精品解析：山东省济南市甸柳一中教育集团2025-2026学年上学期九年级数学阶段性质量检测

甸一教育集团九年级数学阶段测 一、选择题（共10小题） 1. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图． 【详解】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意； B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意； C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意； D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 2. 下列四个点，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，在该反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为8，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积一定为8， ∵， ∴只有点在反比例函数的图象上， 故选：A． 3. 已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，判断点P与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为3，， ∴半径， ∴点P在外． 故选：B． 4. 如图，点均在上，若，的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：与都对，， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，是解题的关键． 5. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键． 先求得，再说明，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 即建筑物的高是． 故选：B． 6. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ） A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. AB2=AD•AC D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； C、∵AB2=AD•AC， ∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； D、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键. 7. 关于反比例函数 ，下列结论错误的是（ ） A. 图像位于二四象限 B. y随x的增大而增大 C. 图像关于原点对称 D. 点在这个函数图像上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟记反比例函数图象是双曲线、反比例函数图象的增减性以及反比例函数图象与系数的关系． 【详解】A. ，双曲线图像位于二、四象限，正确； B. ，在每一象限内，y随x的增大而增大，原说法错误； C. 双曲线关于原点对称，正确； D. 当时，，点在这个函数图像上，正确； 故选B． 8. 已知二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，运用数形结合思想，将图象信息转化为数量信息是解题的关键．由图知，，，对称轴，得；时，；时，，当时，，进而求解即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下 ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，故C选项不符合题意，； ∴， ∴，故A选项不符合题意； ∵时，，当时，， ∴，故B不符合题意； ∵对称轴为直线，与x轴的一个交点的横坐标在和0之间 ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在2和3之间 ∴当时，，故D符合题意． 故选：D． 9. 在综合与实践活动中，某数学兴趣小组要测量操场上空一个气球A的高度．如图，地面上点B，C，D在同一条直线上，，在点B，C分别测得气球A的仰角为，为，则气球离地面的高度约为（　　）（其中） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设米，则米，先解得到米，再解得到（米），则，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 设米，则米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴气球离地面的高度约为， 故选：D． 10. 定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了把化成顶点式，的图象与性质，根据二次函数的对称性求函数值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先将抛物线的解析式写成顶点式，求出顶点坐标，再结合画出大致图象，结合图象求解即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴可以大致画出图象如图， ∵该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界） ∴点、、、必在区域内． 当抛物线过点时，点关于对称轴为的对应点为， 这样区域内有6个整点， 当代入抛物线解析式，得， 解得：， 当抛物线过点时，点关于对称轴为的对应点为， 这样区域有8个整点， 将代入抛物线解析式，得， 解得：， ∴当时，区域恰有6个整点． 故选：D． 二、填空题（共5小题） 11. 抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12. 一个盒子中装有a个白球和6个红球，这些球除颜色外完全相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，估计a的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在得到比例关系，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 故答案为： 13. 如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，那么的度数为_______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的定义和性质，圆内接四边形的性质，根据三角形外角的性质求出，再根据圆内接四边形对角互补得出，即可求解． 【详解】解：， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， 故答案为：． 14. 如图，点，过P作轴，轴，并分别交双曲线于C、B两点，连接、，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，反比例函数k值的几何意义，解题的关键是掌握矩形的判定定理和反比例函数的图象和性质． 延长，分别交x轴和y轴于点E和点F，证四边形为矩形，求出矩形的面积，根据反比例函数k值的几何意义可得，即可求解． 【详解】解：延长，分别交x轴和y轴于点E和点F， ∵轴，轴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴，， ∴， ∵点B、C在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， ∵该反比例函数图象在第二象限， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接EC，作AH⊥BC于H．首先证明EC⊥BC，推出EN⊥EC时，EN的值最小，解直角三角形求出CH，DH即可解决问题； 【详解】解：如图，连接EC，作AH⊥BC于H． ∵△ABC∽△ADE， ∴∠AED=∠ACD， ∴A，D，C，E四点共圆， ∴∠DAE+∠DCE=180°， ∴∠DCE=∠DAE=90°， ∴EC⊥BC， ∴NE⊥EC时，EN的值最小，作AG⊥CE交CE的延长线于G． 在Rt△ABC中，∵BC=5，AB=3， ∴AC=4， ∵△ENC∽△△ACB， ∴， ∴， ∴EC=， ∴AH=CG=， ∵NE∥AG，AN=NC， ∴GE=EC=， ∵∠HAG=∠DAE， ∴∠DAH=∠EAG， ∵∠AHD=∠G=90°， ∴△AHD∽△AGE， ∴， ∴， ∴DH=， ∴CD=DH+CH=． 故答案为． 【点睛】本题考查相似三角形的性质、勾股定理、垂线段最短、四点共圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（共10小题） 16. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查特殊锐角的三角函数值．利用特殊锐角的三角函数值计算即可． 【详解】解： ． 17. 某汽车的功率为一定值，汽车行驶时的速度（米/秒）与它所受的牵引力（牛）之间满足反比例函数关系，其图像如图所示： （1）请写出这一反比例函数的解析式； （2）当它所受牵引力为牛时，汽车的速度为多少？ 【答案】（1） （2）米/秒 【解析】 【分析】（1）根据图形，设与之间的函数关系式为，从图形中取一组数据代入计算即可求解； （2）将牛代入反比例函数表达式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：把牛，代入（米/秒）， ∴汽车的速度为米/秒． 【点睛】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合运用，掌握反比例函数表达式的意义及计算方法是解题的关键． 18. 如图，在中，过点B作，使边交于点D． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：在和中，， ． （2）5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，而，则，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ， ． 19. 电子政务、数字经济、智慧社会，一场数字革命正在神州大地激荡，在第二届数字中国建设峰会召开之际，某校举行了第二届“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后绘制成如下统计图表（不完整）： 组别 成绩x（分） 人数 A 60≤x≤70 10 B 70≤x＜80 m C 80≤x＜90 16 D 90≤x≤100 4 请观察上面的图表，解答下列问题： （1）统计表中m＝_____；统计图中n＝______．D组的圆心角是______度； （2）D组的4名学生中，有2名男生和2名女生．从D组随机抽取2名学生参加5G体验活动，请你利用树状图或列表法求出至少有1名男生被抽取参加5G体验活动的概率． 【答案】（1）20，32，28.8°； （2） 【解析】 【分析】（1）根据“A组”的有10人，占调查人数的20%，可求出调查人数，进而计算出m、n的值，求出“D组”所占整体的百分比即可求出相应的圆心角的度数； （2）用列表法表示所有可能出现的结果，从中得出至少有1名男生的结果数，进而求出相应的概率． 【小问1详解】 解：10÷20%＝50（人）， m＝50﹣10﹣16﹣4＝20（人）， 16÷50×100%＝32%，因此n＝32， 360°×＝28.8°， 故答案为：20，32，28.8； 【小问2详解】 用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 共有12种等可能出现的结果，其中至少有1名男生的有10种， 所以从中任取2人，至少有1名男生的概率为＝， 答：从中任取两人，至少有1名男生的概率为． 【点睛】题目主要考查扇形统计图与统计表的综合信息，列表法与树状图法求概率等，理解题意，熟练掌握运用列表法或树状图法是解题关键． 20. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） （1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； （2）某公园有一秋千如图2所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，两次位置的高度差．当米时，请求出该秋千的长度（参考数据：，，结果精确到米）． 【答案】（1）秋千绳索的长度为尺； （2）该秋千的长度约为米． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用等知识点， (1)设绳索有尺长，由勾股定理得出方程，解方程即可； (2)在和中，解直角三角形得到,代入计算即可求得答案； 熟练掌握其性质并把实际问题转化为直角三角形问题是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 设秋千绳索的长度为尺， 由题可知，尺，尺，尺， 尺， 在中，由勾股定理得：, ,解得， 答：秋千绳索的长度为尺； 【小问2详解】 解：由题可知，， 在中，, , 同理，, , , , ， 答：该秋千的长度约为米． 21. 如图，为的直径，点C是上一点，与相切于点C，过点B作，连接． （1）求证：是的角平分线； （2）若，求的长； 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵与相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合应用，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，角平分线的判定和性质，熟知相关的性质是解决问题的关键． （1）连接，先证明，然后由平行线的性质和等腰三角形的性质，即可证明结论成立； （2）根据题目中的条件，可以得到，从而可以得到，利用相似三角形的性质即可求出的长度． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 即的长为． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计安阳麦秆画的销售方案 素材1 麦秆画是中国独有的特色工艺品之一，是河南安阳市民间剪贴画的一种，被称为“中华一绝”“中国手工艺术精品”，具有极高的收藏价值．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅． 素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元（），平均每天就可以多售出幅． 素材3 这种麦秆画在实体店的销售价为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上销售的影响，平均每天的销售量为幅． 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式；［毛利润日销量（销售单价成本单价）］ 任务2 拟定最优方案 当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）？最大总毛利润是多少？ 【答案】任务1：；任务2：当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元． 【解析】 【分析】本题主要考查实际问题与二次函数； 任务1：明确日销量和销售单价随降价的变化关系，根据毛利润日销量（销售单价成本单价）列出函数表达式即可； 任务2：根据网上和实体店的毛利润，构建总毛利润函数，将两个独立的利润表达式合并，再转化为二次函数求最大值即可． 【详解】解：任务1：． 任务2：设总毛利润为元． ， ， 当时，最大，最大值为4440，此时网上销售价为（元）． 当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为． （1）求反比例和一次函数解析式． （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围． （3）在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标． 【答案】（1）， （2）0≤m≤ （3）点N坐标为（，）；点M的坐标为（，） 【解析】 【分析】（1）延长AD交x轴于F，根据菱形的性质和勾股定理得到A、B的坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据平移性质，只需求得点D平移后落在反比例函数图像上时的坐标即可求解； （3）延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，证明△ONB≌△OFD（AAS）得到S△ONB=S△OFD，求出NH即可求得点N坐标，设M（x，），利用中点坐标公式即可求出点M坐标． 【小问1详解】 解：延长AD交x轴于F， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD=AD，AD∥OB， 则AF⊥x轴， ∵点D坐标为（4，3）， ∴OF=4，DF=3， ∴OD=5，即OB=AD=5， ∴A（4，8），B（0，5）， ∴k=4×8=32， ∴反比例函数的解析式为； 将A、B坐标代入中，得 ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意知，将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，使得点D落在反比例函数的图像D′处， ∵点D平移后的坐标为D′（4+m，3）， ∴， ∴m= ， ∴满足条件的m的取值范围为0≤m≤． 【小问3详解】 解：存在，理由为： 如图，延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，则∠NHO=∠OFD=90°， 由题意，∠ONB=∠NOD=∠HOF=90°， 则∠NOB=∠FOD， 又∠ONB=∠OFD=90°，OB=OD， ∴△ONB≌△OFD（AAS）， ∴S△ONB=S△OFD，则， ∴NH=， ∵点N在直线AB上， ∴当x=时，， ∴点N坐标为（，）； 设M（x，），则x+0=+4， 解得：x=，， ∴点M的坐标为（，）． 【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合题，涉及菱形的性质、矩形的性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平移性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，利用数形结合思想求解是解答的关键． 24. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：正方形透明纸片，点在边上，如图1，连接，沿经过点的直线折叠，使点的对应点落在上，如图2，把纸片展平，得到折痕，如图3，折痕交于点． 根据以上操作，请直接写出图3中与的位置关系___________，与的数量关系___________； （2）迁移探究 小华将正方形透明纸片换成矩形透明纸片，继续探究，过程如下： 将矩形透明纸片按照（1）中的方式操作，得到折痕，折痕交于点，如图4，若，改变点E在上的位置，那么的值是否能用含的代数式表示？如果能，请推理的值，如果不能，请说明理由； （3）拓展应用 如图5，已知正方形纸片的边长为4，动点E在边上由点A向终点D匀速运动，动点F在边上由点D向终点C匀速运动，动点E，F同时开始运动，且速度相同，连接，，交于点G，连接，则线段长度的最小值为______________________，点G的运动路径长度为___________（直接写出答案即可） 【答案】（1）； （2）能， （3）； 【解析】 【分析】（1）利用正方形折叠的轴对称性及全等三角形判定，确定线段位置与数量关系； （2）借助矩形中角的关系证明三角形相似，结合已知条件推导比例； （3）分析动点运动时交点的轨迹（圆弧），利用圆的性质求线段最小值与路径长度． 【小问1详解】 正方形中，，．折叠后，折痕是对称轴，故，．又被折叠后在上，因此（折叠后对应点连线被折痕垂直平分）． ， ． 在和中： ， ． 【小问2详解】 矩形中，．折叠后， ． ，， ． （两角对应相等，三角形相似）． ． ，， ， 即． ， 故该比值能用含的代数式表示． 【小问3详解】 解：如图， 取的中点，连接， 由题意知， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是的中点，， ∴． 在中，． 在中，由三边关系：， ∴的最小值为． 又∵， ∴点G在以点M为圆心，半径为2的圆上运动． ∵当点E在A处时，点F在D处，此时点G与A重合，当点E在D处时，点F在C处，此时点G为正方形的对角线、的交点， ∴点G在以点M为圆心，半径为2的圆上运动， ∴点G的运动轨迹长为． 故答案为：；． 【点睛】本题通过折叠操作考查正方形与矩形的性质，结合相似三角形、圆的轨迹与最值问题，综合考查几何直观与逻辑推理能力．解题关键在于利用折叠的轴对称性、三角形全等和相似的判定，以及圆的基本性质分析动点轨迹． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式： （2）点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）点P的坐标为，的最小值为 （3）点N的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，点F的坐标为，求出长，再证明，根据对应边成比例求出的最小值，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，即可得到，连接，则，是最小值，利用勾股定理计算解题； （3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，即可得到，设点N的坐标为，根据列等式求出a的值即可解题． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：令，则， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， 设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H， 则点F的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为， 把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， 即， 由A，B关于对称性可得点A的坐标为， 连接，则的最小值为长， 即， 即的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即， 过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接， 设点N的坐标为， 由平移得， ∴， 如图所示，∵， 即，解得（舍去）或， 这时点N的坐标为； 如图所示，则∵， 即，解得或（舍去）， 这时点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甸一教育集团九年级数学阶段测 一、选择题（共10小题） 1. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个点，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定 4. 如图，点均在上，若，的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ） A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. AB2=AD•AC D. 7. 关于反比例函数 ，下列结论错误的是（ ） A. 图像位于二四象限 B. y随x的增大而增大 C. 图像关于原点对称 D. 点在这个函数图像上 8. 已知二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在综合与实践活动中，某数学兴趣小组要测量操场上空一个气球A的高度．如图，地面上点B，C，D在同一条直线上，，在点B，C分别测得气球A的仰角为，为，则气球离地面的高度约为（　　）（其中） A. B. C. D. 10. 定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题） 11. 抛物线的顶点坐标为______． 12. 一个盒子中装有a个白球和6个红球，这些球除颜色外完全相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，估计a的值为______． 13. 如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，那么的度数为_______． 14. 如图，点，过P作轴，轴，并分别交双曲线于C、B两点，连接、，若，则_______． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为_____． 三、解答题（共10小题） 16. 计算：． 17. 某汽车的功率为一定值，汽车行驶时的速度（米/秒）与它所受的牵引力（牛）之间满足反比例函数关系，其图像如图所示： （1）请写出这一反比例函数的解析式； （2）当它所受牵引力为牛时，汽车的速度为多少？ 18. 如图，在中，过点B作，使边交于点D． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 19. 电子政务、数字经济、智慧社会，一场数字革命正在神州大地激荡，在第二届数字中国建设峰会召开之际，某校举行了第二届“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后绘制成如下统计图表（不完整）： 组别 成绩x（分） 人数 A 60≤x≤70 10 B 70≤x＜80 m C 80≤x＜90 16 D 90≤x≤100 4 请观察上面的图表，解答下列问题： （1）统计表中m＝_____；统计图中n＝______．D组的圆心角是______度； （2）D组的4名学生中，有2名男生和2名女生．从D组随机抽取2名学生参加5G体验活动，请你利用树状图或列表法求出至少有1名男生被抽取参加5G体验活动的概率． 20. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） （1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； （2）某公园有一秋千如图2所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，两次位置的高度差．当米时，请求出该秋千的长度（参考数据：，，结果精确到米）． 21. 如图，为的直径，点C是上一点，与相切于点C，过点B作，连接． （1）求证：是的角平分线； （2）若，求的长； 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计安阳麦秆画的销售方案 素材1 麦秆画是中国独有的特色工艺品之一，是河南安阳市民间剪贴画的一种，被称为“中华一绝”“中国手工艺术精品”，具有极高的收藏价值．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅． 素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元（），平均每天就可以多售出幅． 素材3 这种麦秆画在实体店的销售价为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上销售的影响，平均每天的销售量为幅． 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式；［毛利润日销量（销售单价成本单价）］ 任务2 拟定最优方案 当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）？最大总毛利润是多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为． （1）求反比例和一次函数解析式． （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围． （3）在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标． 24. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：正方形透明纸片，点在边上，如图1，连接，沿经过点的直线折叠，使点的对应点落在上，如图2，把纸片展平，得到折痕，如图3，折痕交于点． 根据以上操作，请直接写出图3中与的位置关系___________，与的数量关系___________； （2）迁移探究 小华将正方形透明纸片换成矩形透明纸片，继续探究，过程如下： 将矩形透明纸片按照（1）中的方式操作，得到折痕，折痕交于点，如图4，若，改变点E在上的位置，那么的值是否能用含的代数式表示？如果能，请推理的值，如果不能，请说明理由； （3）拓展应用 如图5，已知正方形纸片的边长为4，动点E在边上由点A向终点D匀速运动，动点F在边上由点D向终点C匀速运动，动点E，F同时开始运动，且速度相同，连接，，交于点G，连接，则线段长度的最小值为______________________，点G的运动路径长度为___________（直接写出答案即可） 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式： （2）点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $