28.2.1 解直角三角形&重点突破专题(2) 锐角三角函数与圆-【名师学案】2025-2026学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

28.2解直角三角形及其应用 28.2.1解直角三角形 +++++0知识储备出 知识点二已知一边和一锐角（或锐角的三角 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，除直角外的五个元 函数值)解直角三角形 素之间有如下关系： 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°， AB=10,则BC的长为 () A.10 tan 50 B.10c0s50 C.10 sin 50 D.10 c0s50° (1)三边之间的关系： (2)两锐角之间的关系： (3)边角之间的关系：sinA= + cOsA= tanA= Cū SR 2.在直角三角形中，由已知元素求出其余未知元 第3题图 第4题图 素的过程叫做 4.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=6,cosB= A基础练 @柳必备知识梳理一 号则AC的长是 知识点一已知两边解直角三角形 A.4.5 B.5 C.25 D.35 1.(1)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=4, 5.【教材P73例2变式】如图，在△ABC中， AC=2,欲求∠B的度数，最合适的做法是() ∠C=90°，c=82,∠B=45°，解这个直角三 A.计算sinB的值求出 角形 B.计算cosB的值求出 C.计算tanB的值求出 B b D.先根据cosA求出∠A,再用90°-∠A求出 (2)【T1(1)变式】在Rt△ABC中，∠C=90°， 45° >B Q AB=25,AC=√15，则∠A的度数是() A.90° B.60° C.45 D.30° 2.【教材P73例1变式】如图，在△ABC中，∠C= 90°，BC=6,AC=3√2，解这个直角三角形 B 易错点○ 因考虑问题不全面而漏解 6.在△ABC中，AB=12√2，AC=13,cosB= 竖则C的边长为 【点拨】由于△ABC的类型不确定，故分两种情况讨 论：①∠ACB是锐角；②∠ACB是钝角.然后作BC 边上的高，结合三角函数的定义和勾股定理解答。 61 九年级数学·下册 B综合练 关键能力提升·一 C素养练 学科素养培育一 7.(2024·临夏州)如图，在△ABC 11.【一日一优】【教材P85复习题T12变式】 中，AB=AC=5,snB=专则 【探究】如图1，在△ABC中，∠A=a(0°<a R <90°)，AB=c,AC=b,试用含b,c,a的式 BC的长是 ( 子表示△ABC的面积. A.3 B.6 C.8 D.9 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，tanA= 3 ∠ABC的平分线交AC于点D,CD=√3，则 AB的长是 图1 图2 B 【应用】(1)△ABC中，∠C=45°，BC=2,AC =4,则△ABC的面积是 (2)如图2，在□ABCD中，对角线AC,BD D 第8题图 第9题图 相交成的锐角为a,若AC=a,BD=b,试用 9.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC 含a,b,a的式子表示□ABCD的面积. 上，∠DBC=∠A.若AC=4,osA=号，则 BD的长度是 10.(2024·浙江)如图，在△ABC中，AD⊥BC, AE是BC边上的中线，AB=10,AD=6, tan∠ACB=1. (1)求BC的长： (2)求sin∠DAE的值. 中解题妙招 解直角三角形的原则： (1)化斜为直，对于斜三角形，先做高转化为直角 三角形，注意不过特殊角(30°，45°，60°，120°， 135°，150)的顶点作高，如T11(1), (2)有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切）； (3)宁乘勿除：选取便于计算的关系式，若能用乘 法计算就不用除法计算； (4)取原避中：若能用原始数据，应避免使用中间 数据计算. 助学助教优质高敦 62 跨单元整合 重点突破专题（二） 锐角三角函数与圆 A分类突破 B素养提升 类型一求圆中的锐角三角函数值 6.(2024·甘肃)如图，AB是⊙O的 1.(2024·凉山州模拟)如图，在⊙O中，OA⊥ 直径，AB交弦CD于F,BC=BD BC于E,点D在优弧BC上一点.若BC= 点E在AD的延长线上，且 2√3，OE=1,则tan∠ADB的值是 () ∠ADC=∠AEB. A.√3 B.1 C.3 ·2 D V3 (1)求证：BE是⊙O的切线； 3 (2)当⊙O的半径为2，BC=3时，求tan∠AEB 的值. 第1题图 第2题图 2.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中， 点A,B,C都在格点上，以AB为直径的圆经 过点C,D,则sin∠ADC的值为 () A 、1 .33 13 c号 D.2 3.如图，AB为⊙O的直径， 弦AD,BC相交于点P, 如果CD=6,AB=10,那 么tan∠BPD的值为 A是 B C.3 类型二利用锐角三角函数值计算线段长 4.Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15,cosA=4 以点B为圆心，r为半径作⊙B,当⊙B与AC 相切时，r= 5.如图，⊙O的直径AB经 过弦CD的中点H,若 coS∠CDB= 手，BD=5, 则⊙O的半径是 请完成进阶测评（四）[28.1~28.2.1] 63 九年级数学·下册基础练 1.1D(2B2.高号3.1)3(2)24解：在R△ABC中，ZC=90BC VaB-AC-V1E-9=12.mA-C-号-号mB=C-是-是5厚攻 号6B71225解，2mA-器-错asA-S-石mB=6-器m B=瓷=8D9.C10子1.1号解：2)如图 ∠CBD即为所求.12.(4,3)解：(2)过B作BC⊥OA于C.B D (4,3),BC⊥OA,∴.OC=4,BC=3.A(10,0),.AC=10-4=6.. AB-V罗-后oBM0-器5号5.何 解：在R△ABC中，mA-C-子小瓷-告coA=号 第3课时特殊锐角的三角函数值 知识储备 锐角a 30 45 60° 三角函数 sina 2 ② ⊙ 2 cosa 2 2 tana 1 5 基础练 1.A2.83141)解：原式-+名B中.2解：原式=5×9号×厅 2 32 1-号-分8)解：原式=3+-1-头5.C6.A7.1)45°(2)308，解： :∠C=90,tamA=BC=压=5，∠A=60,∠B=90-∠A=30.9.D10. AC√5 20.3311.(1)解：sinA=sin18°≈0.309，sinB=sin25°≈0.423，sinC=sin36°≈0.588， 则sinA<sinB<sinC.(2)增大12.C13.C14.C15.60°16.解：原式=2√3-2 ×+2-5+合+，E×=3宁.17.解：1：BD=AB.∠ABC=46,∠D x一=2 BAD-22.5.AB-BD-AB-/3.in D-c- -1:(2)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB 至D,使BD=AB.设AC=x,则AB=BD=2x,BC=√3x. AB=BD,∠ABC=30°，∠D=∠DAB=15.∠DAC= 75,tan 75'-tan _DAC- 方法技巧专题（三）五法确定三角函数值 1B2号3多4B5.B63 13 7.解：设AE=x,BE=3x,:正方形ABCD, ∴.AB=BC=CD=AD=4x,∠A=∠B=∠D=90°.，M是AD的中点，AM=DM= AD-2x.EC-/BE CB=5x.EM-AE+AM-/5x.CM=/DMF +DC= 1 2√5x..Ef+CMP=(5x)2+(2√5x)2=25x2.:EC=(5x)2=25x2,∴.EM+CM= c.ZBwC=0,∠BCM-0-2-号6.8号9号2吉 10.号1.212.C13.214.3 28.2解直角三角形及其应用 28.2.1解直角三角形 知识储备 1.1)a+8=2)∠A+∠B=90:(3)2名合2.解直角三角形 -163 基础练 DA(2D2解：在R△ABC中，:tan A-C行2-号.∠A=30.∠B=90 -∠A=60.inA=sm30-8S-2∴AB=2BC=2,6.∴∠A=80,∠B=60,AB =26.3.B4.C5.解：∠C=90°，∠B=45,∠A=90°-∠B=45.:sinB=b =sim45.h=c·im45°=82X2=8.:tanB=b=tan45°=1，a=b=8.∠A= 2 a 45,a=b=8.6.7或177.B8.69.510.解：1)：AD1BC.∠ADB=∠ADC -90.BD-AD-/1-6-8.tm ZACB-1-@D..CD-AD-6. BC=BD+CD=8+6=14:(2)AE是BC边上的中线CE=2BC=7.DE=CE CD=7-6=1.在Rt△AED中，AE=√/AD+DE=√G+1下=√37，∴.sin∠DAE= 器方得1疗部【过B作 C BD⊥AC,垂足为D.AB=c,∠A=a,.BD=c sin a, ∴Sac=合AC·BD=号e sin【应用】I)2E 图1 图2 (2)过点C作CE LDO于点E.“sin a-Co:在口ABCD中，AC=a,BD=b,CO= za,CE=7 a sin=CEBD=号×号a sin a·b=ab sin∴Sm 1 1 1 2SAucp=ab sin a. 重点突破专题（二）锐角三角函数与圆 1.D2.A3.D49556,1)证明：连接BD,0C.OD,:BC=DBC=BD ,OC=OD,.点O,B在CD的垂直平分线上..OB垂直平分CD.∴∠AFD=90°. ∠ADC=∠AEB,∴.CD∥BE..∠ABE=∠AFD=90°.∴.AB⊥BE.,'AB是⊙O的直 径，.BE是⊙O的切线；(2)解：⊙O的半径为2，∴AB=2×2=4.:AB是⊙O的直 径.∴∠ACB=90.BC=3∴AC=VAB-BC=√—3=7.∴tan∠ABC=C FS,:AC=AC,∠ADC=∠ABC.Y∠AEB=∠ADC,·∠AEB=∠ABC ∠AEB=tan∠ABC=F, 3 28.2.2应用举例 第1课时与视角有关的实际问题 知识储备 上方下方仰角俯角 基础练 1.C2.24.53.解：∠ABD=120°，∠D=30°，∴.∠AED=120°-30°=90°.在Rt △BDE中，BD-520m∠D-30casD-器-号DE-2005≈450(m.答：当另 一边上开挖点E离点D450m时，正好使A,C,E三点在一直线上.4.asin05.解：由 题意知，AD⊥BC,∠DAC=60°，∠DAB=45°，AD=50m,∴.∠ADC=∠ADB=90°.在Rt △ADC巾，im∠DAC-册=尽.：CD=5X50=50Bm在R△ADB巾，m ∠DAB=m45-0=1BD=AD=50Cm.CB=CD+BD=(50,5+50m,答：这 栋楼的高度为(50√3+50)m.6.177.解：过点A作AE⊥BC于点E,过点O分别作 OD LBC于点D,OF⊥AE于点F,则四边形ODEF为矩形，∴.OD=FE,∠FOD=90°.在 Rt△BOD中，∠B=15°，OB=22cm,.OD=OB·sinB≈22×0.26=5.72(cm).在Rt △AOF中，∠AOF=360°-123°-(90°-15)-90°=72，∴.∠A=90°-72°=18°..OA= 22cm,∴.AF=OA·cosA≈22×0.95=20.9(cm)..AE=AF+FE=AF+OD=20.9+ 5.72≈27(cm).答：顶部边缘A处离桌面BC的高度约为27cm.8.解：(1)根据题意，四 边形CDFE是矩形，∠CAD=30°，∠EBF=45°，DF=CE=895m.在Rt△EBF中，BF anBF7-70m.DB=DF-BF=895-7=8(m.在R△ACD中，AD EF 164