精品解析：浙江省柯桥中学2025-2026学年高二实验班上学期9月月考数学试卷

高二实验班 数学测试题 一、单选题 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3. 某医院派6名医生到3个社区进行义诊，每个社区至少一名医生，其中甲乙两人必须在一起，则不同的方案有（ ）种 A. 150 B. 180 C. 360 D. 540 4. 盒子甲中有 5 个红球和 3 个蓝球；盒子乙中有 6 个红球和 2 个蓝球． 若从甲、乙两个盒子中各随机取出 2 个球， 则取出的 4 个球中恰有 1 个蓝球的不同取法共有（ ） A. 150 种 B. 180 种 C. 300 种 D. 345 种 5. 由1，2，3，4，5，6，7，8组成一个没有重复数字的八位数，任何相邻两个数字的奇偶性不同，且满足 3 和 4 相邻，则这样的八位数有（ ）个. A. 432 B. 257 C. 216 D. 504 6. 已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数 满足 ，且 ，则 的极大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则在区间（ ）上一定存在极值点. A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 4个不同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 B. 4个不同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 C. 6个相同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 D. 6个相同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，的解集为 B. 若是增函数，则的取值范围为 C. 有且仅有一个零点 D. 曲线在点处的切线的斜率为 11. 设定义在上的可导函数与的导函数分别为和，若与均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 若方程，其中，则方程的自然数解的个数为__________. 13. 有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数的个数______. 14. 已知函数 在 上单调递增，则 的最小值是_____. 四、解答题 15. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围． 16. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程 （2）讨论的单调性； （3）若对任意两个不相等的正实数恒成立，求的取值范围. 17. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线斜率为4，求的值； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）已知的导函数在上存在零点，求证：当时，. 18. 已知函数定义在上，记的导函数为. （1）求的单调区间与最小值； （2）若，讨论函数的极值点个数； （3）证明：当时，. 19. 已知函数. （1）若，求函数的单调递减区间； （2）若存在实数b，使得函数有三个不同的零点. ①求a的取值范围； ②若成等差数列，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二实验班 数学测试题 一、单选题 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的运算法则求导后判断. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】，则 故选：B. 3. 某医院派6名医生到3个社区进行义诊，每个社区至少一名医生，其中甲乙两人必须在一起，则不同的方案有（ ）种 A. 150 B. 180 C. 360 D. 540 【答案】A 【解析】 【分析】视甲乙为一个整体，问题相当于将5名医生到3个社区，再按分组分配列式求解. 【详解】甲乙必须在一起，可把甲乙视为一个整体，问题相当于将5名医生到3个社区， 按分配时，共有种方案；按分配时，共有种方案， 所以共有种不同的分配方案. 故选：A 4. 盒子甲中有 5 个红球和 3 个蓝球；盒子乙中有 6 个红球和 2 个蓝球． 若从甲、乙两个盒子中各随机取出 2 个球， 则取出的 4 个球中恰有 1 个蓝球的不同取法共有（ ） A. 150 种 B. 180 种 C. 300 种 D. 345 种 【答案】D 【解析】 【分析】就甲盒取出1红1蓝、乙盒取出两红和甲盒取出两红、乙盒取出1红1蓝两种情况分类计算后可得不同的取法总数. 【详解】4个球中恰有1个蓝球，可分为两种情况： 第一种：甲盒取出1红1蓝、乙盒取出两红，此时有； 第二种：甲盒取出两红、乙盒取出1红1蓝，此时有； 故共有种不同的取法， 故选：D. 5. 由1，2，3，4，5，6，7，8组成一个没有重复数字的八位数，任何相邻两个数字的奇偶性不同，且满足 3 和 4 相邻，则这样的八位数有（ ）个. A. 432 B. 257 C. 216 D. 504 【答案】D 【解析】 【分析】将3和4捆绑，由分步计数原理计算可得. 【详解】第一步，排1，5，7三个数，有种不同的排法； 第二步，排2，6，8三个数，有种不同的排法； 第三步，将3和4作为一个整体插入，有种不同的排法， 根据分步乘法计数原理，组成的不同的八位数共有个. 故选：D. 6. 已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于函数，先对其求导，因为函数有两个不同的极值点，那么其导数等于零的方程有两个不同的正根，由此可通过二次函数的性质来确定实数的取值范围. 【详解】已知，其定义域为. 对求导可得：. 因为函数有两个不同的极值点，所以在上有两个不同的实根， 即方程在上有两个不同的实根. 设，此方程为二次方程，要使其在上有两个不同正实根， 需满足以下条件：二次项系数不为零：， 因为若，则，为一次函数，最多有一个零点，不符合题意. 判别式：所以，解不等式得到. 两根均大于零：根据韦达定理，在中， 两根满足，，解得； 综合以上三个条件，的取值范围是. 故选：B. 7. 若函数 满足 ，且 ，则 的极大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意构造函数，结合可得，求出C，进而求出的解析式，结合导数与极值的关系，即可求得答案. 【详解】函数 满足 ，故令， 则，故， 由得，故， 则可得，故， 故，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故的极大值为， 故选：B 8. 已知函数，则在区间（ ）上一定存在极值点. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意可设，，进而结合极值点的定义分和两种情况讨论求解即可. 【详解】由，，则， 要使存在极值点，则一定有两个变号零点， 可设，，则 当时，函数开口向上，且， 要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则或， 即或，则， 所以在上一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则或， 即或，而的取值不确定， 所以在上不一定存在极值点. 同理，当时，函数开口向下，且， 要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则或， 即或，则， 所以在上一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则或， 即或，而的取值不确定， 所以在上不一定存在极值点. 综上所述，函数在一定存在极值点. 故选：C. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 4个不同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 B. 4个不同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 C. 6个相同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 D. 6个相同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由分步乘法原理验算即可；对于B，先分组再排列即可验算；对于C，由分类加法原理验算即可；对于D，由隔板法即可验算. 【详解】对于A，共有种不同的放法，故A正确； 对于B，先确定两个小球在同一个盒子，有种排法，再进行排列，有种排法，共有种不同的放法，故B不正确； 对于C，共有共种分组方式，共有种不同的放法，故C正确； 对于D，相当于找到方程的非负整数解的数目，令， 则问题相当于找到方程的正整数解的数目， 相当于在9个球中间产生的8个空格插入两个隔板，故所求为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，的解集为 B. 若是增函数，则的取值范围为 C. 有且仅有一个零点 D. 曲线在点处的切线的斜率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】分类讨论解不等式判断选项A；分类讨论函数的单调性判断选项B；解方程得函数零点判断选项C；利用导数求切点处切线的斜率判断选项D. 【详解】对于A，当时，，即， 因为对数函数在上单调递增，所以，解得， 其解集为，选项A正确； 对于B，，函数有意义有， 当时，函数定义域为， ， 在上单调递增，所以是增函数； 当时，函数定义域为，， 在上单调递减，所以是减函数. 若是增函数，则a的取值范围为，选项B正确； 对于C，令，即，则，， 所以有且仅有一个零点，选项C正确； 对于D，时，，求导得， 则曲线在点处的切线斜率， 时，在处无意义，故选项D错误. 故选：ABC 11. 设定义在上的可导函数与的导函数分别为和，若与均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】求导，结合偶函数的性质可得，，继而得即可利用赋值法求解ABC,根据，由首尾相加法即可求解D. 【详解】， 与均为偶函数， ①，，，A错误． ②，， 将①代入得，即③， 由②③得， ，B正确． ，C错误． ，且， ，D正确． 故选:BD． 三、填空题 12. 若方程，其中，则方程的自然数解的个数为__________. 【答案】28 【解析】 【分析】依据隔板法去求解即可. 【详解】已知方程，且， 则，其中均为自然数. 将其转化为， 其中为正整数. 运用隔板法将其转化为有9个1排成一列，利用2个隔板法将其分成3组， 第一组1的数目为，第二组1的数目为，第三组1的数目为，则. 2个隔板的放置方法共有种， 故方程的正整数解的个数为28. 即方程的自然数解的个数为28. 故答案为：28. 13. 有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数的个数______. 【答案】38 【解析】 【分析】先根据取出的张卡片中重复数字的可能情况讨论取到哪些数字，再将取出的数字排列. 【详解】根据题意，分种情况讨论： ①取出的张卡片中有且只有对数字重复，则个重复的数字为或， 若重复的数字为，另两个数字为、，有种情况， 若重复的数字为，另两个数字为、，有种情况，共有种； ②若取出的张卡片为张和张， 在个位置安排两个，有种情况，剩余位置安排两个，则可以排出个四位数 ③取出的张卡片中有个重复数字，则重复的数字为， 在、中取出张卡片，有种取法，安排在四个位置中的一个，有种情况，剩余位置安排，可以排出个四位数； 则一共有个四位数． 故答案为． 14. 已知函数 在 上单调递增，则 的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由在上单调递增，得到，将转化为变量的函数，求导求最值. 【详解】因为在上单调递增， 所以在恒成立. 若，则，所以恒成立，显然不成立； 若，则在恒成立等价于在上恒成立， 所以，所以. 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，取得最小值，即的最小值是. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，令，根据导数求得最小值后可得，即可求得的单调区间； （2）求导，要使当时，成立，则，再分，，三种情况，结合导数证明即可. 【小问1详解】 当时，的定义域为， ，显然， 令，， 则，令，则， 当时，，所以在区间上单调递减； 当时，，所以在区间上单调递增， 所以，即， 故的单调递增区间为，无单调递减区间． 【小问2详解】 由，， 则，因为， 所以要使当时，，则必须满足，即． 下面证明：． 当时，， 令，， 由（1）知，在上单调递增， 所以，即当时，； 而当时，令，， 则，故在上单调递增， （ⅰ）当时，，， 所以存在，使得， 又在上单调递增， 所以当时， 即在上单调递减，所以； （ⅱ）当时，， 所以当时，不恒成立． 综上所述，实数的取值范围是． 16. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程 （2）讨论的单调性； （3）若对任意两个不相等的正实数恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分，，，进行讨论； （3）将不等式转化为在单调递增，即在上恒成立即可. 【小问1详解】 若，则，，所以，， 故在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 设，由得， 即.设，则在上单调递增， ∴在上恒成立， 则在上恒成立，设，， 函数的对称轴为，则时，取得最大值，最大值. 所以，即，所以实数的取值范围为. 17. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线斜率为4，求的值； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）已知的导函数在上存在零点，求证：当时，. 【答案】（1） （2）在，上单调递增，在上单调递减； （3）由（2）知：若在区间上存在零点，则，解得. 在上单调递增，在上单调递减， 则， 令，，则， 令，则在时恒成立， 故在上单调递减，则，即在时恒成立， 则在上单调递减，则，故. 【解析】 【分析】（1）利用导数，可得，求解即可； （2）求导，分，，，讨论可得单调性； （3）结合（1）可得，进而可得，令，，利用导数可得求得，进而可得结论. 【小问1详解】 ∵，则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 ， 当时，令，解得或， ①当，即时，令，解得或；令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，则恒成立，故在上单调递增； ③当，即时，令，解得或； 令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 略 18. 已知函数定义在上，记的导函数为. （1）求的单调区间与最小值； （2）若，讨论函数的极值点个数； （3）证明：当时，. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，的最小值为． （2）当时，无极值点；当时，有且仅有2个极值点． （3） ， 则， 即， 令，即，解得． 当时，单调递减； 当时，单调递增， 则为的最小值， 故， 设， ， ，易知，，是上的增函数， ，， . 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性，再根据单调性求解函数的最小值； （2）先求，再通过导数的单调性，函数图象交点的个数，判断其零点个数，进而确定函数极值点的个数； （3）构造函数，求的导数得，分析与0的大小,得到的单调性，得到的最小值为，再通过最小值的形式，构造函数，利用构造函数是上的增函数，得到，从而得到所证. 【小问1详解】 的定义域为， ，令，即，得. 当时，，在上是单调递减； 当时，，在上单调递增； 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 的单调递减区间为，单调递增区间为，的最小值为． 【小问2详解】 ，， ， 令，即，变形得， 由（1）知的最小值为， 当时，与的图象没有交点，即，无极值点； 当时，与的图象有且只有一个交点，即有一个解， 但在该点两侧同号，无极值点； 当时，与的图象有两个交点，即有两个解， 又， ，， 在区间各有唯一零点和，且由的单调性，在和单调递增，在单调递减，在上无其它零点, 故有且仅有2个极值点. 综上，当时，无极值点；当时，有且仅有2个极值点． 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）若，求函数的单调递减区间； （2）若存在实数b，使得函数有三个不同的零点. ①求a的取值范围； ②若成等差数列，求证：. 【答案】（1）； （2）①； ②证明：，即，， 两式相加得， 即， 成等差数列，故，故， ， 故，即， 又，故， 故，即， ， 下面推导对数平均不等式，，， 只需证，即证， 令，只需证， 令，， 则恒成立， 故在上单调递增，又，故，证毕， ，又，故等号取不到， 所以，即， 所以，由①知，， 故，证毕. 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，令，求出函数递减区间； （2）①变形得到，故有3个不同的正根，令，则需有两个极值点，则需有两个不同的变号零点，令，求导，得到其单调性，结合函数走势，得到，得到答案； ②，，两式相加得，结合成等差数列， 变形得到，利用对数平均不等式和基本不等式得到，所以，由①知，，故，证毕. 【小问1详解】 ，定义域为， ， 令得， 故的单调递减区间为； 【小问2详解】 ①，即，故， 有三个不同的零点，故有3个不同的正根， 令，定义域为，则需有两个极值点， 则需有两个不同的变号零点， 令，则， 令得， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，，故当时，， 又时，， 故要想有两个不同的变号零点，需满足， 此时存在实数b，使得有3个不同的正根， a的取值范围为； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $