华的身高米，小华的影长米，点O，A，B，C在同一条直线上，，，图中所有的点都在同一平面内，求教学楼的高度． 变式4．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）清风阁位于安徽省合肥市的包公园内，是为纪念北宋清官包拯诞辰而建的大型仿宋建筑．小夏和小罗同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量清风阁的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先，在阳光下，小夏在清风阁影子的末端C点处竖立一根2米的标杆，此时，小罗测得标杆的影长米；然后，小夏从C点沿方向走了6米，到达点G，在G处竖立一根2米的标杆，接着沿方向走到点M处时，恰好看见清风阁顶端A点与F在一条直线上（即A，F，H在一条直线上），此时，小罗测得米，小夏的眼睛到地面的距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出清风阁的高． 2 学科网（北京）股份有限公司 $相似三角形与动点问题、相似三角形的实际应用问题专项训练 相似三角形与动点问题、相似三角形的实际应用问题专项训练 考点目录 相似三角形与动点问题 相似三角形的实际应用问题 考点一 相似三角形与动点问题 例1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，在中，，点P从A点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动． (1)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，与相似？ (2)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，并且P到B又继续在边上前进，Q到C后又继续在边上前进，经过几秒钟，的面积等于12厘米2？ 【答案】(1)经过秒或秒时，△与△相似 (2)经过秒或秒时，△的面积等于12厘米 【详解】（1）解：由题意得：，，， 设经过秒，△与△相似，则，，， ①若△△，则， 即， ， ②若△△，则， 即， 解得：， 经过秒或秒时，△与△相似； （2）解：，， ， 设时间为秒， 当时，点移动到上，点移动到上， 此时，，， 由题意得， 整理得， 解得或（舍去）； 当时，点移动到上，点移动到上，过作，垂足为， 此时， ，，， ，， ， △△， ，即，即：， 由题意得， 整理得， 解得：（舍去）或（舍去）； 当时，点移动到上，且有，点移动到上，且， 过作，垂足为， ，， ， △△， ， 即，即：， 由题意得， 整理得， 解得或（舍去）； 综上所述，经过秒或秒时，△的面积等于12厘米． 例2．（24-25九年级上·湖南怀化·月考）如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ 【答案】(1)点出发秒后，的面积为面积的 (2)或 (3) 【详解】（1）解：设经过秒后的面积为面积的，其中， 由题意知，，， ∴， ∴． 答：点出发秒后，的面积为面积的． （2）解：设经过秒后，以为顶点的三角形与相似，其中， 当时， 则有， ∴， ∴． 当时， 则有， ∴， ∴． 答：经过秒或秒后，以为顶点的三角形与相似． （3）解：如图，过点作，连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 答：当运动时间为时，． 例3．（25-26九年级上·四川眉山·期中）已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当、两点中有一点到达终点，则同时停止运动． (1)如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (3)如果，分别从，同时出发，那么几秒后与相似？ 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：设运动时间为，根据题意，得，，则， ∵的面积为， ∴， 整理，得， 解得，， 时，大于，舍去， 故当运动时，的面积等于． （2）解：设运动时间为，根据题意，得，，则，根据的长度等于， 利用勾股定理，得， 解得或，舍去， 故3秒后，的长度等于． （3）解：设运动时间为，根据题意，得，，则， 当， ∴， ∴， 解得； 当， ∴， ∴， 解得； 故当运动或时，与相似． 例4．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，在中，，，，点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)求的长． (2)当t为何值时，与相似？ 【答案】(1)10 (2)或 【详解】（1）解：在中，∵，，， ∴． （2）解：由题意得，，， 因此， 与相似有两种情况， ①当时，， 即， 解得； ②当时，， 即， 解得； 综上所述，当为或时，与相似． 变式1．（25-26九年级上·河北张家口·月考）如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点． (1)若与的周长比为，求的长． (2)点从点出发沿边以每秒个单位长度的速度向点移动，移动时间为秒．请通过计算说明：当为何值时，？ 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵与的周长比为， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，解得， 即当时，． 变式2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点． (1)求点、的坐标； (2)如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在；点的坐标为或 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， 当时，得：；当时，得：， ∴，； （2）存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似． 理由：∵，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ，，， ∴， 如图，过作于点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 当时， 则，即， ∴， ∴， ∴， 此时点的坐标为； 当时， 则，即， 解得：， ∴， ∴， 此时点的坐标为； 综上所述，存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似；点的坐标为或． 变式3．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，D为边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点B停止，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）． (1)当点Q与点D重合时，t的值为________； (2)用含t的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求t的值； (4)当点Q不与的顶点重合时，过点Q作交的边于点M，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【详解】（1）解：， ， ∵为边的中点， ， ∵点与点重合， ∴， ． 故答案为：． （2）解：当时，则点Q在上 ， ∴； 当时，则点Q在上 ， ∴； 综上，． （3）解：当，则点Q在上时， 则，， ∵将的分成的两部分，其中的三角形与相似时， ∴当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即， 解得：（舍去）； 当，则点Q在上时， 当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即 解得：（舍去）． 综上，将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，t值为或． （4）解：如图1中，连接、相交于点．当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵， ∴， ， ， 解得． 如图2中，连接、相交于点O，当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为或． 变式4．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，中，，是的中点，厘米，厘米，点从出发，以2厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为秒．    (1)_____厘米； (2)当为何值时，； (3)是否存在值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)或时，与相似 【详解】（1）解：∵在中，是的中点，厘米， ∴，厘米， ∴在中，厘米 （2）解：由题意得：， ∵厘米，厘米 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： （3）解：当时，， ∴ 解得： 当时，， ∴ 解得：. 综上所述：或时，与相似. 考点二 相似三角形的实际应用问题 例1．（25-26九年级上·吉林长春·月考）某校初三学生开展主题为“测量校园凉亭高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内凉亭的高度（凉亭顶端M与底部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺． 实践活动 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向凉亭顶端M，调整人到凉亭的距离，使得点M与点C，A恰好在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如示意图所示． 示意图 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离，． 解决问题 利用得到的数据求出凉亭的高度． 【答案】凉亭的高度为 【详解】解：由题意知，，， ， ， ， ， 解得， ，，， 四边形是矩形， ， ， 凉亭的高度为． 例2．（24-25九年级下·陕西西安·期中）三国时期，魏人刘徽撰写的《海岛算经》乃中国最早的一部测量数学专著，专注于测高望远之术．受此启发，小刚设计了一种测量塔高的方案：如图，在地面上C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E、标杆的顶端点 D与塔尖点B恰好在同一直线上，测得的距离为5米．随后，将标杆向后平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的顶端点H 与塔尖点B仍在同一直线上（点F、点G、点E、点C 与塔底处的点A 在同一直线上），并测得 米， 米，请依据这些数据计算该塔的高度 【答案】古塔的高度为82米 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴，， ∴，， ， ∴， ， （米）， ∵， ∴， （米）， 答：古塔的高度为82米． 例3．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）塔刹位于塔的最高处，是“观表全塔”和塔上最显著的标记．如图①，北寺塔为九级八面砖身木檐混合结构，塔刹高耸，宏伟秀逸．小明采用了如下方式测量北寺塔的塔刹高度． 【学科融合】光的反射定律：如图②，光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角； 【探索活动】如图③，小明先测量了北寺塔的高度，他先在地面点处平放一面镜子，然后沿直线退至点处，此时眼睛恰好在镜子中看到北寺塔塔刹的顶端．经测量，小明的眼睛到地面的距离，，，求北寺塔的高度； 【解决问题】小明再将镜子移至直线上的点处，当他回到点处时，恰好可以通过镜子看到塔刹的顶部． ①请用无刻度直尺和圆规，在图④中作出表示镜子位置的点（不写作法，保留作图痕迹）； ②经测量，，求塔刹的高度（精确到）． 【答案】探索活动：北寺塔的高度为；解决问题：①见解析；②塔刹的高度为 【详解】 解：[探索活动]由题意知，，， ∴∽， ∴， ∴， ∴， 故北寺塔的高度为； [解决问题]①如图， ②由[探索活动]同理得，， ∴， 解得， ， 故塔刹的高度为． 例4．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）【问题背景】 （1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； 【活动探究】 （2）观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）如图所示：   ，， ， ， ， ，，， ，解得； （2）如图所示：   ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ． 变式1．（25-26九年级上·广东深圳·月考）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点C处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端E，已知淇淇眼睛A到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度： (2)如图②所示，嘉嘉采用影长法测量旗杆高度．同一时刻，他测得1米长竹竿竖直放置时影长为2米；测量旗杆时，其影子一部分落在地面上（），另一部分落在斜坡C上（），与地面成角，求旗杆的高度． 【答案】(1)的长为 (2)旗杆的高度约为 【详解】（1）解：∵，， ， ， ∴， ∴，即， ∴， 答：的长为； （2）解：延长交的延长线于点F，过点D作于点E， ∵， ， ， ， ∴， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴， ∴， ∴， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴， ∴， 答：旗杆的高度约为． 变式2．（25-26九年级上·安徽滁州·月考）（）由光的反射定律知：反射角等于入射角如图①，即小丽测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小丽的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； （）观察小丽的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法如图②：他让小丽站在点处不动，将镜子移动至处，小丽恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小丽的眼睛离地面的距离，，求这个广告牌的高度． 【答案】（）米；（）米 【详解】（）解：，， ， ， ， ． 答：建筑物的高度为． （）由题意得：，，，， ，， ， ， ， ． ，， ， ， ， ， ． 答：广告牌的高度为． 变式3．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）如图，小华和小军同学想要测量学校教学楼的高度，小华站在地面上的点A处，此时小华在太阳光线下的影子顶端和教学楼在太阳光线下的影子顶端恰好重合于地面上的点B处，接着小军从点B处沿方向移动米到达点C处（即米），并在点C处测得，已知小华的身高米，小华的影长米，点O，A，B，C在同一条直线上，，，图中所有的点都在同一平面内，求教学楼的高度． 【答案】米 【详解】解：设米， ∵米，米， ∴米，米， ∵，， ∴， 即米， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴米． 变式4．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）清风阁位于安徽省合肥市的包公园内，是为纪念北宋清官包拯诞辰而建的大型仿宋建筑．小夏和小罗同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量清风阁的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先，在阳光下，小夏在清风阁影子的末端C点处竖立一根2米的标杆，此时，小罗测得标杆的影长米；然后，小夏从C点沿方向走了6米，到达点G，在G处竖立一根2米的标杆，接着沿方向走到点M处时，恰好看见清风阁顶端A点与F在一条直线上（即A，F，H在一条直线上），此时，小罗测得米，小夏的眼睛到地面的距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出清风阁的高． 【答案】42米 【详解】解：由题意可知，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点H作于点N，交于点P， 设米，则米， 米，（米），米， ∵， ∴， ∴，即 解得：． ∴清风阁的高为42米． 2 学科网（北京）股份有限公司 $