精品解析：浙江省嘉兴市第一中学2025-2026学年高二上学期12月阶段性检测数学试题

嘉兴一中2025学年第一学期12月阶段性检测 数 学 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的渐近线方程为（    ） A. B. C. D. 2. 已知直线，若，则的值为（　　） A. B. 3 C. -1 D. 3或-1 3. 已知数列是公差为的等差数列，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则双曲线两条渐近线的夹角大小为（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，，分别为，的中点，点在上，且，则与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，以下能使得数列单调递增的是（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点的直线与圆交于，两点，则（ ） A. 圆心到直线的最大距离为2 B. 当直线斜率为1时， C. 弦中点的轨迹长度为 D. 的取值范围为 10. 在公比为q的等比数列中，.记数列的前n项积为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最大项为 D. 若，则的最小项为 11. 已知双曲线为的左、右焦点，点为双曲线左支上的一点，且满足，作的角平分线，过作的垂线，垂足为，若，连，则下列说法正确的有（ ） A. 的标准方程为 B. C. 连的外接圆半径为 D. 设点为的重心，则点坐标为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______. 13. 已知数列满足，，设数列的前项和为，则___________. 14. 设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与圆交于两点，点（不同于点）在圆上 （1）若时，求的面积； （2）若，求直线l的方程． 16. 在矩形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，得到如图所示的四棱锥. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知在数列中，，且当时，. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 18. 已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 设抛物线E：过焦点F的直线与抛物线E交于点当直线垂直于x轴时，. （1）已知点（如图1）直线分别与抛物线E交于点，求证：直线过定点． （2）如图2所示，设D为抛物线上的一点，过D作直线交抛物线于两点，过D作直线交抛物线于两点，且设线段与线段的交点为T，求直线斜率的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉兴一中2025学年第一学期12月阶段性检测 数 学 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的渐近线方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的方程直接求解. 【详解】由，可得，即， 即， 所以双曲线渐近线的方程为， 故选：C 2. 已知直线，若，则的值为（　　） A. B. 3 C. -1 D. 3或-1 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行公式计算求参. 【详解】当或时两直线不平行， 当且时， 因为， 所以， 故选:A． 3. 已知数列是公差为的等差数列，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列定义，结合对数运算求出等比数列的公比，进而求得答案. 【详解】由数列是公差为的等差数列，得， 则，因此数列是公比为的等比数列， 所以. 故选：A 4. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得，要使为整数，即为整数，计算即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得， 因为，所以， 因为，要使为整数，即为整数， 所以，共个， 即使得为整数的正整数的个数是. 故选：C 5. 已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则双曲线两条渐近线的夹角大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线之间关系及离心率的定义可构造方程求得，由此可得渐近线斜率和倾斜角，根据两直线夹角的范围可确定最终结果. 【详解】椭圆的离心率，双曲线的离心率， ，，， 设双曲线渐近线的倾斜角为，则，即渐近线的倾斜角分别为和， 又两条直线夹角的范围为：， 双曲线两条渐近线的夹角大小为. 故选：B. 6. 在正方体中，，分别为，的中点，点在上，且，则与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用空间向量法计算异面直线夹角余弦公式计算求解. 【详解】在正方体中，，分别为，的中点，点在上，且， 设正方体的棱长为6，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系． 则， ，分别为，的中点，，， ，． ，， 与所成角的余弦值为． 故选：B． 7. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用直径所对的圆周角为直角，将问题等价转化为两圆的位置关系，结合圆心距与两圆的位置关系，可得答案. 【详解】设以原点为圆心，以为半径作圆，则其方程为，则点A、B，点P在该圆上， 当两圆用公共点时，圆上一定存在点，使得， 由圆，则圆心，半径， ，则，解得. 故选：B. 8. 已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，以下能使得数列单调递增的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项可得，可得，进而得到，即可对讨论，结合选项逐一判断. 【详解】对于A，数列是各项为正数的等比数列，则，由题意，，则. 当时，，由，若取，则，即，即此时不能使数列单调递增，故A错误； 对于B，当时，，，则数列单调递增，等价于， 即对任意恒成立.因为当时，函数的最大值为，所以，故B错误； 对于C，当时，，因，则化简得，解得或. 当时，，因，则得，即数列单调递增；当时，由B项知，数列单调递增，故C正确； 对于D，当时，，化简得，解得或. 对于时，若取，则，则得，即此时不能使数列单调递增，故D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点的直线与圆交于，两点，则（ ） A. 圆心到直线的最大距离为2 B. 当直线斜率为1时， C. 弦中点的轨迹长度为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先判断在圆内，求出圆心到直线的最大距离判断A的正误；求出直线的方程后利用垂径定理可求弦长，从而判断B的正误；求出弦中点的轨迹后可求其长，从而判断C的正误；利用数量积的线性运算求出的取值范围判断D的正误. 【详解】圆的标准方程为：，故，圆的半径为. 对于A：因为，故在圆的内部， 故当时，到的距离最大且最大距离为， 故A正确； 对于B：当直线斜率为1时,直线的方程为即， 故到的距离为，故，故B错误； 对于C：设的中点，则，故的轨迹为以为直径的圆， 其半径为，故轨迹圆的周长为，故C正确； 对于D： ， 而，故，故D正确； 故选：ACD. 10. 在公比为q的等比数列中，.记数列的前n项积为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最大项为 D. 若，则的最小项为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据可得选项A正确；根据可得选项B错误；根据条件可得，，利用可得选项C正确；类比选项C，比较的大小可得选项D错误. 【详解】A.由题意得，， ∵，∴，解得，故A正确. B.由题意得，， ∵，，∴，即，故B错误. C.∵，，∴，故数列中的奇数项为负数，偶数项为正数， ∵，∴， ∴，， ∵，， ∴的最大项为，故C正确. D.∵，∴， ∵，∴， ∴，， ∵数列中的奇数项为负数，偶数项为正数，∴， ∵，， ∴当时，，此时，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决选项C，D的关键是利用条件分析数列中各项的正负，结合选项条件确定数列各项绝对值与1的大小关系，由此可得结果. 11. 已知双曲线为的左、右焦点，点为双曲线左支上的一点，且满足，作的角平分线，过作的垂线，垂足为，若，连，则下列说法正确的有（ ） A. 的标准方程为 B. C. 连的外接圆半径为 D. 设点为的重心，则点坐标为 【答案】BD 【解析】 【分析】A：判断出的形状，根据得到关于的方程，可求，再根据勾股定理可求，则的标准方程可知；B：根据与全等，利用中位线进行证明；C：计算出的大小，结合正弦定理可求结果；D：根据等面积法以及分别计算出，则重心坐标可求. 【详解】延长交于点，延长交于点，如图所示， 因为，所以， 又因为平分，所以， 因为，所以都是等腰直角三角形， 因为，，， 所以与全等，所以，所以为中点， 又因为为中点，所以且，所以，故B正确； 因为， 所以，又，所以， 因为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以的标准方程为，故A错误； 因为，所以， 因为，，， 所以与全等，所以为中点，所以， 所以，所以， 所以， 所以的外接圆半径为，故C错误； 因为， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，所以，且， 所以，所以，所以，故D正确； 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由列方程，化简求得的值. 【详解】∵，，， ∴， 又∵A，C，D三点共线，∴， ∵，不共线，∴， ∴，∴. 故答案为： 13. 已知数列满足，，设数列的前项和为，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式，求出数列的项，可知数列周期为4，利用周期求解即可. 【详解】因为， 所以，，， 所以数列的周期为， 所以， 故答案为：. 14. 设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为___________. 【答案】2024 【解析】 【分析】先通过‘取倒变换’将分式递推数列转化，构造等比数列，再利用拆项求和将前项和转化，最后用等比放缩法确定范围求值即可. 【详解】由题知： ， 两边取倒数得 ，所以， 又因为 ，所以 是首项为1，公比为 的等比数列， 所以，所以， 则， 所以，即， 故， 令， 因为数列不易求和，而 ，考虑等比放缩： 时，， ， 则 ， 所以 故，则正整数的值为2 024. 故答案为：2024. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与圆交于两点，点（不同于点）在圆上 （1）若时，求的面积； （2）若，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）当时，先确定直线的方程，再计算圆心到直线的距离，利用垂径定理求弦长，进而计算三角形面积； （2）利用圆周角与圆心角的关系，结合三角函数求出圆心角，再通过圆心到直线的距离公式求解的值. 【小问1详解】 当时，直线， 因为圆，半径， 所以圆心C到直线l的距离， 所以， 所以； 【小问2详解】 由于，过点C作于点H，则， 又因为， 所以，所以， 所以，所以， 又因为， 所以， 所以直线l的方程为或. 16. 在矩形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，得到如图所示的四棱锥. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）在矩形中，，，为的中点， 所以，所以，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，可证，结合已知可证平面； （2）由题意可得，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接，， 则，所以平面， 由题可得，所以， 所以，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则， 取，得，，所以. 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知在数列中，，且当时，. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2） 由（1）知， 则， 则数列的前项和 ， 又，则， 故. 【解析】 【分析】（1）利用，变形得到，证明出数列是等比数列，即可求出数列的通项公式； （2）利用裂项相消求出数列的前项和为，再利用不等式的性质即可得到. 【小问1详解】 当时，， 又，可得， 当时，，则， 又，所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，故； 【小问2详解】 略 18. 已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论； （2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当时，， ， 当时，由①， 得②，①②得 ， 又是首项为，公比为的等比数列， ； （2）由，得， 所以， ， 两式相减得 ， 所以， 由得恒成立， 即恒成立， 时不等式恒成立； 时，，得； 时，，得； 所以. 【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号. 19. 设抛物线E：过焦点F的直线与抛物线E交于点当直线垂直于x轴时，. （1）已知点（如图1）直线分别与抛物线E交于点，求证：直线过定点． （2）如图2所示，设D为抛物线上的一点，过D作直线交抛物线于两点，过D作直线交抛物线于两点，且设线段与线段的交点为T，求直线斜率的取值范围． 【答案】（1） 由题意，当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为， 联立，可得， 则所以抛物线T的方程为 若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 同理可知，直线也不与轴重合，易知点， 设直线AB的方程为 联立，得 因此 设直线的方程为联立， 得， 因此 同理可得， 所以 因此直线的方程为 由对称性知，定点在轴上，令 则 ， 所以直线过定点. （2）． 【解析】 【分析】（1）利用弦长求解p，即可求解抛物线方程，设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点； （2）设D点坐标为，将抛物线方程与直线联立，利用韦达定理将点M和点N坐标用a表示，进而可得到直线的方程，证明直线过定点T，然后表示出直线的斜率，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点坐标为点坐标为点坐标为 由题意可知直线的斜率存在，且不为0， 则直线的方程为 与抛物线联立，消去x得: 所以解得 直线DN的方程为, 与抛物线联立，消去x得 由韦达定理可得解得 显然直线的斜率不为0， 当直线斜率存在时，直线的方程为： 整理得： 将代入直线的方程得： , 所以直线过定点即T点坐标为 直线的斜率为, 当时 当且仅当，即a＝2时，等号成立， 当时, 当且仅当即时，等号成立， 当时， 当直线的斜率不存在时，设点坐标为点的坐标为 则， 根据题意所以 解得：所以直线的方程为过点， 综上所述，直线斜率的取值范围为． 【点睛】根据弦长公式求得作为题目的切入点，然后根据圆锥曲线设而不求，联立与抛物线，与抛物线，进而求得直线的方程为，由对称性知，定点在轴上，令从而求出定点；第二问将抛物线方程与直线联立，利用韦达定理将点M和点N坐标用a表示，进而可得到直线的方程，证明直线过定点T，然后表示出直线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $