精品解析：四川省仪陇中学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

仪陇中学2025--2026学年度上期第二次月考高一数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.) 1. 设命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果. 【详解】因为命题p：，是全称命题， 结合特称命题的否定是全称命题， 其否定是，. 故选：B 2. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意直接求解即可. 【详解】解：因为，所以． 故选：D． 3. 对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选:C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指对数运算和对数函数的图象性质可得结果. 【详解】，所以． 故选：A. 5. 《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】是半圆的半径，为圆的直径，，由射影定理可知，，在中，，，当 与重合时，，所以，故选D. 6. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数为奇函数，可排除B、D项，再由的函数值的分布，可判定选项A符合题意，即可求解. 【详解】由函数，可得的定义域为， 且，所以函数为奇函数， 则函数的图象关于 轴对称，可排除B、D项； 当时，可得，所以； 当时，可得，所以， 所以选项A中的图象符合题意，故函数的图象为选项A. 故选：A. 7. 已知函数满足，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别将替换为和，即可联立方程求解. 【详解】当时，（1） 在（1）中将替换为，则 （2） 在（1）中将替换为，则 （3） 可得：且 故选：B. 8. 已知函数，，下列说法错误的是（ ） A. 的值域为 B. 若有2个零点，则或 C. 若的3个零点分别为：，，，则的取值范围为 D. 若有1个零点，则或 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，即可得到的值域，判断A选项，将的零点问题转化为的图象与函数的图象的交点的问题，数形结合即可判断B，C，D三个选项. 【详解】作出函数的图象， 对于A选项，当时，，当时，， 的值域为，故A正确； 令，则， 对于B选项，若有2个零点，则的图象与有两个交点，则或，故B正确； 对于C选项，若的3个零点，则的图象与有三个交点，则， ，， 且，则， ，故C正确； 对于D选项，若有1个零点，则的图象与有一个交点，则或，故D错误. 故选：D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.) 9. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数是指数函数 B. 函数的单调增区间是 C. 若则 D. 函数的图象必过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据指数函数的定义判断；B选项，复合型函数的单调性根据同增异减来判断；C选项，要结合函数的单调性判断；D选项，指数函数过定点，令即可求得. 【详解】A选项，由指数函数定义得函数不是指数函数A错； B选项，函数中，，在上递增，在上递减，因此函数的单调增区间是，B正确； C选项，时，由得，C错； D选项，函数中，由得，即函数图象过点，D正确． 故选：BD 10. 关于函数的零点，下列选项说法正确的是（　　） A. 是的一个零点 B. 在区间内存在零点 C. 至少有2零点 D. 的零点个数与的解的个数相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据零点的定义和零点存在定理，结合选项逐个判断. 【详解】因为，所以是的一个零点，A不正确； 因为，， 所以在区间内存在零点，B正确； 令，得， 因为方程的判别式，且不是的根， 所以有3个零点，C正确； 由零点的定义可知D也是正确的. 故选：BCD. 11. 设函数的定义域为，若存在，使得，则称是函数的二阶不动点.下列各函数中，有且仅有一个二阶不动点的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先定义一阶不动点，且得到二阶不动点包括两种情况，且证明出当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价，A选项，找到一阶不动点，并画出函数图象，得到有且仅有一个二阶不动点；B选项，找到两个二阶不动点，不满足要求；C选项，单调递增，画出函数图象，找到仅有一个一阶不动点，即仅有一个二阶不动点，C正确；D选项，寻找到不止一个二阶不动点，D错误. 【详解】若，称为一阶不动点， 显然若，则满足，故一阶不动点显然也是二阶不动点， 若，则有，即都在函数的图象上，即上存在两点关于对称，此时这两点的横坐标也为二阶不动点， 下证：当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价， 因为，若，因为单调递增，所以， 即，矛盾， 若，因为单调递增，所以，即，矛盾， 综上：当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价； 由题意得：只需与直线的交点个数为1， A选项，，解得：，有且仅有1个根， 画出与的图象，如下： 显然上不存在两点关于对称， 综上：有且仅有一个二阶不动点，满足要求，A正确； B选项，令，定义域为， 显然，则均为的二阶不动点，不满足要求，B错误； C选项，定义域为R，单调递增，只需寻找一阶不动点即可， 令，整理得：， 令，则，单调递减， 再同一坐标系总画出两函数与图象，如下： 两函数只有1个交点，满足要求，C正确； 令，若或，有，即，无解， 若，有，即， 解得：，其中， 故舍去， 又，且， 故也是二阶不动点，D错误； 故选：AC 【点睛】结论点睛：函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.) 12. 已知函数为奇函数，且当时，则当时，________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质进行求解即可. 【详解】因为函数为奇函数， 所以当时，， 故答案为： 13. 设矩形（）的周长为20，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点P，设，则的最大面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，由图形对称可得，，在中，由勾股定理可得，求出，利用基本不等式求出最值. 【详解】设，由题可得，则， 又，，，， 在中，，即， 解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以面积的最大值为. 故答案为：. 14. 在数学中，高斯函数是一个重要的函数，它表示不超过的最大整数，例如，.已知函数（，且，若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义，作出的图象，再求出图象关于原点对称的图象对应的函数解析式，由交点个数并结合图象列式求解. 【详解】解：根据新定义，作出的图象如下： 由的图象上恰有3对点关于原点对称， 得函数图象关于原点对称的图象与，的图象有3个交点， 由，得， 则， 因此函数的图象与的图象恰有3个交点， 当时，函数的图象与的图象只有2个交点，不符合题意； 则，即， 解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知． （1）求的定义域； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）的定义域为的定义域为； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据分母不为零可得的定义域，易知的定义域为； （2）将分别代入计算即可； （3）先计算出的值，再代入即可. 【小问1详解】 对于，因为分母不为，所以，解得； 因此的定义域为， 由可得其定义域为. 【小问2详解】 由知 ， ； 【小问3详解】 因为， 所以. 16. 已知集合，. （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出集合，由“”是“”的充分条件，得，求得实数的取值范围； （2）“”是“”的必要不充分条件得到集合是的真子集，求得实数的取值范围； 【小问1详解】 由题可知， 又“”是“”的充分条件，所以， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得 综上所述，实数的取值范围为 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以且， 又，， 则，解得， 故实数的取值范围是. 17. 在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值[单位：（分贝）]定义为，其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.当声强级为时，声场中某点的声强度为. （1）求； （2）如果，求相应的声强级； （3）声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的多少倍？ 【答案】（1） （2） （3）1000 【解析】 【分析】（1）代入，求即可； （2）根据（1）确定函数关系，令代入求解可得相应的声强级； （3）根据已知可得、，作商即得倍数关系. 【小问1详解】 由题意，当声强级为时，声场中某点的声强度为， 即函数，当时，， 代入函数解析式得，解得. 故基准值为. 【小问2详解】 由（1）知，，令， 则dB. 因此，若，则相应的声强级为. 【小问3详解】 由，则，同理， 所以. 故声强级为时的声强度是声强级为50dB时的声强度的倍. 18. 设函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）求证：； （3）若在区间上的最小值为，求的值. 【答案】（1） 由题意可知，的定义域为，定义域关于原点对称， 而，所以为奇函数. （2） 因为， ， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇偶函数的定义进行证明奇偶性； （2）求出和即可证明； （3）令，利用换元转化为一元二次函数轴动区间定求最值的问题进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由， 令，易得函数为增函数，由，则， 又，则令， 对称轴， 当，即时，， 解得； 当，即时，， 解得，又，因此不符合题意，舍去； 当，即时，， 解得， 综上所述，. 19. 设函数的定义域为D，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. （1）已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，求的值； （2）若. （i）已知为中心对称函数，且有唯一的对称中心，请写出其对称中心并给出证明； （ii）若，其中均为正数，求的最小值. 【答案】（1）； （2） （i）图象的对称中心是.证明如下： 由题可知，的定义域为且，关于对称， . 故的图象关于点中心对称. （ii）3. 【解析】 【分析】（1）利用对称中心的定义列式，再赋值计算即得. （2）（i）写出对称中心，再利用定义推理证明.（ii）由函数的对称性可得，由基本不等式可得，则可得，由此即可解出答案. 【小问1详解】 因为是定义在上的函数且其图象关于点中心对称， 所以， 又因为， 所以. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由可得，， 所以， 令， 则， 两式相加可得，所以， 所以. 因为，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以， 同理， 当且仅当时，等号成立， 所以 ， 当且仅当时，等号成立. 综上，的最小值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仪陇中学2025--2026学年度上期第二次月考高一数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.) 1. 设命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为 A. B. C. D. 6. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，下列说法错误的是（ ） A. 的值域为 B. 若有2个零点，则或 C. 若的3个零点分别为：，，，则的取值范围为 D. 若有1个零点，则或 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.) 9. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数是指数函数 B. 函数的单调增区间是 C. 若则 D. 函数的图象必过定点 10. 关于函数的零点，下列选项说法正确的是（　　） A. 是的一个零点 B. 在区间内存在零点 C. 至少有2零点 D. 的零点个数与的解的个数相等 11. 设函数的定义域为，若存在，使得，则称是函数的二阶不动点.下列各函数中，有且仅有一个二阶不动点的函数是（ ） A. B. C. D. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.) 12. 已知函数为奇函数，且当时，则当时，________． 13. 设矩形（）的周长为20，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点P，设，则的最大面积为________． 14. 在数学中，高斯函数是一个重要的函数，它表示不超过的最大整数，例如，.已知函数（，且，若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数的取值范围是______. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知． （1）求的定义域； （2）求的值； （3）求的值． 16. 已知集合，. （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值[单位：（分贝）]定义为，其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.当声强级为时，声场中某点的声强度为. （1）求； （2）如果，求相应的声强级； （3）声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的多少倍？ 18. 设函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）求证：； （3）若在区间上的最小值为，求的值. 19. 设函数的定义域为D，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. （1）已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，求的值； （2）若. （i）已知为中心对称函数，且有唯一的对称中心，请写出其对称中心并给出证明； （ii）若，其中均为正数，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $