精品解析：福建省永春第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

永春一中2027届高二年上学期12月月考数学试卷 12.20 考试时间120分钟，试卷总分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的相关概念，利用等差中项以及公差的计算，可得答案. 【详解】由数列为等差数列，则，解得， 可得公差，所以. 故选：B. 2. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由方程表示双曲线可得或，进而可知“”是该方程表示双曲线的充分而不必要条件. 【详解】若方程表示双曲线， 则有，解得或. 所以是方程表示双曲线的充分而不必要条件. 故选：A. 3. 已知曲线表示圆，则圆的半径为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆的方程特征求出参数的值，代入方程化为标准形式求半径. 【详解】曲线表示圆， 则，解得或. 当时，，不符合题意舍去. ∴，此时圆的方程可化为. ∴圆的半径为1. 故选：B 4. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列前n项和的性质可得，要使为整数，只需要为的因数即可. 【详解】， 又， ， 当时，，所以使得为整数的正整数的个数是4个. 故选：D. 5. M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且，用向量，，表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图结合空间向量线性运算知识可得答案. 【详解】如图， . 故选：D 6. 在正项等比数列中，，，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的计算可得通项，进而将问题转化为，构造，利用作差法确定单调性，即可求解最值得解. 【详解】设等比数列公比为，，. ，，解得，， 由得，即. 记，则， 当时，，时，， 因此 故时，取到得最小值是－16.，即实数的取值范围为， 故选:B. 7. 在正三棱锥中，是侧棱的中点，.若是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件证明出两两垂直，再通过向量法求解出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设在平面内的射影点为点，连接， 因为平面，平面，所以， 因为为的中点，且，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为几何体是正三棱锥，所以两两垂直； 以为原点，分别以方向为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，不妨设， 则，所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故选：B. 8. 已知在数列中，，，，则中的最大项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 记，整理得出的通项公式，分析当时和当时，即可得出中的最大项为. 【详解】记，由题意得， 整理可得， 得，即， 又，，所以，则是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 当时，，即， 当时，，即， 所以， 故中的最大项为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列有关数列的说法正确的是（ ） A. 数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C. 在数列1，，，2，，....，第8个数是 D. 数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据数列的定义作出判断；B选项，，B正确；C选项，观察得到第8个数是；D选项，，故D错误. 【详解】A选项，数列，0，4中，， 数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误； B选项，，则110是该数列的第11项，B正确； C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确； D选项，，故通项公式不为，D错误. 故选：BC 10. 已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】直线与抛物线联立方程组，求出点的坐标，由，求得，即可计算选项中的结论. 【详解】设，， 因为，直线的斜率为，则设直线的方程为， 联立方程，消去y得，解得或， 又因为点在第一象限，则，即， 因为，即，故正确； 因为，所以，故B正确； 且，故C正确； 因为， 且直线的方程为，即为， 原点到直线的距离为， 所以，故D错误. 故选：ABC. 11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数:1，3，6，，…称为三角形数;第二行图形中黑色小点个数:1，4，9，，…称为正方形数.记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则（ ） A. B. 既是三角形数，又是正方形数 C. D. ，总存在，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据三角形数列和正方形数列的规律可得其通项公式，对A只需裂项求和可得，对B可根据通项公式判断，对C需要放缩再裂项求和可得，对D只需令可得. 【详解】由题意可得三角形数列，正方形数构成数列. 对于A：因为，得，所以 ，故A正确； 对于B：令，，解得（舍去），所以是三角形数. 又因为，，所以不是平方数，故B错误； 对于C：因为，，所以 ，故C正确； 对于D：对任意，取， 则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的渐近线方程为（请用一般式方程作答）_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程直接求出渐近线方程. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即. 故答案为： 13. 已知数列的前n项和为，且满足，则的通项公式为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的项与前n项和的关系，直接求解即可. 【详解】当n＝1时，； 当时，． 综上，． 故答案为：． 14. 已知、，是圆上的动点，当最大时，________；的最大值为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求得，利用基本不等式可求得当取最大值时对应的的值，推导出，利用三角换元结合正弦型函数的有界性可求得的最大值. 【详解】由已知可得，则，得，且有， 所以， ， 当且仅当时，即当时，取得最大值. 因为，，所以，， 设，，其中， 所以，， 因为，则，当时，即当时，取得最大值， 此时，可得，合乎题意. 故答案为：；. 四、本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 四边形的四个顶点坐标分别为. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若四边形为平行四边形，求顶点的坐标及四边形的面积. 【答案】（1） （2），13 【解析】 【分析】（1）由坐标求出BC的中点为，又由BC的斜率即可求出与BC垂直的直线的斜率，最后由直线的点斜式即可求解； （2）由四边形为平行四边形可得，联立方程组即可求得顶点的坐标，由点到直线的距离公式即可求得点到直线BC的距离，根据面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以边BC的中点为， 又因为边BC的斜率为， 所以边BC的垂直平分线的斜率为， 所以边BC的垂直平分线的方程为， 化简得； 【小问2详解】 因为四边形为平行四边形，顶点， 所以，且， 联立，解得， 所以顶点. 因为边BC的斜率为， 所以直线BC的方程为， 化简得， 所以点到直线BC的距离为， 又， 所以平行四边形的面积为 16. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的求和公式来列方程即可求得公差，从而可得等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法来求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； 【小问2详解】 由， 所以. 17. 如图，在五面体中，平面，为的中点，． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）证明：平面平面； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）60°. （2） 证明：易知， 所以． 所以． 又因为平面平面， 所以平面． 又因为平面，所以平面平面． （3）． 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，AB，AD，AF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设，求得，再由求解； （2）得到，再利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明； （3）求得平面的一个法向量，再由平面的一个法向量为，由求解． 【小问1详解】 如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 设，依题意得 ． 则， 所以． 所以异面直线BF与DE所成角的大小为60°. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 易知， 设平面的法向量为， 则即 令，则，所以是平面的一个法向量． 又由题意，知平面的一个法向量为． 所以． 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． （1）求椭圆的方程． （2）设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 【答案】（1） （2）①； ②证明：由①知. 所以 . 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程； （2）①设直线的方程为：并与椭圆C联立方程组，解得，分别表示面积，可得，再用换元法，令，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解. ②由①知可得表达式，根据韦达定理，代入化简即可求证. 【小问1详解】 依题意知：，解得， 所以椭圆C的方程为： 【小问2详解】 ①依题意由（1）知，直线的斜率不为0． 设其方程为：，并与椭圆C联立方程组： ，得， 则， ，同理：， 所以． 令，则， 所以， 因为，则， 所以，结合函数单调性定义知，在时单调递增． 所以，则. 所以的最大值是. ②略 19. 已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，. （1）求数列和的通项公式； （2），求数列的前项和； （3）将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前项和公式可构造方程组求得，由等差数列通项公式可得；根据已知等式可得，由前项和与通项之间关系可得，由此可得； （2）求得后，采用错位相减法可求得结果； （3）通过分析可确定前项中，包含数列的前项和数列的前项，结合并项求和法和等比数列求和公式可求得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由得：，； ， ， 当且时，， ，则； 当时，，满足； 综上所述：. 【小问2详解】 由（1）得：， ， ， ， . 【小问3详解】 当为奇数时，；当为偶数时，； ，均为递增数列，，，， 的前项中，包含数列的前项和数列的前项， 的前项和为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永春一中2027届高二年上学期12月月考数学试卷 12.20 考试时间120分钟，试卷总分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3. 已知曲线表示圆，则圆的半径为（ ） A. B. 1 C. D. 3 4. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且，用向量，，表示，则（ ） A. B. C. D. 6. 在正项等比数列中，，，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在正三棱锥中，是侧棱的中点，.若是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在数列中，，，，则中的最大项是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列有关数列的说法正确的是（ ） A. 数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C. 在数列1，，，2，，....，第8个数是 D. 数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 10. 已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数:1，3，6，，…称为三角形数;第二行图形中黑色小点个数:1，4，9，，…称为正方形数.记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则（ ） A. B. 既是三角形数，又是正方形数 C. D. ，总存在，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的渐近线方程为（请用一般式方程作答）_________. 13. 已知数列的前n项和为，且满足，则的通项公式为______ 14. 已知、，是圆上的动点，当最大时，________；的最大值为________. 四、本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 四边形的四个顶点坐标分别为. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若四边形为平行四边形，求顶点的坐标及四边形的面积. 16. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 17. 如图，在五面体中，平面，为的中点，． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）证明：平面平面； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． （1）求椭圆的方程． （2）设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 19. 已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，. （1）求数列和的通项公式； （2），求数列的前项和； （3）将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $