第4章图形的相似题型导航与特训-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第4章图形的相似题型导航与特训-2025-2026学年数学九年级上册北师大版 题型导航 题型一：比例线段 题型二：黄金分割 题型三：平行线分线段成比例 题型四：相似多边形 题型五：相似三角形的证明 题型六：利用相似三角形测量高 题型七：相似三角形的性质 题型八：图形的位似 题型特训 题型一：比例线段 1．如果，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．下列各组中的四条线段成比例的是（  ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 4．下列四条线段成比例的是（    ） A． B． C．， D．， 题型二：黄金分割 5．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比例．如图，点为的黄金分割点，即．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，在很多艺术品以及大自然中都能找到它，如图1的希腊雅典帕特农神庙也应用了该比例布局．如图2，当以黄金矩形的宽为边在矩形内部作正方形时，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．随着电视剧《沉默的荣耀》热播，剧中主人公吴石将军位于福州仓山区螺洲镇的故居也迎来参观热潮．故居前的广场上，吴石雕像巍然屹立．为增加视觉美感，设计雕像时采用了黄金分割比，使雕像腰部以上高度与腰部以下高度的比等于腰部以下高度与整个雕像高度的比．如图，雕像总高度为，那么该雕像腰部以下的高度约是（   ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 题型三：平行线分线段成比例 9．如图，直线，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则 ． 10．如图，在中，点D，E，F分别在，，上，，．若，，，则的长为 ． 11．如图，已知直线，若，，，则的长为 ． 12．如图，在中，点D是上一点，E，F，G分别是上的点，且．若，，则的长为 ．     题型四：相似多边形 13．五边形五边形，相似比为．若，则 ． 14．矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为 ． 15．如图，四边形四边形，则的度数为 ． 16．如图，四边形四边形，则的度数为 ． 题型五：相似三角形的证明 17．如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 18．如图，在菱形中，． (1)实践操作：利用尺规，作的平分线交于点．（要求不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 19．如图，在中，，D是上的一点，交于E，M，N分别是，上的点，且，求证：． 20．如图，在四边形中，，，点E，F分别在上，且，，求证：． 题型六：利用相似三角形测量高 21．如图，小明在阳光下走进旗杆的影子里，使自己的影子刚好被旗杆的影子遮住，已知小明的身高，影长为．若小明距旗杆底部的距离，且此时测得高的杆在地上的影长为．求：    (1)小明的影长 (2)旗杆的高度． 22．三国时期，魏人刘徽撰写的《海岛算经》乃中国最早的一部测量数学专著，专注于测高望远之术．受此启发，小刚设计了一种测量塔高的方案：如图，在地面上C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E、标杆的顶端点 D与塔尖点B恰好在同一直线上，测得的距离为5米．随后，将标杆向后平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的顶端点H 与塔尖点B仍在同一直线上（点F、点G、点E、点C 与塔底处的点A 在同一直线上），并测得 米， 米，请依据这些数据计算该塔的高度 23．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 24．如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 题型七：相似三角形的性质 25．如图，在中，． (1)在上求作一点，连接，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的值． 26．如图，在平行四边形中，，是上一点，，，连接交于点． (1)求的长； (2)过点作的平行线分别交射线和射线于点，． ①求证：； ②求的长． 27．在中，，，点D在上方，连接，过D作，且． (1)如图1，点D在右上方，连接，，若，，，求的长． (2)如图2，点D在左侧且在点A上方，连接交于点M，F为上一点，连接，过点F作交延长线于点G，连接，，．若，．求证：． (3)如图3，已知，，连接交于点M，连接，将沿直线翻折得到，当最小时，求出点到间的距离． 28．【问题背景】 如图，在中，，，．将绕顶点C顺时针旋转一个角度，点A落在点，点B落在点，边与边相交于点D，与边相交于点E． 【特殊角】 （1）如图①，当时，画出图形后可得，此时，则______． （2）当时，利用尺规在图②中作出旋转后的（不写做法，保留作图痕迹），并直接写出的值______． 【特殊位置】 （3）如图③，当点恰好落在边上时，求的值． 题型八：图形的位似 29．如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，，．与关于坐标原点位似，且相似比为（点、、的对应点分别为点、、）． (1)在轴右侧画出的位似图形，并写出的比值； (2)在（1）中，点的对应点的坐标为_____；点的对应点的坐标为_____． 30．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的，其中点，的对应点分别为点，，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在原点右侧将放大为原来的2倍，得到，请画出，其中点，的对应点分别为点，，并写出点的坐标． 31．如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，，按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． (1)请在方格图中画出位似中心； (2)请在方格图中将补画完整． 32．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)在第四象限内画出以点为位似中心的位似图形，与的相似比为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第4章图形的相似题型导航与特训-2025-2026学年数学九年级上册北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D C A A A B 1．A 【分析】本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积； 根据比例的性质，将已知等式转化为比例形式，并验证各选项是否与已知等式一致即可． 【详解】解：∵ ，且 ， A、由可得，故此选项正确； B、由可得，故此选项错误； C、由可得，故此选项错误； D、由可得，故此选项错误； 故选： A． 2．A 【分析】本题考查了比例求值，由已知比例关系，设，，再代入所求分式计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 设，（）， 则 ． 故选：A． 3．D 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； C、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意， 故选：D． 4．C 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；判断四条线段是否成比例，可通过计算最小与最大线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积，若相等，则成比例，然后问题可求解． 【详解】解：对于每个选项，计算线段长度的乘积： 选项A：由可知：，∴不成比例； 选项B：由可知：，∴不成比例； 选项C：由，可知：，∴成比例； 选项D：由，可知：，∴不成比例； 故选C． 5．A 【分析】本题考查黄金分割；由黄金分割的定义可得，设，则，建立方程即可得出的长． 【详解】解：∵点为的黄金分割点， ∴， 设，则， ∴， 即， 解得或（舍去）， ∴． 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了黄金分割的定义．把，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴或（舍去）． 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 先根据黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，计算出矩形的宽，在根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比， ， ， ， 根据矩形的性质得：， , 故选：A 8．B 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得该雕像腰部以下的高度与整个雕像的高度的比值为，据此求解即可． 【详解】解：由黄金分割比例可知该雕像腰部以下的高度与整个雕像的高度的比值为， ∵雕像总高度为， ∴该雕像腰部以下的高度为， 故选：B． 9．9 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 根据得到，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键，根据，，得，代入，，，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由定理得，即可求解． 【详解】解：， ， ， 解得：， 故答案为：． 12．2 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，由得，得到；由得，从而可求的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 13．6 【分析】本题考查了相似多边形的性质．利用相似多边形的性质，对应边成比例，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】∵五边形五边形，相似比为． ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 14． 【分析】将矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为和，每一个小矩形均与原矩形相似，根据线段成比例的性质即可求解． 【详解】解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为和，每一个小矩形均与原矩形相似， ∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽， ∴， 解方程得，，(舍弃) 故答案为：． 【点睛】本题主要考查线段成比例问题，掌握相似图形，对应比成比例是解题的关键． 15． 【分析】本题考查相似多边形的性质．根据相似多边形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， 可知与是对应角， ∴． 故答案为：． 16．/48度 【分析】本题考查相似多边形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质．利用相似多边形的性质以及四边形的内角和定理进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 17．见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了复杂作图——作角平分线，相似三角形的判定，掌握角平分线的作法以及相似三角形的判定定理是解题关键． （1）根据角平分线的作法正确作图即可； （2）结合角平分线的定义得出，再根据两组角对应相等证明相似即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）证明：是的平分线， ， ， ， 又， ． 19．见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，四边形内角和定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．利用四边形内角和是可说明，从而利用两个角相等证明三角形相似． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形判定，平行线的性质，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 利用等角得出等边，根据平行线得出相等角，证明得出相等的边和角，然后证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， . ， ， ， ， 又， ． 21．(1) (2)旗杆的高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据此时测得高的杆在地上的影长为，并结合小明的身高计算即可得解； （2）证明，由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：∵此时测得高的杆在地上的影长为． ∴小明的影长为； （2）解：由题意可得：，， ∴， ∴，即， ∴米， 即旗杆的高度为米． 22．古塔的高度为82米 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意易知，，可得，；因为，推出，列出方程求出（米），由，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴，， ∴，， ， ∴， ， （米）， ∵， ∴， （米）， 答：古塔的高度为82米． 23．树高为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 24．能测出树A与树B之间的距离为18米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答． 【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米． 25．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据在上求作一点，连接，使得，则在点B处，作，结合，故，即可作答； （2）由（1）得，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图，点为所求作： （2）解：由（1）得， ， ， ． 26．(1)6 (2)①见解析；②10 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是证明三角形相似． （1）根据和得出，结合，即可证明，进而可得答案． （2）①根据．得出，，根据，得出，即，根据，证明，得出，即可得． ②作，根据，得出，证明平分，根据角平分线的性质定理得出，证明，得出，设，则，则在中，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）证明：①∵， ∴， ∵． ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②作于点M， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 则在中，由得：， 解得：，（舍去）， ∴． 27．(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形和直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． （1）由直角三角形的性质分别求出，的长，由勾股定理可求的长； （2）先证点M是的中点，由“”可证，可得，，由“”可证，可得； （3）可推出点A、M、C共线时，最小，根据，列出比例式求得，进而求得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于H， ∵，， ∴，， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图2，作交于N，连接， ∴， 设，，则， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，作于F， ∵将沿直线翻折得到， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∵点，，在一条直线上， ∴垂直平分， ∵， ∴当点A，M，C共线时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：到的距离是； 28．（1）；（2）见解析；1；（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理： （1）结合旋转的性质可得，可证明，即可求解； （2）根据题意画出图形，设交于点F，则，可得到，，再由旋转的性质得：，可得，从而得到， （3）过点A作于点G，根据，， ∴，由旋转的性质得：，，，可得到，，然后根据，即可求解． 【详解】解：（1）由旋转的性质得∶ ，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴； 故答案为： （2）如图，即为所求； 由作法得：， 设交于点F，则， ∵， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点A作于点G， 在中，∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 29．(1)，图见解析 (2)； 【分析】本题考查了作图——位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解此题的关键． （1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点、、的横纵坐标都乘以得到点、、，再顺次连接即可得出答案； （2）利用（1）中得到的点即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． 相似比为， ． （2）解：由（1）得，，． 30．(1)画图见解析，点的坐标为 (2)画图见解析，点的坐标为 【分析】本题考查了坐标系中的对称作图和位似作图，熟练掌握轴对称的性质和位似图形的性质是解题的关键； （1）先画出点A、B、C关于x轴对称的点，再顺次连接即可； （2）先画出点A、B、C以点为位似中心在原点右侧放大后的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点的坐标为； （2）解：如图所示，点的坐标为． 31．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—位似变换： （1）对应点连线的交点即为位似中心； （2）利用位似变换的性质画出图形． 【详解】（1）解：根据位似变换的性质，位似中心是原图形和位似图形对应点连线的交点，连接，，两条线相交于一点即为位似中心．如图，点即为所求； （2）解：根据位似变换的性质，应位于的延长线上，且与点相对于点的比例相同，根据，之间的比例关系，确定的位置，连接三点，即可得到．如图，即为所求． 32．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图轴对称变换，位似变换，熟记轴对称变换、位似变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称变换的性质找出，，关于y轴的对应点即可作图； （2）根据位似变换的性质，找出，，的对应点即可作图； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 连接至，使，同理得到，连接即可． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $