精品解析：天津市武清区黄花店中学2025-2026学年高二上学期第2次形成性练习（12月月考）数学试题

天津市武清区黄花店中学2025-2026学年高二上学期第2次形成性练习（12月月考）数学试题 一、单选题 1. 过点与点的直线的倾斜角为（ ） A B. C. D. 2. 设，已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 4. 准线方程为抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 5. 设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知点，直线，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 7. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 8. 设为抛物线焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则 A. B. C. D. 9. 数列，，，，…的第项为（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 两条平行直线与之间的距离为________． 12. 若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________. 13. 数列的前项和为，若，则____________. 14. 已知椭圆的焦距是2，则该椭圆的长轴长为__________. 15. 已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线方程为______：公共弦长为_____. 16. 已知分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与的左支交于，若，则双曲线的离心率为__________. 三、解答题 17. 已知点A（1，3），B（3，1），，求： （1）BC边所在直线的方程； （2）BC边上中线AD的方程； （3）三角形ABC的面积. 18. 已知直线l过点，圆C： （1）若直线l经过圆C的圆心，求直线l的方程； （2）若直线l与圆C交于M、N两点，，求直线l的方程. 19. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点是棱上靠近端的三等分点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 20. 已知椭圆的离心率为， （1）若原点到直线的距离为，求椭圆的方程； （2）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于，两点， ①若，求的值 ②对于椭圆上任一点，若，求实数，满足的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市武清区黄花店中学2025-2026学年高二上学期第2次形成性练习（12月月考）数学试题 一、单选题 1. 过点与点的直线的倾斜角为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先通过过两点的直线的斜率公式求得直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求解． 【详解】由斜率公式可知过点与点的直线的斜率为 ． 设直线的倾斜角为，则． 又，所以． 故选：D． 2. 设，已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求得，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】当时，，解得或， 当时，两直线分别为，符合题意， 当时，两直线分别为，重合不符合题意， 所以, 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线线角的向量求法求解. 【详解】依题意，，而，则， 所以直线与所成角为. 故选：B 4. 准线方程为的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由准线方程求出抛物线的标准方程即可求解. 【详解】由题意可知抛物线开口向下，故设抛物线方程为. 因为抛物线的准线方程为，所以，即，所以该抛物线的标准方程为． 故选：D. 5. 设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先根据双曲线求出渐近线方程，再与比较即可求出的值． 【详解】由双曲线的几何性质可得，双曲线的渐近线方程为，又因为渐近线方程为，即，故，选C． 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属基础题． 6. 已知点，直线，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点到直线距离公式计算 【详解】由已知所求距离为， 故选：B． 7. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量在向量上的投影向量的定义求解. 【详解】因为空间向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量是， 故选：A 8. 设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得， ，选C． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义． 9. 数列，，，，…的第项为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过观察数列的分母和分子的规律，即可求得数列第项的值. 【详解】首先分析数列的分母规律：给出的前项分母依次为，，，，可见第项的分母为.因此，第项的分母为. 再分析数列的分子规律：给出的前项分母依次为，，，，相邻两项的差均为，构成首项为，公差为的等差数列，其通项公式为.因此，第项的分子为. 综上所述，数列的第项为. 故选：C 10. 已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分或 两种情况，结合求解. 【详解】解：因为双曲线的两条渐近线之间的夹角小于， 所以或 ， 即 或 ，又 ， 所以， 故选：D 二、填空题 11. 两条平行直线与之间的距离为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先将两条平行直线方程化为对应系数相同的直线方程，再根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】将直线两边同时除以2可得：， 代入平行直线间的距离公式可得：. 故答案为：. 12. 若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程的特征列方程组求解可得. 【详解】因为椭圆的焦点在y轴上， 所以，解得，即实数k的取值范围为. 故答案为： 13. 数列的前项和为，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用的关系，作差求出后检验首项即可求解. 【详解】当， 故， 当不符合上式， 故， 故答案为：. 14. 已知椭圆的焦距是2，则该椭圆的长轴长为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据焦点在轴或轴上分类讨论． 【详解】焦点在轴时，，，长轴长为, 焦点在轴时，，，长轴长为, 故答案为：或． 15. 已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为______：公共弦长为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再由弦长公式计算可得公共弦长为. 【详解】易知两圆相交，将两圆方程相减可得，即； 所以两圆公共弦所在直线的方程为； 易知圆的圆心为，半径为； 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：； 16. 已知分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与的左支交于，若，则双曲线的离心率为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】由题意可知，所以得到和都为直角三角形，可利用勾股定理计算三边的关系，结合和的勾股定理，可计算得出，再 结合和的勾股定理，即可计算出离心率. 详解】由题意得： 因为，所以，即，如图所示， 假设，因为，所以， 由双曲线的定义得：，， 所以，， 在中：，所以，化简得，因为，所以，即， 在中：，所以，将代入得：，所以，，即离心率为. 故答案为： 三、解答题 17. 已知点A（1，3），B（3，1），，求： （1）BC边所在直线的方程； （2）BC边上中线AD的方程； （3）三角形ABC的面积. 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）由B（3，1），，利用两点式求解； （2）先求得线段BC的中点，再写出中线AD的方程； （3）先求得点A到直线BC的距离和，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 解：因为B（3，1），， 所以直线BC的方程为：，即； 【小问2详解】 因为B（3，1），， 所以线段BC的中点为：， 所以BC边上中线AD的方程为； 【小问3详解】 点A到直线BC的距离为：， 又， 所以. 18. 已知直线l过点，圆C： （1）若直线l经过圆C的圆心，求直线l的方程； （2）若直线l与圆C交于M、N两点，，求直线l的方程. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）由圆C的方程，可得圆心C的坐标及半径r的值，由直线l的过的两点的坐标，可得直线l的斜率，进而求出直线l的方程； （2）设圆心到直线的距离d，由弦长公式，可得d的值，分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，设出直线方程，由圆心C到直线的距离可得参数的值，进而求出直线l的方程． 【小问1详解】 将圆C：整理可得，所以圆心，半径， 所以过点，圆心C的直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即； 【小问2详解】 设圆心C到直线l的距离为d，由弦长公式可得，解得， 当过点P的直线斜率不存在时，则直线l的方程为，则圆心C到直线的距离为，符合条件； 当过点P的直线斜率存在时，则直线l的方程为，即， 则圆心C到直线的距离为，解得， 即此时直线l方程为 综上所述：直线l的方程为或 19. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点是棱上靠近端的三等分点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 以点为坐标原点，分别为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，可得， 因为平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）可得平面的一个法向量为， 又，则点到平面的距离为. 【小问3详解】 由（1）可得， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 20. 已知椭圆的离心率为， （1）若原点到直线的距离为，求椭圆的方程； （2）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于，两点， ①若，求的值 ②对于椭圆上任一点，若，求实数，满足的关系式． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由条件列式解得即可； （2）依题意可得椭圆方程为，直线的方程为，设，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式求出；②由向量的坐标运算得坐标后代入椭圆方程求解. 【小问1详解】 由题意得，，而， 解得，，，故椭圆方程为； 【小问2详解】 因为，，，故， 所以，， 故椭圆的方程可化为， 易知右焦点为，据题意有直线， 由，消去整理得， 设，，显然，所以，， ①所以， 所以； ②设，因为， 所以，， 所以 ， 又，在椭圆上，故有，， 因为点在椭圆上，所以， 所以（*）， 因为 ， 所以（*）整理得：， 即， 所以 【点睛】方法点睛：利用韦达定理解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $