精品解析：山西省名校三晋联盟2025-2026学年高二上学期12月联合考试数学试题

2025-2026学年三晋联盟山西名校高二12月联合考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册、选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的斜率为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程的一般式斜率公式计算求解. 【详解】直线的斜率为. 故选：B. 2. 数列的一个通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】特殊值法代入计算判断B，C，D，再结合已知条件判断A. 【详解】数列， 对于A选项，，当时，，不满足题意，A选项错误； 对于B选项，，当时，，不合题意，B选项错误； 对于C选项，，满足，符合题意，C选项正确； 对于D选项，，当时，，不合题意，D选项错误； 故选：C. 3. 若直线与圆相切，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】联立直线与圆的方程，利用判别式列式求解. 【详解】由直线与圆相切，得方程组有唯一解， 即关于的一元二次方程有等根，因此，所以. 故选：A 4. 在等比数列中，，且，则（ ） A. 36 B. 27 C. 18 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列下标和的性质化简，可得，再结合解出，即可得解. 【详解】由等比数列的性质得，故， 得． 由，得，则，所以． 故选：C. 5. 已知，复数，点，若的实部为4，则（ ） A. 的轨迹是实轴长为4的双曲线 B. 的轨迹是短轴长为4的椭圆 C. 的轨迹是实轴长为的双曲线 D. 的轨迹是短轴长为的椭圆 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的乘法求出，再列出方程判断即得. 【详解】由复数，得， 而的实部为4，则，即， 因此的轨迹是短轴长为的椭圆，ABC错误，D正确. 故选：D 6. 打篮球是一项以手为中心的身体对抗性体育运动．如图，这是一个篮球的平面图形，篮球的外形轮廓为圆，将篮球表面的缝合线看成坐标轴和双曲线的一部分．设该双曲线的中心为原点，焦点在轴上，轴、双曲线与圆的交点将圆的周长六等分，且，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆O半径为r，利用半径表示出a和圆上第一象限的六等分点的坐标，代入双曲线方程可得b，然后可得离心率. 【详解】设圆O半径为r，双曲线方程为 因为，所以 由轴、双曲线与圆的交点将圆的周长六等分可知，，代入方程，得 解得，所以 故选：A 7. 已知直线过点且与直线平行，为抛物线上的动点，到的准线的距离为到的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，垂足为，利用抛物线的定义得到，可知当三点共线时有最小值，再利用点到直线的距离公式计算. 【详解】过点作，垂足为， 由题意可知，直线的方程为，抛物线的焦点为， 由抛物线的定义可知，， 则，等号成立时三点共线， 点到直线的距离为， 故的最小值为. 故选：C 8. 如图，在四棱柱中，侧面底面，四边形是正方形，四边形是菱形，且分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算表示，再应用异面直线夹角余弦计算求解. 【详解】因为侧面底面，侧面底面， 四边形是正方形，所以底面，所以侧面，侧面， 所以，所以， 因为分别是棱的中点，所以， 所以， 因为四边形是正方形，四边形是菱形，且，所以设， ， 所以， 所以， 设异面直线与所成角为， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若直线与直线垂直，则的值可能为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】CD 【解析】 【分析】根据两条直线垂直系数关系列式计算求解. 【详解】直线与直线垂直， 则，所以或. 故选：CD. 10. 已知等差数列的前n项和为,公差,若存在正整数m,k（）,使得,则（ ） A. B. 当时, C. 存在最小值 D. 当为偶数时, 【答案】AB 【解析】 【分析】由等差数列前项和的函数特性可判断A和B，通过举反例可判断C，设,由，整理可得，再由等差数列的通项公式和性质可得从而判断D. 【详解】设,由（）,可知二次函数的图象关于直线对称, 所以,即,A正确. 因为,所以当时,,B正确. 取,则,但不存在最小值,C错误. 若为偶数,不妨设,由,可得,即, 则,即,即,所以不成立,D错误. 故选：AB. 11. 已知曲线，直线的斜率为，且过点，则（ ） A. 当时，与只有1个公共点 B. 当时，与有3个公共点 C. 椭圆与有6个公共点 D. 当抛物线与有5个公共点时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，得到或，得出曲线表示的轨迹为轴和一个以原点为圆心，半径为2的圆，结合选项，结合直线与圆的位置关系，以及曲线与曲线的位置关系的判定方法，联立方程组，逐项计算，即可求解； 【详解】由方程，可得，所以或， 则曲线表示的轨迹为轴和一个以原点为圆心，半径为2的圆，如图所示， 又由直线的斜率为，且过点， 可得直线的方程为，即， 对于A，当直线与圆相离时，则圆心到直线的距离大于半径， 即，解得，所以或， 所以当时，直线与圆没有公共点， 又由直线与轴只有一个公共点， 所以时，直线与曲线只有一个公共点，所以A正确； 对于B，当时，直线的方程为， 则直线与轴的交点为，点恰好在圆上， 所以时，直线的方程为，即， 联立方程组，整理得，解得或， 当时，可得；当时，可得， 即直线与圆的交点为， 此时直线与曲线只有两个公共点，所以B不正确； 对于C，由椭圆的方程，令，可得，解得， 所以椭圆与轴有两个交点，即为和， 联立方程组，解得，对应4个交点， 综上可得，椭圆与曲线共有6个公共点，所以C正确； 对于D，由抛物线与轴的交点为，即抛物线与轴有一个交点， 当时，显然与圆没有公共点，不符合题意，所以， 联立方程组，整理得， 令，方程即为， 要使得抛物线与有5个公共点，则满足方程有2个正根，设为， 则满足，解得，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前项和，则当时，___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合，准确运算，即可求解. 【详解】由数列的前项和， 当时，. 故答案为： 13. 在空间直角坐标系Oxyz中，，且，则__________，四面体ABCD的体积为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合已知条件，写出向量的坐标，然后用向量数量积完成第一个空，结合数量积，画出四面体几何图形，算出体积. 【详解】，则，解得. 因为，所以，则， 又，，所以平面. 因为，所以. 如图， 因为，， 所以四面体ABCD的体积为. 故答案为；，. 14. 已知双曲线为上一点，且在第一象限，直线与直线交于点，直线与交于点与关于轴对称，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由点在双曲线上，可以得到，解出，利用点斜式求出直线和直线的方程，由与直线交于点，求出的坐标，由与交于点，求出的坐标，由与关于轴对称，求出的坐标，利用两点间距离公式求出的长度，得到，由在第一象限得到和的范围， 将转化为的等式，即， 设，则转化为，设，则，，则转化为，设，则转化为，利用基本不等式求出的最小值. 【详解】设，在双曲线上， ，， ，，直线的方程为， ，，直线的方程为， 与直线交于点，，，， 与交于点，，，， 与关于轴对称，， ，， ，，在第一象限，，， ，， ，， ，，，， 设，，且， ，， 设，则，， ，， 设，，，， ，， 当且仅当时，即时，等号成立，，可以取到， ，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）求； （3）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用等差数列通项公式计算求解； （2）应用等差数列求和公式计算求解； （3）应用裂项相消计算求和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，且 所以，所以， 所以； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为， 所以 16. 已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点． （1）求的渐近线方程． （2）若是的右支上一点，且，求． （3）是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，倾斜角为. 【解析】 【分析】（1）根据虚轴长得出，再结合渐近线方程计算求解； （2）应用双曲线定义结合是的右支上一点得出结合计算求值； （3）假定存在，利用中点弦问题列式求解并验证即得. 【小问1详解】 因为双曲线的虚轴长为，所以，所以， 所以的渐近线方程为，即； 【小问2详解】 因为双曲线定义及是的右支上一点，所以， 又因为，所以； 【小问3详解】 假设存在直线l，设，则， 两式相减得， 由的中点为， 得， 因此直线的斜率， 双曲线的渐近线方程为，而，则直线与双曲线相交， 所以存在直线满足要求，直线的斜率为，的倾斜角为. 17. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形． （1）证明：． （2）若，，，二面角为，求． 【答案】（1）证明：在直四棱柱中，连接，由四边形为菱形，得， 由平面，平面，得， 而平面，因此平面， 又平面，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定性质，结合菱形性质及直棱柱的结构特征推理得证. （2）连接，利用几何法作出二面角的平面角，求出该角的正切，再利用二倍角公式及齐次式法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得菱形是正方形，而，则， 直四棱柱为正四棱柱，矩形是其对角面，连接， 则，在平面内过点作于，则， 过作交于，连接，由，得， 平面，则平面， 又平面，因此，是二面角的平面角，即， 在中，，则斜边， ，而，在中，， 所以. 18. 已知椭圆的长轴长为分别为的左、右焦点． （1）求的方程与离心率； （2）设为上的动点，延长至点，使得，求动点的轨迹方程； （3）设（2）中动点的轨迹为曲线，若直线与交于，两个不同的点，且被截得的弦长为，求． 【答案】（1）；； （2）． （3）. 【解析】 【分析】（1）根据长轴长列式计算求出方程进而计算离心率即可； （2）由椭圆定义可得，，进而得出，则的轨迹是以为圆心，4为半径的圆； （3）先根据直线和椭圆的交点及圆的弦长计算求解得出直线，再联立直线和椭圆，进而应用弦长公式计算求解. 【小问1详解】 因为椭圆的长轴长为，所以，即，所以椭圆方程， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点， 延长至点，使得， 因为，，所以， 所以的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 所以动点的轨迹方程为． 【小问3详解】 因为直线与交于，两个不同的点， 直线被截得的弦长为， 设圆心到直线距离为，所以， 所以，所以或， 当时，直线与椭圆相切，不满足题意，舍去， 所以， 由消去得， 设，则， 因此． 19. 定义：若，且和是公比不相同的等比数列，则称为“混双等比数列”.已知数列满足，其中常数且. （1）证明：是等比数列； （2）设的前项和为，若是“混双等比数列”，求的值； （3）若“混双等比数列”满足的前项和为也是“混双等比数列”，证明：当时，. 【答案】（1）证明： 证法一：由，则， 则， 所以， 又， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 证法二：由，得，即， 则，， 则，即，， 显然满足上式，则， 所以， 因为，所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列. （2） （3） 证明：， 因为是“混双等比数列”，所以，且. 设，则. 因为，所以当时，是递增数列，； 当时，是递减数列，. 故当时，. 【解析】 【分析】（1）证法一：根据题设推导可得，进而求证即可； 证法二：根据题设可得，利用累加法求得，再求出即可求证； （2）解法一：由（1）中证法一可得，再利用分组求和法求解即可； 解法二：由（1）中证法二可得，再根据分组求和法求解即可； （3）根据分组求和先求得，结合混双等比数列的定义可得，且，设，可得，进而分、两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：由（1）证法一可得， 又因为， 所以，即， 则， 因为是“混双等比数列”，所以，解得. 解法二：由（1）证法二可得， 所以， 即. 因为是“混双等比数列”，所以，解得. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年三晋联盟山西名校高二12月联合考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册、选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的斜率为（ ） A. 5 B. C. D. 2. 数列的一个通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与圆相切，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 在等比数列中，，且，则（ ） A. 36 B. 27 C. 18 D. 9 5. 已知，复数，点，若的实部为4，则（ ） A. 的轨迹是实轴长为4的双曲线 B. 的轨迹是短轴长为4的椭圆 C. 的轨迹是实轴长为的双曲线 D. 的轨迹是短轴长为的椭圆 6. 打篮球是一项以手为中心的身体对抗性体育运动．如图，这是一个篮球的平面图形，篮球的外形轮廓为圆，将篮球表面的缝合线看成坐标轴和双曲线的一部分．设该双曲线的中心为原点，焦点在轴上，轴、双曲线与圆的交点将圆的周长六等分，且，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线过点且与直线平行，为抛物线上的动点，到的准线的距离为到的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱柱中，侧面底面，四边形是正方形，四边形是菱形，且分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若直线与直线垂直，则的值可能为（ ） A. B. 4 C. D. 2 10. 已知等差数列的前n项和为,公差,若存在正整数m,k（）,使得,则（ ） A. B. 当时, C. 存在最小值 D. 当为偶数时, 11. 已知曲线，直线的斜率为，且过点，则（ ） A. 当时，与只有1个公共点 B. 当时，与有3个公共点 C. 椭圆与有6个公共点 D. 当抛物线与有5个公共点时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前项和，则当时，___________． 13. 在空间直角坐标系Oxyz中，，且，则__________，四面体ABCD的体积为__________. 14. 已知双曲线为上一点，且在第一象限，直线与直线交于点，直线与交于点与关于轴对称，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）求； （3）求数列的前项和． 16. 已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点． （1）求的渐近线方程． （2）若是的右支上一点，且，求． （3）是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由． 17. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形． （1）证明：． （2）若，，，二面角为，求． 18. 已知椭圆的长轴长为分别为的左、右焦点． （1）求的方程与离心率； （2）设为上的动点，延长至点，使得，求动点的轨迹方程； （3）设（2）中动点的轨迹为曲线，若直线与交于，两个不同的点，且被截得的弦长为，求． 19. 定义：若，且和是公比不相同的等比数列，则称为“混双等比数列”.已知数列满足，其中常数且. （1）证明：是等比数列； （2）设的前项和为，若是“混双等比数列”，求的值； （3）若“混双等比数列”满足的前项和为也是“混双等比数列”，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $