第四章 图形的相似 单元试卷 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第四章 图形的相似 单元试卷 2025-2026学年北师大版数学九年级上册 一、选择题 下列线段中，能成比例的是 A． ，，， B． ，，， C． ，，， D． ，，， 如图，在 与 中，，要使 与 相似，还需满足下列条件中的 A． B． C． D． 如图，直线 ，直线 和 被 ，， 所截，，，，则 的长为 A． B． C． D． 在 中，点 ， 分别为边 ， 的中点，则 与 的面积之比为 A． B． C． D． 如果以 ，， 为三边的三角形和以 ，， 为三边的三角形相似，那么 与 的比值不可能为 A． B． C． D． 如图，四边形 和四边形 是以点 为位似中心的位似图形，若 ，则四边形 与四边形 的面积比为 A． B． C． D． 如图， 中，，， .将 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 A． B． C． D． 如图，点 是 的边 上一点，，，如果 的面积为 ，那么 的面积为 A． B． C． D． 如图所示，在正方形 中， 为 边中点，连接 并延长交 边的延长线于 点，对角线 交 于 点．已知 ，则线段 的长度为 A． B． C． D． 如图，在正方形 中， 的顶点 ， 分别在 ， 边上，高 与正方形的边长相等，连接 分别交 ， 于点 ，，下列说法： ① ； ②连接 ，，则 为直角三角形； ③ ； ④若 ，，则 的长为 ． 其中正确结论的个数是 A． B． C． D． 二、填空题 如图 ，若 （请补充一个条件），则 ． 在比例尺为 的示意图上，南京地铁一号线的长度约为 ，它的实际长度约为 ． 如图，四边形 是 的内接矩形，其中点 ， 分别在边 ， 上，点 ， 在边 上，， 是 的高，，，那么矩形 的周长是 ． 如图，正方形 的边长为 ，，，线段 的两端分别在 ， 上滑动，且 与 相似，则 的长为 ． 如图， 与 为位似图形，点 是它们的位似中心，位似比是 ，已知 的面积为 ，那么 的面积是 ． 如图， 是边长为 的等边三角形，， 分别是边 ， 上的点，，如果 ，那么 ． 如图，一个由 个小正方形组成的“”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点 ，，，， 都在矩形 的边上，若 个小正方形的面积均为 ，则边 的长为 ． 如图，高度相同的两根电线杆 ， 均垂直于地面 ，某时刻电线杆 的影子为地面上的线段 ，电线杆 的影子为地面上的线段 和坡面上的线段 ．已知坡面 的坡比 ，又 米， 米， 米，那么电线杆 的高度为 米． 三、解答题 如图，在由边长为 个单位长度的小正方形组成的 网格中，已知点 ，， 均为网格线的交点． (1) 在给定的网格中，以点 为位似中心，将线段 放大为原来的 倍，得到线段 （点 ， 的对应点分别为 ，），画出线段 ； (2) 将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，画出线段 ； (3) 以 ，，， 为顶点的四边形 的面积是 个平方单位． 如图，在平行四边形 中，连接 ， 是边 上一点，连接 并延长，交 的延长线于 ，且 ． (1) 求证：； (2) 如果 ，，求 的值． 周末，小马和小聪想用所学的数学知识测量图书馆前小河的宽，测量时，他们选择河对岸边的一棵大树，将其底部作为点 ，在他们所在的岸边选择了点 ，使得 与河岸垂直，并在 点竖起标杆 ，再在 的延长线上选择点 竖起标杆 ，使得点 与点 ， 共线．已知：，，测得 ，，．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽 ． 如图：四边形 对角线 与 相交于点 ，，． (1) 求证：． (2) 点 在线段 上，若 ，求证：． 如图，王华同学在晚上由路灯 走向路灯 ，当他走到点 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯 的底部，当他向前再步行 到达 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯 的底部．已知王华同学的身高是 ，两个路灯的高度都是 ． (1) 求两个路灯之间的距离； (2) 当王华同学走到路灯 处时，他在路灯 下的影子长是多少？ 如图，在 中，，，．动点 ， 从点 同时出发，均以每秒 的速度分别沿 ， 向终点 ， 移动，同时动点 从点 出发，以每秒 的速度沿 向终点 移动，连接 ，，设移动时间为 （单位：秒，）． (1) 当 为何值时，？ (2) 当 为何值时，以 ，， 为顶点的三角形与 相似？ (3) 是否存在某一时刻 ，使四边形 的面积为 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由． 答案 一、选择题（共10题） 1. 【答案】D 2. 【答案】C 【解析】 ，， ． 3. 【答案】D 4. 【答案】C 5. 【答案】B 【解析】 以 ，， 为三边的三角形和以 ，， 为三边的三角形相似， ． 6. 【答案】A 7. 【答案】C 8. 【答案】D 【解析】 ，， ， ， ， ， 的面积为 ， 的面积 ． 9. 【答案】D 【解析】 四边形 为正方形， ，， ，， ， ， ， ． ，， 为 的中位线， ． 10. 【答案】A 【解析】①在 和 中， ． ，， 同理，，， ，故①正确； ②连将 绕点 顺时针旋转 至 位置，得到图②，连接 ， 由旋转知：，， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， 又 ， ， 四边形 是正方形， 由旋转知：，， ， ， ， ． 在 和 中， ． ， 同理 ， 为直角三角形，故②正确； ③ ， ，， ， ， ， ，故③正确； ④ ，，，， ， 设正方形的边长为 ，则 ，， ， ，解得 ， ， ， 作 于 ，则 ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上正确结论的个数是 个． 二、填空题（共8题） 11. 【答案】 12. 【答案】 13. 【答案】 14. 【答案】 或 15. 【答案】 16. 【答案】 17. 【答案】 18. 【答案】 三、解答题（共6题） 19. 【答案】 (1) (2) (3) 20. 【答案】 (1) 四边形 是平行四边形， ，，． ， ． ， ． (2) ， ． ． ． ， ． ． ． 21. 【答案】 ，， ， ， ， ， ，，，， ， ，即河宽为 米． 22. 【答案】 (1) ，， ， 又 ， ． (2) 由（）得：， ， ， ， ， ， ， ， ． 23. 【答案】 (1) 由对称性可知 ，设 ． ， ． ． ． ． 经检验 是原方程的根，并且符合题意． ． 答：两个路灯之间的距离为 米． (2) 设王华走到路灯 处头的顶部为 ， 连接 并延长交 的延长线于点 ， 则 即为此时他在路灯 的影子长． 设 ． ， ． ，即 ，解得 ． 经检验 是分式方程的解． 答：当王华同学走到路灯 处时，他在路灯 下的影子长是 米． 24. 【答案】 (1) 由题意得 ，， ， ， ， ， ， ， 即 ， 解得 ， 秒时，． (2) 中，，，， ， 由题得 ，，，， ①当 时， ，即 ， 解得 （不合题意，舍去）， ②当 时， ，即 ， 解得 ， 综上 秒时，以 ，， 为顶点的三角形与 相似． (3) 假设存在 使 ， 过 作 于 ， ， ， ， 即 ， ， ， ， ， 即整理得解得 时四边形 面积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$