精品解析：湖南长沙麓山国际实验学校2026-2027学年高二上学期9月入学学情检测数学试卷

麓山国际2025级高二9月入学学情检测数学试卷 高二年级数学试卷 总分:150分 时量：120分钟 一.选择题(共8小题) 1. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. i D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为复数，所以z的虚部为2. 2. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】应用线面位置关系结合线面平行及线面垂直判断求解. 【详解】对于A，若，，，则与平行或异面，故A错误； 对于，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，则或， 又，则与可能平行、相交或在平面内，故C错误； 对于D，若，，则或，又，则，故D正确． 3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设该圆锥底面圆的半径为，则，解得， 所以该圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为. 4. 已知向量满足在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 12 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的公式代入已知条件计算即可求值. 【详解】因为在上的投影向量为，所以. 故选：A. 5. 已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出以为球心，5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积. 【详解】 设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心， 且，故. 因为，故， 故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 而三角形内切圆的圆心为，半径为， 故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为 故选：B 6. 已知，则下列结论不正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若与的夹角为钝角，则且 【答案】D 【解析】 【分析】运用向量的数量积坐标运算，共线、垂直向量的坐标表示，结合夹角、模长公式，逐个计算验证即可. 【详解】对于A：因为且，则，解得，A正确； 对于B：若，所以，解得，故B正确； 对于C：因为，则， 所以，解得或，故C正确； 对于D：若与的夹角为钝角，则且与为不共线向量， 即且， 取满足题意，但是且不成立，故D错误. 故选：D 7. 甲､乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲､乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲､乙两人恰有一人获奖的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据两人恰有一人获奖，可分类讨论，即可求得概率. 【详解】设甲获奖为事件，乙获奖为事件， 所以，，， 因为，所以事件与事件相互独立， 根据题意，甲､乙两人恰有一人获奖的概率为， 故选：B. 8. 任意一个复数（i为虚数单位）均可以表示为的形式，由棣莫弗定理可知：若，则，已知则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期可得的周期，即可计算求解. 【详解】，故， 由于的周期均为， 因此也是以3为周期， 由于， 因此. 二.多选题(共3小题) 9. 有一组样本数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 设，则样本数据的平均数为 B. 设，则样本数据的方差为 C. 样本数据的平均数为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平均数定义计算判断A，应用方差公式计算判断B，D，举反例计算判断C. 【详解】对于A，的平均数为，故A正确； 对于B，的平均数为， 其方差为 ，故B正确； 对于C，举反例，如1，2，3这3个数的平均数为2，但，，这3个数的平均数为，故C不正确； 对于D， ，故D不正确 10. 在中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则定为等腰三角形 C. 若，则定为直角三角形 D. 若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角 【答案】ACD 【解析】 【分析】 选项，由三角形边角关系和正弦定理，可判断为正确；选项，由三角函数确定角的关系，要结合角范围，所以错误；选项，用正弦定理边化角，再将代入展开，整理可得，所以正确；选项，用余弦定理求出最大边所对的角，判断正确. 【详解】在中，若，则，因此，A正确； 若，则或， 即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，B错误； 若， 则， 所以，即，， 所以定为直角三角形，C正确； 三角形的三边的比是，设最大边所对的角为， 则，因为， 所以，D正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判断三角形的形状，注意角的范围及三角形内角和等于，属于中档题. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，点满足，下列说法正确的是（ ） A. 不存在使得 B. 若四点共面，则 C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为 D. 若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由中边长的大小，判断A选项；由正方体的截面判断B选项，由面面平行得点的轨迹，计算长度判断C选项；体积法计算内切球半径和表面积，判断D选项. 【详解】正方体中，由，故中，不可能是直角三角形的斜边， 即不存在使得，A选项正确； 分别是棱的中点，点为中点时，平面在正方体上的截面为正六边形， 则四点共面，有，B选项错误； 若，则为上靠近点的三等分点， 取上靠近的三等分点，的中点，连接 则在正方形中，可得， 平面，平面，则有平面， 同理可由，证明平面， 平面，，所以平面平面， 点在侧面内，且平面，所以即为点的轨迹， ，C选项正确； 若，则为的中点，平面分割该正方体所成的两个空间几何体和， 平面在正方体上的截面为正六边形， 某球能够被整体放入或，该球的表面积最大时，是以为顶点，底面为正六边形的正六棱锥的内切球， 正六边形的边长为，面积为， 正六棱锥，侧棱长，每个侧面面积为，棱锥的高为， 设该球的半径为，由体积法可得， 解得，所以该球的表面积为，D选项正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛： 正方体中的线面位置关系，角度距离和截面等问题，要充分利用好正方体的结构特征，而内切球的半径，可利用体积法计算. 三.填空题(共3小题) 12. 已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决． 【详解】解：， 即， 整理得， 由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得， 解得， 故答案为：． 13. 设复数，满足，，则=__________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果. 方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算. 【详解】方法一：设，， ， ，又，所以，， . 故答案为：. 方法二：如图所示，设复数所对应的点为,, 由已知, ∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴， ∴. 【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题. 方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解 14. 在三棱锥中，若，，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过确定三角形外接圆圆心位置并利用相似三角形确定球心位置，最后求解外接球表面积. 【详解】 取中点，因为，所以为等边三角形. 因为且，所以为直角三角形，由对称性可作于点. 因为，，故为二面角，. ，. 因为外接圆圆心位于，外接圆圆心位于， 且，所以球心满足平面且平面， 故，解得，所以球半径， 因此表面积. 四.解答题(共5小题) 15. 在中，角，，的对边分别为，，.已知，. （1）证明: 为钝角三角形; （2）若的面积为，求的值. 【答案】（1）， ∴由正弦定理可得，； ，即. ，； ； . ∴由正弦定理可得，， ，. ； ，，即为钝角. 为钝角三角形． （2）4 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，，. 的面积为， ，解得. ，，解得． 16. 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值，并估算这200名学生的测试成绩的中位数和平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. （2）若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差；（方差精确到）. （3）现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至多有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率. 【答案】（1），中位数，平均数 （2）88；46.57 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的小矩形的面积和为1求解出的值，先分析出中位数所在的区间，然后根据中位数的求解方法求解，最后按照频率分布直方图中平均数计算方法直接计算即可； （2）利用分层随机抽样的平均数公式与方差公式求解； （3）由按比例分配的分层随机抽样，确认在中抽5人，在中抽2人，列出样本空间和满足事件的总情况，利用求解. 【小问1详解】 根据题意可得， 解得， 由的频率为：， 由的频率为：， 由的频率为：， 因为，， 所以中位数在内，设中位数为， 所以，解得， 平均数 . 【小问2详解】 因为的人数为， 的人数为， 所以在平均成绩为， 在的成绩的方差为： . 【小问3详解】 因为和这两组的频率之比为， 所以在中抽5人，在中抽2人， 设从学生中抽取的5人为， 从学生中抽取的2人为，则这个试验的样本空间为： ， 故， 又因为， 则， 所以事件的概率为. 17. 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【小问1详解】 方法1：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. 【小问2详解】 方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 18. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明:因为平面，平面，所以， 在正方形中，易知与全等， 所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， （3） 【解析】 【分析】（1）先由面面垂直证明为棱锥的高，再根据棱锥的体积公式计算即可； （2）由线面垂直的判定定理证明平面即可； （3）设，连接，找到为直线与平面所成的角，由等面积法求出，再有勾股定理求出，最后计算正弦值即可； 【小问1详解】 因为侧面是边长为2的正三角形，为的中点， 所以，， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，即为棱锥的高， 因为底面为正方形， 所以四棱锥的体积为， 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 设，连接， 因为平面， 所以为直线与平面所成的角（或补角）， 在中，，又， 即，所以， 又在中，， 所以. 19. 如图，四棱锥中，底面，，，. （1）若，证明：∥平面； （2）若，且二面角的余弦值为，求. 【答案】（1）证明：因为底面，且底面，则， 又因为，，平面， 可得平面，由平面，所以， 因为，，，即， 可得，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直关系可得，由勾股定理可得，则∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）做辅助线，根据三垂线法分析可知可知二面角的平面角为，设，根据题意结合三角知识运算求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 若，设，则， 过作，垂足为，过作，垂足为，连接， 可得，， 因为底面，且底面，则， 且，则，可得， 因为底面，且底面，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 可知二面角的平面角为，则， 可得，， 则，即， 可得， 整理可得，解得或（舍去）， 且，则，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 麓山国际2025级高二9月入学学情检测数学试卷 高二年级数学试卷 总分:150分 时量：120分钟 一.选择题(共8小题) 1. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. i D. 2. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 12 D. 6 5. 已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列结论不正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若与的夹角为钝角，则且 7. 甲､乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲､乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲､乙两人恰有一人获奖的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 8. 任意一个复数（i为虚数单位）均可以表示为的形式，由棣莫弗定理可知：若，则，已知则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 二.多选题(共3小题) 9. 有一组样本数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 设，则样本数据的平均数为 B. 设，则样本数据的方差为 C. 样本数据的平均数为 D. 10. 在中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则定为等腰三角形 C. 若，则定为直角三角形 D. 若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角 11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，点满足，下列说法正确的是（ ） A. 不存在使得 B. 若四点共面，则 C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为 D. 若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为 三.填空题(共3小题) 12. 已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若，则______． 13. 设复数，满足，，则=__________. 14. 在三棱锥中，若，，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________. 四.解答题(共5小题) 15. 在中，角，，的对边分别为，，.已知，. （1）证明: 为钝角三角形; （2）若的面积为，求的值. 16. 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值，并估算这200名学生的测试成绩的中位数和平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. （2）若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差；（方差精确到）. （3）现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至多有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率. 17. 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 18. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，四棱锥中，底面，，，. （1）若，证明：∥平面； （2）若，且二面角的余弦值为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $