精品解析：天津市第一中学滨海学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

天津一中滨海学校2025-2026学年第一学期 高一数学 一、单选题 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 0 3. 已知，则a，b，c的大小关系是（    ） A. B. C. D. 4. 函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是偶函数，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 若，且，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 若幂函数（为常数）的图象经过点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 随着生态环境的改善，每年来某地湖泊繁育幼鸟的各种鸟类越来越多，鸟类众多、比较集中，且各种鸟类的数量在3500及以上的时间称为鸟类繁育“旺季”．第个月，当地湖泊中各种鸟类的数量可近似用函数来表示，那么一年中是“旺季”的月份有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 10. 已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 对于正数、，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题 12. 命题：的否定是_________. 13. 已知半径为的扇形面积为6，则扇形的圆心角为______ . 14. 求值：________. 15. 设，若，则的值为________． 16. 当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为________． 17. 如图所示为函数（，）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（1）＝ ________． 18. 设函数.若为偶函数，则___________． 19. 已知函数 （1）当时，不等式的解集为________． （2）若，不等式恒成立，则的取值集合为________． 三、解答题 20. 已知函数 （1）求函数的最小正周期及对称中心坐标； （2）求函数的最值及取得最值时的的取值集合； （3）求函数的单调递减区间. 21. 已知函数的最小正周期为. （1）求函数在区间上的单调递增区间； （2）已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 22. 已知函数为偶函数. （1）求实数的值； （2）若函数在上有零点，求实数的取值范围. 23. 已知函数． （1）当时，求的最值； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）设函数，若存在，使得成立，求的取值范围． 附：函数在上单调递减，在上单调递增． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津一中滨海学校2025-2026学年第一学期 高一数学 一、单选题 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到，根据子集的概念即可求出答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 2. 角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的定义，即可得到结果. 【详解】因为角的终边经过点， 则. 所以 故选：B 3. 已知，则a，b，c的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，判断，再结合中间值1即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以. 故选：A 4. 函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，结合正弦函数的性质分析图象即可. 【详解】函数 的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以函数为偶函数， 又时，，可排除A、B选项， 同时时，有无数零点，同时也有的情况， 故有无数个零点，且时有的情况，可排除C，即D正确. 故选：D 5. 已知函数是偶函数，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据，化简求得的值即可. 【详解】函数，定义域为， 由于为偶函数，即， 则， 化简为, 即，则， 因为不恒为0，所以. 故选：B 6. 若，且，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，结合幂函数的单调性判断即可；对于BCD，举特例判断即可. 【详解】对于A，由，且函数在上单调递增，则，故A正确； 对于B，当时，满足，而，故B错误； 对于C，当时，满足，而，故C错误； 对于D，当时，满足，而，故D错误. 故选：A 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 故选：D. 8. 若幂函数（为常数）的图象经过点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义确定的值，再将已知点代入幂函数求出得到函数表达式，最后将不等式转化为分式不等式并等价求解，得到的范围。 【详解】因为是幂函数，所以，则， 所以，将点代入，得，解得， 则，则，即，即，解得． 故选：A 9. 随着生态环境的改善，每年来某地湖泊繁育幼鸟的各种鸟类越来越多，鸟类众多、比较集中，且各种鸟类的数量在3500及以上的时间称为鸟类繁育“旺季”．第个月，当地湖泊中各种鸟类的数量可近似用函数来表示，那么一年中是“旺季”的月份有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可列出不等式，结合余弦函数的性质求解不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知, 令, 即得,解得， 解得， 结合，可知当时，，即k取6，7，8，9，10， 即一年中是“旺季”的月份有5个月， 故选：C 10. 已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，从而可得，再由正弦函数的周期可得的范围，即可得到结果. 【详解】由可得，即， 即，则， 解得， 又，即，其中，解得， 所以时，，则. 故选：A 11. 对于正数、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知等式变形得出，结合函数的单调性可求得结果. 【详解】由可得， 即， 构造函数， 因为函数、、在上为增函数， 故函数在上为增函数， 由可得，所以，即． 故选：B． 二、填空题 12. 命题：的否定是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由含全称量词命题否定可得答案. 【详解】命题：的否定是. 故答案为： 13. 已知半径为的扇形面积为6，则扇形的圆心角为______ . 【答案】4 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式建立方程，求解圆心角即可. 【详解】设扇形的圆心角为，且半径为的扇形面积为6， 由扇形的面积公式得，解得，则扇形的圆心角为. 故答案为：4 14. 求值：________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则、对数的运算法则及换底公式进行计算即可. 【详解】原式 . 15. 设，若，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意利用诱导公式结合弦化切可得，运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的值为2. 故答案为：2. 16. 当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数和在上的图象，通过图象即可求出交点横坐标． 【详解】作出函数和在上的图象如下图所示： 从图象上可得：函数的图象和的图象在、内各有一个交点： 当时，由得，即，得； 当时，由得，得，得， 所有交点横坐标之和为. 故答案为：. 17. 如图所示为函数（，）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（1）＝ ________． 【答案】-1 【解析】 【分析】由，得到，从而得到，然后由时，求得函数求解． 【详解】由，得， 解得． 由，，得． 又当时，． 即， ∴，又∵， ∴．∴， 因此， ． 故答案为：-1 18. 设函数.若为偶函数，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，解得，结合即可求解． 【详解】由题知，且为偶函数， 所以， 解得， 又，所以． 故答案为：3． 19. 已知函数 （1）当时，不等式的解集为________． （2）若，不等式恒成立，则的取值集合为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由求根公式求得对应一元二次方程两根即可求解； （2），由在必须有相同零点，且在相同区间上同号，即可求解. 【详解】（1）当时， 由，可得：， 所以的解集为； （2）由（1）知，当时，不符合题意； 当时，设， 令得， 令， 得， 因为，舍去， 若，不等式恒成立， 则在必须有相同零点，且在相同区间上同号， 则， 解得：， 当时， 在有， 在有， 当时，， 符合，不等式恒成立， 所以的取值集合为， 故答案为：； 三、解答题 20. 已知函数 （1）求函数的最小正周期及对称中心坐标； （2）求函数的最值及取得最值时的的取值集合； （3）求函数的单调递减区间. 【答案】（1）； （2）最大值，；最小值，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型三角函数的最小正周期的求解公式与对称中心的求解方法，直接计算即可； （2）利用整体法以及正弦型三角函数的最值，列出等量关系求解即可； （3）利用整体法，结合正弦函数的单调区间，列出不等关系，求解即可. 【小问1详解】 因为，故， 即函数的最小正周期为； 令，解得：， 所以函数的对称中心坐标为：. 【小问2详解】 当，即时，取最大值， 故取最大值时的集合是； 当，即时，取最小值， 故取最小值时的集合是. 【小问3详解】 由，解得， 故的单调递减区间为 21. 已知函数的最小正周期为. （1）求函数在区间上的单调递增区间； （2）已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 【答案】（1）函数单调递增区间为，. （2）① ② 【解析】 【分析】（1）由周期求得函数解析式，由正弦函数的性质求得函数的单调区间，即可得答案； （2）①令.若由二次函数的最小值点建立方程解得并验证；若得函数最小值；若，再讨论对称轴的范围，从而得到对于情况的最小值，解得；即可求得符合条件的. ②由①中结论求得和在对应区间的范围，讨论，，时分别求得的范围，由集合的包含关系建立不等式组，解得实数m的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知，∴，即， 令，则， ∴函数单调递增区间为，. 【小问2详解】 ①令，则， 当时，函数开口向下，则或为函数的最小值， 即或， 解得（舍去）或. 当时，，此时最小值为，不合题意舍去. 当时，，不合题意舍去. 当时，函数的对称轴， 当，即，此时函数最小值为，解得（舍去）； 当，即，此时函数最小值为，整理得，即，解得（舍去）或； ∴. ②由①可知当时，函数， 由（1）可知函数在区间上单调递增，在上单调递减， ∴时，， 当时，，不合题意舍去， 当时，，由题意得， 即，解得， 当时，，由题意得， 即，解得， ∴. 22. 已知函数为偶函数. （1）求实数的值； （2）若函数在上有零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义，结合对数运算求解即得； （2）由题设可得在上有解，构造函数并探讨函数单调性，求出值域即可得参数范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，且为偶函数， 则，，即恒成立， ，而不恒为，则， 所以； 【小问2详解】 由（1）得在上有零点， 则在上有解，令函数， 函数在区间上单调递增，而函数是定义域上的增函数， 则函数在区间上单调递增，又函数在区间上单调递增， 因此函数在区间上单调递增，则， 当时，，所以， 所以实数的取值范围是. 23. 已知函数． （1）当时，求的最值； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）设函数，若存在，使得成立，求的取值范围． 附：函数在上单调递减，在上单调递增． 【答案】（1）最小值-3，无最大值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用把函数变成关于的二次函数，然后通过配方找到最小值点，因为且二次函数开口向上，所以只有最小值，没有最大值. （2）同样令，把不等式化为，把分离出来，变成求一个分式的最大值，再令，把分式变成二次函数，通过对称轴求出最大值，得到的取值范围. （3）把也令，变成，题目意思是在区间上的最大值和最小值的差要不少于，按分情况讨论：在区间左侧、内部还是右侧，分别讨论单调性并算差值，判断是否满足条件. 【小问1详解】 由题意知，的定义域为， 令，则， 当时，等价于， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，二次函数取得最小值-3， 即时，取得最小值-3，无最大值． 【小问2详解】 令，当时，， 对任意的恒成立，即在时恒成立， ，令，则，不等式变为， 记，则函数的图象开口向下，对称轴为， 在时的最大值为，因此，， 即的取值范围为． 【小问3详解】 由题知， 令，当时，，则等价于， 题目等价于“存在，使得成立”， 等价于“在上的最大值与最小值之差大于或等于”， 分情况讨论： ①当时，易知在上单调递减，最大值与最小值之差为： ，由，知，满足条件， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，知在上单调递增，最大值为，最小值为， 差为：，由，得，满足条件； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 最小值为，最大值为或， ，，均不符合条件； 当时，在上单调递减， 最大值与最小值之差为， 因为，所以，不符合条件， 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $