精品解析：上海师范大学附属嘉定高级中学2026-2027学年第一学期期中学业质量调研数学试卷

2026学年第一学期期中学业质量调研 高三年级数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题共有12题满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分） 1. 不等式的解集是______. 2. 集合，，则=______. 3. 幂函数在上是减函数，则________. 4. 已知，，则______. 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为________. 6. 的内角的对边分别为，若，则内角的大小为______. 7. 已知函数，则______. 8. 在的展开式中，所有项的系数之和为，则展开式中的常数项为______. 9. 已知异面直线所成角为，过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，则的取值范围是___________. 10. 设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是________. 11. 已知.若对任意的，存在使得不等式成立，则实数的取值范围是______. 12. 已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值__________. 二、选择题（本大题共有4题满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13. 数列中，“”是“是公比为的等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知，则表达式的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 已知是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 B. 过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直 C. 平面不垂直平面，但平面内存在直线垂直于平面 D. 若直线不垂直于平面，则在平面内不存在与垂直的直线 16. 2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，（）的距离之积为定值．当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则（ ） A. 6 B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知双曲线，其上焦点为. （1）若直线（）经过上焦点，求的最小值. （2）若直线过点，且与双曲线有且仅有一个公共点，求该直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点是的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知函数. （1）若是定义域上的严格增函数，求实数的取值范围； （2）若时，求实数的取值范围. 20. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； （3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 21. 已知椭圆（）的两焦点分别为，，离心率为，，，为椭圆上三个不重合的点，且直线经过点，与关于轴对称. （1）求椭圆的标准方程； （2）当的面积变化时，求内切圆半径的取值范围； （3）求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中学业质量调研 高三年级数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题共有12题满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分） 1. 不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【详解】，，，解得， 故不等式的解集是. 2. 集合，，则=______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，， 所以 3. 幂函数在上是减函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的定义以及幂函数的单调性可直接求出参数m的值. 【详解】因为函数为幂函数， 所以， 解得或， 当时，，在上为增函数，不符合题意； 当时，，在上为减函数，符合题意； 故答案为：-1. 4. 已知，，则______. 【答案】. 【解析】 【分析】由已知等式化简可得，结合范围，解得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角的正切函数公式可求的值. 【详解】， ， ， ，解得， ， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查的是三角恒等变换、二倍角的正弦、正切公式，同角三角函数关系的应用，考查学生的计算能力. 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由圆锥的侧面展开图求得，结合圆锥的表面积公式，即可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l， 因为圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形， 故，则， 故该圆锥的表面积为， 故答案为： 6. 的内角的对边分别为，若，则内角的大小为______. 【答案】 【解析】 【详解】由正弦定理得，， 则，整理得， 由余弦定理得，， 则， 因为，所以， 在中，， 所以. 7. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由得，， 则 8. 在的展开式中，所有项的系数之和为，则展开式中的常数项为______. 【答案】 【解析】 【分析】先通过赋值法求出参数的值，再将原式拆分为二项式结构，结合二项展开式的通项，分类计算各部分的常数项并求和得到结果. 【详解】令代入原式，可得：， 由题知展开式所有项的系数之和为，故，解得. 将原式改写为，根据二项式定理，其展开式为：， 要得到整个展开式的常数项，需对每个对应的，计算其内部的常数项，再与对应组合数相乘后求和. 对于，其展开式的通项为：， 令的指数，即，此时得到的常数项，仅当为偶数时存在非零常数项： 1. 当时，，常数项为， 2. 当时，为奇数，无整数满足，故常数项为， 3. 当时，令，得，此时的常数项为，对应常数项为， 4. 当时，为奇数，无整数满足，故常数项为， 5. 当时，令，得，此时的常数项为，对应常数项为， 所以展开式的常数项为. 9. 已知异面直线所成角为，过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】将直线平移交于点，并作及其外角的角平分线；根据过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，可知方向上有两条，方向上不存在，由此可得范围. 【详解】将直线平移交于点，设平移后的直线为， 过点作及其外角的角平分线，则； 在方向，要使过空间一点的直线，且与所成角都是的直线有两条，则； 在方向，要使过空间一点的直线，且与所成角都是的直线不存在，则； 综上所述：. 故答案为：. 10. 设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】判断的奇偶性和单调性，据此等价转化不等式，则问题得解. 【详解】由f(x)＝ln(1＋|x|)－， 且其定义域为，故f(x)为上的偶函数， 于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|). 当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－， 在均是单调增函数， 所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数， 则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|， 两边平方得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1. 故答案为： 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，涉及利用函数性质解不等式，属综合基础题. 11. 已知.若对任意的，存在使得不等式成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，先求解的最大值，将存在性条件转化为关于的绝对值函数的恒成立问题，再利用绝对值三角不等式求出的最小值，建立不等式求解的取值范围. 【详解】设，， 当时，， 当时，，此时， 当时，， 所以的值域为，即. 对任意的，存在使得不等式成立，即存在使得， 只需，即，即任意的，， 由绝对值三角不等式，，当且仅当时，取得最小值， 所以要使得任意的，，只需，即， 所以实数的取值范围为. 12. 已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值__________. 【答案】4 【解析】 【分析】由已知可得，利用基本不等式可求的最小值． 【详解】设圆心为，则为抛物线的焦点．设，则， 要使最小，则需最大，，且， ， 当且仅当，即时取等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 二、选择题（本大题共有4题满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13. 数列中，“”是“是公比为的等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】若是公比为的等比数列，则一定满足， 则“”是“是公比为的等比数列”的必要条件； 当，成立，但不是等比数列， 因此由推不出是公比为的等比数列，充分性不满足， 则“”是“是公比为的等比数列”的不充分条件； 综上，“”是“是公比为的等比数列”的必要不充分条件. 14. 已知，则表达式的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，，解得， 记， ， ，， 即表达式的取值范围是. 15. 已知是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 B. 过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直 C. 平面不垂直平面，但平面内存在直线垂直于平面 D. 若直线不垂直于平面，则在平面内不存在与垂直的直线 【答案】B 【解析】 【分析】举特例说明判断A；由平面的基本事实及线面垂直的性质推理判断B；推理说明判断C；举例说明判断D作答. 【详解】正方体中，直线、直线都平行于平面，而直线与相交，A不正确； 如图，直线是平面的斜线，，点P是直线l上除斜足外的任意一点， 过点P作于点A，则直线是斜线在平面内射影，直线与直线确定平面， 而平面，则平面平面，即过斜线有一个平面垂直于平面， 因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的，则直线与直线确定的平面唯一， 所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，B正确； 如果平面内存在直线垂直于平面，由面面垂直的判断知，平面垂直于平面， 因此，平面不垂直平面，则平面内不存在直线垂直于平面，C不正确； 如图，在正方体中，平面为平面，直线为直线， 显然直线不垂直于平面，而平面内直线都垂直于直线，D不正确. 故选：B 16. 2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，（）的距离之积为定值．当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设有，设结合定义得，利用三角形面积公式有，即是曲线与以直线的圆的交点，联立曲线与圆求得，应用两点距离公式求. 【详解】由原点在曲线上，则， 设，则， 所以，则， 所以， 由，且，可得， 所以，易知是曲线与以直径的圆的交点， 联立，且在第一象限，可得， 所以. 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知双曲线，其上焦点为. （1）若直线（）经过上焦点，求的最小值. （2）若直线过点，且与双曲线有且仅有一个公共点，求该直线的方程. 【答案】（1）最小值为. （2）满足条件的直线方程为，，. 【解析】 【分析】（1）将点代入直线方程推得，再由“乘1”法与基本不等式即可求得. （2）根据过点的直线与双曲线只有一个公共点，可知该直线为顶点处的切线，或与双曲线的一条渐近线平行，将直线方程与双曲线方程联立，按二次项系数是否为分类讨论，即可求得. 【小问1详解】 由双曲线方程可得其半焦距为，则上焦点为. 直线经过点，代入得. 因为，，则有. 所以. 等号当且仅当时成立， 由可得 即当时，取得最小值. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线方程为.显然与双曲线交于两个顶点，不合题意，即直线的斜率存在； 设直线方程为，代入，整理得， 因为点在双曲线上，所以恒为方程的一个根. 当，可得另一个根为，依题意需使，即，此时直线方程为； 当时，，方程化为，符合题意，此时直线方程为或. 综上可得所求的直线方程为，，. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点是的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 因，点是的中点，则, 因平面平面，且平面平面, 平面， 故平面， 又平面,故. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得平面，即得； （2）根据（1）的结论，利用题设建系，依次写出各相关点的坐标，求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角的坐标公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取中点,连接，由（1）知平面，，可得, 因，故,则可分别以为轴正方向建立空间直角坐标系. 又，，，，则, 于是，, 设平面的一个法向量为，则，故可取， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知函数. （1）若是定义域上的严格增函数，求实数的取值范围； （2）若时，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求导，再根据题意建立不等式恒成立问题，即可求解； （2）由（1）可得，在上单调递增，有满足题意；当时，证明存在使得在上单调递减，有不合题意. 【小问1详解】 函数，定义域为， 是定义域上的严格增函数，则对任意的，恒成立， ∴对任意的，恒成立，∴时，， 又，当且仅当时，取得等号，所以. 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 时，又， 由（1）知，当时，在上单调递增，有，符合题意； 当时，由于， ∴存在使得在上，，单调递减， 此时，不成立. 综上所述：实数的取值范围为. 20. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； （3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由相伴函数的定义结合辅助角公式得函数的表达式，进一步解三角函数方程即可； （2）利用两角和差的余弦公式展开合并以及单位向量的定义即可依次得解； （3）由题意依次得，外接圆的半径，再结合向量的数量积运算即可得解. 【小问1详解】 根据题意知，向量的相伴函数为， 当时，， 又，则，所以，故. 【小问2详解】 因为， 整理得到，故函数的相伴特征向量， 则与同向的单位向量为. 【小问3详解】 由题意得，， 在中，，，因此， 设外接圆半径为，根据正弦定理，，故， 所以 ， ， ， 代入可得， 所以当时，取得最大值． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于，外接圆的半径，再结合向量数量积的运算律即可顺利得解. 21. 已知椭圆（）的两焦点分别为，，离心率为，，，为椭圆上三个不重合的点，且直线经过点，与关于轴对称. （1）求椭圆的标准方程； （2）当的面积变化时，求内切圆半径的取值范围； （3）求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）椭圆的标准方程为. （2）内切圆半径的取值范围为. （3）直线恒过点. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标，可得值，根据离心率，可得值，则可求出，即可得答案； （2）根据椭圆的定义，可得的周长，即可得内切圆半径的表达式，直线的方程为，与椭圆联立，设，，则，根据韦达定理，可得的面积的表达式，结合基本不等式，可得的范围，即可得答案； （3）由（2）根据韦达定理，可得，的表达式，求出直线的方程，化简整理，即可得答案. 【小问1详解】 由椭圆的焦点分别为，，得， 由离心率，得，则， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由椭圆的定义得的周长为，则的面积， 所以， 又， 由直线经过点，设直线的方程为， 因为，，为椭圆上三个不重合的点且与关于轴对称， 所以存在且， 联立，得， 设，，则， 则，， 故， 令，由，得，则， 所以， 因为在上单调递增， 所以，则，， 即内切圆半径的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）可知直线的斜率， 所以直线的方程为， 整理得， ， ， ， 由（2）可知， ， ， 令，得，所以直线恒过点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $