成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练-2025-2026学年 北师大版九年级数学上册

成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 考点目录 成比例线段 相似三角形的性质 相似三角形的证明 考点一 成比例线段 例1.（25-26九年级上·江苏南京·月考)2025年12月19日，南京地铁10号线二期开通运营，在比例尺为 1:100000的工程示意图上，南京地铁10号线全长约为34.9cm,它的实际长度约为() A.0.349km B.3.49km C.34.9km D.349km 例2.(25-26九年级上·浙江月考)已知线段a=2cm,b=8cm,则a,b的比例中项是() A.2cm B.4cm C.±4cm D.8cm 例3.C2526九年级上-江苏常州月考)已知-，则'的值是 例4.(25-26九年级上广东深圳月考)鹦鹉螺是一类古老的软体动物.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比 都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是AB的黄金分割点(AP>BP),若线段AP的长为6Cm,则BP 的长为cm.(结果保留根号) B 变式1.(25-26九年级上·河南平顶山期中)已知a,b,c,d是成比例线段，其中a=2cm,b=1cm,c=8cm，,则线 段d的长为() A.3cm B.4cm C.5cm D.16cm 成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 变式2.(25-26九年级上·安徽合肥期中)摄影师们通常会将主体放置在画面中的黄金分割点上，以获得更好的摄 影效果.如图，P是AB的黄金分割点(AP>BP),若线段AB的长为6cm,则PB的长为()Cm. P黄金分割点 B A.3V5-3 B.9-3V5 C.4V5-4 D.12√5-12 变式3.Q526九年级上浏南新乡~月考)若号则。 a+b 变式4.(25-26九年级上~湖南长沙月考》宽与长的比值为5-」（约为0.618）的知形叫做黄金矩形.如图，在矩 2 形ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，AE=AB=2.若四边形EFCD是黄金矩形(ED<CD),则4D= AB= (结果保留根号). E D F 成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 考点二 相似三角形的性质 例1.(25-26九年级上·河南商丘·月考)如图，一张等腰三角形纸片ABC,底边BC=120cm·若用这张等腰三角形 纸片制作一个棱长为24cm的正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，则这个纸片的高AD的长为() D A.140cm B.120cm C.100cm D.60v3cm 例2.(25-26九年级上·浙江金华·月考)如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE,BD,且 AE,BD相交于点F,SDEr:SABr=l:9，,则DE:DC=() D E ℃ F B A.3:I B.1:2 C.2:3 D.13 例3.(25-26九年级上·江苏泰州月考)如图，已知M、N两点分别在ABC的边AB、AC上，MN∥BC,若 △1MN的周长与ABC的周长之比为3：8，则4M= MB B 成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 例4.(25-26九年级上四川成都月考)如图，正方形ABCD的边长为3Cm,点E为BC中点，DE与对角线AC交 于点F,则线段FC长为 cm. Bh 变式1.(25-26九年级上·湖北武汉·月考)如图，在口ABCD中，E是CD上一点，AE与BD交于点F,若 DE=2EC,ADEF的周长为4，则△ABF的周长为() E B A.6 B.8 C.10 D.12 变式2.(25-26九年级上山西晋城月考)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AC与BD交于点0，AD=2, BC=5,则S4OD:SBoc的值为() A D B 4 A.25 B. 25 c 2-5 D 成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 变式3.(2025江苏南京申考真题)如图，在R1△ABC中，∠ACB=90°，CD是边HB上的高，D-, D=)，则。4迎的 值是 D B 变式4.(25-26九年级上·河南商丘·月考)如图，点D、E分别在ABC边BC、AB上，AD与CE交于点F,己知 AF FD =1:1,BD CD=4:5, EF FC 成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 考点三 相似三角形的证明 例1.(25-26九年级上·福建莆田·月考)如图，在ABC中，AB=AC,D,E分别是边BC,AC上两点，AF∥BC交 DE的延长线于点F,连接AD,AD=FD,求证：△ABD∽△ECD 例2.(25-26九年级上陕西榆林·月考)如图，在ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，连接DE,且 DE∥AB,点F在DC上，且CE=CD DE BD B D FC ()试说明CE-CF AE DF (2)若CF=4,DF=8,AC=12V3,求证：△DCEn△ACD. 6 成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 例3.(25-26九年级上福建福州月考)如图，在等腰直角ABC,BA=BC,∠ABC=90°，点D在AC上. D (I)尺规作图：作出将△ABD绕点B顺时针方向旋转90°后得到的△CBE;(不写作法，保留作图痕迹) (2)连接DE,求证：△ABCn△DBE. 例4.(25-26九年级上·江苏南通·月考)如图，在ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,AD=BD. D B (I)求证：△ABCn△BDC. (2)若∠C=90°，BC=2,求AB的长. 成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 变式1.(25-26九年级上湖南常德·期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点F,E分别在线段BC.4C上， 且∠FAC=∠ADE,AC=AD. D (I)求证：△DAE≌△ACF; (2)请添加一个条件 ,使△ABF∽aCDE,并写出证明过程， 变式2.(25-26九年级上·吉林长春期中)如图，在口ABCD中，∠BAC=2∠B. D (I)实践操作：利用尺规作∠BAC的平分线AE,交BC于点E;(要求，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，求证：△ACE∽△DAC. 成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 变式3.(25-26九年级上：陕西西安·月考)将两个全等的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、 线在同一平面内).求证： D (I)△ABE∽△DCA; (2 BC2=2BE.CD 变式4.(25-26九年级上：陕西西安月考)如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上的任意一点，作EF⊥BD于F. D (I)求证：△ABD∽△FDE; (2)已知正方形ABCD的边长AB=4,连接AF,当∠AFE=150°时，求BF的长.（结果保留根号） 9成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 考点目录 成比例线段 相似三角形的性质 相似三角形的证明 考点一 成比例线段 例1.(25-26九年级上·江苏南京·月考)2025年12月19日，南京地铁10号线二期开通运营，在比例尺为 1:100000的工程示意图上，南京地铁10号线全长约为34.9cm,它的实际长度约为() A.0.349km B.3.49km C.34.9km D.349km 【答案】C 【详解】解：~比例尺为1：100000，图上长度为34.9cm, ∴实际距离=34.9×100000=3490000(cm, 3490000cm=34.9km, 它的实际长度约为34.9km. 故选：C. 例2.(25-26九年级上·浙江·月考)已知线段a=2cm,b=8cm,则a,b的比例中项是() A.2cm B.4cm C.±4cm D.8cm 【答案】B 【详解】解：：x是a,b的比例中项， :x☐=ab=2x8=16, :x=±4， :线段长度为正数， ·x=4cm, 故选：B. 例3.2526九年级上-江苏常州月考)已知广多，则，之的值是 y 【答案】 【详解】解：= y2 11523 x-y=x-x-1=- 222 成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 故答案为：2 例4.(25-26九年级上广东深圳月考)鹦鹉螺是一类古老的软体动物.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比 都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是AB的黄金分割点(AP>BP),若线段AP的长为6Cm,则BP 的长为cm.(结果保留根号) B 【答案】3V5-3 【详解】解：P是AB的黄金分割点(AP>BP),AP=6Cm, 2.AP_5-1 AB 2 ..4B =(35+3cm, BP=AB-AP=3V5+3-6=35-3cm, 故答案为：3√5-3 变式1.(25-26九年级上河南平顶山期中)已知a,b,c,d是成比例线段，其中a=2cm,b=1cm,c=8cm,则线 段d的长为() A.3cm B.4cm C.5cm D.16cm 【答案】B 【详解】解：a,b,c,d是成比例线段， 号行即ad=bc a 2cm,b =Icm,c=8cm 2xd=1x8, 解得d=4, 即线段d的长度为4cm 故选：B 变式2，(25-26九年级上·安微合肥·期中)摄影师们通常会将主体放置在画面中的黄金分割点上，以获得更好的摄 影效果.如图，P是AB的黄金分割点(AP>BP),若线段AB的长为6cm,则PB的长为()Cm. 2 成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 P黄金分割点 B A.3V5-3 B.9-3V5 C.4V5-4 D.12V5-12 【答案】B 【详解】解：P是AB的黄金分割点(AP>BP),线段AB的长为6cm, P5=56=65-m 2 PB=AB-AP=6-3N5-3=(9-3V5)cm, 故选：B 65，则2a 变式3.(25-26九年级上河南新乡月考)若， atb 【答案】 1 3 【详解】解：- b5, ∴设a=k,b=5k（其中k≠0)， 2a 2k 2k 1 a+b k+5k 6k 3 故答案为：3 1 变式4.(2526九年级上湖南长沙，月考)宽与长的比值为5-」（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形.如图，在矩 2 形ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，AE=AB=2.若四边形EFCD是黄金矩形(ED<CD),则MD = (结果保留根号). E D 【答案】5+1 2 成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 【详解】解：：黄金矩形的宽与长的比为黄金分制比5-， 2 ED_5-1 CD 2 :矩形ABCD中，AE=AB=2, :CD=AB=2, ED-5-1,即ED=5-1, 22 :AD=AE+ED=2+N5-1=V5+1, AD 5+1 AB 2 故答案为5+1 2· 成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 考点二 相似三角形的性质 例1.(25-26九年级上河南商丘·月考)如图，一张等腰三角形纸片ABC,底边BC=120cm.若用这张等腰三角形 纸片制作一个棱长为24cm的正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，则这个纸片的高AD的长为() A.140cm B.120cm C.100cm D.60v3cm 【答案】B 【详解】解：：AD为ABC的高， LADB=90°， :MN∥BC, :LAPM=∠ADB=90°，△AMN∽△ABC, MN AP BC AD 24-4D-4×24 120AD .AD =120cm, 故选：B. 例2.(25-26九年级上·浙江金华·月考)如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE,BD,且 AE,BD相交于点F,SDEr:SABF=l:9,则DE:DC=() D E A ⊙ A.3:1 B.1:2 C.2:3 D.13 【答案】D 【详解】解：平行四边形ABCD, .AB∥CD,AB=CD, ∴.△DEF∽△BAF, S DEF:S ABF =1:9, 成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 .DE:4B=1:3,DE:DC =1:3. 故选D. 例3.(25-26九年级上·江苏泰州月考)如图，已知M、N两点分别在ABC的边AB、AC上，MN∥BC,若 △4MN的周长与4BC的周长之比为3：8，则4M- MB M 【爷1月 【详解】解：MN∥BC, ∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C, .△AMN∽△ABC, aAMN的周长与ABC的周长之比为3：8， AM 3 AB 8' AM 3 MB5' 故答案为：5 例4.(25-26九年级上四川成都月考)如图，正方形ABCD的边长为3cm,点E为BC中点，DE与对角线AC交 于点F,则线段FC长为 cm F Bh E 【答案】√2 【详解】解：正方形ABCD的边长为3cm, ∴AB=BC=AD=3cm,∠B=90°，AD∥BC, AC =4B2+BC2=3v2cm, 点E为BC中点， acE-cm. 6 成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 AD∥BC, .△CEF∽△ADF, CF CE 1 AF AD2' .AF =2CF, 1 ∴CF=AC=√2cm. 31 故答案为：√ 变式1.(25-26九年级上湖北武汉·月考)如图，在口ABCD中，E是CD上一点，AE与BD交于点F,若 DE=2EC,△DEF的周长为4，则△ABF的周长为() A D F ⊙ A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】A 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,AB∥CD, DE=2EC, :.AB CD =3CE AB∥CD, △DEF∽△BAF, CD旺=DE_2.月 42 △ABF的周长为6. 故选：A. 变式2.(25-26九年级上山西晋城月考)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AC与BD交于点O,AD=2, BC=5,则S4oD:Soc的值为(） D 成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 A. B.25 C.5 D. 【答案】A 【详解】解：AD∥BC,∠AOD=∠COB, AA0Dm△C0B, :AD2 BC5' S.BOC BC 25 故选：A. 变式3,202s江苏商京中老D如图，在R△4BC中，∠4CB=90,CD是边B上的高，C),则号 值是 C A D B 【答案】/02 【详解】解：∠ACB=90°， ∠ACD+∠BCD=90°， CD是边AB上的高， CD⊥AB, ∠CDA=∠CDB=90°， LB+∠BCD=90°， LB=∠ACD, △CDA∽△BDC, AD)21 S.CBD (cD=4' S.CBD=4S.ACD, SAB0=S4c+S.C =SAc+4SACD=5Sc0 S@= SACD 1 5SACD 5 成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 故答案为：号 变式4.(25-26九年级上·河南商丘·月考)如图，点D、E分别在ABC边BC、AB上，AD与CE交于点F.己知 AF:FD=1:1,BD:CD=4:5, EF FC 【答案】月 【详解】解：如图，过点D作DGI AB,交CE于点G, D △CDG∽△CBE,△DFG∽AAFE, CG CD EF AF "CECB'GF=DF =1, .EF=GF, BD:CD=4:5, ∴设BD=4xx>0),则CD=5x,CB=BD+CD=9x, 治 CG 5 设CG=5yy>0,则CE=9y, ÷EG=CE-CG=4y, EFGFG .CF=CG+GF=7y, EF 2y 2 F-7)7 故答案为：号 0 成比例线段、相似三角形的性质、相似三角形的证明专项训练 考点三 相似三角形的证明 例1.(25-26九年级上·福建莆田月考)如图，在ABC中，AB=AC,D,E分别是边BC,AC上两点，AF∥BC交 DE的延长线于点F,连接AD,AD=FD,求证：△ABD∽△ECD 【答案】见解析 【详解】证明：：AB=AC,AD=FD, .LB=∠C,∠DAF=∠F, :AF∥BC, ∠ADB=∠DAF,∠EDC=∠F, ∠ADB=∠EDC, △ABD∽△ECD. 例2.(25-26九年级上陕西榆林月考)如图，在ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，连接DE,且 DE∥AB,点F在DC上，且CE=CD DF BD B D FC )试说明CECF AE DF (2)若CF=4,DF=8,AC=12V3,求证：△DCEn△ACD. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】(1)解：DE∥AB, CD CE BD AE' CF CD DF BD' 10