上海市上海师范大学附属中学宝山分校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

上海市上海师范大学附属中学宝山分校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分）

1. 抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为_______．

2. 已知直线的一个法向量为，则直线的倾斜角__________．

3. 已知直线与，则直线与的夹角大小是___________．

4. 已知点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为__________．

5. 直线的倾斜角为，且，若过点，则直线的方程为__________.

6. 已知集合，，且，则实数的值为_________

7. 设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则______.

8. 某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，则顾客抽奖中三等奖的概率为____________．

9. 设、分别是直线和圆上的动点，则的最小值为______.

10. 已知直线，圆，直线l与圆C交于两点，则弦长的最小值为____________．

11. 已知P，Q分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为________.

12. 已知实数满足，则的取值范围为___________

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，每题有且只有一个正确选项）

13. 直线在轴上的截距是（   ）

A. －1 B. 1 C. －2 D. 2

14. 若，则事件与事件的关系是（    ）

A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件对立

C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件互斥又独立

15. 在坐标平面内，与点距离为3，且与点距离为1的直线共有（    ）

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

16. 平面直角坐标系中，点是圆上的一个定点，点是圆上的一个定点，若矩形的顶点、都在曲线上，则满足条件的矩形（    ）

A. 存在无穷多个 B. 存在有限个 C. 存在唯一一个 D. 可能不存在

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17. 有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字．

（1）写出这个试验的样本空间；

（2）设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由．

18. 在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点.

（1）求BC边所在直线的一般式方程；

（2）若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标.

19. 已知平面直角坐标系中定点为坐标原点．动点满足，记的轨迹为曲线

（1）求曲线的方程

（2）过点的直线被曲线所截得的弦长为，求直线的方程．

20. 已知圆：，直线：，点．

（1）判断直线与圆的位置关系；

（2）设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程；

（3）在（2）的条件下，若，求直线的方程．

21. 如图，已知圆，点为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为.

（Ⅰ）已知，求切线的方程；

（Ⅱ）直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由；

（Ⅲ）若，两条切线分别交轴于点，记四边形面积为，三角形面积为，求的最小值.