精品解析：上海市上海师范大学附属中学宝山分校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

上海市上海师范大学附属中学宝山分校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分） 1. 抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子,基本事件总数， 观察两枚骰子出现“两个点数相等”包含的基本事件有：共6个， 观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为． 故答案为： 2. 已知直线的一个法向量为，则直线的倾斜角__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由直线的法向量求出直线的方向向量，从而可求出直线的斜率，利用反三角函数进而可求出直线的倾斜角. 【详解】因为直线的一个法向量为，所以取直线的一个方向向量为 所以直线的斜率为 所以 ，所以 所以. 故答案为：. 3. 已知直线与，则直线与的夹角大小是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据直线的斜率求出直线的倾斜角，再利用两条直线倾斜角的大小求出两条直线的夹角. 【详解】直线的斜率为，设直线的倾斜角为，由，可得； 直线的斜率为，设直线的倾斜角为，由，可得； 所以直线与的夹角. 故答案为：. 4. 已知点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定圆心坐标，再求出半径，写出方程即可. 【详解】因为点，所以圆心坐标为； 半径为， 所以以线段AB为直径的圆的标准方程为. 故答案为：. 5. 直线的倾斜角为，且，若过点，则直线的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【详解】由直线l的倾斜角为，且，得，则， 因此直线l的斜率，直线l的方程为或， 所以直线l的方程为或. 故答案为：或 6. 已知集合，，且，则实数的值为_________ 【答案】1 【解析】 【分析】将两集合交集为空集转化为两直线无公共点，即两直线平行，列出关系式求解即可. 【详解】由，可得直线与平行， 故，解得， 故答案为： 7. 设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用对立事件的概率公式求得的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得的值. 【详解】由与是对立事件，可得 由与是互斥事件，可得 . 故答案为： 8. 某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，则顾客抽奖中三等奖的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】基本事件总数n＝4×4＝16，利用列举法求出顾客抽奖中三等奖包含的基本事件有7种，由此能求出顾客抽奖中三等奖的概率． 【详解】解：规定每位顾客从装有0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中， 每次取出一球记下编号后放回（连续取两次）， 若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖， 等于5中二等奖，等于4或3中三等奖， 基本事件总数n＝4×4＝16， 顾客抽奖中三等奖包含的基本事件有： （0，3），（3，0），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，2），共7种， ∴顾客抽奖中三等奖的概率为p． 故答案为． 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 9. 设、分别是直线和圆上的动点，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据的最小值为圆心到直线的距离减去半径可得结果. 【详解】 圆的圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以的最小值为. 故答案为： 10. 已知直线，圆，直线l与圆C交于两点，则弦长的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知直线方程求出直线过的定点，再求出定点到圆心的距离，比较与半径的大小确定定点与圆的位置关系，进而确定弦长最小时直线与圆的位置关系，最后利用弦长公式求解． 【详解】 ， 直线经过直线与的交点， 圆的圆心为，半径为， 点到圆心的距离，即点位于圆内， 当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：． 11. 已知P，Q分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解. 【详解】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 因为，，所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解. 12. 已知实数满足，则的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】由，令，由直线与有公共点，求得的范围，结合对勾函数单调性求解即可. 【详解】由， 当时，， 当时，， 令，则， 由直线与有公共点， 得，解得， 则， 令， 由对勾函数的单调性可知在单调递增， 所以在单调递增， 当时，， 所以， 所以， 即的取值范围为， 综上的取值范围为， 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，每题有且只有一个正确选项） 13. 直线在轴上的截距是（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用在轴上的截距定义可知，只需令即可求得结果. 【详解】令得，故直线在轴上的截距是-1 故选：A 14. 若，则事件与事件的关系是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件对立 C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件互斥又独立 【答案】C 【解析】 【分析】计算出，即可得出结论. 【详解】因为，所以， 又因为，，所以， 所以事件与事件相互独立、事件与事件不互斥，故不对立. 故选：C. 15. 在坐标平面内，与点距离为3，且与点距离为1的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将所求直线转化为为两圆的公切线，结合两圆位置关系分析求解. 【详解】到点距离为3的点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆， 到点距离为1的点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 则所求直线即为两圆的公切线， 因为，且， 可知两圆相离，有4条公切线，所以符合题意的直线有4条. 故选：D. 16. 平面直角坐标系中，点是圆上的一个定点，点是圆上的一个定点，若矩形的顶点、都在曲线上，则满足条件的矩形（ ） A. 存在无穷多个 B. 存在有限个 C. 存在唯一一个 D. 可能不存在 【答案】C 【解析】 【分析】先分析以为直径的圆的半径范围及圆心特点，然后利用矩形性质得点、在以为直径的圆上，从而利用两圆位置关系确定点的个数即可得矩形个数. 【详解】圆的圆心，半径为2；圆的圆心，半径为4， 点是圆上的一个定点，点是圆上的一个定点， 则以为直径的圆存在且唯一，该圆的半径范围为即， 且圆心在的内部， 由矩形的性质可知四点共圆，即点、在以为直径的圆上， 又点、都在曲线上，且两圆有唯一一组交点、， 由对称性，不妨设， 则以为直径的圆的方程为， 所以， 所以O到直线的距离为， 所以， 而， 所以此时四边形为矩形， 故满足条件的矩形存在且唯一. 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． （1）写出这个试验的样本空间； （2）设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 【答案】（1）样本空间，，，，，，，，； （2），，相互独立，理由： 因为，，，，，， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以事件和事件相互独立． 【解析】 【分析】（1）依题意逐一列出基本事件即可得到样本空间； （2）根据古典概型的概率公式求出，，，再根据独立事件的定义判断． 【小问1详解】 依题意试验的样本空间，，，，，，，，； 【小问2详解】 略 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. （1）求BC边所在直线的一般式方程； （2）若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用直线方程的点斜式求出方程，再化成一般式即可. （2）利用三角形面积求出点到直线的距离，再结合已知建立方程组求解. 【小问1详解】 直线的斜率，直线的方程为， 所以BC边所在直线的一般式方程为. 【小问2详解】 依题意，，设点到直线的距离为， 由的面积等于2，得，解得， 于是，解得或， 所以点的坐标为或. 19. 已知平面直角坐标系中定点为坐标原点．动点满足，记的轨迹为曲线 （1）求曲线的方程 （2）过点的直线被曲线所截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由，结合两点间距离公式代入化简即可求解； （2）由弦长公式，通过直线斜率存在和不存在两类情况讨论即可. 【小问1详解】 设， 由， 可得：， 平方可得：， 化简可得， 即， 故曲线的方程是； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 此时弦长为，符合； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：， 则圆心到直线的距离， 则弦长， 化简可得：， 解得：， 直线方程为：， 综上：直线的方程为或. 20. 已知圆：，直线：，点． （1）判断直线与圆的位置关系； （2）设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程； （3）在（2）的条件下，若，求直线的方程． 【答案】（1）相交 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出动直线经过的定点，判断定点和圆的位置关系即可； （2）连接圆心和弦的中点，利用垂径定理找出几何关系来解决； （3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理来解决. 【小问1详解】 因为直线：过定点， 又，所以在圆内， 所以直线与圆相交； 【小问2详解】 设，当与不重合，即时，连接，，则，根据勾股定理．则，化简得：（）；当与重合时，，也满足上式，故弦的中点的轨迹方程为； 【小问3详解】 设，，因为，所以， 所以，化简得． ① 又消去并整理得， 所以②，． ③ 由①②③联立，解得， 所以直线的方程为或． 21. 如图，已知圆，点为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为. （Ⅰ）已知，求切线的方程； （Ⅱ）直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由； （Ⅲ）若，两条切线分别交轴于点，记四边形面积为，三角形面积为，求的最小值. 【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）是，；（Ⅲ）25. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）分切线的斜率存在和不存在两种情况，斜率存在时由圆心到直线的距离等于半径可得切线的方程； （Ⅱ）由题意求出以为圆心，以为半径的圆的方程，与圆联立可得弦所在的直线的方程，可得直线恒过定点； （Ⅲ）由题意求出面积，的表达式，求出面积之积的表达式，换元，由均值不等式可得其最小值． 【详解】（Ⅰ）情况1.当切线斜率不存在时，有切线 情况2.设切线：，即. 由得，解得，切线为 综上：切线为 （Ⅱ）在以点为圆心，切线长为半径的圆上， 即在圆：上 联立 得 所以过定点 (Ⅲ) 设； 得，， 切线统一记为，即 由得，得两根为 所以 所以，则 记 当，即时， 【点睛】解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市上海师范大学附属中学宝山分校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分） 1. 抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为_______． 2. 已知直线的一个法向量为，则直线的倾斜角__________． 3. 已知直线与，则直线与的夹角大小是___________． 4. 已知点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为__________． 5. 直线的倾斜角为，且，若过点，则直线的方程为__________. 6. 已知集合，，且，则实数的值为_________ 7. 设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则______. 8. 某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，则顾客抽奖中三等奖的概率为____________． 9. 设、分别是直线和圆上的动点，则的最小值为______. 10. 已知直线，圆，直线l与圆C交于两点，则弦长的最小值为____________． 11. 已知P，Q分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为________. 12. 已知实数满足，则的取值范围为___________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，每题有且只有一个正确选项） 13. 直线在轴上的截距是（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 14. 若，则事件与事件的关系是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件对立 C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件互斥又独立 15. 在坐标平面内，与点距离为3，且与点距离为1的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 16. 平面直角坐标系中，点是圆上的一个定点，点是圆上的一个定点，若矩形的顶点、都在曲线上，则满足条件的矩形（ ） A. 存在无穷多个 B. 存在有限个 C. 存在唯一一个 D. 可能不存在 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． （1）写出这个试验的样本空间； （2）设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. （1）求BC边所在直线的一般式方程； （2）若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 19. 已知平面直角坐标系中定点为坐标原点．动点满足，记的轨迹为曲线 （1）求曲线的方程 （2）过点的直线被曲线所截得的弦长为，求直线的方程． 20. 已知圆：，直线：，点． （1）判断直线与圆的位置关系； （2）设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程； （3）在（2）的条件下，若，求直线的方程． 21. 如图，已知圆，点为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为. （Ⅰ）已知，求切线的方程； （Ⅱ）直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由； （Ⅲ）若，两条切线分别交轴于点，记四边形面积为，三角形面积为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $