精品解析：山东省青岛市第五十九中学2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题

山东省青岛市第五十九中学2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题 一、单选题 1. 如图，将挂衣钩固定在墙上，最少需要钉子的个数为（　　） A. B. C. D. 2. 下列运用等式的性质，变形错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 一个七边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 解方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，若∠AOB＝120°，则∠AOD的度数为（　　） A. 30° B. 60° C. 50° D. 90° 6. 下列各题中的变形属于移项的是（ ） A. 由得 B. 由得 C. 由得 D. 由得 7. 如图，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，最小的一个正方形边长为1，则这个长方形色块图的面积为（ ） A. 101 B. 121 C. 143 D. 144 8. 如图，圆的四条半径分别是OA，OB，OC，OD，其中点O，A，B在同一条直线上，若∠AOD=90°，∠AOC=3∠BOC，那么圆被四条半径分成的四个扇形的面积的比是（ ） A. 1：2：2：3 B. 3：2：2：3 C. 4：2：2：3 D. 1：2：2：1 9. 某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 10. 已知有理数a，b满足：，如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论： ①； ②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①②③④ D. ①③④ 二、填空题 11. 时间为6：50时，时钟上时针和分针所形成的锐角为______度． 12. 已知线段，延长到C，使，D为的中点，若，则的长为___________． 13. 如图，点O在直线上，射线、在直线的同侧，若，则的度数为__________． 14. 已知是关于的一元一次方程，则的值为_____． 15. 若方程的解与关于x的方程的解相同，则a的值为_________． 16. 如图，点、是线段上两点，、分别是线段、的中点，给出下列结论：①若，则；②；则；③；其中正确的有______（请填写序号） 三、解答题 17. 解方程： （1） （2） （3） （4） 18. 已知线段a、b，请用尺规作线段．（保留作图痕迹，不用写作法） 19. 如图，已知，是从的内部引出的一条射线，射线在的外部，且．小麓发现了与之间满足某种数量关系，并进行了推理说明，聪明的你请帮助小麓补全下面的推理过程． 解：， ， 即__________， 又， __________． 又__________， ______________________________． 20. 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 21. 小宜跟同学在周末相约去一家餐厅吃饭，下表为此餐厅的部分菜单．小宜记录了大家点套餐的情况；他们所点的套餐中共有11份盖饭，x杯饮料，5份小菜． 种类 配餐 价格/元 优惠活动 A套餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24元；消费满300元，减48元……以此类推 B套餐 1份盖饭+1杯饮料 28 C套餐 1份盖饭+1杯饮料+1份小菜 32 数学思考： （1）他们一定共点了______份C套餐；他们共点了______份B套餐；他们共点了______份A套餐（用含x的代数式表示B套餐数和A套餐数） 问题解决： （2）若他们所点的套餐中共有6杯饮料，求他们实际消费的金额． （3）若他们点餐优惠后共花费256元，请求出他们的套餐是如何搭配的？ 22. 【感悟体验】如图1，A、B、C三点在同一直线上，点D在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定D点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图2，下列情形中与互为“对称线段”的是________（直接填序号）． ①，；②，，；③，． 【运用概念】如图3，与互为“对称线段”，点M为的中点，点N为的中点，且． （1）若，求的长； （2）在的长度可以变化的情况下，试说明与互为“对称线段”． 【拓展提升】 （3）如图4，在同一直线上依次有A、B、C、D四点，且（a为常数），点M为的中点，点N在上且．是否存在m的值使得的长为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省青岛市第五十九中学2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题 一、单选题 1. 如图，将挂衣钩固定在墙上，最少需要钉子的个数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是直线的基本性质，灵活运用“两点确定一条直线”的原理是解题的关键．根据“两点确定一条直线”的性质，可知用个钉子即可固定挂衣钩所在的直线，进而得出最少需要的钉子个数． 【详解】解：根据几何原理“两点确定一条直线”，用个钉子可以将挂衣钩所在的直线固定在墙上，确保其稳定，因此最少需要个钉子． 故选：B． 2. 下列运用等式的性质，变形错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立．根据等式基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，原结论正确，不符合题意； B、若，则，原结论正确，不符合题意； C、若，则，原结论正确，不符合题意； D、若，则需要时，才成立，原结论错误，符合题意． 故选：D． 3. 一个七边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形的对角线．n边形（）从一个顶点可以做条对角线． 将代入计算即得． 【详解】解：从七边形的一个顶点可引出的对角线的条数有条． 故选：C． 4. 解方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程．去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数6，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴两边同乘6得： ， 即， 故选：C． 5. 如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，若∠AOB＝120°，则∠AOD的度数为（　　） A. 30° B. 60° C. 50° D. 90° 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义分别求出∠COD和∠AOC，计算即可． 【详解】∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠COB＝∠AOC＝∠AOB＝60°， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠COD＝∠COB＝30°， ∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝90°， 故选D． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，掌握从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解题的关键． 6. 下列各题中的变形属于移项的是（ ） A. 由得 B. 由得 C. 由得 D. 由得 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，移项是指将方程中的项从等号的一边移动到另一边，并改变该项的符号；根据此定义，逐一判断各选项； 【详解】解：选项A：由 得 ，移动时符号错误，不属于移项； 选项B：由 得 ，仅运用加法交换律，不属于移项； 选项C：由 得 ，将8移项后变为，将移项变为，符号改变，属于移项； 选项D：由 得 ，仅交换等式两边，不属于移项。 故选：C 7. 如图，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，最小的一个正方形边长为1，则这个长方形色块图的面积为（ ） A. 101 B. 121 C. 143 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设在长方形色块图中，右下角的小正方形边长为，则长方形色块的长（下边）为，长方形色块的长（上边）为，据此建立方程，解方程可得的值，则可得长方形色块图的长与宽，利用长方形的面积公式计算即可得． 【详解】解：设在长方形色块图中，右下角的小正方形边长为，则长方形色块的长（下边）为，长方形色块的长（上边）为， ∴， 解得， ∴长方形色块的长为， 宽为， ∴这个长方形色块图的面积为， 故选：C． 8. 如图，圆的四条半径分别是OA，OB，OC，OD，其中点O，A，B在同一条直线上，若∠AOD=90°，∠AOC=3∠BOC，那么圆被四条半径分成的四个扇形的面积的比是（ ） A. 1：2：2：3 B. 3：2：2：3 C. 4：2：2：3 D. 1：2：2：1 【答案】A 【解析】 【分析】先求出各角的度数，再得出其比值即可． 【详解】∵点O，A，B在同一条直线上，∠AOD=90°， ∴∠BOD=90°， ∵∠AOC=3∠BOC， ∴∠BOC=×180°=45°，∠AOC=3×45°=135°， ∴S扇形BOC：S扇形BOD：S扇形AOD：S扇形AOC=45：90：90：135=1：2：2：3． 故选A． 【点睛】本题考查的是角的计算，熟知两角互补的性质是解答此题的关键． 9. 某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先理解题意找出题中的等量关系：甲完成的工作量+乙完成的工作量=总的工作量，根据此列方程即可． 【详解】解：设甲、乙共用x天完成，则甲单独干了（x﹣22）天，把总的工作量看成单位1，则甲每天完成全部工作的，乙每天完成全部工作的，根据题意得：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，找出题目中的等量关系是解题的关键． 10. 已知有理数a，b满足：，如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论： ①； ②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查绝对值，完全平方非负性，数轴上两点间距离等，根据以上知识解答即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：，即①正确， ∵点O是原点，点A所对应的数是a， ∴点A所对应的数是4， ∵， ∴， ∵当点B与点O重合时， ∴点表示的数为， ∵线段在直线上运动（点B在点C的左侧）， ∴表示的数为，即，即②不正确， ∵当点C与点A重合时， ∴点表示的数为4， ∵点B在点C的左侧，， ∴点B表示的数为2， ∵点P是线段延长线上的点， ∴，， ∴，即③正确； ∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴， 分为四种情况： 第一种情况：当在左侧时，如图： ， ； 第二种情况：当、在两侧时，如图： ， ； 第三种情况：当、在线段上时，如图： ， ； 第四种情况：当和都在右边时，如图： ， ， ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变，即④正确， 故选：D． 二、填空题 11. 时间为6：50时，时钟上时针和分针所形成的锐角为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查钟面角度问题，掌握相关知识是解决问题的关键．根据整时之间的夹角为和时针旋转的速度是0.5度分钟求解可得． 【详解】解：钟面上，整时之间的夹角为，旋转的速度是每分钟， ∴此时时钟上的分针与时针所形成的锐角是： ． 故答案为：． 12. 已知线段，延长到C，使，D为的中点，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念，利用中点性质转化线段之间的倍数关系是解题的关键．先根据与的关系求出的长，再求出的长，然后根据中点定义求出的长，最后利用线段的和差关系求的长． 【详解】解：，， ， ， 为的中点， ， ， 故答案为：． 13. 如图，点O在直线上，射线、在直线的同侧，若，则的度数为__________． 【答案】##18度 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，先求出，再根据，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 已知是关于的一元一次方程，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义列出关于m的方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：． 15. 若方程的解与关于x的方程的解相同，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可求得的值．掌握解一元一次方程是解答本题的关键． 【详解】解：， 去分母得， 去括号， 移项合并得， 解得得， 解， 移项合并得：， 解得， 由题意得：， 解得． 故答案为：． 16. 如图，点、是线段上两点，、分别是线段、的中点，给出下列结论：①若，则；②；则；③；其中正确的有______（请填写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由可得，再由线段的中点，即可判断①；可得，再由线段的中点 可判断②；由结合线段的中点可判断③． 【详解】解：， ， 是线段的中点， ， ， ， ， 即， 故①正确； ， ， ， M、N分别是线段、的中点， ， ， ， 故②正确； M、N分别是线段、的中点， ， ， ， ， 故③正确； 故答案：①②③． 【点睛】本题考查了线段的中点定义，线段的和差；能根据所求线段或等式用线段和差表示，并由线段中点进行等量转换是解题的关键． 三、解答题 17. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （3）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （4）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 合并得：， ∴； 【小问2详解】 ， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， ∴； 【小问3详解】 ， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， ∴； 【小问4详解】 ， 整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 解得：． 18. 已知线段a、b，请用尺规作线段．（保留作图痕迹，不用写作法） 【答案】 解：如图，线段即为所求作． 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，正确掌握作线段等于已知线段是解题关键．先作射线，在上依次截取，再在线段上截取，则线段即为所求． 【详解】略 19. 如图，已知，是从的内部引出的一条射线，射线在的外部，且．小麓发现了与之间满足某种数量关系，并进行了推理说明，聪明的你请帮助小麓补全下面的推理过程． 解：， ， 即__________， 又， __________． 又__________， ______________________________． 【答案】；；；，， 【解析】 【分析】本题考查角的和差计算，根据角的关系进行正确计算是关键． 根据角的和差关系填空即可． 【详解】略 20. 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】客人共有30位，盘子共有13个． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设共有x位客人． 依题意，得，解得， 所以． 答：客人共有30位，盘子共有13个． 21. 小宜跟同学在周末相约去一家餐厅吃饭，下表为此餐厅的部分菜单．小宜记录了大家点套餐的情况；他们所点的套餐中共有11份盖饭，x杯饮料，5份小菜． 种类 配餐 价格/元 优惠活动 A套餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24元；消费满300元，减48元……以此类推 B套餐 1份盖饭+1杯饮料 28 C套餐 1份盖饭+1杯饮料+1份小菜 32 数学思考： （1）他们一定共点了______份C套餐；他们共点了______份B套餐；他们共点了______份A套餐（用含x的代数式表示B套餐数和A套餐数） 问题解决： （2）若他们所点的套餐中共有6杯饮料，求他们实际消费的金额． （3）若他们点餐优惠后共花费256元，请求出他们的套餐是如何搭配的？ 【答案】（1），，（2）；（3）他们点了6份A套餐，0份B套餐，5份C套餐，或3份A套餐，3份B套餐，5份C套餐 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的实际应用． （1）根据题意得出B，C套餐共点了份，再由5份小菜得出C套餐点了5份，据此可解决问题． （2）根据所点的套餐中共有6杯饮料，推出A，B，C套餐的份数，据此可解决问题． （3）根据题意，建立关于x的方程即可解决问题． 【详解】解：（1）由题知， 因为饮料只有B，C套餐里面有，小菜只有C套餐里面有， 又因为他们点餐共有11份盖饭，杯饮料和5份小菜， 所以他们共点了份B套餐，点了份B套餐． 故答案为：，，． （2）当时，，， 所以他们点了5份A套餐，1份B套餐，5份C套餐， 则套餐的总价为：（元）， 所以他们实际消费的金额为：（元）． （3）由题知，他们点了份A套餐，份B套餐，5份C套餐， 所以套餐的总价为：元． 当消费满150元但不满300元时，， 解得， 则，， 故他们点了6份A套餐，0份B套餐，5份C套餐， 当消费满300元时但不满450元时，， 解得， 所以，， 故他们点了3份A套餐，3份B套餐，5份C套餐． 当消费满450元时但不满600元时，， 解得（舍去）． 综上所述：他们点了6份A套餐，0份B套餐，5份C套餐，或3份A套餐，3份B套餐，5份C套餐． 22. 【感悟体验】如图1，A、B、C三点在同一直线上，点D在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定D点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图2，下列情形中与互为“对称线段”的是________（直接填序号）． ①，；②，，；③，． 【运用概念】如图3，与互为“对称线段”，点M为的中点，点N为的中点，且． （1）若，求的长； （2）在的长度可以变化的情况下，试说明与互为“对称线段”． 【拓展提升】 （3）如图4，在同一直线上依次有A、B、C、D四点，且（a为常数），点M为的中点，点N在上且．是否存在m的值使得的长为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】一、感悟体验： 如图所示：点D即为所求： 二、认识概念：③； 三、运用概念：（1）； （2）证明：∵点M为的中点， ∴ ∵点N为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵与互为“对称线段”， ∴ ∴ 即： ∴ ∴与互为“对称线段”． 四、拓展提升：存在时，可使的长为定值，且 【解析】 【分析】本题以新定义题型为背景，重点考查了线段的和差关系，找准线段之间的关系是解题关键． 一、感悟体验：以点为圆心，长为半径画弧即可；二、认识概念：分别求出即可判断；三、运用概念：由中点的定义得， ，根据即可求解；四、拓展提升：设，则，，；根据即可求解． 【详解】解：一、感悟体验：略 二、认识概念： ①∵，， ∴ ②∵，， ∴ ∴ ③∵ ∴ 即： 故答案为：③ 三、运用概念： ∵点M为的中点， ∴ ∵点N为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵与互为“对称线段”， ∴ ∴ 即： ∴ （1） （2）由以上解析可知， ∴与互为“对称线段”． 四、拓展提升： 设， ∵且， ∴，， ∵点M为的中点， ∴ ∵点N在上且， ∴ ∵ ∴ 整理得： ∴当，即时，可使的长为定值 且 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $