反比例函数与面积问题、反比例函数与实际应用问题专项训练-2025-2026学年 北师大版九年级数学上册

反比例函数与面积问题、反比例函数与实际应用问题专项训练 反比例函数与面积问题、反比例函数与实际应用问题专项训练 考点目录 反比例函数与面积问题 反比例函数与实际应用问题 考点一 反比例函数与面积问题 例1．（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，直线与反比例函数的图象分别交于，两点，直线交轴于点，交轴于点，连接，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在直线的下方，反比例函数图象上有一点，使得，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的横坐标为或 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，两点， ∴， 解得：， ∴，， 将代入反比例函数可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，令直线交轴于点， ， 在中，当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设， 如图：当点在第三象限时，过点作轴交直线于点， ， 则点的纵坐标为， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴， 此时 ， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时点的横坐标为； 如图，当点在第一象限时，过点作轴交直线于点， ， 则点的纵坐标为， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴， 此时 ， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或． 例2．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； 【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为； (2)8； (3)或 【详解】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得， 解得， ∴反比例函数解析式为， 把点B的坐标代入代入反比例函数解析式中得， 解得， ∴， 把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：如图所示，设直线与y轴交于点C， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，关于x的不等式的解集为或． 例3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． (1)求和的值： (2)若点与点关于轴对称，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵直线与双曲线相交于，两点， ∴将，两点代入，则， ∴， ∴； （2）解：将点，代入， 则， 解得， ∴一次函数解析式为， 令，则， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴． 例4．（25-26九年级上·辽宁抚顺·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设为线段上的一个动点（不与重合），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积等于时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上， ，解得：， ，， ，在一次函数的图象上， ，解得 ∴一次函数的解析式为； （2）把代入得． ， 设，则， ， 化简得：， 解得：，． ∴点的坐标为：或． 变式1．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点． (1)求m和k的值； (2)点P位于直线下方的反比例函数的图像上，过点P作的平行线，分别交y轴，x轴于C，D两点，连接，． ①若，求的面积； ②当的面积最大时，在x轴上找一点M，反比例函数的图象上找一点N，使得以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求出满足条件的点M的坐标． 【答案】(1)， (2)①的面积为10；或 【详解】（1）解：把点代入，得：， 解得：； 把点代入，得：， 解得：； （2）解：①， ， 联立得， 解得：，， ∴， ，，点C在y轴上，点D在x轴上， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 直线的解析式为， 联立得：， 解得：，， ∴，， 当时，过点作轴交于点E，则，如图1， ， ∴ 当时， ， ， 综上，的面积为10； ②当直线与双曲线只有一个交点时，最大， 设直线的解析式为，联立得， 整理得：， ∴， 解得：或（舍去）， 直线的解析式为， ∴，， 设，， 当为对角线时， ， 解得：， ∴； 当为对角线时， ， 解得：， ∴； 当为对角线时， ， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上，满足条件的点M的坐标为或 变式2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求的值和反比例函数表达式； (2)当时，根据图象直接写出的取值范围； (3)点M是直线上的一点，过点M作平行于x轴的直线交反比例函数图象于点，若，求的面积． 【答案】(1)，反比例函数的解析式为 (2) (3)4 【详解】（1）解：∵直线经过点 ∴ ∴ ∴ ∵反比例函数经过 ∴ ∴反比例函数的解析式为； （2）由图，可知， 当时，． （3）过点作轴于点，过点M作轴于点， ∴， ∴， 令，解得：， ∴， ∵， ∴，， ①点M在线段上， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点Q的横坐标为， ∴点M的横坐标为， 当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴． ②点在线段的延长线上，如图，有 ， ∵， ∴， 不符合题意，舍去． 综上所述，． 变式3．（25-26九年级上·甘肃甘南·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，与反比例函数（为常数，且，）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点在反比例函数的图象上，连接，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知：点在直线上， 将代入中，得：． 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， 将代入中，得：， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：在中，令，则， 点的坐标为， 即， 令，则， 解得， 点的坐标为， 即， 点在反比例函数的图象上， ， 解得， ． 变式4．（25-26九年级上·北京·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 解得：， ， 把的坐标代入得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：观察图象可得， 不等式的解集为：或； （3）解：连接，由一次函数的解析式为可得， ∴， 设， 由题意可得， 解得：， 或． 考点二 反比例函数与实际应用问题 例1．（25-26九年级上·山东济南·月考）为了预防冬季流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图），现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克，请根据题中所提供的信息，回答下列问题． (1)药物燃烧时，关于的函数关系式为______；药物燃烧完后，与的函数关系式为______． (2)研究表明，当空气中的每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室； (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2.5毫克且持续时间不低于25分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【答案】(1)， (2)即从消毒开始，至少需要50分钟后学生才能回到教室 (3)这次消毒有效 【详解】（1）解：药物燃烧时，，关于的函数是正比例函数，设， 代入得，解得， ∴； 药物燃烧完后，，关于的函数是反比例函数，设， 代入得，解得， ∴； 药物燃烧时，关于的函数关系式为；药物燃烧完后，与的函数关系式为， 故答案为：，． （2）解：结合实际，令中，即，结合解得， 答：即从消毒开始，至少需要50分钟后学生才能回到教室； （3）解：把代入得，解得， 把代入得，解得， ∵， 所以这次消毒有效． 例2．（25-26九年级上·云南昆明·月考）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求当时，与之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 则与之间的函数表达式为， 当时，， 即与之间的函数表达式为． （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， 因为， 所以加热一次，水温不低于的时间为． 例3．（25-26九年级上·山西朔州·月考）综合与实践 随着新能源汽车的普及，蓄电池的应用更加广泛．已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式； (2)若使用该蓄电池时测得电阻为，则电流为_____； (3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么该用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2)2 (3)用电器可变电阻应控制在以上的范围内 【详解】（1）解：∵电流与电阻成反比例函数关系， 设反比例函数的解析式为， ∵图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为， （2）当时，， ∴电流为． 故答案为：2． （3）当时，， 解得， 答：该用电器的可变电阻应控制在以上的范围内． 例4．（25-26九年级上·广西南宁·月考）某日上午晨光中学的饮水机开机水温为，加热时水温每分钟上升，加热到停止加热；随后水温开始下降，水温是时间的反比例函数，当水温降至时饮水机自动开启加热模式，重复上述程序，水温与时间之间的函数关系如图所示． (1)当时，求水温关于时间的函数表达式； (2)试判断小明到学校能喝到以上的水吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见详解 【详解】（1）解：某日上午晨光中学的饮水机开机水温为，加热时水温每分钟上升，加热到停止加热； ∴ 水温从加热到，所需时间为， 设在时，y与x的函数关系式为， 则点在函数的图象上， ∴， 解得， ∴； 设在时，y与x的反比例函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ； 把代入， 得， ∴， y与x的函数关系式是 故 （2）解：能，理由如下： 由（1）得水温下降过程中，y与x的函数关系式是； 则， ∴水温从加热到，所需时间为， ∴， 则， 当水温再次降到时，此时时间是， ∴ 即小明到学校能喝到以上的水． 变式1．（25-26九年级上·河南新乡·月考）为了解智能家居空气净化器的净化效果，某数学实践小组开展“探究净化因子浓度变化规律”实验，步骤如下： 实践准备 搭建模拟实验空间（体积固定），启动空气净化器的“净化因子释放”模式，每隔一段时间记录一次室内每立方米空气中的净化因子浓度（单位：），部分数据如下： 释放时间 0 0.5 1 1.2 1.5 …… 浓度 2 6 10 …… 通过实验发现：净化因子浓度变化分为两个阶段： ①主动释放阶段与成一次函数关系； ②自然消散阶段与成反比例关系． 实践任务 (1)数据建模：根据实验数据，分别求出主动释放阶段和自然消散阶段中，关于的函数表达式（需注明自变量取值范围）． (2)数据应用：结合函数表达式，计算当净化因子浓度时，对应的释放时间的值． (3)效果评估：该实践小组通过查阅资料得知，“有效净化”的标准为室内每立方米净化因子浓度不低于，且持续时间不低于．请通过计算判断本次实验中“净化因子释放”模式是否达到有效净化标准． 【答案】(1)主动释放阶段：；自然消散阶段： (2)或 (3)达到有效净化标准 【详解】（1）设主动释放阶段的函数表达式为， 当时，，当时，，将其代入， 得，解得， 主动释放阶段的函数表达式为； 设自然消散阶段的函数表达式为， 当时，，将其代入，得，解得， 自然消散阶段的函数表达式为； （2）当时，将代入，得， 解得； 当时，将代入，得， 解得； 当净化因子浓度时，对应的释放时间的值为或； （3）令，解得， 主动释放阶段净化因子浓度不低于的持续时间为， 令，解得， 自然消散阶段净化因子浓度不低于的持续时间为， 净化因子浓度不低于的总持续时间为， ， 本次实验中“净化因子释放”模式达到有效净化标准． 变式2．（25-26九年级上·广西南宁·月考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． 3 4 5 6 7 8 9 10 12 9 4.5 4 3.6 (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)把表补充完整： (3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)用电器可变电阻应控制在不小于的范围内 【详解】（1）解：设反比例函数为， 将代入得：， ； 故答案为： （2）解：， 补充表如下： 3 4 5 6 7 8 9 10 12 9 7.2 6 4.5 4 3.6 （3）， ， 解得：， 故用电器可变电阻应控制在不小于的范围内． 变式3．（25-26九年级上·山东日照·月考）学校为每个班级配备了一种可加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温与通电时间x（分）的关系如图所示（图中的曲线是双曲线的一部分），解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)求图中a值； (3)一天早上，王老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在上课前能喝到不超过的温开水，应在什么时间段内接水？ 【答案】(1) (2) (3)他应在时间段内接水 【详解】（1）解：由图可知， 当时，设与的关系式为， 将，代入得：， 解得：， ∴当时，与的关系式为， （2）解：当时，设与的函数关系式为：， 将代入，得： 解得：， ∴当时，与的函数关系式为：； 将代入，得：； （3）解：依题意，得：， 解得：． ∵， ∴， ∴他应在时间段内接水． 变式4．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）某农场为提高农药喷洒效率，使用无人机进行作业．喷洒过程中，农药浓度y（单位：）与喷洒时间x（单位：）的关系图像如图所示，为直线的一部分，为反比例函数图像的一部分． (1)求两段函数的解析式，并写出各自变量的取值范围； (2)结合函数图像，回答下列问题： ①当时，农药浓度是多少？当时，农药浓度是多少？ ②对比两段函数，说明在各自的自变量范围内，y随x的变化趋势； (3)农场规定：农药浓度不低于且不超过时，既能保证杀虫效果，又能避免药害．求此次喷洒过程中，符合规定的时间范围． 【答案】(1)函数图像的段解析式：，自变量取值范围：；函数图像的段的解析式：，自变量取值范围： (2)当 时， ；当 时， ． (3) 或 【详解】（1）解：函数图像的段是正比例函数， 设解析式为 ，代入点， 得 ， 解得： ． ∴函数图像的段解析式：，自变量取值范围：． 函数图像的段是反比例函数， 设解析式为 ，代入点， 得 ：， 解得： ． ∴函数图像的段的解析式：，自变量取值范围：． （2）解：①当 时，代入 ，得： ； 当 时，代入，得 ． ② 变化趋势：函数图像段，，y 随 x 的增大而增大； 函数图像段，，y 随 x 的增大而减小． （3）解：由题意可知：符合规定的时间范围要求 ， 当处于段：代入，得：，解得： ； 当处于段：代入，得 ，解得： ． 综上，符合规定的时间范围是 或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $反比例函数与面积问题、反比例函数与实际应用问题专项训练 反比例函数与面积问题、反比例函数与实际应用问题专项训练 考点目录 反比例函数与面积问题 反比例函数与实际应用问题 考点一 反比例函数与面积问题 例1．（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，直线与反比例函数的图象分别交于，两点，直线交轴于点，交轴于点，连接，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在直线的下方，反比例函数图象上有一点，使得，请直接写出点的横坐标． 例2．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； 例3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． (1)求和的值： (2)若点与点关于轴对称，求的面积． 例4．（25-26九年级上·辽宁抚顺·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设为线段上的一个动点（不与重合），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积等于时，求点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点． (1)求m和k的值； (2)点P位于直线下方的反比例函数的图像上，过点P作的平行线，分别交y轴，x轴于C，D两点，连接，． ①若，求的面积； ②当的面积最大时，在x轴上找一点M，反比例函数的图象上找一点N，使得以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求出满足条件的点M的坐标． 变式2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求的值和反比例函数表达式； (2)当时，根据图象直接写出的取值范围； (3)点M是直线上的一点，过点M作平行于x轴的直线交反比例函数图象于点，若，求的面积． 变式3．（25-26九年级上·甘肃甘南·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，与反比例函数（为常数，且，）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点在反比例函数的图象上，连接，，求四边形的面积． 变式4．（25-26九年级上·北京·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 考点二 反比例函数与实际应用问题 例1．（25-26九年级上·山东济南·月考）为了预防冬季流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图），现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克，请根据题中所提供的信息，回答下列问题． (1)药物燃烧时，关于的函数关系式为______；药物燃烧完后，与的函数关系式为______． (2)研究表明，当空气中的每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室； (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2.5毫克且持续时间不低于25分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 例2．（25-26九年级上·云南昆明·月考）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求当时，与之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长． 例3．（25-26九年级上·山西朔州·月考）综合与实践 随着新能源汽车的普及，蓄电池的应用更加广泛．已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式； (2)若使用该蓄电池时测得电阻为，则电流为_____； (3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么该用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 例4．（25-26九年级上·广西南宁·月考）某日上午晨光中学的饮水机开机水温为，加热时水温每分钟上升，加热到停止加热；随后水温开始下降，水温是时间的反比例函数，当水温降至时饮水机自动开启加热模式，重复上述程序，水温与时间之间的函数关系如图所示． (1)当时，求水温关于时间的函数表达式； (2)试判断小明到学校能喝到以上的水吗？请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·河南新乡·月考）为了解智能家居空气净化器的净化效果，某数学实践小组开展“探究净化因子浓度变化规律”实验，步骤如下： 实践准备 搭建模拟实验空间（体积固定），启动空气净化器的“净化因子释放”模式，每隔一段时间记录一次室内每立方米空气中的净化因子浓度（单位：），部分数据如下： 释放时间 0 0.5 1 1.2 1.5 …… 浓度 2 6 10 …… 通过实验发现：净化因子浓度变化分为两个阶段： ①主动释放阶段与成一次函数关系； ②自然消散阶段与成反比例关系． 实践任务 (1)数据建模：根据实验数据，分别求出主动释放阶段和自然消散阶段中，关于的函数表达式（需注明自变量取值范围）． (2)数据应用：结合函数表达式，计算当净化因子浓度时，对应的释放时间的值． (3)效果评估：该实践小组通过查阅资料得知，“有效净化”的标准为室内每立方米净化因子浓度不低于，且持续时间不低于．请通过计算判断本次实验中“净化因子释放”模式是否达到有效净化标准． 变式2．（25-26九年级上·广西南宁·月考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． 3 4 5 6 7 8 9 10 12 9 4.5 4 3.6 (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)把表补充完整： (3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 变式3．（25-26九年级上·山东日照·月考）学校为每个班级配备了一种可加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温与通电时间x（分）的关系如图所示（图中的曲线是双曲线的一部分），解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)求图中a值； (3)一天早上，王老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在上课前能喝到不超过的温开水，应在什么时间段内接水？ 变式4．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）某农场为提高农药喷洒效率，使用无人机进行作业．喷洒过程中，农药浓度y（单位：）与喷洒时间x（单位：）的关系图像如图所示，为直线的一部分，为反比例函数图像的一部分． (1)求两段函数的解析式，并写出各自变量的取值范围； (2)结合函数图像，回答下列问题： ①当时，农药浓度是多少？当时，农药浓度是多少？ ②对比两段函数，说明在各自的自变量范围内，y随x的变化趋势； (3)农场规定：农药浓度不低于且不超过时，既能保证杀虫效果，又能避免药害．求此次喷洒过程中，符合规定的时间范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $