28.2.1解直角三角形同步训练2025-2026学年人教版数学九年级下册

28.2.1解直角三角形同步训练 一、单选题 1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则() A.a=b.sinA B.b=c.cosB C.b=a.tanA D.b=a.tanB 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=号，则tanB的值为() A.誓 B.9 c写 D.5 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6,cosA=号，则AC的长为() B A A.35 B.6 C.42 D.8 4.知图，在△ABC中，AB=25,BC=6,cosB=25,则AC的长为() A.2W5 B.22 c.2 D.5 5.如图，在梯形ABCD中，AD川BC,∠B=45°，∠C=120°，AB=8,则CD的长 () 45°120 A.号V5 B.6 c.号v2 D.45 6.为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎.如图， 点O为跷跷板AB的中点，支柱OC垂直于地面，垂足为C,AC=0.9m,当跷跷板的一端 A着地时，跷跷板AB与地面的夹角∠OAC=《,此时另一端B离地面的距离是() 地面7 w. A.品m B.0.9tanam C. 品m D.1.8tanam 二、填空题 7已知△ABC中，AB=2,∠B=300,AC=9, 则BC长为， 8.在△ABC中，tan∠B=2,AB=25,AC=V17,则BC= 9.我们给出定义：如果两个锐角的和为30°，那么称这两个角互为三分余角.如图，在 △ABC中，∠小，∠B互为三分余角，且器=9 3 则tanA= C B 10.如图，在△ABC中，∠C=90°，D为边BC上的一点，BD=2CD,AB=13, sinB=号则AD= B 三、解答题 11.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，根据下面的条件解这个 三角形： (1)a=4,b=4y5: 2)a=3V6,∠A=45°. 12.如图，在△ABC中，AD1BC,AE是BC边上的中线，AC=3V2,AD=3, tan∠ABC=. ED (I)求BC的长： (2)求sin∠DEA的值. 13.如图，在三角形ABC中，已知∠C=60°，tanA=专，点D为边AC上一点，且 ∠BDC=45°，AD=6,求CD的长 B D 14.如图，△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边CB,AC的延长线上， ∠ADE=∠ABC. B E (1)求证：AD2=AC·AE; (②)若cos∠BAC=号，BC=2W10,AD=12,求CE的长. 《28.2.1解直角三角形同步训练2025-2026学年人教版数学九年级下册》参考答案 1.D 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，解题的关键在于正确掌握正弦、余弦、正切 的定义，根据题意画出草图，结合正弦、余弦、正切的定义逐项判断，即可解题. 【详解】解：由题意，可画图如下： Q A、a=c·sinA,选项结论错误，不符合题意； B、a=c·cosB,选项结论错误，不符合题意； C、a=b·tanA,选项结论错误，不符合题意； D、b=a·tanB,选项结论正确，符合题意； 故选：D. 2.D 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，根据余弦定义设BC=2x,AB=3x,利用勾股 定理求AC,再根据正切定义求tanB. 【详解】解：：在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=脂=号， .设BC=2x,AB=3x, AC=AB2-BC2=3x)2-(2x)2=5x2=5x 六tan8=能=经=5， 故选：D. 3.D 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义列式即可得解 【详解】解：在Rt△ABC中，cosA=器=青， 设AC=4x,则AB=5x, 又：AC2+BC2=AB2,BC=6, :16x2+36=25x2,解得x=2, 则AC=8. 故选：D. 4.B 【分析】本题考查了解直角三角形，过点A作AB1BC于点B,由cOsB=25可求出 BE=4,由勾股定理求出AE=2,由BC=6可求出CE=2,在Rt△ACE中由勾股定理 得AC=22. 【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E,如图， B E :脂=cos∠B, :AB=25, COsB=25 5 =35 …25 5， BE=4, 在Rt△ABE中，AE=AB2-BB=V(25)2-42=2, BC=6, .CE=BC-BE=6-4=2, 在Rt△ACE中，AC=VAE2+CE2-V22+22=2V2 故选：B. 5.A 【分析】本题考查解直角三角形、矩形的性质与判定，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题 的关键， 过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F,易得到四边形AEFD 是矩形，进而得到DP=AE=AB·sin45°，再根据DC=器，进行求解CD的长即可. 【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F,如图： A 450 1209 在Rt△ABE中，∠B=45°、AB=8, ·AB=AB:sin450=8×号=45， :AE⊥BC、DF⊥BC, ·AE‖DF, :AD‖BC, ·四边形AEFD是矩形， ÷AE=DF=4V2, '∠DCB=120°， ÷∠DCF=180°-120°=600， 在Rt△DFC中，DF=4V2、∠DCF=60, :DC=0= 42_86 =3, 故选：A. 6.D 【分析】本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理，掌握相关知识是解决本题的 关键.过点B作BD⊥AC,先利用平行线分线段成比例定理求出AD,再利用直角三角形 的边角间关系得结论 【详解】解：过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D. B D 地面m品mmmm:OC‖BD,O是AB的中点， ·器=器=1 ÷AD=2AC=1.8m. 在Rt△ABD中， :tan∠0AC=㗊， :BD =tana.1.8=1.8tana(m). 故选：D 7.2或9 3 【分析】本题考查解直角三角形与勾股定理，作垂线构造直角三角形是解题关键 作AD上BC,垂足为D,根据点C在点D的左侧还是右侧进行分类讨论，用解直角三角形 和勾股定理计算出BC, 【详解】解：如图，作AD⊥BC,垂足为D, B C D C 当点C在点D的左侧时， AD⊥BC, ∠ADB=90°， 在直角△ABD中，AD=AB·sinB=2×sin30°=2×号=1， BD=AB:c0sB=2×c0s300=2×9=V5, 在直角△ACD中，cD=aC-AD-V9)-12=-号 :BC=BD-GD=5-9=9, 当点C在点D的右侧时， 同理，CD=号， BC=BD+CD= 故答案为： 9或 8.1或3 【分析】本题考查解直角三角形，涉及正切函数定义、勾股定理等知识，根据题意，分情况 求解是解决问题的关键 由tan∠B=2,分三种情况：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，然后过点A作出对边 的高，构造直角三角形分别进行计算即可得到答案。 【详解】解：根据题意，分三种情况： 当△ABC为锐角三角形时，过点A作AD⊥BC于点D,如图所示： B D 在Rt△ABD中，tan∠B=2=器， 设BD=X,则AD=2x, :A8=25, 由勾股定理可得AD2+BD2=AB2,则x2+(2x)2-(25)2, x2=4, 解得x=2或x=-2(负值，舍去)， 则BD=2,AD=4, 在Rt△ADC中，AC=V17,AD=4,则由勾股定理可得DC=VAC2-AD2=1, :BC=BD+DC=2+1=3; 当△ABC为直角三角形时，如图所示： B 在Rt△ABD中，tan∠B=2=能=，则BC=耍， :AB=25, Ac2+8C2=(V7)2+(耍)°=17兴+20=AB2,放此种情况不存在， 当△ABC为钝角三角形时，过点A作AD⊥BC于点D,如图所示： B D C 在Rt△ABD中，tan∠B=2=器， 设BD=X,则AD=2x, :AB=25, 由勾股定理可得AD2+BD2=A82,则x2+(2x)2=(25)2, :x2=4, 解得x=2或x=-2（负值，舍去)， 则BD=2,AD=4, 在Rt△ADC冲，AC=V17,AD=4,则由勾股定理可得DC=VAC2-AD2=1, :BC=BD-DC=2-1=1. 故答案为：1或3. 9.告5 【分析】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的己知条件并结合图形添加适当 的辅助线构造直角三角形是解题的关键 要求tanA的值，想到构造直角三角形，根据已知可得∠ACB的补角为30°，所以过点B作 BD⊥AC,交AC的延长线于点D,分别在Rt△CDB和Rt△ABD中利用锐角三角函数的 定义进行计算即可解答 【详解】解：过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D, A B 器=. ·设BC=2V3a,AC=3a, :∠A,∠ABC互为三分余角， ·∠A+∠ABC=30°，