第六章 反比例函数（十五大题型）2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

第六章 反比例函数 题型一 用反比例函数描述数量关系 1．下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 2．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为 ． 3．2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 4．下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 5．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是 （填入序号）． 6．写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数． （1）底边为 的三角形的面积 随底边上的高 的变化而变化； （2）一艘轮船从相距 的甲地驶往乙地，轮船的速度 与航行时间 的关系； （3）在检修 长的管道时，每天能完成 ，剩下的未检修的管道长 随检修天数 的变化而变化． 题型三 根据反比例函数的定义求参数 7．如果函数是反比例函数，那么的值为（   ） A．6 B． C．1 D．2或3 8．若函数是反比例函数，则 ． 9．已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 题型四 求反比例函数值 10．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 11．点在反比例函数的图像上，则的值是 ． 12．如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求、的值和一次函数的表达式； (2)连接，求点到线段的距离． 题型五 由反比例函数值求自变量 13．下列各点中，在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 14．若点在反比例函数的图象上，则的值是 ． 15．已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 题型六 判断（画）反比例函数图像 16．如图，△ABC的边，边上的高，△ABC的面积为5，则y与x的函数图象大致是(　　) A．B．C．D． 17．如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 18．如图，在△ABC中，，于点，动点从点出发，以每秒钟1个单位的速度沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动秒，的面积为，面积与点运动路程之比． (1)请直接写出关于的函数表达式与关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，一次函数的图象与的图象有两个交点，求的取值范围． 题型七 已知反比例函数的图像，判断其解析式 19．如图，该图像对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 20．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是 ． 21．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 题型八 由反比例函数图像的对称性求点的坐标 22．如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 23．已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是 ． 24．阅读下列材料，完成后面任务： 我们知道，利用描点法可以画出反比例函数的图象，其图象是双曲线，那么如何画出函数的图象呢？下面是小明同学对该函数的图象画法的探究过程． 利用描点法画图象： 列表： x … -6 -2 0 1 1．5 2．5 3 4 6 10 … y … 0．5 0 -1 -3 -7 9 5 3 2 1．5 … 描点、连线： 任务： (1)函数的自变量的取值范围为______． (2)由图可知，该函数图象的对称中心是______． (3)由图象可知，该函数的图象是由函数的图象平移得到的，请写出平移方式． 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 25．若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（   ） A． B． C． D． 26．如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是 ． 27．已知反比例函数的图像经过第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限内的两点、且，直接写出的取值范围． 题型十 判断反比例函数的增减性 28．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图像位于第一、三象限 B．图像过点 C．时，随增大而增大 D．时，随增大而减小 29．已知点，均在反比例函数图象上，则 （填、、）． 30．已知反比例函数的图象经过点． (1)求a的值． (2)当时，求y的取值范围． 题型十一 判断反比例函数图像所在象限 31．已知反比例函数   的图象必在（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第一、三象限 32．在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是 ． 33．如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答问题： (1)图象的另一支位于哪个象限？常数的取值范围是什么？ (2)若点均在反比例函数的图象上，若，比较的大小关系． 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 34．在每一象限内的双曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 354．已知两点在双曲线上，且，则m的取值范围是 ． 36．已知反比例函数中，当时，随的增大而增大． (1)求的值； (2)试判断点，是否在此函数的图像上； (3)当时，求的取值范围． 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 37．已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（   ） A． B． C． D． 38．点、都在函数 图象上，则a，b的大小关系为 ． 39．已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由； (3)当时，则的取值范围为_______． 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 40．如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 41．如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，则 ． 42．如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点作轴，垂足为点 ，线段交反比例函数 的图象于点，求的面积． 题型十五 根据图形面积求比例系数（解析式） 43．如图：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C是的中点，连接，若的面积为3，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 44．如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A、B两点．过点C作轴交双曲线于点D，连接．若的面积为8，则k的值为 ． 45．如图，点，均在反比例函数的图象上，轴于点，于点，且的面积为4，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 反比例函数 题型一 用反比例函数描述数量关系 1．下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 【答案】B 【分析】本题考查反比例关系的量．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵人的身高与年龄不一定有关系，即身高与年龄不成反比例，故A不符合题意， ∵三角形面积一定时，底边与其高乘积为定值，符合反比例关系，故B符合题意， ∵购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用之和为定值，它们的乘积不为定值，故C不符合题意， ∵小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间成正比，故D选项不符合题意， 故选：B． 2．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】由表中数据可得，，从而可得y关于x的函数表达式． 【详解】由表中数据可得，， ∴y关于x的函数表达式为． 故答案为： 【点睛】本题考查求反比例函数解析式，分析表中每一组值，从中得到变量间的关系是解题的关键． 3．2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 【答案】(1)15000（米） (2)挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小 (3)，与成反比例关系 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，反比例函数，利用表格中的数量关系得到函数关系式是解题的关键； （1）利用表格中的数据解答即可； （2）观察表格中的数解答即可； （3）利用（1）和（2）的结论解答即可． 【详解】（1）解：该隧道全长（米）； （2）解：挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小； （3）解：，则，与成反比例关系． 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 4．下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如（为常数，）的函数是反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个函数中只有函数是反比例函数， 故选：B． 5．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是 （填入序号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 6．写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数． （1）底边为 的三角形的面积 随底边上的高 的变化而变化； （2）一艘轮船从相距 的甲地驶往乙地，轮船的速度 与航行时间 的关系； （3）在检修 长的管道时，每天能完成 ，剩下的未检修的管道长 随检修天数 的变化而变化． 【答案】（1），不是反比例函数；（2），是反比例函数；（3），不是反比例函数． 【分析】根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义（k≠0）判断变量间是否为反比例函数关系． 【详解】（1） 根据三角形的面积公式可得 ， 所以不是反比例函数． （2） 因为 ， 所以两个变量之间的函数表达式为 ，是反比例函数． （3） 因为 ， 所以两个变量之间的函数表达式为 ，不是反比例函数． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，关键是掌握反比例函数解析式的一般式形式． 题型三 根据反比例函数的定义求参数 7．如果函数是反比例函数，那么的值为（   ） A．6 B． C．1 D．2或3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义．反比例函数的形式为，因此需满足指数为且系数非零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴ ∴ 解得， 故选：C 8．若函数是反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即可解答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 题型四 求反比例函数值 10．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 通过计算各选项的x值对应的y值，验证是否与点的y坐标一致即可． 【详解】解：A．当时，，与点的y坐标一致，成立； B．当时，，不成立； C．当时，，不成立； D．当时，，不成立． 故选：A． 11．点在反比例函数的图像上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，将点代入反比例函数解析式，求解m的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴代入解析式得：． 故答案为：． 12．如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求、的值和一次函数的表达式； (2)连接，求点到线段的距离． 【答案】(1)，， (2)点到线段的距离为 【分析】（1）根据点、在反比例函数图象上，代入即可求得、的值；根据一次函数过点，，代入求得，，即可得到表达式； （2）连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，可推出 轴，、、的长度，然后利用勾股定理计算出的长度，最后根据，计算得的长度，即为点到线段的距离． 【详解】（1）点、在反比例函数图象上 ， 又一次函数过点， 解得： 一次函数表达式为：； （2）如图，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ， 轴， 点，， 点，， 在中， 又 即 ∴，即点C到线段的距离为． 【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 题型五 由反比例函数值求自变量 13．下列各点中，在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质；根据反比例函数图象上点的坐标特征，点满足，其中． 【详解】解：∵反比例函数的图象上点的坐标应满足， A．，，不符合题意； B．，，符合题意； C．，，不符合题意； D．，，不符合题意． ∴点在函数图象上． 故选：B． 14．若点在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点坐标代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得． 故答案为：4． 15．已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义： （1）根据正比例函数的定义可得且，即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，即可求解． 【详解】（1）解：∵是正比例函数， ∴且， 解得：； （2）解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； ∴该反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：． 题型六 判断（画）反比例函数图像 16．如图，的边，边上的高，的面积为5，则y与x的函数图象大致是(　　) A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象．现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．根据三角形的面积公式得到x和y的关系式，再判断是何种函数，由自变量的取值范围进而得到函数的图象． 【详解】解：∵的面积为5，，， 则， ∴， ∴的长为y， 边上的高为x是反比例函数， ∴函数图象是双曲线； ∵，， ∴该反比例函数的图象位于第一象限． 故选：A． 17．如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键． 根据图象得出结论． 【详解】解：由图可知，当时，． 故答案为：． 18．如图，在中，，于点，动点从点出发，以每秒钟1个单位的速度沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动秒，的面积为，面积与点运动路程之比． (1)请直接写出关于的函数表达式与关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，一次函数的图象与的图象有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)图象见解析；当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，三线合一定理，掌握一次函数与反比例函数综合应用是解题的关键． （1）由三线合一得到，则由勾股定理得到，进而可得；当点P在上时，过点D作于E，根据等面积法求出，则；求出，进而可得关于的函数表达式； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可； （3）分别求出一次函数的图象恰好经过点和经过点时k的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 如图，当点P在上时，， ∴， 即； 如图，点P在上时，过点D作于E， ∵， ∴， ∵ ∴； 综上所述，； ∵， ∴； （2）解：画的图象： 列表： x ⋯ 1 3 ⋯ y ⋯ 2 6 ⋯ 描点连线得：如图， 画的图象： 列表： x ⋯ 3 8 ⋯ y ⋯ 6 0 ⋯ 描点连线得：如图，不包含和这两点 画的图象： 列表： x ⋯ 1 2 3 6 ⋯ y ⋯ 6 3 2 1 ⋯ 描点连线得：如图， 由函数图象可知，当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小． （3）解：如图所示，当一次函数的图象恰好经过点时，则，解得； 当一次函数的图象恰好经过点时，则，解得； ∴当或时，一次函数的图象与的图象有两个交点． 题型七 已知反比例函数的图像，判断其解析式 19．如图，该图像对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图像．根据函数图像的形状和所处的位置判断即可． 【详解】解：函数的图像为双曲线，所以为反比例函数的图像， ∵图像位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是． 故选：A． 20．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数图象离坐标轴越远，k的绝对值越大． 根据点A和点B的坐标，得出k的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵该反比例函数位于第一象限的图象低于点， ∴， ∵该反比例函数位于第三象限的图象低于点， ∴， ∴， ∴k的值可能是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 21．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 【答案】4 【分析】设，，，，则，，然后根据，，列式求解即可． 【详解】解：设，，，， 则，， 则， ，得， 同理：，得， 又， ， 解得． 【点睛】考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键． 题型八 由反比例函数图像的对称性求点的坐标 22．如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据题意得出点A与点B关于原点对称进而求解即可． 【详解】解：由题意得，点A与点B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为． 故选B． 23．已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键． 根据关于x轴、y轴对称的点的坐标设点A坐标为，则，代入解析式解出a值即可． 【详解】解：设点A坐标为，则， 将点B坐标代入得：， 解得 故答案为： 24．阅读下列材料，完成后面任务： 我们知道，利用描点法可以画出反比例函数的图象，其图象是双曲线，那么如何画出函数的图象呢？下面是小明同学对该函数的图象画法的探究过程． 利用描点法画图象： 列表： x … -6 -2 0 1 1．5 2．5 3 4 6 10 … y … 0．5 0 -1 -3 -7 9 5 3 2 1．5 … 描点、连线： 任务： (1)函数的自变量的取值范围为______． (2)由图可知，该函数图象的对称中心是______． (3)由图象可知，该函数的图象是由函数的图象平移得到的，请写出平移方式． 【答案】(1) (2) (3)该函数的图象是由函数的图像先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的． 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用函数解析式求自变量的取值范围即可； （2）根据图象解答问题即可； （3）根据平移的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：∵函数有意义， ∴， 解得：； （2）∵，， ∴的对称中心为． （3）函数的图象是由函数的图象向右平移个单位，向上平移个单位得到． 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 25．若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象，根据反比例函数图象所在的象限，进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴； 故选：A． 26．如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了通过反比例函数图象，确定参数的取值，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数图象位于第一、三象限． 【详解】解：反比例函数的图象在第一、三象限， 因此比例系数， 解得， 故答案为：． 27．已知反比例函数的图像经过第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限内的两点、且，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键． （1）根据反比例函数的图像经过第一、三象限可得，由此即可得； （2）根据反比例函数的增减性可得，再结合即可得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴， 解得． （2）解：对于反比例函数，在第一象限内，随的增大而减小， ∵这个函数的图像经过第一象限内的两点、且， ∴， 解得， 又∵， ∴的取值范围为． 题型十 判断反比例函数的增减性 28．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图像位于第一、三象限 B．图像过点 C．时，随增大而增大 D．时，随增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 根据反比例函数的图象与性质以及图象上点的坐标特征分别判断即可． 【详解】解：A、反比例函数为，比例系数，则图象位于第二、四象限，故A错误； B、当 时，，则图象不过点，故B错误； C、当时，y随x的增大而增大，故C正确； D、当时，y随x的增大而增大，故D错误， 故选：C． 29．已知点，均在反比例函数图象上，则 （填、、）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据得出在每个象限内，随着的增大而减小，又因为点，均在反比例函数图象上，得出，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数， ∴在每个象限内，随着的增大而减小， ∵点，均在反比例函数图象上，且， ∴， 故答案为：． 30．已知反比例函数的图象经过点． (1)求a的值． (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入解析式，计算即可． （2）计算对应的函数值，根据函数的增减性，确定函数值的范围即可． 本题考查了图象过点，反比例函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， 把点代入， 得， 解得． （2）解：当时，； 当时，． ∴在时，随的增大而减小， 当时， ． 题型十一 判断反比例函数图像所在象限 31．已知反比例函数   的图象必在（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第一、三象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限． 根据当时，图象位于第二、四象限求解即可． 【详解】∵函数为 ，其中 ， ∴图象位于第二、四象限． 故选 C． 32．在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得：反比例函数图象在第二、四象限，则． 故答案为：． 33．如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答问题： (1)图象的另一支位于哪个象限？常数的取值范围是什么？ (2)若点均在反比例函数的图象上，若，比较的大小关系． 【答案】(1)图象的另一支位于第四象限， (2) 【分析】（1）根据反比例函数图象的对称性可得图象的另一支位于第四象限，根据反比例函数图象所在的象限可得，即可求解； （2）根据反比例函数图象可知在第四象限内，随的增大而增大，即可得出的大小关系． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象一支在第二象限， ∴图象的另一支位于第四象限， ∴， 解得：； （2）解：∵ ∴时，随的增大而增大， ∵点均在反比例函数的图象上， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例数图象的性质是解题的关键． 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 34．在每一象限内的双曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，双曲线在第一和第三象限，且y随x的增大而减小求解即可 【详解】解：在每一象限内，y随x的增大而减小， 比例系数， ， 故选：A 354．已知两点在双曲线上，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数y随x的增大而减小可得，即可得答案． 【详解】解：∵两点在双曲线上，且， ∴， 解得， 故答案为：． 36．已知反比例函数中，当时，随的增大而增大． (1)求的值； (2)试判断点，是否在此函数的图像上； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点不在此函数图像上；点在此函数图像上； (3) 【分析】本题考查的是反比例函数的定义与性质，掌握反比例函数的定义与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义即可求解； （2）根据待定系数法，把点代入函数的解析式即可求出k的值，再利用代入法判断在不在函数的图像上； （3）分别求出和时的y值，根据函数的增减性判断y的取值范围即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数 ∴且 解得：且 又∵随的增大而增大 ∴即 ∴ （2）由（1）可知： ∴由得：，故点不在此函数图像上； 由得：，故点在此函数图像上； （3）∵反比例函数， ∴在每个象限内y随x的增大而增大， 当时，代入反比例函数得； 当时，代入反比例函数得； ∴的取值范围为：. 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 37．已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数性质，当比例系数时，函数图像在第二和第四象限，故当时，，当时，，据此即可求解． 【详解】∵， ∴函数图像在第二和第四象限， ∵ ∴． 故选B． 38．点、都在函数 图象上，则a，b的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式得到反比例函数的函数图象在一三象限，从而根据点，所在的象限判断，的符号，即可比较其大小． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的函数图象在一三象限， ∵点、都在函数的图象上， ∴点A在第三象限，点B在第一象限， ∴， ∴， 故答案为：． 39．已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由； (3)当时，则的取值范围为_______． 【答案】(1)； (2)不在这个函数的图象上，在这个函数的图象上，理由见解析； (3)或． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握其性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将，两点的横坐标代入函数解析式中，从而求出所对应的函数值，然后与，两点的纵坐标进行比较，即可判断两点是否在函数图象上； （3）根据函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数（为常数，且）的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：当时，；当时，； 点不在这个函数的图象上，在这个函数的图象上； （3）解：， 当或时，随的增大而减小， 当时，， ， 当时，则的取值范围为或， 故答案为：或． 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 40．如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了反比例函数中k的几何意义，由于A、B、C是反比例函数的图象上的三点，根据反比例函数比例系数k的几何意义，可知图象上的点与原点所连的线段和坐标轴，和向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形面积的关系即，是个定值，即可得出结果． 【详解】解：依题意，过双曲线上任意一点与原点所连的线段和坐标轴，和向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形面积S是个定值， 即， ∴． 故选：A． 41．如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，设与轴交于点，由题意得，，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设与轴交于点， ∵反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点， ∴，， ∴， 故答案为：． 42．如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点作轴，垂足为点 ，线段交反比例函数 的图象于点，求的面积． 【答案】的面积为 【分析】本题考查反比例函数的的几何意义． 根据反比例函数的的几何意义，可得和的面积，相减即可． 【详解】解：∵点 是反比例函数 的图象上一点，轴于点， ∴ ， 又∵线段交反比例函数 的图象于点， ∴，    ∴． 答：的面积为． 题型十五 根据图形面积求比例系数（解析式） 43．如图：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C是的中点，连接，若的面积为3，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握反比例函数中k的几何意义是解题的关键． 由C是的中点求的面积，设，根据面积公式求，进而求得k的值即可． 【详解】解：∵C是的中点，的面积为3， ∴的面积为6， 设， ∵轴于点B， ∴，即， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． 故选D． 44．如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A、B两点．过点C作轴交双曲线于点D，连接．若的面积为8，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点．过点A作于点E，设点，则点，根据是等腰三角形，可得，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E， 设点，则点， ∵底边轴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：3． 45．如图，点，均在反比例函数的图象上，轴于点，于点，且的面积为4，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义．由的面积为4，知，根据反比例函数中k的几何意义，知本题，求得，，进而求出k的值． 【详解】解：∵的面积为4，轴于点，于点， ， ∴， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 1 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