28.2.2 第3课时 解直角三角形的应用(3)-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

第3课时 解直角 (教材P7 即基础闯关 >>>>》>》>难度等级基础题 知识点：坡度问题 1若斜坡的坡比为1：S,则斜坡的坡角等 于() A.30° B.45 C.50° D.60 2.(教材P78习题5变式)如图，在平地上种植 树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离） 为4m.如果在坡度为0.75的山坡上种树，也 要求株距为4，那么相邻两树间的坡面距离 为() A.5m B.6 m C.7m D.8m B10C i=1:1.5 12 第2题图 第3题图 3.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD,坝 顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i= 1：1.5,则坝底AD的长度为( ) A26米B.28米C.30米D.46米 4.如图①为一个土堆，我们可以把它的截面看成一 个等腰△ABC(如图②)，其中斜坡AB和AC与 水平地面BC所成锐角为20°，最高处A距离地 面0.8米，则下列说法正确的是() B⊥20° ① ② A.斜坡AB的坡度是20° B.斜坡AC的坡度是tan20° C.BC= 0.8 an20°米 D.AB=- 0.8 os20°米 5.如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高 为18cm,宽为30cm,为方便残疾人士，拟将 第二十八章锐角三角函数√ 三角形的应用（3) 7练习)》 门前台阶右侧改成斜坡.设台阶的起点为A 点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的 坡度i=1：5,则AC的长度是 cm. 130cm 18 cm A 6.(十堰中考)如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD,AD=3m,坝高AE=DF=6m,坡角 a=45°，3=30°，求BC的长. C 即能力提升 >>>>>>>>难度等级中等题 7.[应用意识]如图是某地下停车库入口的设计 示意图，已知AC⊥CD,坡道AB的坡度i= 1：2.4,AC的长为7.2米，CD的长为 0.4米.按规定，车库坡道口上方需张贴限高 标志，以便告知停车人车辆是否能安全驶人. 根据所给数据，确定该车库人口的限高，即点 D到AB的距离DH的长为 米 A66 D B H 视频讲解 做神龙题得好成绩87 ☑同行学案学练测数学九年级下RJ 8.(潍坊中考)为方便群众步行健身，某地政府 决定对一段如图①所示的坡路进行改造.如 图②所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度 为1：√3；将斜坡AB的高度AE降低20米 后，斜坡AB改造为斜坡CD,其坡度为1：4， 则斜坡CD的长为 米.（结果保留 根号) ① ② 9.为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库 的水坝进行加高加固，专家提供的方案：水坝 加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度 i=1:1(即DB:EB=1:1),如图所示.已 知AE=4米，∠EAC=130°，则水坝原来的 高度BC约为 米.（参考数据： sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2) D C 130% EA B 视频讲解 10.[模型观念]（内江中考）在一次课外活动中， 某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度.如 图所示，测得斜坡BE的坡度i=1：4,坡底 AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D 的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的 仰角为60°，求树CD高度.（结果保留根号） B30 人60° E 88 做神龙题得好成绩 即培优创新 >>>>>》>>>>>>>>》难度等级综合题 11.[应用意识]（威海中考）某校九年级学生开 展利用三角函数解决实际问题的综合与实 践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平 面的倾斜角.测量报告如下表（尚不完整）， 课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角 测量工具 竹竿，米尺 坝 横 水面 面 测量示 地平面 意图 说明：AC是一根笔直的竹竿.点D 是竹竿上一点，线段DE的长度是 点D到地面的距离.∠α是要测量 的倾斜角 测量数据 (1)AB=a,BC=b,AC=c,CE=d,DE =e,CD=f,BE=g,AD=h,请根据表中 的测量示意图，从以上线段中选出你认为需 要测量的数据，把表示数据的小写字母填写 在“测量数据”一栏。 (2)根据(1)中选择的数据，写出求∠aα的一 种三角函数值的推导过程. (3)假设sina≈0.86，cosa≈0.52，tana≈ 1.66,根据(2)中的推导结果，利用计算器求 出∠α的度数.你选择的按键顺序为 (填序号) ①2 nd Fsin0·86= ②sin0·86日 ③2 nd Fcos0·52= ④cos0·52= ⑤2 nd Ftan1·66= ⑥tan1·66=8.解：如图，过点A作AF⊥BC于点F,则AF∥DE, A点下降到B点的时间约为4.5秒. ∠BDE=∠BAF.,AB=AC,∠BAC=40°，∴∠BDE A =∠BAF=20°，∴.DE=BD·cos20°≈140×0.94 =131.6(cm). 36.87 D 10.解：(1)如图，过点C作CD⊥AB于点D,由题意，得∠A =30°，∠BCE=75°，AC=600m在Rt△ACD中，∠A= C FE B 30AC-600mCDACm.ADAC- 9.解：(1)由题意可得，PQ⊥AE,PQ=2.6m,AB=CD=EQ =1.6 m,AE=BQ=4 m,AC=BD=3m,.'.CE=4-3= 3003m.:∠BCE=75°=∠A+∠B,∴.∠B=75° 1(m),PE=2.6-1.6=1(m),∠CEP=90°，.CE=PE, ∠A=45°，∴.CD=BD=300m,BC=√2CD=300√2m. ÷g=∠PCE=45,w=aAE-器-子 答：景点B和C之间的距离为300√2m 北 (2),CE=PE=1m,∠CEP=90°，∴.CP=√12+1平= +东 75 √2(m).如图，过点C作CH⊥AP于点H.,'tana= a∠PAE-8-子，设CH=m,则AH=红m D x2+(4x)y=9.x=3y厘，：cH=3厘m 309 17 17 , 3√17 (2)由(1)得，AC+BC=(600+3002)m,AB=AD+BD ·sin∠APC=CH 173√34 CP 2 34 =(300W3+300)m,AC+BC-AB=(600+300√2)- (300√3+300)≈205(m).答：大桥修建后，从景点A到景 点B比原来少走约205m. 第3课时解直角三角形的应用(3) B 窗户 -a E 1.D2.A3.D4.B5.270 C 6.解：由题易得四边形AEFD是矩形，∴.AD=EF=3.,坡 D Q 角a=45°，B=30°，∴.BE=AE=6,CF=√3DF=63, 第2课时解直角三角形的应用(2) ∴.BC=BE+EF+CF=6+3+6√3=9+63.答：BC的 1.D2.A3.A 长为(9+6√3)m. 4.没有5.√56.√27.2√2km8.(20-5√5) 7.2.4 9.解：(1)如图，由题意，得AC⊥CD,BE∥CD,∴∠EBD= 8.80√/I7[解析]∠AEB=90°，AB=200,斜坡AB的坡 ∠BDC=36.87°.在Rt△BCD中，BD=10米，∴.CD= BD·cos36.87°≈10X0.80=8(米)，.CD的长约为8米. 度为1：8.nABE-肩-停∠ABE=30 (2)在Rt△BCD中，BD=10米，∠BDC=36.87°，∴.BC= ·AE= 2AB=100.根据题意，得AC=20,∴CE=80. BD·sin36.87°≈10×0.6=6（米）.在Rt△ACD中，AD= :∠CED=90斜坡CD的坡度为1：4，CE=, 17米，CD=8米，.AC=√AD2-CD2=√172-82= “DE=4,即 15(米)，∴.AB=AC-BC=15-6=9(米).模拟装置从 ED=4,解得ED=320,∴CD=V802+3202=80V7. 801 A点以2米/秒的速度匀速下降到B点，∴.模拟装置从 答：斜坡CD的长为80√17米. A点下降到B点的时间是9÷2=4.5（秒），∴.模拟装置从9.12[解析]设BC=x米，在Rt△ABC中，∠CAB=180° -∠EAC=0,AB=S0*9=名BC=名x米在 ∴.F=1004x.当F=300时，300=100X(PC-3),解得 PC=6cm.由图可得，∠PAB=90°，∠PBC=120°， Rt△EBD中，，背水坡DE的坡度i=DB·EB=1:1, ∴.∠APB=30°.PB=4cm,∴.AB=2cm,PA= BD-BE,CD+BC-AE+AB,+5 x, √PB2-AB2=2W3cm.PC=6cm,∴.AC= 解得x=12.即水坝原来的高度BC约为12米. √PC2-PA2=2√6cm,.BC=AC-AB=(2V6- 10.解：过点B作BF⊥CD于点F,根据题意可得ABFC是 2)cm,即BC的长是(2√6-2)cm. 矩形，∴.CF=AB.,斜坡BE的坡度i=1:4,坡底AE 培优专题21：生活情境与解直角三角形 的长为8米，∴AB=2米，.CF=2米.设DF=x米，在 1.12cm2.73.17 R△Dr中，DBF-则BF--5x米在 4.解：(1)在Rt△ACD中，AC=CD·tan∠ADC=400×2= Rt△DCE中，DC=x+CF=(x+2)米，tan∠DEC= 800(m).在Rt△ABC中，AB三sin ARC≈1395m,道 ,.EC=(x+2)米.·BF-CE=AE,即3x马 路AB的长约为1395m(2)车速为395 =15.5(m/s) =55.8(km/h).55.8km/h<60km/h,∴.该车没有 +2)=8,解得x=43+1则CD=43土 超速. (4v3+3)米.答：树CD高度是(4√3+3)米. 5.解：如图，过点D作DF⊥AB于点F,作DH⊥BE于点 11.解：示例：(1)需要测量的数据为a,c,e,f.(2)过点A H.由题意，得DC=20m,∠DCH=60°.在Rt△DCH中， 作AM⊥CB于点M,则∠AMB=90°.，DE⊥CB,.DE 5ows60-8sns心-2CH-CD·s0-10, AM△cE∽ACAM,器-器即=， e ∴.DH=CD·sin60°=10√3m≈17.3m.'∠DFB=∠B =∠DHB=90°，.四边形DFBH为矩形，.BH=FD, ec AM f ∴AM=号，sinaA- ec BF=DH..'BH=BC+CH=30+10=40(m),..FD= a af (3)① AF 培优专题20：生活物品与解直角三角形 40m.在Rt△AFD中，FD=tan20,∴AF=FD·tan2o 1.88cm ≈40×0.36=14.4(m),∴.AB=AF+BF=14.4+17.3= 2.解：设OE=OB=2xcm,∴.OD=DE+OE=(190+2x)cm. 31.7(m)≈32m.答：该风力发电机塔杆AB的高度约为32m :∠ADE=30,∴0C=2OD=(95+x)cm,BC=0C 20° -OB=(95-)cm.:tan∠BAD=BC-95n2≈2.14， D ΓAC40 解得x=9.4,.OB≈19cm,.OB的长约为19cm. 60 CHE 3.解：(1)：'AM⊥MN,DN⊥MN,.∠AMN=∠DNM= 6.(1)证明：如图，设AD与圆交于M,连接BM,则∠AMB= 90°.AD∥MN,.∠DAM=180°-∠AMN=90°，∴.四 ∠APB.·∠AMB>∠ADB,.∠APB>∠ADB. 边形AMND是矩形，∴.AD=MN=ME+EF+FN=20 十40十20=80(m),∴.该建筑的口径AD的长为80m. (2)解：∠APH=60,PH=6,am∠APH-品 (2)如图，延长CB交AM于点G.由题意，得BE=GM= .AH=PH·tan60°=6X√3=6√3(m.,∠APB=30°， 2.4m,BG=ME=20m,BG⊥AM,∠EBG=90°. .∠BPH=∠APH-∠APB=60°-30°=30. :∠ABE=152°，∴.∠ABG=∠ABE-∠EBG=62°.在 Rt△ABG中，AG=BG·tan62°≈20X1.88=37.6(m), m∠BPH-BH=PH·m0-6X点- 3 ∴.AM=AG+MG=37.6+2.4=40(m),.该建筑的高度 23(m),.AB=AH-BH=6√3-23=4√3(m)≈ AM约为40m. 6.9m答：塑像AB的高约为6.9m. 太阳光线 M E 4.解：由题意可得，x=3cm,100=k(4-3),解得k=100, 同行学案学练测·23·