期末压轴题特训考向三 相似的有关证明与操作变换题&考向四 反比例函数与三角形面积问题的综合应用-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

114 考向三　相似的有关证明与操作变换题 ▶ “答案与解析”见P53 1. 如图,在正方形ABCD 中,F 是边BC 上一 点,连接 AF,以 AF 为对角线作正方形 AEFG,边FG 与正方形ABCD 的对角线AC 相交于点H,连接DG. (1) 若∠BAF=18°,则∠DAG= . (2) 求证:△AFC∽△AGD. (3) 若BF FC= 1 2 ,请求出FC FH 的值. (第1题) 2. 在矩形 ABCD 中,ABBC =a ,动点 E 在边 BC 上. (1) 如图①,连接AE,过点B 作BF⊥AE, 交CD 于点F. ① 当a=1时,求证:AE=BF. ② 当a≠1时,求AEBF 的值(用含a的代数式 表示). (2) 如图②,动点 H 在边AD 上,将矩形 ABCD 沿EH 折叠,点A,B 折叠后的位置 分别是点A',B',C 恰好是线段A'B'的中点, 求EH A'B' 的值(用含a的代数式表示). (第2题) 3. 如图①,把两个全等的等腰直角三 角形 ABC,DEF 叠放在一起,使 △DEF 的锐角顶点E 与△ABC 的 斜边中点重合,其中∠BAC=∠EDF=90°, ∠C=∠F=45°,AB=DE=6.△ABC 固定 不动,将△DEF 绕点E 按顺时针方向旋转. 设射线ED 与射线BA 相交于点P,射线EF 与线段CA 相交于点Q. (1) 如图①,当射线EF 经过点A,即点Q 与 点A 重合时,BP·CQ 的值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 115 (2) 当△DEF 旋转到图②的位置时,连 接PQ. ① BP·CQ 的值是否改变? 请说明理由. ② △EPQ 与△CEQ 相似吗? 请说明理由. (3) 如图③,线段EP 交CA 于点M. ① 求证:ME2=MQ·MC. ② 若EM=EQ,求CQ 的长. (第3题) 4. 一次小组合作探究课上,小明将两 个正方形按如图①所示的方式摆放 (点E,A,D 在同一条直线上),发 现BE=DG 且BE⊥DG. (1) 将正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向 旋转(如图②),还能得到BE=DG 吗? 若 能,请给出证明;若不能,请说明理由. (2) 把正方形分别改成菱形AEFG 和菱形 ABCD,将菱形AEFG 绕点A 按逆时针方向 旋转(如图③),当∠EAG 与∠BAD 之间满 足怎样的数量关系时,结论BE=DG 仍成 立? 请说明理由. (3) 把正方形分别改成矩形AEFG 和矩形 ABCD,且AEAG= AB AD= 2 3 ,AE=4,AB=8,将 矩形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转(如图 ④),连接DE,BG.小组发现:在旋转过程 中,DE2+BG2 的值是定值,请求出这个 定值. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 期末压轴题特训 116 考向四　反比例函数与三角形面积问题的综合应用 ▶ “答案与解析”见P54 1. (2024·自贡)如图,在平面直角坐 标系中,一次函数y=kx+b的图象 与反比例函数y= m x 的图象交于 A(-6,1),B(1,n)两点. (1) 求反比例函数和一次函数的表达式. (2) 若P 是直线x=-2上的一个动点, △PAB 的面积为21,求点P 的坐标. (3) 若点Q 在反比例函数y= m x 位于第四象 限的图象上,△QAB 的面积为21,请直接写 出点Q 的坐标. (第1题) 2. (2024·烟台)如图,正比例函数y= x与反比例函数y= k x 的图象交于 点A(6,a).将正比例函数图象向下平移 n(n>0)个单位长度后,与反比例函数图象 在第一、三象限交于点B,C,与x 轴、y轴交 于点D,E,且满足BE∶CE=3∶2,过点B 作BF⊥x轴,垂足为F,G 为x轴上一点,直 线 BC 与 BG 关 于 直 线 BF 对 称,连 接 CG.求: (1) 反比例函数的表达式. (2) n的值和△BCG 的面积. (第2题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 ∴ △AFG 是等腰直角三角形. ∴ ∠FAM=45°. ∴ ∠FAB+∠MAD=90°-45°=45°. ∴ ∠FAN = ∠FAB + ∠NAB = ∠FAB+∠MAD=45°. ∴ ∠FAN=∠FAM. 在△AFN 和△AFM 中, AN=AM, ∠FAN=∠FAM, AF=AF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AFN≌△AFM. ∴ FN=FM. ∵ FN=BN+BF=DM+BF, ∴ DM+BF=FM. (第7题) 考向二　概率与统计的综合题 1. 抽样调查 16 2. (1) 补全条形统计图如图所示. (2) 91;92.5. (3) 八年级(1)班的成绩更好一些. 理由:两个班级的平均成绩相同,从中 位数和众数方面看,八年级(1)班优于 八年级(3)班. ∴ 八年级(1)班成绩更好一些(合理 即可). (4) 八年级(1)班3名得100分的学 生记为1,2,3,八年级(3)班2名得 100分的学生记为4,5,列表如下: 1 2 3 4 5 1 (1,2)(1,3)(1,4)(1,5) 2 (2,1) (2,3)(2,4)(2,5) 3 (3,1)(3,2) (3,4)(3,5) 4 (4,1)(4,2)(4,3) (4,5) 5 (5,1)(5,2)(5,3)(5,4) 由表,可知共有20种等可能的结果, 其中所抽取的2名学生恰好在同一个 班级的结果有8种. ∴ P(所抽取的2名学生恰好在同一 个班级)=820= 2 5. (第2题) 考向三　相似的有关证明 与操作变换题 1. (1) 27°. 解 析:∵ 四 边 形 ABCD, AEFG 是 正 方 形, ∴ 易知∠BAC=∠DAC=∠GAF= 45°.∴ ∠BAF+∠FAC=∠FAC+ ∠GAC=45°.∴ ∠HAG=∠BAF= 18°.∵ ∠DAG+∠HAG=∠DAC= 45°,∴ ∠DAG=45°-18°=27°. (2) ∵ 四边形ABCD,AEFG 是正 方形, ∴ 易得AD AC= 2 2 ,AG AF= 2 2. ∴ AD AC= AG AF. ∵ ∠DAG + ∠GAC = ∠CAF + ∠GAC=45°, ∴ ∠DAG=∠CAF. ∴ △AFC∽△AGD. (3) ∵ BF FC= 1 2 , ∴ 设BF=k,则CF=2k. ∴ AB=BC=3k. ∴ AF = AB2+BF2 = (3k)2+k2 = 10 k,AC = AB2+BC2 + (3k)2+(3k)2 = 32k. ∵ 四边形ABCD,AEFG 是正方形, ∴ 易得∠AFH=∠ACF=45°. ∵ ∠FAH=∠CAF, ∴ △AFH∽△ACF. ∴ AF AC= FH CF. ∴ FC FH= 32 10 =355 . 2. (1) ① 设AE,BF 交于点O. 当a=1时,AB=BC. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠ABC=∠C=90°. ∴ ∠ABF+∠CBF=90°. ∵ BF⊥AE, ∴ ∠AOB=90°. ∴ ∠ABF+∠BAE=90°. ∴ ∠BAE=∠CBF. ∴ △ABE≌△BCF. ∴ AE=BF. ② 由 ①,知 ∠ABC = ∠C =90°, ∠BAE=∠CBF, ∴ △ABE∽△BCF. ∴ AE BF= AB BC=a. (2) 如图,取AB 的中点G,连接CG, 过点B 作BW∥EH,交AD 于点W. ∴ BG=12AB. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ BC∥AD,∠ABC=∠A=90°. ∴ 四边形BWHE 是平行四边形. ∴ BW=EH. ∵ 矩形ABCD 沿EH 折叠,点A,B 折叠后的位置分别是点A',B',C 恰 好是线段A'B'的中点, ∴ 点G 和点C 关于EH 对称,AB= A'B'. ∴ EH⊥CG. ∴ BW⊥CG. ∴ 易得∠ABW=∠BCG. ∴ △ABW∽△BCG. ∴ BW CG= AB BC ,即BW AB= CG BC. 不妨设AB=2a,BC=2,则BG=a. ∵ ∠ABC=90°, ∴ CG= BG2+BC2= a2+4. ∴ BW AB= a2+4 2 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 35 ∴ EH A'B'= a2+4 2 . (第2题) 3. (1) 18. 解析:∵ △DEF 的锐角 顶点E 与△ABC 的斜边中点重合, ∴ AE 是等腰直角三角形ABC 的中 线.∴ BE=CE,AE⊥BC,AE 平分 ∠BAC.∴ ∠BAE=∠CAE=45°, ∠AEB = ∠AEC =90°.∴ 易 得 ∠BEP=∠B=∠CAE=∠C=45°. ∴ △BPE∽△CEQ.∴ BP CE= BE CQ. ∴ BP·CQ=CE·BE.∵ △ABC 是等腰直角三角形,AB=6,∴ 易得 BC=6 2.∴ BE =CE =3 2. ∴ BE·CE=18,即BP·CQ=18. (2) ① BP·CQ 的值不改变. 理由:如图①. ∵ △ABC 与△DEF 是全等的等腰 直角三角形,E 是BC 的中点,AB= DE=6, ∴ 易得∠B=∠C=∠2=45°,BE= CE=32. ∵ ∠PEC=∠B+∠1=∠2+∠3, ∴ ∠1=∠3. ∴ △BPE∽△CEQ. ∴ BP CE= BE CQ. ∴ BP·CQ=BE·CE=3 2× 32=18. ∴ BP·CQ 的值不改变. ② 相似. 理由:∵ △BPE∽△CEQ, ∴ PE EQ= BE CQ. ∵ BE=CE, ∴ PE EC= EQ CQ. ∵ ∠2=∠C, ∴ △EPQ∽△CEQ. (3) ① ∵ ∠MEQ = ∠C =45°, ∠EMQ=∠CME, ∴ △MEQ∽△MCE. ∴ ME MC= MQ ME. ∴ ME2=MQ·MC. ② ∵ △MEQ∽△MCE, ∴ EM CM= EQ CE. ∵ EM=EQ, ∴ CM=CE=32. 如图②,过点E 作EH⊥AC于点H. ∵ ∠BAC=90°,即AB⊥AC, ∴ EH∥AB. ∵ EM=EQ, ∴ HM=HQ. ∵ BE=CE,EH∥AB, ∴ 易得AH=CH. ∴ CQ=AM=AC-CM=6-32. (第3题) 4. (1) 能. ∵ 四边形AEFG 为正方形, ∴ AE=AG,∠EAG=90°. ∵ 四边形ABCD 为正方形, ∴ AB=AD,∠BAD=90°. ∴ ∠EAG - ∠BAG = ∠BAD - ∠BAG,即∠EAB=∠GAD. ∴ △AEB≌△AGD. ∴ BE=DG. (2) 当∠EAG=∠BAD 时,BE= DG. 理由:∵ ∠EAG=∠BAD, ∴ ∠EAG + ∠GAB = ∠BAD + ∠GAB,即∠EAB=∠GAD. 又∵ 四边形AEFG 和四边形ABCD 为菱形, ∴ AE=AG,AB=AD. ∴ △AEB≌△AGD. ∴ BE=DG. (3) 如图,设BE 分别与DG,AG 相交 于点Q,P,连接EG,DB. ∵ AE AG= AB AD= 2 3 ,AE=4,AB=8, ∴ AG=6,AD=12. ∵ 四边形AEFG 和四边形ABCD 为 矩形, ∴ ∠EAG=∠BAD=90°. ∴ ∠EAG + ∠BAG = ∠BAD + ∠BAG,即∠EAB=∠GAD. ∴ △EAB∽△GAD. ∴ ∠BEA=∠DGA. ∵ ∠APQ = ∠BEA + ∠EAG = ∠DGA+∠GQE, ∴ ∠GQE=∠EAG=90°. ∴ BE⊥DG. ∴ DE2+BG2=EQ2+QD2+GQ2+ QB2=EG2+BD2. ∵ EG2+BD2=AE2+AG2+AB2+ AD2=42+62+82+122=260, ∴ DE2+BG2的值为260. (第4题) 考向四　反比例函数与三角 形面积问题的综合应用 1. (1) 把A(-6,1)代入y= m x ,得 1=m-6 , ∴ m=-6. ∴ 反比例函数的表达式为y=- 6 x. 把B(1,n)代入y=- 6 x ,得n=-6. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 45 ∴ B(1,-6). 把A(-6,1),B(1,-6)代入y= kx + b,得 -6k+b=1, k+b=-6, 解 得 k=-1, b=-5. ∴ 一次函数的表达式为y=-x-5. (2) 设直线x=-2交直线AB于点H. 在y=-x-5中,令x=-2,得 y=-3, ∴ H(-2,-3). ∵ △PAB 的面积为21, ∴ 1 2PH ·|xB -xA|=21,即 1 2PH ·(1+6)=21. ∴ PH=6. ∵ -3+6=3,-3-6=-9, ∴ 点P的坐标为(-2,3)或(-2,-9). (3) 点Q 的坐标为 -11+ 1452 , -11+ 1452 或(3,-2). 解析:如 图,过点Q 作QM∥x轴交直线AB 于 点 M.设 Q t,-6t (t>0).在 y=-x-5中,令y=- 6 t ,得x= 6 t-5 ,∴ M 6t-5 ,-6t .∴ MQ= 6 t-5-t .∵ △QAB 的面积为21, ∴ 1 2MQ ·|yA-yB|=21,即 1 2× 6 t-5-t ×7=21.∴ 6 t-5-t= 6或 6t -5-t= -6 ,解 得t= -11± 145 2 或t=-2或t=3. ∵ t>0,∴ t=-11+ 1452 ,t=3符 合 题 意.∴ 点 Q 的 坐 标 为 -11+ 145 2 , -11+ 1452 或 (3,-2). (第1题) 2. (1) ∵ 点A(6,a)在正比例函数 y=x的图象上, ∴ A(6,6). ∵ 点A(6,6)在反比例函数y= k x 的图象上, ∴ k=6. ∴ 反比例函数的表达式为y= 6 x. (2) 正比例函数图象向下平移n个单 位长度后得到的直线BC 对应的函数 表达式为y=x-n(n>0). 过点B 作BQ⊥y 轴于点Q,过点C 作CH⊥y轴于点H, ∴ BQ∥CH. ∴ 易得△QBE∽△HCE. ∵ BE∶CE=3∶2, ∴ BQ CH= BE CE= 3 2. 设B 3m,63m (m>0),则C -2m, 6 -2m . ∵ 点B,C在直线y=x-n上, ∴ 3m-n=63m , -2m-n= 6-2m , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 m=1, n=1 或 m=-1, n=-1 (不合题意,舍去). ∴ 直线BC对应的函数表达式为y= x-1,B(3,2),C(-2,-3). ∴ 易得E(0,-1),D(1,0). ∵ 直 线 BC 与 BG 关 于 直 线 BF 对称, ∴ 易得G(5,0). ∴ GD=4. ∴ S△BCG=S△BDG+S△CDG= 1 2×4× 2+12×4×3=10. 拔尖测评 第一章拔尖测评 一、 1. D 2. D 3. C 4. A 5. A 解析:如图,过点B 作BE⊥ x轴于点E.∴ ∠BEA=90°.∵ 点A 的坐标为(-2,0),∴ OA=2.∵ 四边 形OABC 是菱形,∴ AB=OA=2, AB∥OC.∴ ∠EAB=∠AOC=60°. ∴ ∠ABE=30°.∴ AE=12AB= 1 2×2=1.∴ BE= AB2-AE2= 22-12=3,OE=AE+OA=1+ 2=3.∴ 点B 的坐标是(-3,3). ∵ 将菱形OABC 沿x 轴向右平移 1个单位长度,再沿y 轴向下平移 1个单位长度,得到菱形O'A'B'C', ∴ 点B'的坐标为(-2,3-1). (第5题) 6. C 7. D 解析:∵ 四边形ABCD 是正 方 形,∴ AB = AD,∠ABE = ∠ADC=∠ADF=90°.在△ABE 和 △ADF 中, AB=AD, ∠ABE=∠ADF, BE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ADF.∴ AE=AF. ∵ AM 平 分∠EAF,∴ ∠EAM = ∠FAM.在 △AEM 和 △AFM 中, AE=AF, ∠EAM=∠FAM, AM=AM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEM ≌ △AFM.∴ EM =FM.∵ 四 边 形 ABCD 是 边 长 为 4 的 正 方 形, ∴ BC=CD=4,∠BCD=90°.设 DM=x,则MC=CD-DM=4-x, CE=BC-BE=4-1=3,EM= FM = FD + DM =1+x.在 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 55