精品解析：江西吉安市四所重点县二中2024-2025学年高一上学期11月联考数学试题

江西吉安市四所重点县二中2024级高一上学期11月联考数学试卷 (2024年11月下旬) 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：第一章至第四章内容；重点考查第三章指数运算与指数函数和第四章对数运算与对数函数 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数，已知，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，进而可得，即求. 【详解】由，可得， ∴，. 故选：B. 2. 上高中的小黑为弟弟解答《九章算术》中的一个题目：今有田，广15步，纵16步，此田面积有多少亩？翻译为：一块田地，宽15步，长16步，则这块田有多少亩？小黑忘记了亩与平方步之间的换算关系，只记得一亩约在200—250平方步之间，则这块田地的亩数是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出总的面积为（平方步），再转化为亩数为之间，对照四个选项，即可得到正确答案. 【详解】总的面积为（平方步）. 因为一亩约在200—250平方步之间，所以转化为亩数为之间，即之间，对照四个选项，只有B正确. 故选：B 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质计算即可. 【详解】解：. 故选：C. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的形式，结合指数函数的单调性和单调性的性质进行求解即可. 【详解】设函数，因为函数都是实数集上的增函数， 所以函数也是实数集上的增函数， 由， 故选：A 5. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数复合函数的单调性，结合二次函数的单调性、对数型函数的定义域进行求解即可. 【详解】由， 二次函数的对称轴为：， 所以二次函数的单调递增区间为，递减区间为， 而函数是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知： 函数的单调增区间为， 故选：C 6. 双曲正弦函数是高等数学中重要的函数之一，已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数是奇函数且在上单调递增，由奇偶性可将转化成，结合单调性即可求解； 【详解】由题意可知，函数是奇函数且在上单调递增，所以即，所以，解得， 故选：A． 7. 已知函数（且），若对任意两个不相等的实数，，恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得：函数在上为增函数，则有，解不等式即可得出答案. 【详解】对任意两个不相等的实数，，恒成立， 所以函数在上为增函数，则有 解得：. 故选：D. 8. 已知实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对，利用换底公式等价变形，得，结合的单调性判断，同理利用换底公式得，即，再根据对数运算性质得，结合单调性， ，继而得解. 【详解】由，变形可知， 利用换底公式等价变形，得， 由函数在上单调递增知，，即，排除C，D； 其次，因为，得，即， 同样利用的单调性知，， 又因为，得，即，所以. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的值域为R B. 是R上的增函数 C. 是R上的奇函数 D. 有最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】，而得到的值域为R，判断A正确，D错误，根据增函数加增函数还是增函数进行判断B选项，根据函数奇偶性定义判断得到C选项. 【详解】，而，所以值域为R，A正确，D错误； 因为是递增函数，而是递增函数，所以是递增函数，B正确； 因为定义域为R，且，所以是R上的奇函数，C正确； 故选：ABC 10. 在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的关系与各图形一个个检验即可判断． 【详解】当时，A正确；当时，B正确； 当时，D正确；当时，无此选项． 故选：ABD． 11. 已知，则a，b满足（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由对数与指数的互换公式可得，由作差法结合对数的换底公式可判断选项A，由对数运算可判断B；由均值不等式结合由选项B推出的结论可判断选项C,D. 【详解】由，则，则， 所以，所以A正确； ，所以B不正确； 由，因为，故等号不成立，则，故C正确； 因为，故等号不成立，故D正确. 故选：ACD. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象恒过定点_____________. 【答案】（1,3） 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，即可得答案. 【详解】令，可得， 所以，即图象恒过定点（1,3）. 故答案为：（1,3） 13. 已知，，，则的最小值是___________. 【答案】9 【解析】 【分析】由对数的运算性质得，即，然后用基本不等式求得的最小值． 【详解】因为，，，所以，所以，所以， 所以（当且仅当，时等号成立），所以的最小值是9. 故答案为：9． 14. 设是定义在上的奇函数，对，都有，且当时，，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据奇函数与对称性可得的周期性，进而求解即可 【详解】因为是定义在上的奇函数，故，， 故，即周期为4， 故 故答案为：3. 四．解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用指数幂运算和对数运算即可求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 16. 设函数的定义域为集合A. （1）求A； （2）已知集合，其中，若，求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据解析式有意义列不等式组求解可得； （2）先求集合B，然后考查两个集合的端点关系可得. 【小问1详解】 由得，解得， 所以 【小问2详解】 解不等式得，即 因为，所以或，即或 所以的取值范围为 17. 已知函数. （1）求函数的定义域，并判断其奇偶性； （2）若关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】（1），奇函数 （2） 【解析】 【分析】（1）由可求得定义域，计算化简可判断奇偶性； （2）根据奇函数的性质和单调性可得有解，设，可得有解，即可求出. 【小问1详解】 由解得或，所以的定义域为， 定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数. 【小问2详解】 由（1）可知：有解 有解 因为，， 又因为在上单调递增. 有解 设，则， 有解，有解， 当时，，所以，. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数a的值； （2）求不等式的解集； （3）若关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数满足，即可求解；（2）根据的单调性，即可根据函数值的大小确定自变量的大小，即可转化求解，（3）将恒成立问题转化为最值问题，即可利用二次函数的性质求最值进行求解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以， 即，即， 因为，所以，所以（经检验，符合题意） 【小问2详解】 由（1）得， 因为与在上均为增函数，所以在上为增函数， 又，所以， 所以，即， 所以，所以不等式的解集是. 【小问3详解】 因为关于x的不等式恒成立，即恒成立， 所以恒成立，所以， 因为， 所以当，即时，取得最小值. 所以，即实数k的取值范围是 19. 定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的一个上界，已知函数，奇函数； （1）求函数在区间上的所有上界构成的集合； （2）若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复合函数单调性的性质，结合题中所给的定义进行求解即可； （2）根据题中的定义，根据绝对值的性质，结合换元法、构造函数法，利用函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 函数为奇函数，所以， 即，所以，解得， 而当时，不合题意，故. 所以， 由在区间上单调递减，结合复合函数的单调性可知，函数在区间上单调递增， 且， 所以在区间上值域为，所以， 根据定义可知：当时，成立， 故函数在区间上的所有上界构成的集合为； 【小问2详解】 因为函数在上是以5为上界的有界函数， 所以在上恒成立，即，即， 所以在上恒成立， 所以， 令，，， 易知在上递减，所以， 在上递增，所以， 所以，即实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是对题中所给的定义的理解，二是对换元法的应用、熟练掌握常见函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力与理解能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西吉安市四所重点县二中2024级高一上学期11月联考数学试卷 (2024年11月下旬) 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：第一章至第四章内容；重点考查第三章指数运算与指数函数和第四章对数运算与对数函数 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数，已知，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 上高中的小黑为弟弟解答《九章算术》中的一个题目：今有田，广15步，纵16步，此田面积有多少亩？翻译为：一块田地，宽15步，长16步，则这块田有多少亩？小黑忘记了亩与平方步之间的换算关系，只记得一亩约在200—250平方步之间，则这块田地的亩数是（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 双曲正弦函数是高等数学中重要的函数之一，已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（且），若对任意两个不相等的实数，，恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的值域为R B. 是R上的增函数 C. 是R上的奇函数 D. 有最大值 10. 在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则a，b满足（ ） A. B. C. D. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象恒过定点_____________. 13. 已知，，，则的最小值是___________. 14. 设是定义在上的奇函数，对，都有，且当时，，则__________． 四．解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 16. 设函数的定义域为集合A. （1）求A； （2）已知集合，其中，若，求的取值范围 17. 已知函数. （1）求函数的定义域，并判断其奇偶性； （2）若关于的方程有解，求实数的取值范围. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数a的值； （2）求不等式的解集； （3）若关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围. 19. 定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的一个上界，已知函数，奇函数； （1）求函数在区间上的所有上界构成的集合； （2）若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $