精品解析：湖北武汉市黄陂区第七高级中学2026-2027学年高一上学期10月质量检测数学试题

2026级高一上学期10月质量检测数学 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图象中表示函数图象的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知不等式的解集为，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的定义域是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 1 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 下列命题中真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 11. 高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作．如，，，记函数，则（ ） A. B. 的值域为 C. 在上有5个零点 D. ，方程有两个实根 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 不等式的解集是___________． 13. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 14. 某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 已知集合，， （1）求集合、集合； （2）若____，求实数的取值范围(请从①集合、②集合两个条件中任选一个补充在横线处，并完成解答．). 16. 已知不等式的解集为． （1）求的值，并求不等式的解集； （2）解关于x的不等式． 17. 已知函数的解析式为 （1）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （2）解不等式； （3）若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围． 18. 2009年淘宝开始做“双十一”活动，历经11载，每年双十一成交额都会出现惊人的增长，极大拉动消费内需，促进经济发展.已知今年小明在网上买了一部华为手机，据了解手机是从150千米处的地方发出，运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶，中途不停车.按交通法规限制（单位：千米/时）.假设汽油的价格是每升5元，而卡车运输过程中每小时耗油升，司机的工资是每小时20元. （1）求这次行车总费用（单位：元）关于的表达式； （2）当为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用. 19. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． （1）已知为正实数，且，求证：； （2）已知，且，则的最小值是多少? （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一上学期10月质量检测数学 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合AB,再利用集合交集的定义求解即可. 【详解】由条件可知集合, , 则集合. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由含有一个量词的命题的否定的定义判断. 【详解】因为命题“，”是全称量词命题， 所以其否定是存在量词命题，即, 故选：C 3. 下列图象中表示函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由函数的定义可得，定义域内一个只能对应一个，故A正确. 4. 已知不等式的解集为，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用可构造关于的不等式，解不等式可得结果. 【详解】，，即，解得：， 即实数的取值范围为. 故选：D. 5. 已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题是假命题列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于命题：“，”为假命题， 所以， 解得. 故选：D 6. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出集合和集合，再根据并集定义求出． 【详解】集合是函数的值域，而， 集合，可表示为． 集合是的定义域，即，解得， 集合， ． 故选：D． 7. 若函数的定义域是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数有意义可得：恒成立，解出即可. 【详解】解：由的定义域是知：恒成立， 即无解， 若，则知方程无解； 若，则， 解得：， 综上所述：. 故选：C. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的描述及已知函数新定义有或，进而作出点集表示的对应区域，即可得答案. 【详解】由可得或， 即或或或， 即或或或， 上述不等式组表示的平面区域如图示： 由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 所以点集所表示的平面区域的面积是4.， 故选：A 【点睛】关键点点睛：明确点集表示的几何意义为平面区域，这是解答的关键. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 下列命题中真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用不等式的性质、特殊值法判断选项的正误即可. 【详解】对于A，，若时不成立，错误； 对于B，，若时不成立，错误； 对于C，，必有，正确； 对于D，，必有成立，正确； 故选：CD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：求出两函数定义域即可得；对B：由题意可得，解出即可得；对C：分与，结合所给值域进行讨论即可得；对D：分与，结合所给定义域进行讨论即可得. 【详解】对A：定义域为，定义域为， 故函数与 不是同一个函数，故A错误； 对B：由的定义域为，则对有， 解得，故函数的定义域为，故B正确； 对C：当时，，不符； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是，故C正确； 对D：当时，，其定义域为，符合要求； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是，故D错误. 故选：BC. 11. 高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作．如，，，记函数，则（ ） A. B. 的值域为 C. 在上有5个零点 D. ，方程有两个实根 【答案】BD 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义，结合特殊点的函数值、值域、零点、方程的根、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，选项A错误； 当时，， 当时，，； 当时，， ……以此类推，可得的图象如下图所示， 由图可知，的值域为，选项B正确； 由图可知，在上有6个零点，选项C错误； ，函数与的图象有两个交点，如下图所示， 即方程有两个根，选项D正确． 故选：BD 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】移项通分化简，等价转化为，进一步等价转化为二次不等式(组),注意分母不能为零，然后求解即得. 【详解】原不等式等价于，化简得，又等价于， 解得：， 故答案为：. 13. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式的性质，可得整式方程，再根据一元二次方程性质与分式方程性质分类讨论即可得答案． 【详解】方程两边同时乘以得，即， ①当，即时，方程只有一个解； ②当其中一个解为增根时，方程也只有一个解， （i）若增根为0时，； （ii）若增根为1时，； 故k的值为或0或2，即的可能取值构成的集合为. 14. 某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【详解】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30. 点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 已知集合，， （1）求集合、集合； （2）若____，求实数的取值范围(请从①集合、②集合两个条件中任选一个补充在横线处，并完成解答．). 【答案】（1）或，；（2）条件选择见解析，. 【解析】 【分析】（1）由不等式，利用分式不等式的求得集合A，由不等式，利用指数函数的单调性求得集合B. （2）若选择，则，即由求解；若选择，则，即由求解. 【详解】（1）不等式， 即为， 解得或， 所以或， 不等式， 即为， 解得， 所以； （2）若选择， ∵，即， ∴，即， . ∵， ∴， 又， ∴的取值范围是. 若选择 ∵，即， ∴，即， 因为， ∴， 又， ∴的取值范围是. 16. 已知不等式的解集为． （1）求的值，并求不等式的解集； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1），不等式的解集为 （2）当时，解集为，当时，解集为 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根的关系求出，然后再解不等式即可. （2）根据的取值范围分类讨论求解解集即可． 【小问1详解】 因为不等式的解集为． 所以，，原不等式为， 即，解得，所以， 则不等式为， 由于恒成立，所以解集为． 【小问2详解】 由（1）知不等式可化为， 对于，当时，不等式为，解得， 当时，不等式化为，解得， 综上，当时，解集为，当时，解集为. 17. 已知函数的解析式为 （1）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （2）解不等式； （3）若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围． 【答案】（1） 最大值为4 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）分段求解不等式，再求并集； （3）根据图象，画出与有2个交点，求取值范围. 【小问1详解】 根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4. 【小问2详解】 当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或； 【小问3详解】 如图，与有2个交点，则或. 18. 2009年淘宝开始做“双十一”活动，历经11载，每年双十一成交额都会出现惊人的增长，极大拉动消费内需，促进经济发展.已知今年小明在网上买了一部华为手机，据了解手机是从150千米处的地方发出，运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶，中途不停车.按交通法规限制（单位：千米/时）.假设汽油的价格是每升5元，而卡车运输过程中每小时耗油升，司机的工资是每小时20元. （1）求这次行车总费用（单位：元）关于的表达式； （2）当为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用. 【答案】（1），；（2）当为60时，这次行车的总费用最低，最低费用是225元. 【解析】 【分析】（1）总费用由油耗、司机工资费用组成，分别用x表示两部分费用加总即可； （2）由（1）所得函数表达式，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】解：（1）货车行驶的时间为小时，由题意得： ，； （2）当且仅当，即时取等号 所以当为60时，这次行车的总费用最低，最低费用是225元. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，必须满足的三个条件--“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件. 19. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． （1）已知为正实数，且，求证：； （2）已知，且，则的最小值是多少? （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 【答案】（1）证明：， 当且仅当，即时，等号成立，得证． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）将化为，再应用换元法及基本不等式求最大值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 【小问3详解】 ， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $