精品解析：北京市朝阳区东方德才学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

北京市朝阳区东方德才学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案； 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：D． 2. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（） A. B. C. 3 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 直接把代入一元二次方程得到关于的方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程， 得 解得． 故选：C． 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，有最小值为2 B. 当时，有最大值为2 C. 当时，有最小值为2 D. 当时，有最大值为2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出该函数最值，明确二次函数的性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵， ∴该函数图像开口向上，对称轴为， 当时，取得最小值2， 故选：A． 4. 在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有圆、正六边形，共两个． 故选：B． 5. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，由有两个相等的实数根，得，代入数值化简计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴ 故选：B． 6. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握二次函数图象平移规律． 二次函数图象平移规律：（横坐标）左加右减，（纵坐标）上加下减．根据此规律即可求得新解析式． 【详解】解：依题得：抛物线向左平移个单位长度可得：； 再向上平移个单位长度可得， 故选：． 7. 北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续．某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设周平均增长率为，则第二周的游客人数为，第三周的游客人数为第二周人数再乘以，即，因此列出方程即可． 【详解】解：设周平均增长率为，则第二周的游客人数为，第三周的游客人数为第二周人数再乘以，即． 根据题意，第三周人数为8470，因此方程为： 故选：A． 8. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ） A. “20”左边的数是16 B. “20”右边的“□”表示5 C. 运算结果小于6000 D. 运算结果可以表示为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意， 故选：D． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据未知数的最高次数是2，且二次项的系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， ∴． 故答案为：． 10. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题可采用直接开平方法或因式分解法求解一元二次方程，依据平方根的定义或因式分解的性质得出方程的解． 【详解】解：方法一：直接开平方法 移项，得 根据平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数 则，即 故，． 方法二：因式分解法 将方程左边因式分解，得 则或 故，． 11. 若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方． 【详解】解：由题意得 ：， 即： 即． 故． 故答案为：10． 12. 抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线的解析式化为顶点式．将抛物线解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 13. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是________（写出一个即可）. 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当时，y随着x的增大而减小可得m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴时，y随x增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：4（答案不唯一）． 14. 如图，在中，弦相交于点，则的度数为______． 【答案】140 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理的应用，根据对顶角相等得，由三角形内角和定理得，再根据圆周角定理得． 【详解】解：∵ ∴ 又 ∴， ∴， 故答案为：140 15. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，①根据抛物线开口向下可得，对称轴在y轴右侧，得，抛物线与y轴正半轴相交，得，进而即可判断； ②根据抛物线对称轴是直线，即，可得进而可以判断；③当时，，即，根据,可得，即可判断；④根据顶点坐标和进而可以判断． 【详解】解：①根据抛物线开口向下可知：， ∵对称轴在y轴右侧，即：， ∴， ∵抛物线与y轴正半轴相交， ∴， ∴， ∴①错误； ②∵抛物线对称轴是直线，即， ∴ ∴，故②正确； ③由图象知，与关于对称轴对称， 当时，， 即， ∵, ∴，故③正确； ④∵, ∴， 如果, 那么, ∵， ∴, 根据抛物线与y轴的交点，可知， ∴结论④正确． 故答案为：②③④． 16. 某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下： ①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G； ②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行； ③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行； ④完成各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/天 11 15 28 17 16 31 25 （1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少________天完成； （2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是______万元． 【答案】 ①. 86 ②. 38 【解析】 【分析】本题主要考查了逻辑推理，有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出算式准确计算． （1）在完成C的同时完成A、B，然后完成D，E的同时完成F，最后完成G，列式计算即可； （2）根据题意可以缩短A工序2天，缩短C工序4天，缩短D工序2天，然后列出算式进行计算即可． 【详解】解：（1）在完成C的同时完成A、B，最少需要28天，完成D，E的同时完成F最少需要天，完成G需要25天， ∴在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少需要： （天）； 故答案为：86； （2）（天）， ∴至少需要将整个任务缩短6天， ∵B，E，F，G不可缩短， ∴工序最多可以缩短天， ∵天， ∴只缩短工序2天，A工序可以不缩短，然后工序每缩短1天，C工序就要缩短1天， ∴当缩短A工序2天，缩短C工序4天，缩短D工序2天，正好可以将工期缩短到80天，此时增加的投入最少，且最少为： （万元）， 故答案为：38． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法解一元二次方程即可，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ． ． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根为2，求a的值． 【答案】（1） 证明：∵， ， ． ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的解的含义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）把代入，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有一个根为2， ∴， 解得：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形，并写出点的坐标； （2）求点B经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； 点的坐标为； （2） 【解析】 【分析】本题考查画旋转图形、求弧长，熟练掌握旋转性质是解答的关键． （1）将点A、B分别绕点O顺时针旋转得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可； （2）根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图知， ，， ∴点B在旋转过程中所走过的路径长为． 20. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 【答案】分米 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴， ∵分米，C为的中点， ∴分米， 设圆的半径为x分米，则分米， ∵分米， ∴分米， 在中，由勾股定理， ∴， ∴， 即拱门所在圆的半径是15分米． 21. 已知二次函数几组x与y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … （1）求此二次函数的表达式； （2）在平面直角坐标系中画出函数图象，结合图象直接写出当x取何值时，． 【答案】（1） （2） 解：根据表格数据描点连线绘制函数图象如下： 从函数图象看，当时，x的取值范围． 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）从表格选出点的坐标，用待定系数法即可求解； （2）根据表格数据描点连线绘制函数即可；观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，设表达式为， 把代入得， ∴，即； 【小问2详解】 略 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）用描点法画出该二次函数的图象； （3）当时，对于x的每一个值，都有，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）二次函数的解析式为 （2）二次函数的图象如图所示： （3）k的取值范围 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，二次函数与不等式(组)，数形结合是解题的关键； （1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）利用描点法画出所给函数的图象即可； （3）由于当直线经过点时，利用一次函数和二次函数的性质，当时，函数的值大于二次函数的值 【小问1详解】 点在二次函数的图象上， ，解得． 二次函数的解析式为． 【小问2详解】 列表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 3 … 【小问3详解】 当直线经过点时解得，此时函数与二次函数的交点为和， 观察图象，当时，函数的值大于二次函数的值， 所以当时，对于x的每一个值，都有，k的取值范围． 23. 如图，为的直径，弦于，连接，过作，交于点，连接，过作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵C，A，D，F在上，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、矩形的判定与性质． （1）由题意证明半径，即可根据切线的判定定理证明是的切线； （2）根据题意连接，根据圆周角定理和中位线性质得出，进而依据等边三角形和四边形是矩形，最后结合图形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴是的直径， ∴， ∵直径于E， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴E为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 24. 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果围成的面积为150平方米的小花园，求的长． （3）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）的长为 （3）当为时，小花园的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，关键是根据函数的性质求最值． （1）首先根据矩形的性质，由花园的边长为，可得，然后根据矩形面积即可求得与之间的函数关系式，又由墙长，即可求得自变量的的范围； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）将利用配方法转化为顶点式，结合自变量的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴花园的面积为：， ∵，， ∴，， ∴， ∴与之间的函数关系式为： ； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 解得或（不合题意，舍去）， 答：的长为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴当时，有最大值，最大值为200． 答：当为时，小花园的面积最大，最大面积是． 25. 某景观公园计划修建一个人工喷泉，从垂直于地面的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为距地面的竖直高度为，获得数据如下： x（米） 0 0.5 2.0 3.5 5 y（米） 1.67 2.25 3.00 2.25 0 小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图像； （2）直接写出水流最高点距离地面的高度为_______米； （3）求该抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围； （4）结合函数图像，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪水平距离处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为_______m．（结果精确到） 【答案】（1） 将以上坐标在如下图中找出并连接成光滑的曲线： ； （2） （3）; （4） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式． （1）找出表中所给的点在平面直角坐标系中，将各点连接成光滑的曲线即可； （2）根据图像及表中数据可知本题答案； （3）根据图像得知二次函数对称轴为，写出二次函数顶点式，再用待定系数法代入图上一点即可求得未知参数即为本题答案再根据实际问题意义，即可确定自变量的取值范围； （4）将代入抛物线解析式求出的值即为本题答案． 【小问1详解】 解：根据表中数据可知在图像上的点坐标分别为：， 【小问2详解】 解：通过表中数据得知，当时水流最高，此时水流到达地面距离为米， 【小问3详解】 解：设二次函数解析式为， 由（2）知，对称轴为，最高点为， ∴顶点坐标为， ∴， ∴把代入中得： ，解得：， ∴抛物线表达式为：; 【小问4详解】 解：根据题意把代入中得： ， ∵， ∴大理石雕塑的高度约为m． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点，在抛物线上，若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（）把代入解析式，则有，利用对称轴即可求解； （）根据，中横坐标与对称轴的距离结合即可求解； 此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵经过点， ∴，整理得：， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 由（）得：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴的左侧且距离为，在对称轴的右侧且距离为， 当时，， ∵， ∴根据图象可知，点到对称轴的距离比到对称轴距离大， ∴， 解得：， ∴的取值范围为． 27. 在中，，，点为的延长线上一点，连接，以为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】（1） 补全图形如图所示； （2） 证明：， ， 以为中心，将线段顺时针旋转 得到线段， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，即可求解； （2）由余角的性质可求解； （3）由“”可证，可得，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 线段，，之间的数量关系是， 理由如下：过点作交的延长线于点． ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在 与 中， ， ． ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d，则称点P为图形W的“倍点”． （1）如图1，图形W是半径为1的⊙O． ①图形W上任意两点间的距离的最大值d为_________； ②在点（0，2） ，（3，3），（，0）中，⊙O的“倍点”是________； （2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，已知点A（，1），若点E（，3） 是正方形ABCD的“倍点”，求的值； （3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的⊙O上存在MN的“倍点”，直接写出满足条件的点T所构成的图形的面积． 【答案】（1）① 2；② ；（2）t的值为3或；（3）π 【解析】 【分析】（1）①根据定义解答即可；②分别找出的最大值，再根据定义判断即可； （2） 如图所示，正方形ABCD上的任意两点间距离的最大值为．若点E（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，则点E到ABCD上的点的最大距离恰好为． 分， 和 分别讨论即可求解； （3）分线段MN在内部和在外部两种情况讨论即可. 【详解】（1）①圆上两点之间的最大距离是直径2，根据定义可知d= 2， 故答案为：2； ②由图可知，故不是图形W的“倍点”； ，故不是图形W的“倍点”；，当Q（1，0）时，=2d，故P为图形W的“倍点”； 故答案为：； （2）如图所示，正方形ABCD上的任意两点间距离的最大值为． 依题意，若点E（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，则点E到ABCD上的点的最大距离恰好为． 当时，点E到ABCD上的点的最大距离为EC的长． 取点H（1，3），则CH⊥EH且CH=4，此时可求得EH=4，从而点E的坐标为，即； 当时，点E到ABCD上的点的最大距离为ED的长．由对称性可得点E的坐标为，即． 当时，显然不符合题意． 综上，t的值为3或． （3）MN上d=2，2d=4， 当线段MN在内部时，EM=4, TM=1, , ∴小圆的半径是 , 同理，当线段MN在外部时， ∴大圆的半径是 , ， 故点T所构成的图形的面积为. 【点睛】此题考查考查了一次函数的性质，图形上两点间的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市朝阳区东方德才学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 2. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（） A. B. C. 3 D. 15 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，有最小值为2 B. 当时，有最大值为2 C. 当时，有最小值为2 D. 当时，有最大值为2 4. 在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续．某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ） A. “20”左边的数是16 B. “20”右边的“□”表示5 C. 运算结果小于6000 D. 运算结果可以表示为 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为____________． 10. 方程的解是______． 11. 若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为_______． 12. 抛物线的顶点坐标是__________． 13. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是________（写出一个即可）. 14. 如图，在中，弦相交于点，则的度数为______． 15. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是______． 16. 某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下： ①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G； ②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行； ③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行； ④完成各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/天 11 15 28 17 16 31 25 （1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少________天完成； （2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是______万元． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根为2，求a的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形，并写出点的坐标； （2）求点B经过的路径长（结果保留）． 20. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 21. 已知二次函数几组x与y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … （1）求此二次函数的表达式； （2）在平面直角坐标系中画出函数图象，结合图象直接写出当x取何值时，． 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）用描点法画出该二次函数的图象； （3）当时，对于x的每一个值，都有，直接写出k的取值范围． 23. 如图，为的直径，弦于，连接，过作，交于点，连接，过作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24. 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果围成的面积为150平方米的小花园，求的长． （3）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 25. 某景观公园计划修建一个人工喷泉，从垂直于地面的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为距地面的竖直高度为，获得数据如下： x（米） 0 0.5 2.0 3.5 5 y（米） 1.67 2.25 3.00 2.25 0 小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图像； （2）直接写出水流最高点距离地面的高度为_______米； （3）求该抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围； （4）结合函数图像，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪水平距离处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为_______m．（结果精确到） 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点，在抛物线上，若，求的取值范围． 27. 在中，，，点为的延长线上一点，连接，以为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系． 28. 在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d，则称点P为图形W的“倍点”． （1）如图1，图形W是半径为1的⊙O． ①图形W上任意两点间的距离的最大值d为_________； ②在点（0，2） ，（3，3），（，0）中，⊙O的“倍点”是________； （2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，已知点A（，1），若点E（，3） 是正方形ABCD的“倍点”，求的值； （3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的⊙O上存在MN的“倍点”，直接写出满足条件的点T所构成的图形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $