专题12 相似三角形压轴题（期中真题汇编，山东专用）九年级数学上学期北师大版

专题12 相似三角形压轴题 1．(24-25九上·山东青岛·期中)如图，在菱形中，对角线，，在中，，边和重合，边和重合．如图②，从图①所示位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，．设运动时间为．解答下列问题： (1)当t为何值时，为等腰三角形？ (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t值，使与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当t为2时，为等腰三角形 (2)当t为时， (3)当或时，与相似 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识， （1）由菱形的性质和确定为等腰三角形时，Q点必须在O点左侧，进而即可得出t值； （2）由勾股定理得出长，再由得出，进而即可求出t值； （3）分当时，和当时，两种情况讨论即可得出t值； 熟练掌握菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解决此题的关键． 【详解】（1）∵在菱形中，对角线，， ∴，， ∵为等腰三角形，， ∴， ∵从图①所示位置出发，沿方向匀速运动，速度为，运动时间为， ∴， ∴为等腰三角形时，Q点必须在O点左侧，如图所示， ， ∴， ∵速度为， ∴， ∴当t为2时，为等腰三角形； （2）∵四边形是菱形， ∴，，，， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∵从图①所示位置出发，沿方向匀速运动，速度为，运动时间为， ∴， ∴， ∵，如图所示， ∴，即， ∴（舍去）或， 因此，当t为时，； （3）存在t的值，使与相似，理由如下， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴当与相似时，与是对应边， ∴当时，，如图， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 当时，，如图， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当或时，与相似． 2．(24-25九上·山东青岛第五十九中学·期中)已知：如图，在中，，，．点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；过点作，交于点．同时，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设运动时间为（），解答下列问题：    (1)当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)当为何值时，； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若不存在，请说明理由，若存在，求出的值； (4)当为何值时，为等腰三角形？请直接写出答案． 【答案】(1)； (2)； (3)当的值为或时，； (4)当为或或时，为等腰三角形． 【分析】（）先由勾股定理求出，由四边形为平行四边形得，即，则，根据相似三角形的性质得出，然后代入求值即可； （）当，则，证明，根据性质得，然后代入求值即可； （）过作交于点，则，根据性质得，代入得，然后由，，，则，然后解方程即可求解； （）分三种情况当时，当时，当时，再根据勾股定理和相似三角形的判定与性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 如图，由题意得，，，则，    ∵四边形为平行四边形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，当，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在某一时刻，使，理由如下： 如图，过作交于点，    ∴， ∴， ∴， ∴， 由（）得得，，，则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，整理得：， 解得：，， ∴当的值为或时，； （4）解：如图，当时，过作交于点，    同理， ∴， 由（）得得，，，则， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，    ∴， 解得：； 如图，当时，过作交于点，    同理可得：，， ∴， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：（舍去），， 综上：当为或或时，为等腰三角形． 3．(24-25九上·山东青岛第三十九中学·期中)如图，在中，，点M从点A出发，沿折线以速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿方向以的速度向点A运动，点M到达点C时，点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线的对称点N，连接交于点E，连接．设运动时间为，请解答下列问题． (1)当t为何值时，？ (2)点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得与相似？若存在，请求出此刻的t值：若不存在，请说明理由； (3)点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得四边形的面积占面积的六分之五？ (4)当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)时，与相似 (3) (4)或 【分析】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角函数等知识，熟练利用三角函数表示线段的长是解题的关键． （1）当时，得，则，代入计算即可； （2）考虑两种情况，当或时，根据相似三角形的性质代入计算即可； （3）过点作的垂线段，交于点，证明，求得，再表示出的面积，即可解答； （4）分点在上或点在上，由轴对称性知，是等腰三角形，从而点为直角顶点，利用相似三角形性质表示出和或的长，由建立方程，进而解决问题． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， ， 当时， ， ， ， 解得， 时，； （2）解：如图，当时， ， ， 解得， 如图，当， ， ， 解得（舍去）， 综上，时，与相似； （3）解：如图，过点作的垂线段，交于点， ，， ， ， ， ， ， 当四边形的面积占面积的六分之五时，的面积占面积的六分之一， 可得， 解得（舍去）， ； （4）解：点是点关于直线的对称点， ，， 为等腰三角形， 当为直角三角形时，， ， ， 此时 为等腰直角三角形， 即， ①如图，当在上运动时，此时， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，符合题意， ②如图，当在上运动时，此时， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，符合题意， 综上所述，当或时，为直角三角形． 4．(24-25九上·山东济南高新区·期中)如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． (1)猜想：与的数量关系并证明； (2)连接，若，且F为中点，求的值； (3)若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 【答案】(1)猜想：，理由见解析 (2) (3)的值为或或． 【分析】（1）由题意得到，同角的余角相等，得到，即可得证； （2）根据等边对等角，等角的余角相等，得到，得到，设交于点G，证明，得到，证明，列出比例式求解即可； （3）分，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 四边形是矩形，， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， 设交于点G， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：或或．理由如下： 四边形是矩形， ，，， ①当时，， P是的中点， ， ， ， 即， 设，则， ，， ， ， ； ②当时，， ， 设，， 则，， ， ， 解得， ， 由①知， ， ， ， 的值为或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 5．(24-25九上·山东日照东港区新营中学·期中)如图1，扇形中，，，点P在半径上，连接． (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ①当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ②如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，，求的长，猜想并直接写出、、三者之间的数量关系； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着AP翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 【答案】(1)①   ②， (2) 【分析】（1）①如图所示，连接，根据折叠的性质可得是等边三角形，可得，再根据弧长公式即可求解； ②如图所示, 过点作, 垂足为点, 则, 根据题意可得, 由此即可求解; （2）如图所示, 将沿着翻折得, 过点作, 垂足为点, 过点作，垂足为点，则四边形是矩形，中, 可求出的长度, 再证, 由此即可求解. 【详解】（1）解：①如图所示, 连接, 由翻折可知，， ， ， 是等边三角形， ， ∴弧的长； ，理由如下， 如图所示，过点作垂足为点，则， ∵ ∴， 在与中, ， ∴， ∴，即， 又∵， ∴, , 即, ∴, ∴； （2）解：如图所示, 将沿着翻折得, 过点作, 垂足为点, 过点作，垂足为点，则四边形是矩形， 由折叠和（1）可知, , ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴, ，即， 解得， ． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查折叠的性质，圆的基础知识，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．(24-25九上·山东潍坊·期中)如图①，黄金矩形纸片中，，折出一个正方形后，余下的矩形的宽与长的比等于矩形的宽与长的比． (1)求黄金矩形的宽与长的比； (2)用黄金矩形纸片进行如下操作（如图②）： 第一步：折出正方形； 第二步：对折正方形，展开，折痕为，连接； 第三步：折叠纸片使落在所在的直线上，发现折痕恰好经过点A，展开，折痕与交于点M； 第四步：过点M作线段，垂足为R． 求证：矩形也是黄金矩形； (3)如图③，若点G为正方形的边上（不与端点重合）一动点，，连接，折叠纸片使落在上，点F的对应点为点N，折痕交于点M，过点M作线段，垂足为R．当四边形的周长为3时，直接写出矩形的周长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)6 【分析】（1）根据矩形的宽与长的比等于矩形的宽与长的比列方程求解即可； （2）设，证明，求出与的比即可判断； （3）设，则，设，则．连接，由折叠的性质可得：，，由四边形的周长为3，得，进而可得．证明，即可求得矩形的周长。 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ， ∵四边形为正方形， ， 设，则． ∵矩形的宽与长的比等于矩形的宽与长的比， ∴， 解得： （负数不合题意，舍去）， ， ． ∴黄金矩形的宽与长的比； （2）证明：设， ∵四边形为黄金矩形， ， ∵四边形为正方形， ， ． ， ， ∴， ∴， ， ， ∴． 即矩形的宽与长的比等于黄金比， ∴矩形也是黄金矩形； （3）解：矩形的周长为6． 理由： ∵四边形为正方形，， ，， ， ∴四边形为矩形， ，． 设，则，设，则．连接，如图， 由折叠的性质可得：，， ∵四边形的周长为3， ， ， ． ， ， ， ∴， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， ∴矩形的周长． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质是关键． 7．(24-25九上·山东济南东南片区·期中)某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： (1)【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的点，连接、，若，则线段与的数量关系为_____； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上的点，点是边上一点，连接、，若，求的值； (3)【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若，，求的值； (4)【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为_____． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）令与的交点为，根据正方形的性质证明，即可求解； （2）过点作于点，与的交点为，证明四边形是矩形， 得到，，再证明，即可求出的值； （3）由勾股定理，得出，再根据三角形的面积，得出，然后证明，即可求出的值； （4）连接、，利用折叠的性质，证明，得到，同（2）理可得：，即，则，作点关于的对称点，连接、、，则当、、三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理求出，即可得到的最小值． 【详解】（1）解：如图，令与的交点为， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点，与的交点为， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ； （3）解：如图，过点作于点，与的交点为， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ； （4）解：如图，连接、， 由折叠的性质可知，，，，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 同（2）理可得：，即， ， 作点关于的对称点，连接、、， ，，， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， ， 有最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 8．(24-25九上·山东淄博张店区·期中)如图（1），在四边形中，对角线平分，． (1)求证：； (2)小宇为了研究图（1）中线段之间的数量关系，设． ①建立模型：请求出关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； ②画出图象：请在如图（2）所示的平面直角坐标系中，画出①中该函数的图象； ③归纳性质：请写出①中该函数的一条性质：_____； (3)问边与边的和是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析；③函数的最小值是8（答案不唯一） (3) 【分析】本题是相似形综合题，考查相似三角形的判定和性质，动点问题，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）由相似三角形的判定可得结论； （2）①相似三角形的性质可得，即可求解； ②利用描点法画出函数图象即可； ③结合图象，可求解； （3）由，可求解． 【详解】（1）解：平分， ， ， ； （2）解：①△△， ， ，，， ， ； ②如图所示： ③函数的一条性质为：函数的最小值是8， 故答案为：函数的最小值是8（答案不唯一）； （3）解：存在； ， 又， ， ， ， ． 故边与边和的最小值为． 9．(24-25九上·山东菏泽单县·期中)【阅读材料】 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式，这种方法称之为配方法．例如，将．配方的目的不仅可以简化计算，还能利用完全平方的非负特性，解决一些数学问题．配方变形可以用来解我们第4章要学习的一元二次方程，还可以用来求第章二次函数的“最值”问题．例如：求代数式的最值． 解：因为   （分离常数项）   （提二次项系数）   （配方） 所以当时，代数式取得最小值3． 再如：求代数式的最值． 解：因为 所以当时，代数式取得最大值． 【材料理解】 时，代数式的最 （“大”或“小”）值为 ． 【迁移应用】 如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． 设厘米，试用含的代数式表示矩形工件的面积； 运用“配方法”求的最大值． 【答案】材料理解：，大，； 迁移应用：； 最大面积为平方厘米． 【分析】【材料理解】利用平方的非负性可以判断当时，代数式有最大值，且最大值为； 【迁移应用】设的长度是厘米，的长度是厘米，根据矩形对边平行可知，根据相似三角形对应边成比例可得，根据矩形的面积公式可得； 用配方法把写成的形式，再利用平方的非负性进行判断即可． 【详解】解：【材料理解】， ， ， ， 当时，， 故答案为：，大，； 【迁移应用】 设的长度是厘米，的长度是厘米， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 矩形面积． ， ， 当时，， 当的长度是厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为平方厘米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用、完全平方公式、配方法的应用，矩形的面积公式．解决本题的关键是利用配方法把一个多项式写成一个完全平方式与一个常数的和的形式，利用平方的非负性求代数式的最值． 10．(24-25九上·山东济南中区·期中)和是两个全等的三角形，绕点A旋转，，，． (1)如图1连接，，在绕点A旋转过程中，求的值； (2)如图2，在绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交的延长线于点F，求的长； (3)在绕点A旋转过程中，探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，请直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据题意可证明，再根据勾股定理求出和，最后通过两条边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似证明，即可求出的值； （2）根据斜中半及等腰三角形的性质可证明，得到，即可求出，再由得出，从而证明，根据相似三角形的性质得，最后代入即可求解； （3）分四种情况进行讨论：①当在上时，，②当在的延长线上时，，③当时，过点A作于点Q，④当时，过点A作于点Q，交于点N，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：C，D，E三点能构成直角三角形，理由如下： ①当在上时，，此时是直角三角形，如图， ∴； ②当在的延长线上时，，此时是直角三角形，如图， ∴； ③当时，是直角三角形，过点A作于点Q，如图， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ④当时，是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 综上所述，直角三角形的面积为或或或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、中位线定理、平行线的判定与性质、直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 11．(24-25九上·山东济南槐荫区·期中)    【问题情境】 （1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理，又称．欧几里得定理．：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．其符号语言是：如图1，在中，，垂足为，则：①，②，③；请你证明定理中的结论③． 【结论运用】 （2）如图2，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点在上，过点作，垂足为，连接． ①求证：； ②若，求的长． （3）如图3，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点是上一动点，过点作，垂足为，连接，取的中点，连接，当点在上运动时，是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解答；（2）①证明见解答；②的长为；（3）存在最小值，的最小值为 【分析】（1）由于点，得，而，所以，因为，所以，则，即可证明； （2）①由正方形的性质得，则，而，则，所以，推导出，再证明，得，则，所以，变形为，因为，所以； ②由，，得，则，而，则，所以，由相似三角形的性质得，则； （3）取的中点，连接、、，由正方形的性质得，，而，则，求得，由，得，由点为的中点，点为的中点，得，所以，则，所以存在最小值，的最小值为． 【详解】（1）证明：于点， ， ， ， ， ， ， ． （2）①证明：四边形是正方形，对角线、交于点， ， ， ， ， ， ， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②解：正方形的边长为6， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． （3）解：存在最小值，的最小值为， 理由：如图3，取的中点，连接、、，   正方形的边长为6，对角线、交于点， ，，， 于点， ， ， ， ， ， 点为的中点，点为的中点， ， ， ， 存在最小值，的最小值为． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．(24-25九上·山东济南章丘区·期中)如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是________，位置关系是________； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断中与的关系，并说明理由． (3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，； （2）首先推导出，得到，，再由（1）同理说明结论成立； （3）由（2）知，，且，最大时，的面积最大，当点在的延长线上时，最大值为，进而求得，，进而利用三角形的面积计算公式解答即可． 【详解】（1）解：点，是，的中点， ∴，， 点，是，的中点， ∴，， ，， ， ， ∵， ， ∵， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：，；理由如下： 由旋转知，， ，， ， ，， 利用三角形的中位线得，，， ； 同（1）的方法得， ， 同（1）的方法得， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：面积的最大值为；理由如下： 由（2）知，，且， 最大时，的面积最大， 当点在的延长线上时，最大值为， ， ， 面积的最大值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理等知识，掌握中位线的性质，旋转的性质是解题的关键． 13．(23-24九上·山东济南东南片区·期中)如图，在中，，点D在射线上，连接，将绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)当点D落在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是__________，__________； ②如图2，当时，请判断线段与的数量关系，并给出证明； (2)当时，若，过点A作交于点N，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①，；②，见解析 (2)或 【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）①由可证可得，即可求解； ②通过证明，可得，即可求解； （2）分两种情况讨论，由股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）①，， ， 是等边三角形， ， 将绕点D逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ； 故答案为：，； ②，理由如下： ， ， 将绕着点D逆时针旋转，得到 ， ， ， ； （2）如图，当点D在线段上时， ， ， ， ， 设，则，，， ， ， ， 如图，当点D在线段的延长线上时 ， ， ， 设，则，，， ， ， ， ； 综上所述，或． 14．(24-25九上·山东枣庄峄城区·期中)问题背景： 如图（1），在矩形中，点E，F分别是的中点，连接，求证：． 问题探究： 如图（2），在四边形中，，点E是的中点，点F在边上，与交于点G，求证：． 【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，，根据点，分别是，的中点，可得，即可求证； 问题探究：取的中点，连接、，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证 【详解】问题背景： 证明：∵四边形是矩形， ，， ∵，分别是，的中点， ， 即， ； 问题探究： 证明：如图2，取的中点，连接、， ∵E是的中点，是的中点， ，， 又∵， ， ∵， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又∵，是的中点， ， ， ， 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，正确作出辅助线是解题的关键． 15．(24-25九上·山东济南历下区·期中)（1）在和中，，，． ①如图1，当与重合时，　　　； ②如图2，绕点逆时针旋转一定角度，连接，，的值是否改变？请说明理由； （2）如图3，正方形的边长为2，为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角，，连接，，当时，求的长． 【答案】（1）①②不改变，理由见详解（2） 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质．正确找到相似三角形并证明是解题的关键． （1）①由等腰直角三角形的性质得到，根据，； ②要判断的值是否改变，需要利用三角形相似的知识．通过证明和相似来分析与的关系，进而判断的值是否改变． （2）涉及到正方形的性质，三角形相似的知识以及等腰直角三角形的性质．利用这些性质找到三角形之间的关系，通过设，根据勾股定理和三角形相似的关系来求解的值． 【详解】解：（1）①∵在和中，，，． ∴和均为等腰直角三角形，， 则， ∴， 故答案为：； ②不发生变化，理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转一定角度，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）       连接，过作垂足为， 设 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 则， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵、是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ∴是的中点， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 16．(23-24九上·山东青岛北区·期中)【发现与思考】 如图①，在矩形中，对角线与相交于点，点是中点，连接，，与交于点，，． （1）直接写出线段、的长度：　　，　　； （2）直接写出线段与的比值：　　； 【方法与探究】 如果将【发现与思考】中的“在矩形中”这一条件变得更为一般化，改为“在平行四边形中”——如图②，那么条件变了，线段与的比值是否保持不变？请说明理由； 【拓展与应用】 如图③，在中，中线与中线相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，若，，则请直接写出线段的长度：　　． 【答案】【发现与思考】2，5；（2）；【方法与探究】不变；【拓展与应用】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，根据三角形中位线定理得到；根据勾股定理即可得到结论； （2）由（1）知，是的中位线，根据相似三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，于是得到结论； 【方法与探究】根据平行四边形的性质得到，，根据三角形中位线定理得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； 【拓展与应用】如图③，过作交于，过作交于，交于，根据三角形中位线定理和相似三角形的性质得到结论． 【详解】解：【发现与思考】（1）四边形是矩形， ，，， 点是中点， ， 是的中位线， ； ； 故答案为：2，5； （2）由（1）知，是的中位线， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ； 故答案为：； 【方法与探究】不变， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，， 点是中点， ， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ； 【拓展与应用】如图③，过作交于， 是的中线， ， ， 是的中位线， ， 是的中线， ， ， ， ， ， 如图③，过作交于，交于， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 17．(24-25九上·山东济宁泗水县·期中)综合与实践 【发现问题】 如图，在和中，，，，连接，，延长交于点．可得，； 【类比探究】 （1）如图，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系为_________； 【实践应用】 （3）正方形中，，若平面内存在点满足，，请直接写出的面积． 【答案】（1），，理由见解析 （2） （3） 【分析】（1）由已知条件及等式的性质可得，再结合已知条件，，利用可证得，于是可得，，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，然后利用三角形外角的性质可得，化简即可得出结论； （2）由已知条件和均为等腰直角三角形可得，，，由等式的性质可得，再结合已知条件，，利用可证得，于是可得，由三线合一可得是边上的中线，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，即，由线段的和与差可得，然后等量代换即可得出结论； （3）连接，以为直径作圆，由题意，取满足条件的点，，则可知，，由正方形的性质可得，，由勾股定理可得，，连接，过点作于点，在上截取，由同弧所对的圆周角相等可得，再结合已知条件，利用可证得，于是可得，，由等式的性质可得，由（2）可得，进而可得，由三角形的面积公式可得，据此即可求出的面积；延长至点，使得，连接，，由邻补角互补可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由勾股定理可得，由于，，进而可得，由，可得，进而可证得，于是可得，则，过点作于点，由垂线的性质可得，设，则，在中，根据勾股定理可得，在中，根据勾股定理可得，于是可得，即，解方程即可求出，由勾股定理可得，由三角形的面积公式可得，据此即可求出的面积；综上，即可求出的面积． 【详解】解：（1），，理由如下： ， ， 即：， 又，， ， ，， ，， ， ； （2），理由如下： 和均为等腰直角三角形， ，，， ， 即：， ， ， ，， 是边上的中线， 又， ， 即：， ， ， 故答案为：； （3）如图，连接，以为直径作圆， 由题意，取满足条件的点，，则可知： ，， 四边形是正方形，， ，，， ， ， ， 连接，过点作于点，在上截取， ，， ， ，， ， ， 由（2）可得：， ， ； 如图，延长至点，使得，连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， 设，则， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 即：， 解得：， 即：， ， ； 综上，的面积为：． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三线合一，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等式的性质，线段的和与差，度的圆周角所对的弦是直径，正方形的性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，三角形的面积公式，利用邻补角互补求角度，相似三角形的判定与性质，垂线的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 18．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)如图①，在中，，，．，垂足为．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，连接，．解答下列问题： (1)求的长度； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使的面积与的面积之比是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (4)如图②，点是点关于的对称点，连接，当为何值时，？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据勾股定理可求出，再结合等积法可求出，最后再利用勾股定理求解即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得出，即可列出关于t的等式，求解即可； （3）由三角形面积公式和面积的比可求出，过点P作于点E，即易证，得出，代入数据，即可用t表示出的长，从而可列出关于t的等式，求解即可； （4）由题意可判断点共线，过点D作交于点F，易证，，得出，．根据轴对称的性质可求出，代入数据，即可求出，再代入中，解出t的值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． ∵， ∴，即， 解得：， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴． 由题意可知． ∵要使点在线段的垂直平分线上， ∴即可，即， 解得：． （3）解：∵，， ∴． ∵， ∴． 如图，过点P作于点E， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍），， ∴的值为； （4）解：∵， ∴点共线，如图，过点D作交于点F， ∴， ∴． ∵点是点关于的对称点， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 解得：（舍），（舍）， ∴的值为． 【点睛】本题考查勾股定理，等积法的应用，线段垂直平分线的性质，三角形相似的判定和性质，轴对称的性质，一元一次方程和一元二次方程的应用．利用数形结合的思想是解题关键． 19．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，垂直平分，交于点，连接并延长，交于点，连接、，与交于点，以、为邻边作平行四边形，设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，是菱形？请说明理由． (2)当为何值时，点是的中点？请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在某一时刻，使得，此时的值为 【分析】（1）连接，交于点，利用菱形的性质得到，利用矩形的性质和平行线的判定定理得到为的中位线，则点为的中点，由此条件列出关于的方程解答即可； （2）由题意得：，利用线段垂直平分线的定义和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）由题意得：，则．利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质求得再利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质列出关于的方程解答即可． 【详解】（1）解：连接，交于点，如图， 在矩形中，， 是菱形， 四边形为矩形， 为的中位线， 点为的中点， 由题意得：， 当为时，是菱形； （2）解：四边形为矩形， 点是的中点， 由题意得：， 垂直平分， 当为时，点是的中点； （3）解：存在某一时刻，使得，此时的值为．理由： 由题意得：，则， 由(2)知：， 四边形为矩形， 若， 存在某一时刻，使得，此时的值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形，菱形的性质是解题的关键． 20．(24-25九上·山东青岛·期中)如图①，矩形与叠放在一起（点，分别与点，重合，点落在对角线上），已知，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为；设它们的运动时间为（）（），连接．解答下列问题： (1)求的长； (2)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (3)是否存在某一时刻，使得的面积是矩形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)如图③，点是点关于的对称点，连接，，当为何值时，的值最小？ 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）可证得，从而得出，进而得出； （2）根据点在线段的垂直平分线上得出，从而，从而求得结果； （3）过作于，可得出，从而得出，求得，根据的面积是矩形面积的列方程求解，得出结果； （4）连接，可推出当，，共线时，的值最小，连接，，设交于，作于，作于，可推出，，从而得出．利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故当为时，点在线段的垂直平分线上； （3）解：存在的值，使得的面积是矩形面积的，理由如下∶ 如图，过作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵的面积是矩形面积的， ∴， ∴， 解得负值舍去， ∴当时，的面积是矩形面积的， （4）解：如图，连接， ∵点是点关于的对称点， ∴， ∵， ∴当，，共线时，的值最小， 如图，连接，，设交于，作于，作于， 由知，，， 同理可得，， ∵点是点关于的对称点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形， '∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定及性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线表示出关键的数量． 2 / 65 1 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 相似三角形压轴题 1．(24-25九上·山东青岛·期中)如图，在菱形中，对角线，，在中，，边和重合，边和重合．如图②，从图①所示位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，．设运动时间为．解答下列问题： (1)当t为何值时，为等腰三角形？ (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t值，使与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．(24-25九上·山东青岛第五十九中学·期中)已知：如图，在中，，，．点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；过点作，交于点．同时，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设运动时间为（），解答下列问题：    (1)当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)当为何值时，； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若不存在，请说明理由，若存在，求出的值； (4)当为何值时，为等腰三角形？请直接写出答案． 3．(24-25九上·山东青岛第三十九中学·期中)如图，在中，，点M从点A出发，沿折线以速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿方向以的速度向点A运动，点M到达点C时，点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线的对称点N，连接交于点E，连接．设运动时间为，请解答下列问题． (1)当t为何值时，？ (2)点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得与相似？若存在，请求出此刻的t值：若不存在，请说明理由； (3)点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得四边形的面积占面积的六分之五？ (4)当t为何值时，为直角三角形？ 4．(24-25九上·山东济南高新区·期中)如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． (1)猜想：与的数量关系并证明； (2)连接，若，且F为中点，求的值； (3)若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 5．(24-25九上·山东日照东港区新营中学·期中)如图1，扇形中，，，点P在半径上，连接． (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ①当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ②如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，，求的长，猜想并直接写出、、三者之间的数量关系； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着AP翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 6．(24-25九上·山东潍坊·期中)如图①，黄金矩形纸片中，，折出一个正方形后，余下的矩形的宽与长的比等于矩形的宽与长的比． (1)求黄金矩形的宽与长的比； (2)用黄金矩形纸片进行如下操作（如图②）： 第一步：折出正方形； 第二步：对折正方形，展开，折痕为，连接； 第三步：折叠纸片使落在所在的直线上，发现折痕恰好经过点A，展开，折痕与交于点M； 第四步：过点M作线段，垂足为R． 求证：矩形也是黄金矩形； (3)如图③，若点G为正方形的边上（不与端点重合）一动点，，连接，折叠纸片使落在上，点F的对应点为点N，折痕交于点M，过点M作线段，垂足为R．当四边形的周长为3时，直接写出矩形的周长． 7．(24-25九上·山东济南东南片区·期中)某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： (1)【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的点，连接、，若，则线段与的数量关系为_____； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上的点，点是边上一点，连接、，若，求的值； (3)【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若，，求的值； (4)【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为_____． 8．(24-25九上·山东淄博张店区·期中)如图（1），在四边形中，对角线平分，． (1)求证：； (2)小宇为了研究图（1）中线段之间的数量关系，设． ①建立模型：请求出关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； ②画出图象：请在如图（2）所示的平面直角坐标系中，画出①中该函数的图象； ③归纳性质：请写出①中该函数的一条性质：_____； (3)问边与边的和是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 9．(24-25九上·山东菏泽单县·期中)【阅读材料】 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式，这种方法称之为配方法．例如，将．配方的目的不仅可以简化计算，还能利用完全平方的非负特性，解决一些数学问题．配方变形可以用来解我们第4章要学习的一元二次方程，还可以用来求第章二次函数的“最值”问题．例如：求代数式的最值． 解：因为   （分离常数项）   （提二次项系数）   （配方） 所以当时，代数式取得最小值3． 再如：求代数式的最值． 解：因为 所以当时，代数式取得最大值． 【材料理解】 时，代数式的最 （“大”或“小”）值为 ． 【迁移应用】 如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． 设厘米，试用含的代数式表示矩形工件的面积； 运用“配方法”求的最大值． 10．(24-25九上·山东济南中区·期中)和是两个全等的三角形，绕点A旋转，，，． (1)如图1连接，，在绕点A旋转过程中，求的值； (2)如图2，在绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交的延长线于点F，求的长； (3)在绕点A旋转过程中，探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，请直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 11．(24-25九上·山东济南槐荫区·期中)    【问题情境】 （1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理，又称．欧几里得定理．：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．其符号语言是：如图1，在中，，垂足为，则：①，②，③；请你证明定理中的结论③． 【结论运用】 （2）如图2，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点在上，过点作，垂足为，连接． ①求证：； ②若，求的长． （3）如图3，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点是上一动点，过点作，垂足为，连接，取的中点，连接，当点在上运动时，是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值．若不存在，请说明理由． 12．(24-25九上·山东济南章丘区·期中)如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是________，位置关系是________； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断中与的关系，并说明理由． (3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 13．(23-24九上·山东济南东南片区·期中)如图，在中，，点D在射线上，连接，将绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)当点D落在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是__________，__________； ②如图2，当时，请判断线段与的数量关系，并给出证明； (2)当时，若，过点A作交于点N，猜想与的数量关系并说明理由． 14．(24-25九上·山东枣庄峄城区·期中)问题背景： 如图（1），在矩形中，点E，F分别是的中点，连接，求证：． 问题探究： 如图（2），在四边形中，，点E是的中点，点F在边上，与交于点G，求证：． 15．(24-25九上·山东济南历下区·期中)（1）在和中，，，． ①如图1，当与重合时，　　　； ②如图2，绕点逆时针旋转一定角度，连接，，的值是否改变？请说明理由； （2）如图3，正方形的边长为2，为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角，，连接，，当时，求的长． 16．(23-24九上·山东青岛北区·期中)【发现与思考】 如图①，在矩形中，对角线与相交于点，点是中点，连接，，与交于点，，． （1）直接写出线段、的长度：　　，　　； （2）直接写出线段与的比值：　　； 【方法与探究】 如果将【发现与思考】中的“在矩形中”这一条件变得更为一般化，改为“在平行四边形中”——如图②，那么条件变了，线段与的比值是否保持不变？请说明理由； 【拓展与应用】 如图③，在中，中线与中线相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，若，，则请直接写出线段的长度：　　． 17．(24-25九上·山东济宁泗水县·期中)综合与实践 【发现问题】 如图，在和中，，，，连接，，延长交于点．可得，； 【类比探究】 （1）如图，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系为_________； 【实践应用】 （3）正方形中，，若平面内存在点满足，，请直接写出的面积． 18．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)如图①，在中，，，．，垂足为．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，连接，．解答下列问题： (1)求的长度； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使的面积与的面积之比是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (4)如图②，点是点关于的对称点，连接，当为何值时，？ 19．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，垂直平分，交于点，连接并延长，交于点，连接、，与交于点，以、为邻边作平行四边形，设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，是菱形？请说明理由． (2)当为何值时，点是的中点？请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 20．(24-25九上·山东青岛·期中)如图①，矩形与叠放在一起（点，分别与点，重合，点落在对角线上），已知，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为；设它们的运动时间为（）（），连接．解答下列问题： (1)求的长； (2)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (3)是否存在某一时刻，使得的面积是矩形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)如图③，点是点关于的对称点，连接，，当为何值时，的值最小？ 2 / 65 1 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $