精品解析：河南省郑州市枫杨外国语、金水区外国语、朗悦慧外国语等5校 2025-2026学年上学期八年级第二次月考数学试题

2025－2026学年上期八年级数学学科练习题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是二元一次方程的为（ ） A. B. C. D. 3. 郑州是中国八大古都之一，史谓“天地之中”，古为“商都”．下列选项中能准确描述郑州位置的是（ ） A. 河南省中部偏北 B. 距离北京690公里 C. 北纬，东经 D. 位于北京西南方向 4. 如图有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于10cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ） A. 2cm B. 2cm C. 10cm D. 13cm 5. 若甲、乙、丙、丁四位同学在八年级第二学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为，，，，则成绩最稳定的同学是（　　） A. 丁 B. 丙 C. 乙 D. 甲 6. 如图，在由单位正方形组成的网格图中标有四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　） A. B. C. D. 7. 有一组被墨水污染的数据：，，，，*，★，，，，，，，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的上四分位数是15 C. 这组数据的中位数是10 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，另一个数可能是13 8. 若一次函数的图像经过点，且函数值随着增大而减小，则点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，中，分别以这个三角形的三边为边向外作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为（ ）． A. 3 B. C. 6 D. 9 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 4的平方根是_______． 12. 在3□2□的方格中填入适当的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是______． 13. 如图，直线与在第二象限交于点A，交x轴于点B．若，，则方程组的解为______． 14. 在平面直角坐标系中，，，过点B作直线轴，点是线l上的动点，以为边在右侧作等腰，使． （1）当时，则点Q的坐标是______． （2）当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动，则的最小值是______． 三．解答题（共6小题，满分75分） 15. 计算： （1）； （2）解方程组：． 16. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形），点的坐标是． （1）点A的坐标为________，点的坐标为________． （2）请作出关于轴对称的（点A与点对应，点与点对就，点与点对应）； （3）轴正半轴上存在点．使为等腰三角形，则点的坐标为________． 17. 为增强学生的社会实践能力，某校拟实施每周半天计划，并同步建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小聪、小颖的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图： 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小聪 83 72 80 78 小颖 86 84 （1）在摄影测试中，七位评委给小颖打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分； （2）请你计算小颖的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔10名小记者，试分析小聪、小颖能否入选，并说明理由． 18. 2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． （1）判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． （2）若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 19. 太阳能光伏板是将太阳能转化为电能并存储的装置．某市政部门计划在路灯上安装、两种智能太阳能光伏板，两款光伏板每天的发电量与日照时间之间的函数关系如图所示（款对应，款对应）已知款光伏板每天持续发电到日照10小时后停止，款光伏板持续日照8小时后发电量不再增加，且初始发电量为0． （1）当时，求与之间的函数关系式． （2）当日照时间为多少小时时，款光伏板的发电量比款多？请写出求解过程． （3）该市政部门规定每日（即日照后）打开路灯，次日的关闭路灯，若路灯亮灯后每小时的耗电量为，则款太阳能光伏板当日提供的电量______（填“能”或“不能”）使路灯达到该市政部门规定的亮灯时间．（忽略其他因素对电能储存及消耗的影响） 20. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元：3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）问A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司共有几种购买方案？最大利润是多少元？ 21. 在平面直角坐标系与几何图形变换的综合问题中，我们常常运用几何与函数结合的模型能够解决很多问题，下面让我们共同体会几何与函数模型的“数学之美”． 【图形旋转与全等】 （1）如图1，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，连接，过点作交直线于点．则______，______； 【一次函数与旋转交线】 （2）如图2，将图1以为原点建立平面直角坐标系，若边所在直线为，分别与轴、轴交于点、点．若点是直线上的动点，当的值最小时，求此时点的坐标． 【面积与点的坐标】 （3）在（2）的条件下，点是直线上一动点，当的面积为24时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上期八年级数学学科练习题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列方程中，是二元一次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义判断即可，含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 【详解】解：A．只有一个未知数，故A选项不符合题意； B．，B选项符合题意； C．不是整式，且没有等号，故C选项不符合题意； D．的次数是2，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 3. 郑州是中国八大古都之一，史谓“天地之中”，古为“商都”．下列选项中能准确描述郑州位置的是（ ） A. 河南省中部偏北 B. 距离北京690公里 C. 北纬，东经 D. 位于北京西南方向 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位置的确定，解题的关键是熟练掌握确定平面内一个点的具体位置需要两个数据．根据题意，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：选项A、B、D均为相对描述或缺乏方向信息，不能唯一确定位置；选项C提供具体经纬度坐标（北纬，东经），这是郑州的准确位置表示． 故选：C． 4. 如图有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于10cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ） A. 2cm B. 2cm C. 10cm D. 13cm 【答案】D 【解析】 【分析】要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程即可． 【详解】解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形， 矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即 矩形的宽是圆柱的高12，即 厘米． 故选D 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短．确定要求的长，再运用勾股定理进行计算． 5. 若甲、乙、丙、丁四位同学在八年级第二学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为，，，，则成绩最稳定的同学是（　　） A. 丁 B. 丙 C. 乙 D. 甲 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则它与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴成绩最稳定的同学是丙． 故选：B． 6. 如图，在由单位正方形组成的网格图中标有四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 则，，，， 因为， 所以能构成一个直角三角形三边的线段是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 7. 有一组被墨水污染的数据：，，，，*，★，，，，，，，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的上四分位数是15 C. 这组数据的中位数是10 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，另一个数可能是13 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图逐一分析即可． 【详解】解：A选项，箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的下四分位数是4，正确，不符合题意； B选项，箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的上四分位数是15，正确，不符合题意； C选项，箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，错误，符合题意； D选项，箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3， 最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值是18， 所以被墨水污染的数据中一个数是3； 由图可得这组数据的中位数为10.5， 将这组数据已知的部分进行排序，为3、4、4、4、7、10、11、15、15、17、18， 要使中位数为10.5，则被污染的一个数要大于11，即可能是13，正确，不符合题意． 8. 若一次函数的图像经过点，且函数值随着增大而减小，则点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得k<0，然后把k用x和y表示出来，再把4个选项的x和y分别代入可以求得k的值，根据k<0经过筛选即可得到解答． 【详解】解：由题意可得k<0，且， A、x=2，y=4，所以k=，不合题意； B、，不合题意； C、，不合题意； D、，符合题意， 故选D ． 【点睛】本题考查一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的增减性并运用逆向思维法求解是解题关键． 9. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 将原方程组的两个方程相减，得到，再与已知 联立解出 x 和 y 的值，最后代入方程求 k即可． 【详解】解：∵ 方程组为 方程①减去方程②得：， 又∵， 联立， 两式相减得： ∴ 代入 得：， 将 代入方程②： ， ∴． 故选：D． 10. 如图，中，分别以这个三角形的三边为边向外作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为（ ）． A. 3 B. C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． 利用勾股定理和正方形的面积公式得出，然后求出，根据正方形的面积即可求出面积． 【详解】解：∵为直角三角形， ∴根据正方形的面积公式和勾股定理得，， 又∵， ∴， ∴， ∵三个四边形为正方形， ∴根据正方形的性质可得， 阴影部分的面积为， 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 在3□2□的方格中填入适当的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是______． 【答案】3825 【解析】 【分析】本题考查了数的整除，熟练掌握整除的特点是解题的关键． 四位数能被15整除，则这个四位数一定能被3整除，被5整除，根据被5整除的数个位数字为0或5，设百位数字为x，根据四位数一定能被3整除，则或一定是3的倍数，讨论解答即可． 【详解】解：由四位数能被15整除，则这个四位数一定能被3整除，被5整除，被5整除的数个位数字为0或5， 设百位数字为x，根据四位数一定能被3整除， 则或一定是3的倍数， 根据题意，当时，，能被3整除； 当时，，能被3整除； 当时，，能被3整除； 故x的最大值为8， 故这个四位数的最大值为3825； 根据题意，当时，，能被3整除； 当时，，能被3整除； 当时，，能被3整除； 故x的最大值为7， 故这个四位数的最大值为3720， ， 故这个四位数的最大值为3825． 故答案为：3825． 13. 如图，直线与在第二象限交于点A，交x轴于点B．若，，则方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）、等腰三角形的性质，过点A作于点H，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式计算出，从而得到点A的坐标为，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标即可解答． 【详解】解：过点A作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵点A在第二象限， ∴点A的坐标为， ∴方程组的解为， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，，，过点B作直线轴，点是线l上的动点，以为边在右侧作等腰，使． （1）当时，则点Q的坐标是______． （2）当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动，则的最小值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先作辅助线构造全等得到线段的等量关系，然后利用代入可推导的坐标； （2）先根据（1）的全等的性质，用表示的坐标，然后用两点距离公式表示，最后求解最小值即可．本题主要考查平面直角坐标系和三角形的结合，作出辅助线利用线段相等去求点的坐标是解题的关键． 【详解】解：（1）如图所示：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， 点的坐标为． 故答案为：． （2）由（1）得，， 的坐标为， ， 时，最小． 故答案为：． 三．解答题（共6小题，满分75分） 15. 计算： （1）； （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解； （2）利用加减消元法解答，即可求解． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题考查二次根式的加减运算以及二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及二次一次方程组的解法，本题属于基础题型． 16. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形），点的坐标是． （1）点A的坐标为________，点的坐标为________． （2）请作出关于轴对称的（点A与点对应，点与点对就，点与点对应）； （3）轴正半轴上存在点．使为等腰三角形，则点的坐标为________． 【答案】（1）， （2） 如图，即为所求作的三角形； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标的定义即可求解； （2）根据关于关于轴对称的点的坐标特点，先分别确定的位置，即可做出； （3）先求出，设点P坐标为，分、、三种情况分别列方程，求出m的值，再舍去不合题意的解，问题得解． 【小问1详解】 解：点A的坐标为，点C的坐标为； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，， 设点P坐标为， 如图1，当时，由题意得， 解得， 其中不合题意， ∴点的坐标为； 如图2，当时，由题意得， 解得， ∴点的坐标为； 当时，由题意得， 解得或， 二者均不合题意． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特点，关于轴对称的点的坐标特点，勾股定理，等腰三角形等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键，第（3）问要注意分类讨论并舍去不合题意的解． 17. 为增强学生的社会实践能力，某校拟实施每周半天计划，并同步建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小聪、小颖的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图： 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小聪 83 72 80 78 小颖 86 84 （1）在摄影测试中，七位评委给小颖打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分； （2）请你计算小颖的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔10名小记者，试分析小聪、小颖能否入选，并说明理由． 【答案】（1）69，69，70 （2）小颖的总评成绩是82分 （3）小颖能入选，小聪不能， 理由如下： 从这20名学生的总评成绩频数分布直方图可以看出，恰好有10名同学总评成绩低于80分，因为小聪总评成绩78分，小颖总评成绩82分，又所以小颖能入选，小聪不能． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、（加权）平均数，解题的关键是熟悉相关概念． （1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，再计算平均数； （2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可； （3）小聪、小颖的总评成绩分别是78分，82分，学校要选拔10名小记者，小颖的成绩在前10名，因此小颖一定能入选；小聪的成绩不在前10名，因此小聪不能入选． 【小问1详解】 解：七位评委给小颖打出的分数从小到大排列为：67，68，69，69，71，72，74， 所以这组数据的中位数是69分，众数是69分， 平均数是：（分）； 故答案为：69，69，70； 【小问2详解】 解：（分）， 答：小颖的总评成绩是82分． 【小问3详解】 略 18. 2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． （1）判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． （2）若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 【答案】（1）南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响，理由如下： 过点作于点， ∵，A，C之间相距，A，B之间相距． ∴， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响． （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，求得最短距离，与影响半径比较大小，判断解答即可． （2）以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F，根据，，得到，根据勾股定理得到，继而得到，求时间即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴台风影响南通市持续时间为． 答：台风影响南通市持续时间为． 19. 太阳能光伏板是将太阳能转化为电能并存储的装置．某市政部门计划在路灯上安装、两种智能太阳能光伏板，两款光伏板每天的发电量与日照时间之间的函数关系如图所示（款对应，款对应）已知款光伏板每天持续发电到日照10小时后停止，款光伏板持续日照8小时后发电量不再增加，且初始发电量为0． （1）当时，求与之间的函数关系式． （2）当日照时间为多少小时时，款光伏板的发电量比款多？请写出求解过程． （3）该市政部门规定每日（即日照后）打开路灯，次日的关闭路灯，若路灯亮灯后每小时的耗电量为，则款太阳能光伏板当日提供的电量______（填“能”或“不能”）使路灯达到该市政部门规定的亮灯时间．（忽略其他因素对电能储存及消耗的影响） 【答案】（1） （2） （3）能 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，函数值的比较，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键． （1）依据题意，设与的函数关系式为，又图象过和，代入即可求解； （2）依据条件求出与之间的函数关系式，再利用即可求解； （3）由题意可得款光伏板的最大发电量为，计算出打开路灯的时间的总耗电量，进行比较即可判断能否使路灯达到该市政部门规定的亮灯时间． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 把和代入得， ， 解得， ∴与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设与之间的函数关系式为， 把代入得：， 解得， ∴与之间的函数关系式为， 由题意得：，即， 解得， ∴当日照时间为小时时，款光伏板的发电量比款多． 【小问3详解】 解：由题意，结合（1）可得，当时，代入，得当日最大发电量， ∵从每日到次日，亮灯时间为，每小时耗电量， ∴总耗电量为， ∴比较发电量和耗电量，由， ∴该太阳能光伏板当日提供的电量能使路灯达到规定的亮灯时间． 故答案为：能． 20. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元：3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）问A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司共有几种购买方案？最大利润是多少元？ 【答案】（1）A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元和10万元 （2）该公司共有3种购买方案，最大利润是91000元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键： （1）设A、B两种型号的汽车每辆进价分别为万元和万元，根据2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元：3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买A、B两种型号的汽车分别为辆和辆，根据题意，列出二元一次方程，求出正整数解，然后计算利润比较即可． 【小问1详解】 解：设A、B两种型号的汽车每辆进价分别为万元和万元，由题意： ，解得； 答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元和10万元； 【小问2详解】 设购买A、B两种型号的汽车分别为辆和辆， 由题意，，且均为正整数， ∴或或； 故共有3种购买方案； 当时，获利为（元）； 当时，获利为（元）； 当时，获利为（元）； 故最大利润是91000元； 答：该公司共有3种购买方案，最大利润是91000元． 21. 在平面直角坐标系与几何图形变换的综合问题中，我们常常运用几何与函数结合的模型能够解决很多问题，下面让我们共同体会几何与函数模型的“数学之美”． 【图形旋转与全等】 （1）如图1，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，连接，过点作交直线于点．则______，______； 【一次函数与旋转交线】 （2）如图2，将图1以为原点建立平面直角坐标系，若边所在直线为，分别与轴、轴交于点、点．若点是直线上的动点，当的值最小时，求此时点的坐标． 【面积与点的坐标】 （3）在（2）的条件下，点是直线上一动点，当的面积为24时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）45；90 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）通过旋转的性质证明，可得，再根据证明为等腰直角三角形，进而可得；由旋转可知，又有，则，可得； （2）先求出、两点的坐标，根据旋转的性质可得出、两点的坐标，进而求出直线的表达式，由（1）可知，则直线与直线垂直，再根据点到直线的距离，垂线段最短，可知当点与点重合时，最小，联立两直线方程即可求解； （3）设点坐标，过点向轴做垂线，垂线与直线交于点，则可得点的坐标，再将表示出来，根据割补法计算的面积，据此建立方程，即可得点坐标． 【小问1详解】 解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：45，90． 【小问2详解】 解：∵边所在直线为， ∴令，则；令，则， ∴点的坐标为，点的坐标为， 根据旋转的性质可得，点的坐标为，点的坐标为， 设直线解析式为，将、代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 由（1）可知，，即， ∵直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∴联立直线与直线，可得， ， 解得， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：过点作轴于，与交于，过点作交延长线于， 设点坐标为，则， ①如图，当点在延长线上时，，， 则， ∵， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； ②如图，当点在线段上时，，， ∵， ∴， 解得， 当时，． ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了图形旋转的性质、一次函数的解析式求解、求函数交点坐标、点到直线的距离最短、与三角形面积有关的动点问题．熟练掌握旋转的性质，待定系数法求函数解析式，求函数交点坐标的方法，点到直线的距离垂线段最短，利用割补法解决与三角形面积有关的动点问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $