专题04 相似三角形中的动点问题的六种模型（高效培优专项训练）数学北师大版九年级上册

专题04 相似三角形中的动点问题的六种模型 目录 题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 1 题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 6 题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 14 题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题 20 题型五：相似三角形中的动点问题与几何综合问题 25 题型六：相似三角形中的动点探究应用问题 38 题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 例1．如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当 时，与相似． 【答案】或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据题意分类讨论，列出比例式，根据比例式求出运动时间． 【详解】解：点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为， 则，，， ∵， 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 故答案为：或． 知识点总结 1.相似三角形判定与性质：需掌握AA（两角对应相等）、SAS（两边对应成比例且夹角相等）、SSS（三边对应成比例）判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，这是列比例式的基础。 2.动点运动规律：明确动点的起点、终点、速度，用含时间t的代数式表示线段长度，注意运动过程中线段长度的变化及取值范围，避免漏解。 解题技巧 1.分类讨论图形位置：动点移动会导致三角形顶点位置变化，需按相似三角形的不同对应关系分类（如不同顶点对应），分别列出比例方程，避免只考虑一种情况。 2.验证解的合理性：求出t的值后，需代入线段长度表达式，检查是否符合图形实际（如线段长度非负、动点未超出运动范围），排除不合理的解。 【变式1-1】（24-25九年级上·四川内江·期中）在中，，，．现有动点P从点A出发，沿线段向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动．如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为．当 秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】2或 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【详解】解：由题意得，，则， ∵，， ∴当时，， 即，解得； 当时，， 即，解得． 因此秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似， 故答案为：2或． 【变式1-2】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，，，点D为边上一动点，点D从点B出发，以1个单位每秒的速度沿向点C运动，到达点C时停止运动．设运动时间为t秒，则当 秒时，． 【答案】或5 【分析】本题考查相似三角形，勾股定理．根据题意由勾股定理求得，再由的性质求出的长，在上取点，使得，可得，再利用等腰三角形判定及性质得为等腰三角形，在中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：在中，，，， ∴， 过点作，并在上取一点，使得，则， ∵设运动时间为t秒， ∴， ∵，即， 解得：， 在中应用勾股定理：， 当时，， ∴， ∵， ∴，， 在中应用勾股定理：， ∴，解得：， 当点与点重合时，， ∴，则， ∴当秒时，， 故答案为：或5． 【变式1-3】（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，在矩形中，，，动点P以的速度沿着折线，运动到点C时停止．已知与关于直线对称，连接．设运动时间为，连接，若是直角三角形，t的值为 ． 【答案】或或7或 【分析】分三种情况：当时，当时，当时，分别利用相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可求得答案． 【详解】解：连接，如图， 根据轴对称可得， 当时， 则， ， ， ， ， ； 当时，如图， 由题意得， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 解得：或（舍去）； 当时，如图， ∵关于对称， ∴点与点重合， ， 当时，点在的延长线上，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ 综上所述，当是直角三角形时，的值为或或7或． 故答案为：或或7或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 例2．如图，中，，，，点P、Q分别为、上的动点，将沿折叠，使点对应点恰好落在边上，当与相似时，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意与相似要分情况讨论．根据直角三角形的性质可得，当与相似时，设，则，分两种情况：①，②，分别列方程求解即可． 【详解】解：中，，，， ， 当与相似时， 点始终在边上， 根据折叠， 设，则， 分两种情况： ①， 此时， ，即， 解得， ， ②， 此时， ，即， 解得， ， 综上，的长为或， 故答案为：或． 知识点总结 1.相似三角形的判定与对应关系：需熟练运用AA、SAS、SSS判定定理，明确动点移动中三角形可能形成的不同对应顶点组合，因对应关系不同，线段比例式也会不同，这是产生多解的核心原因。 2.用变量表示线段长度：根据动点速度和时间，用含t的代数式表示相关线段，同时明确动点运动的范围（如线段端点、边界位置），确定变量的取值限制，为后续计算提供依据。 解题技巧 1.按对应顶点分类列比例：根据动点位置变化，列举所有可能的相似对应方式（如顶点A对应D或E），分别列出不同比例式，避免遗漏对应关系导致的漏解。 2.结合图形验证线段合理性：求出线段长度后，结合动点运动轨迹，检查线段是否符合图形逻辑（如长度为正、未超出原线段范围），排除因计算或对应错误产生的不合理解。 【变式2-1】（24-25八年级下·甘肃定西·期末）在矩形中，，，点E在边上，且，P是直线上的一个动点．若是直角三角形，则的长为 ． 【答案】或或6 【分析】通过直角三角形未确定直角分三种情况进行讨论，利用互余关系，得到三角形相似，得到边长比例关系进行求解即可． 【详解】解：是直角三角形，有以下3种情况： ①如图1，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图2，， ∵， 同理得到， ∴， ∴，； ③如图3，，设，则， 同理得：， ∴， ∴， ∴； 综上的长是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查直角三角形的相似问题，矩形的性质，在不确定直角的情况下需要分类讨论计算，灵活利用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式2-2】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，等边的边长为8，D为上的一点，，P是线段上的一动点（点P不与点A，D重合）．若点P和中的一个顶点的连线与的夹角为，则的长为 ． 【答案】或 【分析】过点作于点，利用勾股定理和等边三角形的性质求出；根据题意，分两种情况讨论，即或，进而证明与，利用相似三角形的性质列出避雷线即可求出的长． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵等边的边长为， ， ， ， ， ， 分两种情况：①如下图，连接，若， ， ， ，即，解得， ②如下图，连接，若， ， ， ，即，解得， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的证明及性质的使用是解决本题的关键． 【变式2-3】（2025·河南驻马店·三模）如图，菱形中，点P为对角线上一动点，作关于的对称图形，得到，点D的对应点为点Q，射线与菱形的边交于点M．若，，则当点P为的三等分点时，的长为 ．（温馨提示：） 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质，根据是上的一个三等分点，可分成两种情况求解，先根据对称性得到边长，然后根据三角形相似以及直角三角形的勾股定理可求得结果．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】解：如图，连接，交于点， 四边形为菱形， ，， ， 分两种情况：①当时，， 如图，连接，，与交于点， 由对称性可知，，，， ， ， 设，则， ， 在中，， 即， 解得： （舍去），， ， ，， ， ， ； ②当时，连接，， 由对称性可知，，，，， 过点作于点，如图， ，， ， ， 设，则， 在和中， ， ， ， ，， 在中，， 即， 解得： （舍，， ， 综上，的长为或． 故答案为：或． 【变式2-4】（2026·江西·模拟预测）如图，等腰三角形中，，点M是边上一动点，连接，当图中存在直角三角形时（不添加其他线段），的长为 ． 【答案】4或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 根据题意求出等腰三角形底边上的高，然后分三种情况讨论，然后利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解即可． 【详解】解：根据题意求出等腰三角形底边上的高. 如图（1），过点A作于点H， ∵， ∴． 根据直角三角形的直角不确定，分情况求解. ①当时，点M与点H重合，此时均为直角三角形，； ②当时，为直角三角形，如图（2）， ， ∴， ∴，即， 解得； ③当时，为直角三角形，如图（3），同理②可得, ； 综上所述，的长为4或或． 故答案为：4或或． 题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 例3．如图，在矩形中，，，E为的中点，为上的一点，连接、，当的值最小时， ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、证明四边形是矩形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；在的延长线上截取，过点作，使得，则得出，即可证明，进而得出，则点在与垂直的上运动，当时，即时，最小，进而得出四边形是矩形，证明，得出，即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ∴，， 如图所示，在的延长线上截取，则，过点作，使得 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴点在与垂直的上运动， 当的值最小时，在上，最小值为的长 ∴当时，即时，最小 此时如图， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 知识点总结 1. 相似三角形性质与动态线段表达：利用相似三角形对应边成比例的性质，结合动点速度、时间，用含变量的代数式表示相关线段长度，明确变量的取值范围（受动点运动边界限制）。 2. 最值求解相关定理：涉及垂线段最短、两点之间线段最短（如将军饮马模型），以及二次函数顶点最值（当线段表达式为二次函数时，利用顶点坐标求最值）。 解题技巧 1. 转化线段表达式：通过相似比将所求线段或线段和转化为含单变量的代数式，若为二次函数形式，利用配方法或顶点公式求最值；若为一次函数，结合变量范围找端点值。 2. 结合几何模型构造对称点：对于线段和最值，若涉及定点与动点，可通过构造对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求解，再结合相似关系确定动点位置及对应线段长。 【变式3-1】（2025·四川泸州·二模）如图，是等边三角形的边上的动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长到，使，根据等边三角形的性质和旋转的性质得出，，根据如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可得，根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例可得，，推得，，根据如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可得，根据相似三角形的对应角相等得出，得出点在的边上运动，根据三角形的外角性质和等边对等角得出，求得，，作点关于的对称点，连接，根据轴对称的性质得出，，根据垂线段最短和两点之间，线段最短得出满足，，三点共线，且时，的值最小，根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形是矩形，根据矩形的对边相等和勾股定理求出的值，即可求解． 【详解】解：延长到，使．如图： ∵为等边三角形，绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由可得， ∴， ∴， ∴点在的边上运动， ∵，， ∴， 故，， 作点关于的对称点，连接， 则，， 故， 当，，三点共线时，， 当时，的值最小， 故满足，，三点共线，且时，的值最小， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 故最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等边对等角，轴对称的性质，垂线段最短，两点之间，线段最短，矩形的判定和性质，勾股定理等．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式3-2】（2025·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，，是对角线的中点，是边上的动点，连接．以为斜边作直角三角形，使点在的左侧，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，取中点，连接，，过作交直线于，则， ，再证明，得到，，即可证明，得到，确定点的运动轨迹为定直线，当运动到点时，最小，最后证明，得到，代入计算即可． 【详解】解：取中点，连接，，过作交直线于， ∵在矩形中，，， ∴，， ∵是对角线的中点， ∴是的中位线， ∴，，，， ∴， ∵以为斜边作直角三角形，使点在的左侧，且， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵点和固定不变， ∴点的运动轨迹为定直线， ∴当运动到点时，最小， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式3-3】（2025·陕西西安·二模）如图，已知矩形，，，E，F分别为边上的动点，且，将四边形沿翻折到四边形，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】延长交于点，则，那么，在中，由勾股定理得，在中，由三边关系即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接 由沿翻折可知直线经过点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 由翻折得到：， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键 题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题 例4．如图1所示，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径运动，当点P到达点D时停止运动．过点P作，交于点Q，设点P运动的路程为x，，已知y关于x的函数图象如图2所示，当时，x的值为（    ）      A． B．4 C． D．4.5 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查动点的函数图象问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，由图象可知，分点在上和点在上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：由图象可知，当点与点重合时，此时点与点重合，， 当点与点重合时，此时点与点重合，此时，，即：， 当点与点重合时，，故， ①当点在上时，此时四边形为矩形， ∴， ∴当时，即：， ∴， ②当点在上时，如图： ∵矩形， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当，即：时，， 解得：； 故选B． 知识点总结 1.相似三角形的判定与性质：需掌握AA、SAS、SSS等判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应高的比等于相似比等性质，为建立线段关系提供依据。 2.函数表达式的构建与图像特征：根据动点运动规律，用含时间t的代数式表示线段长度，结合相似关系转化为函数解析式（如一次函数、二次函数），并理解函数图像的增减性、顶点等特征。 解题技巧 1.分段分析运动过程：动点在不同阶段可能形成不同的相似三角形，需按运动临界位置分段，分别列出对应函数表达式，避免因过程遗漏导致图像错误。 2.结合函数性质求关键点：根据相似关系确定函数定义域，利用函数图像的顶点、端点等关键点，对应动点位置，解决与图像趋势、最值相关的问题。 【变式4-1】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，当时，的值为 ． 【答案】0，4或 【分析】本题主要考查了矩形和函数图象的结合，动点路径问题，圆的垂径定理，勾股定理，利用一元二次方程解决几何问题等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并结合图形获取正确信息． 以点为圆心，长为半径画圆，交于点，交于点，过点作交于点，结合图形和函数图象求出直角三角形的三边，然后分情况进行讨论，借助于圆的性质和解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，以点为圆心，长为半径画圆，交于点，交于点，过点作交于点， 根据题意，结合图形可知，， 由图2点可得，假设长为，由勾股定理得， 即 解得, ∴， 根据等面积法可得， 由勾股定理得， 根据垂径定理得， 即此时； ， 结合图形可得此时； 当点与点重合时，,此时； 综上，或或， 故答案为：0，4或． 【变式4-2】（2025·湖北·中考真题）如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1） ；（2） ． 【答案】 8 12 【分析】本题考查动点的函数图象，相似三角形的判定和性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）观察图象可知，当时，点与点重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出的值即可； （2）根据图象当时，，此时，过点作，根据面积公式求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：（1）观察图象可知，当时，点与点重合， ∵动点P，Q均以的速度从点同时出发， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）由图象可知，当时，，此时， 过点作于点，如图：则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴； 故答案为：12． 【变式4-3】（2024·四川南充·一模）如图1，在中，，动点从点A出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，与的函数图象如图2所示，当恰好平分时的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形与函数图象间的关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点，正确理解两种图形间的关联信息是解题的关键．根据函数图象可得，作的平分线，可得，进而得到，由相似求出的长即可． 【详解】如图，当恰好平分时，连接， 由图2可得， ，， ， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， 解得（负值舍去）， ， ． 故答案为：． 题型五：相似三角形中的动点问题与几何综合问题 例5．如图，正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点． (1)如图，求证：； (2)如图，当经过点时，求证：点是的中点； (3)当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的值为或． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）由旋转性质可知，则，又四边形是正方形，则，故有，然后通过同角的余角相等即可求证； （）作交的延长线于点，证明，则有，，又四边形是正方形，所以，，然后有，故，最后由线段和差即可求证； （）过点作分别交，的延长线于点，，则，证明四边形是矩形，则，同理可得，则，故有，设，则，，，，在中，，，解得，，作于点，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转性质可知， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：作交的延长线于点， 由（）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （3）解：如图，过点作分别交，的延长线于点，，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， 在中，，，解得，， 作于点， 当时，，则， ∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 当时，，则， 同理， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 知识点总结 1.相似三角形核心知识：包括AA、SAS、SSS判定定理，对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比平方等性质，是解决线段关系、面积计算的基础。 2.几何图形综合性质：需结合三角形、四边形（如平行四边形、矩形）等图形的性质，以及勾股定理、三角函数、轴对称等知识，形成完整的几何关系网络。 解题技巧 1.分解图形找相似模型：从复杂图形中分离出基本相似模型（如“A型”“X型”），明确动点运动中模型的变化，通过对应关系建立等式。 2.动态过程分层讨论：按动点位置的临界状态（如与顶点重合、线段端点）分层，结合图形性质分析每层中相似三角形的存在性，逐步求解综合问题（如线段关系、面积最值）。 【变式5-1】（2025·山东聊城·三模）四边形为矩形，，，点为对角线上的一动点，连接，过点作交于点． (1)若点为对角线中点，如图，求线段的长． (2)若点为对角线延长线上的一点，，如图，则线段的长为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作的垂线构建直角三角形，利用角的关系证明三角形相似，结合相似三角形性质求出相关线段长度，再用勾股定理计算． （2）过点作，过点作交的延长线于点，利用角的关系找相似，结合已知条件求出相关线段，最后用勾股定理算出长度． 【详解】（1）解：过点作的垂线，交于点，交于点， ∵四边形是矩形，为对角线中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ，， ，， ， 又， ， 即， ∴， ； （2）解：过点作，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ， ，， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ， ∴， 即， 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质，灵活运用勾股定理计算线段长度是解题的关键． 【变式5-2】（2025·广东广州·三模）如图，在菱形中，，，点E为线段上一个动点，边关于对称的线段为，连接． (1)当平分时，的度数为___________． (2)延长，交射线于点G，当时，求的长． (3)连接，点H为线段上一动点（不与点A，C重合），且，求的最小值． 【答案】(1) (2)， (3)8 【分析】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、勾股定理、矩形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，由角平分线的性质可得，即，最后结合即可解答； （2）如图：过E作于其延长上点H，延长交于M设，连接；由折叠的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识点可得；再说明，根据直角三角形的性质及勾股定理可得，、，然后证明，根据相似三角形的性质列式计算可得，最后根据线段的和差即可解得； （3）如图：过B作，根据菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理可得；如图：过B作交延长线于K，可得；再证明四边形是平行四边形可得、，再证明易得，即，然后求得的最小值即可． 【详解】（1）解：∵边关于对称的线段为， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：． （2）解：∵菱形， ∴，， ∴， 如图：过E作交其延长上点H，延长交于M 设，连接 由轴对称的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∵ ∴，即 ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． （3）解：如图：过B作， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 如图：过B作交延长线于K，连接， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 当D、E、K三点不共线时，， 当D、E、K三点共线时，， ∴，即， ∴的最小值为8． 【变式5-3】（2025·河北石家庄·一模）如图1，矩形中，，，动点E，F分别从点B，D同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C运动，过点A作直线的垂线，垂足为G． (1)当时，与的数量关系为_______； (2)如图2，若平分，运动时间为t秒，求的长及t的值； (3)当运动时间时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）连接，证明可得结论； （2）过E作于P，则四边形 为矩形，可得，，证明为等腰直角三角形．则，；由求解即可； （3）如图2，先根据勾股定理求得，，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：． 证明：连接， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 过E作于P，则． ∴四边形 为矩形， ∴，， ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴； 由题意得：． ∴， 即； （3）解：如上图2，则，    ，， ∴，， ∵， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质求解线段长是解答的关键． 【变式5-4】（2025·吉林长春·三模）如图①，在矩形中，，，点为边上的动点（点不与点重合），点是线段的中点，交射线于点． (1)求证：； (2)当时，求的面积； (3)当点和点重合时，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出点；（保留作图痕迹） (4)当时，线段的长为___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）由矩形的性质可得，由同角的余角相等可得，结合题意可得，即可得证； （2）由矩形的性质可得，当时，则，，解直角三角形得出，求出，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）由题意可得垂直平分，以点为圆心，线段为半径画弧交于，连接，作线段的垂直平分线交于，则点即为所作； （4）由（1）可得，由相似三角形的性质可得，设，则，由题意可得，从而求出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵在矩形中，，， ∴， 当时，，， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵点是线段的中点，交射线于点， ∴垂直平分， 如图：以点为圆心，线段为半径画弧交于，连接，作线段的垂直平分线交于，则点即为所作， （4）解：由（1）可得， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 题型六：相似三角形中的动点探究应用问题 例6．【知识探索】 （1）如图①，在矩形中，E为边上不与端点重合的一个动点，连接，过点A作的垂线，垂足为M，延长，分别交于点N，F，求证：； 【知识应用】 （2）在（1）的条件下，若，求的长； 【知识拓展】 （3）如图②，在中，，D，E分别是上的一点，且，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由矩形的性质得到，然后结合求解即可； （2）证明出，得到，求出，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）如图，分别过点A，B作，的垂线交于点F，得到四边形是正方形，设，由得到，得到，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ． 又， ， ． （2）解：四边形是矩形， ， ，， ． 又， ， ． ， ． ，， ， ． ， ． （3）解：如图，分别过点A，B作，的垂线交于点F． ，， 四边形是正方形． 设， ． ， ． 由（2）知，， ， ． 在中，． ， 由（2）知，． 又， ， ， ． 【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形和相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 知识点总结 1. 相似三角形的判定与动态量化：掌握AA、SAS等判定定理，能根据动点运动速度、时间，用含变量的代数式表示线段长度，再通过相似比建立等量关系，实现几何量的动态转化。 2. 实际场景几何建模：需将应用问题（如测量、运动轨迹）转化为几何图形，结合图形性质（如三角形稳定性、四边形特征），明确相似三角形在实际场景中的对应关系。 解题技巧 1. 从实际问题抽象几何模型：剥离应用场景中的非关键信息，提炼出含动点的三角形结构，确定已知量、未知量及相似条件，将实际问题转化为纯几何计算。 2. 用变量追踪动态变化：设时间或距离为变量，表达动点关联线段，结合相似性质列方程，同时根据实际意义限定变量范围，确保解的合理性，解决长度、距离等应用问题。 【变式6-1】（2025·湖北·一模）【问题背景】（1）如图1，E为的边上一点，，过点A作，且．连接，求证：； 【变式迁移】（2）如图2，在 中，，， 平分，E为上一点，且，求的值； 【拓展创新】（3）如图3，在中，， ，，D、E分别是边上的动点，且，直接写出 的最小值 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线的性质等知识点，正确作出辅助线构造出相似三角形是解题的关键． （1）由平行线的在可得，再利用即可证明结论； （2）如图2：过点C作交的延长线于G，得出，进而得出得出，再证明，即可解答； （3）如图3：过点A作，过点C作于M，得出，求出，在上取一点N，使，判断出，得出，进而得出要最小，则最小，即最小值，然后用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：如图2：过点C作交的延长线于G， ∵ ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3：过点A作，过点C作于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在上取一点N，使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴∠DAN=∠ABE， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴要最小，则最小， ∴点C，D，N在同一条线上，即最小为， 在中，， 根据勾股定理得，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式6-2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是 ． 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与有怎样的数量关系，并说明理由： 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质证明和全等，即可得到； （2）根据矩形的性质证明，得到，即可证得结论； （3）过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，先证明，证得是固定值，进而证得点的运动轨迹是直线，然后将的最小值转化为求的最小值，即点，，三点同一直线时，，取得最小值，求即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， , ， ， 故答案为：； （2）判断：， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， ，，， ， ， ， ； （3）如图，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，则， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是直线， 作点关于直线的对称点，则， 当点，，三点同一直线时，的值最小，即为， 由（2）得， ， ， 的最小值为的最小值，即， ，， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是在判断三角形全等和相似时出现“手拉手”模型证明对应角相等及利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值． 【变式6-3】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）综合与探究：如图，在正方形中，连接，点是边上一动点． (1)【操作判断】 如图①，过点作交于点，交与点，根据题意在图①中画出，图中的度数为__________度； (2)【问题探究】 根据（1）所画图形，在图②中取的中点，连接，探究与的数量和位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，在图③中延长交于点，连接，若点是的三等分点，，求线段的长． 【答案】(1)见解析， (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意作，则；根据正方形的性质可得，，进而根据平行线的性质，即可求解； （2）连接，证明得出，进而可得，即可得证； （3）如解图③，连接，将绕点顺时针旋转得到，则三点共线， 根据和的度数，考虑通过旋转构造全等三角形转化线段，由旋转将转化为，，故需证，证明即可得出，则；线段的三等分点有两个，故需分两种情况讨论，①当时，②当时，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：画出图形如解图①； 四边形是正方形，则, 故答案为：． （2），理由如下： 如解图②，连接， ∵四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形，且， ，和均是等腰直角三角形， ， ， 点是的中点， ， ， ， 在和中， ， ． ， ，即， ； （3）如解图③，连接，将绕点顺时针旋转得到，则三点共线， ，，， 由（2）知， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 线段的三等分点有两个，故需分两种情况讨论 ①当时， ， ，设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得，即， ， 在正方形中，， ． ， ， 解得； ②当时，则， ， 设，则，， 在中，由勾股定理，得； 解得，即， ， ， ， ， ， 解得． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了作平行线，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题04相似三角形中的动点问题的六种模型 题型归纳 目录 题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） .1 题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） ....6 题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题..14 题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题…20 题型五：相似三角形中的动点问题与几何综合问题。 .25 题型六：相似三角形中的动点探究应用问题 .38 题型专练 题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 例1.如图，在ABC中，AB=4cm,AC=8cm,点P从B点出发沿BA方向向终点A以1cm/s的速度移动； 同时，点Q从A出发沿AC方向向终点C以2cm/s的速度移动.设运动时间为t(s，当t=时， ABC与△APQ相似. 夕 知识点总结 1.相似三角形判定与性质：需掌握AA(两角对应相等)、SAS(两边对应成比例且夹角相等)、SSS(三边 对应成比例)判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，这是列比例式的基础。 2.动点运动规律：明确动点的起点、终点、速度，用含时间t的代数式表示线段长度，注意运动过程中线 段长度的变化及取值范围，避免漏解。 解题技巧 1.分类讨论图形位置：动点移动会导致三角形顶点位置变化，需按相似三角形的不同对应关系分类（如 不同顶点对应)，分别列出比例方程，避免只考虑一种情况。 2.验证解的合理性：求出t的值后，需代入线段长度表达式，检查是否符合图形实际（如线段长度非负、 动点未超出运动范围)，排除不合理的解。 【变式1-1】(24-25九年级上·四川内江·期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16cm,BC=12cm.现有 动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动.如果 点P的速度是4cm/s,点Q的速度是3cm/s,它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动， 1/10 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设运动的时间为s.当t= 秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似？ B 【变式1-2】(23-24八年级上四川宜宾期末)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,点D 为BC边上一动点，点D从点B出发，以1个单位每秒的速度沿BC向点C运动，到达点C时停止运动.设 运动时间为t秒，则当t=秒时，∠ADC=2C. B D 【变式1-3】(2425九年级上江西南昌期末)如图，在矩形ABCD中，AD=4Cm,AB=3cm,动点P以 1cm/s的速度沿着折线AB,BC运动到点C时停止.已知△PA'D与△PAD关于直线PD对称，连接AA'.设 运动时间为s,连接BA',若△ABA'是直角三角形，t的值为一 D 题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 例2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿 PO折叠，使点B对应点D恰好落在边AC上，当△APD与ABC相似时，则AP的长为】 A 知识点总结 1.相似三角形的判定与对应关系：需熟练运用AA、AS、SSS判定定理，明确动点移动中三角形可能形成 的不同对应顶点组合，因对应关系不同，线段比例式也会不同，这是产生多解的核心原因。 2.用变量表示线段长度：根据动点速度和时间，用含t的代数式表示相关线段，同时明确动点运动的范围 (如线段端点、边界位置)，确定变量的取值限制，为后续计算提供依据。 解题技巧 1.按对应顶点分类列比例：根据动点位置变化，列举所有可能的相似对应方式（如顶点A对应D或E), 2/10 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 分别列出不同比例式，避免遗漏对应关系导致的漏解。 2.结合图形验证线段合理性：求出线段长度后，结合动点运动轨迹，检查线段是否符合图形逻辑（如长 度为正、未超出原线段范围)，排除因计算或对应错误产生的不合理解。 【变式2-1】(24-25八年级下.甘肃定西期末)在矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点E在边CD上，且 CE=4,P是直线BC上的一个动点.若APE是直角三角形，则CP的长为 【变式2-2】(24-25九年级上河南周口·期末)如图，等边ABC的边长为8，D为BC上的一点， DC=3BD,P是线段AD上的一动点（点P不与点A,D重合）.若点P和ABC中的一个顶点的连线与 PD的夹角为60°，则DP的长为 B D 【变式2-3】(2025河南驻马店·三模)如图，菱形ABCD中，点P为对角线BD上一动点，作△ADP关于 AP的对称图形，得到△AQP,点D的对应点为点Q,射线PO与菱形ABCD的边交于点M.若AB=5, BD=6,则当点P为BD的三等分点时，PM的长为】 (温馨提示：382=1444) D 【变式2-4】(2026江西模拟预测)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=5,BC=8,点M是BC边上一 动点，连接AM,当图中存在直角三角形时（不添加其他线段），BM的长为一· B M 题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 例3.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,E为AB的中点，P为BC上的一点，连接PD、PE,当 PE+2PD的值最小时，BP= B 知识点总结 1.相似三角形性质与动态线段表达：利用相似三角形对应边成比例的性质，结合动点速度、时间，用含 3/10 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变量的代数式表示相关线段长度，明确变量的取值范围（受动点运动边界限制）。 2.最值求解相关定理：涉及垂线段最短、两点之间线段最短（如将军饮马模型），以及二次函数顶点最值 (当线段表达式为二次函数时，利用顶点坐标求最值)。 解题技巧 1.转化线段表达式：通过相似比将所求线段或线段和转化为含单变量的代数式，若为二次函数形式，利 用配方法或顶点公式求最值；若为一次函数，结合变量范围找端点值。 2.结合几何模型构造对称点：对于线段和最值，若涉及定点与动点，可通过构造对称点，将折线转化为 直线，利用“两点之间线段最短”求解，再结合相似关系确定动点位置及对应线段长。 【变式3-1】(2025·四川泸州·二模)如图，D是等边三角形ABC的边AC上的动点，连接DB,将DB绕点 D逆时针旋转120°，得到DE,连接EA,EC,若BC=2,则EA+EC的最小值为」 【变式3-2】(2025陕西·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,O是对角线AC的中点，E 是边BC上的动点，连接OE.以OE为斜边作直角三角形OFE,使点F在OE的左侧，且∠OEF=∠ACB, 连接BF,则BF的最小值为 【变式3-3】(2025陕西西安·二模)如图，已知矩形ABCD,AB=2,AD=4,E,F分别为AD,BC边上的 动点，且BF=2AE,将四边形ABFE沿EF翻折到四边形EFHG,则CH的最小值为 B 题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题 例4.如图1所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D的路径运动，当点P到达点D时 停止运动.过点P作PQ⊥BP,PO交AD于点Q,设点P运动的路程为x,DO=y,已知y关于x的函数 图象如图2所示，当y=3时，x的值为(） 4/10 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y P 图1 图2 A.2√2 B.4 C.25 D.4.5 知识点总结 1.相似三角形的判定与性质：需掌握AA、S4S、SSS等判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应高 的比等于相似比等性质，为建立线段关系提供依据。 2.函数表达式的构建与图像特征：根据动点运动规律，用含时间t的代数式表示线段长度，结合相似关系 转化为函数解析式（如一次函数、二次函数），并理解函数图像的增减性、顶点等特征。 解题技巧 1.分段分析运动过程：动点在不同阶段可能形成不同的相似三角形，需按运动临界位置分段，分别列出 对应函数表达式，避免因过程遗漏导致图像错误。 2.结合函数性质求关键点：根据相似关系确定函数定义域，利用函数图像的顶点、端点等关键点，对应 动点位置，解决与图像趋势、最值相关的问题。 【变式4-1】(2025·新疆乌鲁木齐模拟预测)如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发， 沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD,垂足为Q.设点P的运动路程为x,PQ-DQ为y,y与 x的函数图象如图2，当CP=2时，x的值为 图1 图2 【变式4-2】(2025·湖北中考真题)如图1，在ABC中，∠C=90°，BC=4cm,AB=ncm.动点P,Q均以 1cm/s的速度从点C同时出发，点P沿折线C→B→A向点A运动，点Q沿边CA向点A运动.当点Q运动 到点A时，两点都停止运动.△PCQ的面积S(单位：cm2)与运动时间t（单位：s)的关系如图2所示 (1)m=;(2)n= S/cm个 10 04 10 t/s 图1 图2 【变式4-3】(2024四川南充一模)如图1，在ABC中，∠BAC=72°，动点P从点A出发，沿折线 4→B→C匀速运动至点C停止.若点P的运动速度为cm/s,设点P的运动时间为，AP的长度为 y(cm),y与t的函数图象如图2所示，当AP恰好平分∠BAC时t的值为__s 5/10 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◆y/cm 图1 图2 题型五：相似三角形中的动点问题与几何综合问题 例5.如图，正方形ABCD的边长为5，点E是边AD上的一个动点，连接CE,将线段CE绕点E按逆时针 方向旋转90°得到线段EF,连接BF交CE于点P, F 1 B 图1 图2 (I)如图1，求证：∠DEF=∠DCE; (2)如图2，当BF经过点D时，求证：点E是AD的中点； 6)当F=3丽时，求的值。 PE 知识点总结 1.相似三角形核心知识：包括AA、SAS、SSS判定定理，对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于 相似比平方等性质，是解决线段关系、面积计算的基础。 2.几何图形综合性质：需结合三角形、四边形（如平行四边形、矩形）等图形的性质，以及勾股定理、 三角函数、轴对称等知识，形成完整的几何关系网络。 解题技巧 1.分解图形找相似模型：从复杂图形中分离出基本相似模型（如“A型”“X型”），明确动点运动中模型 的变化，通过对应关系建立等式。 2.动态过程分层讨论：按动点位置的临界状态（如与顶点重合、线段端点）分层，结合图形性质分析每 层中相似三角形的存在性，逐步求解综合问题（如线段关系、面积最值）。 【变式5-1】(2025山东聊城三模)四边形ABCD为矩形，AB=4,AD=6,点E为对角线BD上的一动 点，连接AE,过点E作EF⊥AE交BC于点F. 6/10 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 D 图1 图2 (I)若点E为对角线中点，如图1，求线段EF的长 活点E为对角线DB延长线上的一点，BE=BD,如图2，则践段EF的长为多 【变式5-2】(2025广东广州·三模)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=4,点E为线段BC上一 个动点，边AB关于AE对称的线段为AF,连接DF. D b 备用图 (I)当AF平分∠DAE时，∠BAE的度数为 (②)延长DF,交射线AE于点G,当BE=2时，求AE、AG的长. (3)连接AC,点H为线段AC上一动点（不与点A,C重合），且BE=√3CH,求DE+V3DH的最小值. 【变式5-3】(2025河北石家庄一模)如图1，矩形ABCD中，AB=4√5，BC=4,动点E,F分别从点B ,D同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿BA,DC向终点A,C运动，过点A作直线EF的垂线，垂足 为G. F G G E E 图1 图2 (I)当DF=FG时，AD与AG的数量关系为 (2)如图2，若AG平分∠DAB,运动时间为t秒，求EF的长及t的值； (3)当运动时间t=√3时，直接写出AG的长。 【变式5-4】(2025·吉林长春.三模)如图①，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,点E为边AB上的动点 (点E不与点A重合)，点F是线段DE的中点，FG⊥DE交射线DC于点G. 7/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 图① 图② (I)求证：a△ADEn△FGD; (2)当△ADE≌△FGD时，求ADE的面积； (3)当点G和点C重合时，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出点F;(保留作图痕迹) (4)当DG=3AE时，线段AE的长为 题型六：相似三角形中的动点探究应用问题 例6.【知识探索】 (I)如图①，在矩形ABCD中，E为AD边上不与端点重合的一个动点，连接BD,BE,过点A作BE的垂 线，垂足为M,延长AM,分别交BD,DC于点N,F,求证：∠DAN=∠ABE; 【知识应用】 (2)在(1)的条件下，若AB=4,AD=3,BD=5DN,求AE的长： 【知识拓展】 (3)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D,E分别是BC,AB上的一点，且AD⊥CE,若 AE=3BE,求 AE的值 AD D F 图① 图② 知识点总结 1.相似三角形的判定与动态量化：掌握A4A、SAS等判定定理，能根据动点运动速度、时间，用含变量的 代数式表示线段长度，再通过相似比建立等量关系，实现几何量的动态转化。 2.实际场景几何建模：需将应用问题（如测量、运动轨迹）转化为几何图形，结合图形性质（如三角形 稳定性、四边形特征)，明确相似三角形在实际场景中的对应关系。 解题技巧 1.从实际问题抽象几何模型：剥离应用场景中的非关键信息，提炼出含动点的三角形结构，确定已知量、 未知量及相似条件，将实际问题转化为纯几何计算。 2.用变量追踪动态变化：设时间或距离为变量，表达动点关联线段，结合相似性质列方程，同时根据实 际意义限定变量范围，确保解的合理性，解决长度、距离等应用问题。 【变式6-1】(2025湖北一模)【问题背景】(1)如图1，E为ABC的边AB上一点，AE=BC,过点A作 AD∥BC,且AD=AB.连接DE,求证：△ADE≌△BAC; 8/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式迁移】(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,BD平分∠ABC,E为AB上一点， 且AE=CD,求 E的值： 【拓展创新】(3)如图3，在ABC中，LACB=45°，AC=3√2，AB=6,D、E分别是边AB,BC上的 动点，且BE=2AD,直接写出 }AE+CD的最小值 D D D 图1 图2 图3 【变式6-2】(2425九年级上江苏扬州阶段练习)【问题情境】： (1)如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形 CEFG,连接DG、BE,则DG与BE的数量关系是-· 【类比探究】： (2)如图2，四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=6,点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右 侧作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,连接DG、BE,判断线段DG与BE有怎样的数量关系，并说明理由： 【拓展提升】： (3)如图3，在(2)的条件下，连接BG,求2BG+BE的最小值 D E D G D G 图1 图2 图3 【变式6-3】(24-25九年级下·贵州铜仁阶段练习)综合与探究：如图，在正方形ABCD中，连接BD,点 P是边AD上一动点. P P D 图① 图② 图③ (1)【操作判断】 如图①，过点P作PQ∥AB交BC于点Q,交BD与点E,根据题意在图①中画出PQ,图中∠PED的度数 9/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为 度； (2)【问题探究】 根据(1)所画图形，在图②中取DE的中点F,连接AF,FQ,探究F☑与AF的数量和位置关系，并说明 理由； (3)【拓展延伸】 在(2)的条件下，在图③中延长AF交CD于点G,连接QG,若点P是AD的三等分点，AB=6,求线段 FG的长 10/10