精品解析：甘肃省武威市多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

武威市多校联考2024-2025学年高二上学期期末 数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 将直线：绕其与轴的交点旋转得到直线，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件确定直线的斜率以及直线上的点，再代入点斜式直线方程. 【详解】由条件可知，与轴的交点为，且斜率为，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程是，整理为. 故选：B 2. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 7 B. 49 C. D. 43 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的片段和性质有，并设，结合已知求、，即可求值. 【详解】设，则， 因为， 所以，解得， 所以. 故选：C 3. 若抛物线的准线与圆相切，则（ ） A. 2 B. 4 C. 2或6 D. 4或8 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线的焦点在轴的正半轴上，其准线与圆相切时列式求解. 【详解】抛物线的准线方程为，圆圆心为，半径为1， 依题意知，解得或， 故选：C. 4. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则的值为（ ） A. 58 B. 57 C. 56 D. 55 【答案】D 【解析】 【分析】利用下标和性质分别求出和即可得解. 【详解】设等差数列的首项为，等比数列的首项为， 则， 所以. 故选：D 5. 的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则（ ） A. B. 75 C. 135 D. 165 【答案】D 【解析】 【分析】求出展开式的通项，进而求出，再利用组合计数问题求出即可. 【详解】展开式的通项， 则， 的展开式中的项为，则， 所以. 故选：D 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C第一象限上一点，的角平分线为l，过点O作的平行线，分别与，l交于M，N两点，若，则的面积为（ ） A. 20 B. 12 C. 24 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】因为，故为的中位线，,由此得到，再利用得到，推出，结合角平分线定理，找出，进而得解； 【详解】如图，记l与轴交于点， 由双曲线的定义，，, 因为，为中点，故为的中位线，, , 易知，,故,故， 由的角平分线为l，由角平分线的性质得：, 所以, 故为直角三角形，面积为. 故选：C. 7. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是1 D. 过与直线平行的直线方程是 【答案】D 【解析】 【分析】求解直线的倾斜角判断A；利用直线的斜率乘积判断B；点到直线的距离判断C；求解直线方程判断D． 【详解】直线，直线的斜率为：，所以直线的倾斜角为：，所以A不正确； 直线的斜率为：，两条直线不垂直，所以B不正确； 点到直线的距离是：，所以C不正确； 过与直线平行的直线方程是，正确，所以D正确； 故选：D． 8. 斜椭圆是由焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定角度得到的图象.已知曲线的图象是如图所示的斜椭圆，点是上任意一点，点，，为坐标原点，则下列说法错误的为（ ） A. 该椭圆的焦点在直线上 B. 该椭圆的离心率为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】通过验证点关于直线，对称的点在曲线上，结合图象可知A正确；将，与曲线方程联立可得顶点坐标，由此可长轴长和短轴长，结合椭圆之间关系和离心率定义可求得B正确；当直线与曲线相切时，取得最大值，联立后利用可求得C正确；将转化为，根据可求得D错误. 【详解】对于A，点关于直线，对称的点分别为，，可知点，在曲线上， 曲线的图象关于直线和对称； 由图象可知：曲线的长轴在上，则焦点在直线上，A正确； 对于B，由得：或， 椭圆长轴长，则； 由得：或， 椭圆短轴长，则； ，离心率，B正确； 对于C，当直线与曲线相切时，取得最大值； 由得：， ，解得：（舍）或， 的最大值为，C正确； 对于D，中点为椭圆的焦点， ， ，， ，D错误. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，漏选得部分分，多选错选均不得分.） 9. 外接圆半径为的满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的面积是 D. 的周长是 【答案】AC 【解析】 【分析】由两角和与差的余弦展开式化简已知得，得可判断A；，再由求出可判断B；正弦定理求出，勾股定理求出，由求出面积可判断C；求出周长可判断D. 【详解】对于A，， 即， （其中，，） 所以，，故A正确； 对于B， ， 因为，所以，所以， 而，故B错误； 对于C，取的中点，连接， 由A，B的解析知，故外接圆圆心点在的延长线上， 连接， 因为的外接圆半径，所以， 所以， 所以， ， ， ， ，故C正确； 的周长，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是，，利用有界性求出，. 10. 定义：已知数列的前n项和，若，，使得，则称数列为分解数列．基于上述事实，则（ ） A. 若数列为非零常数列，则数列不可能为分解数列 B. 若，则数列为分解数列 C. 若首项为1的非常数列为分解数列，则 D. 若首项为2的非常数列为分解数列，则数列的前n项和小于1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据数列新定义，结合及等比数列通项公式，应用裂项相消法计算判断各个选项即可. 【详解】若数列为非零常数列，则，，两式不相等，所以数列不可能为分解数列，A选项正确； 若，当，所以当，所以， 所以， 当，左边为，右边为不相等，B选项错误； 因为首项为1的非常数列为分解数列，则，所以，，C选项正确； 因为首项为2的非常数列为分解数列，则，所以，， 所以数列的前n项和，D选项正确； 故选：ACD. 11. 已知双曲线分别为双曲线左、右焦点，焦距为2c，为该双曲线上异于顶点的任一点，双曲线E的左、右顶点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线与双曲线的一个交点的横坐标恰好为c，则双曲线的离心率是 B. 若双曲线的离心率为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积等于（点为坐标原点），则实数的值等于 C. 设直线PA、PB的斜率分别为，则 D. 若在第一象限，内切圆圆心的横坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线与双曲线的位置关系、双曲线的离心率、三角形的面积、定值问题以及三角形内切圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，代入得， 解得（负根舍去），所以， 两边除以得，解得，A选项正确. B选项，双曲线左焦点到一条渐近线的距离为， 所以，所以， 由于双曲线的离心率，所以， 所以，所以B选项错误. C选项，设，则， ，， 所以C选项正确. D选项，设内切圆的圆心为，内切圆于相切于点，如图所示， 则，且， 由于，所以， 而，所以，所以， 所以内切圆圆心的横坐标为，D选项正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛： 利用双曲线的几何特性求解离心率：首先通过双曲线的焦点和交点条件，利用关于的方程推导出离心率. 内切圆位置的几何分析：通过分析双曲线在第一象限内的内切圆位置，利用几何关系确定圆心具体的横坐标. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 从6位同学中选出2人分别担任班长和团支书，则有______种不同选法.(用数字作答) 【答案】30 【解析】 【分析】由排列组合中的分步原理可得：先从6位同学中选出2人，再安排选出的2人担任班长和团支书运算即可得解． 【详解】从6位同学中选出2人分别担任班长和团支书， 则可以先从6位同学中选出2人，再安排选出的2人担任班长和团支书， 则共有种不同选法． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了排列组合中的分步原理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题． 13. 已知直线与圆相交于、两点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离， 所以. 故答案为： 14. 的展开式中的系数为36，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】因为的二项展开式为， 令，可得； 令，可得； 可得， 所以， 解得：， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知菱形的中心为点边所在直线的方程是，对角线所在直线的方程是. （1）求对角线所在直线的方程； （2）求边所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可设，将把代入直线的方程，求得，即可求得直线的方程； （2）联立方程组，求得的坐标，设为，根据中点公式，求得，再联立方程组，取得，结合直线的两点式方程，即可求解. 【小问1详解】 解：因为四边形为菱形，则的对角线互相垂直，即， 因为对角线所在直线的方程是，可设， 把代入直线的方程，解得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 解：联立方程组，解得，即， 设点的坐标为， 因为，且为的中点，可得且， 解得，即， 再联立方程组，解得，即， 所以边所在的直线方程为，即. 16. 已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）令，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式以及等比中项的性质，利用基本量法即可求出，从而得出通项公式； （2）利用第（1）小问求出，再由错位相减法进行数列求和即可得出结论. 【小问1详解】 依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 因为，，成等比数列，所以，即， 联立，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 17. 已知圆：，直线：，点． （1）判断直线与圆的位置关系； （2）设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程； （3）在（2）的条件下，若，求直线的方程． 【答案】（1）相交 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出动直线经过的定点，判断定点和圆的位置关系即可； （2）连接圆心和弦的中点，利用垂径定理找出几何关系来解决； （3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理来解决. 【小问1详解】 因为直线：过定点， 又，所以在圆内， 所以直线与圆相交； 【小问2详解】 设，当与不重合，即时，连接，，则，根据勾股定理．则，化简得：（）；当与重合时，，也满足上式，故弦的中点的轨迹方程为； 【小问3详解】 设，，因为，所以， 所以，化简得． ① 又消去并整理得， 所以②，． ③ 由①②③联立，解得， 所以直线的方程为或． 18. 在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2． （1）求的轨迹的方程； （2）设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在定点，使得线段的长度为定值2；理由如下： 由题意，直线MN的方程为 ，由题意可知 ， 由 ，消去y得： ， ， 设 ，则， 故 ，同理可求得， 所以直线AB的斜率， 故直线AB的方程为： ， 故直线AB过定点 ，设该点为, 又因为，所以点D在以EF为直径的圆上， 由于 , , 故以EF为直径的圆的方程为， 故存在定点，使得线段的长度为定值2. 【解析】 【分析】（1）根据动点G到点的距离比它到直线的距离小2和抛物线的定义可知点G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，进而得出结果； （2）设直线方程，联立抛物线方程，求得A，B的坐标，从而表示出AB的方程，说明其过定点，由可说明点D点在一个圆上，由此可得结论. 【小问1详解】 由题意可得动点到点的距离比到直线的距离小2， 则动点到点的距离与到直线的距离相等， 故G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线， 设抛物线方程为 ， 则焦准距 ，故的轨迹的方程为： ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了抛物线方程的求解以及直线和抛物线的位置关系中的定点问题，综合性较强，解答时要注意设直线方程并和抛物线方程联立,利用很与系数的关系进行化简，关键是解题思路要通畅，计算要准确，很容易出错. 19. 已知椭圆的左顶点为，下顶点为，长轴长为4，且过点. （1）求的方程； （2）点为椭圆在第一象限上任一点，直线交轴于点，直线交轴于点. （i）若四条直线，，，的斜率分别记为，，，，证明：； （ii）记的面积为，四边形的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2） （i）设点，且， 由题意得，，故，，， 则直线，直线， 则，则， 则，，故； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）设点，求出，再求出直线的方程，得出点坐标，再计算即可求证； （ii）记的面积为，则，由（i）得，再令，得出，再构造函数，通过导函数研究其最值即可求出. 【小问1详解】 由题意得，，，解得， 故的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）记的面积为，则， 因 再令， 则， 令， 则 因，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，故的最小值为， 故的最小值为， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武威市多校联考2024-2025学年高二上学期期末 数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 将直线：绕其与轴的交点旋转得到直线，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 7 B. 49 C. D. 43 3. 若抛物线的准线与圆相切，则（ ） A. 2 B. 4 C. 2或6 D. 4或8 4. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则的值为（ ） A. 58 B. 57 C. 56 D. 55 5. 的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则（ ） A. B. 75 C. 135 D. 165 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C第一象限上一点，的角平分线为l，过点O作的平行线，分别与，l交于M，N两点，若，则的面积为（ ） A. 20 B. 12 C. 24 D. 10 7. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是1 D. 过与直线平行的直线方程是 8. 斜椭圆是由焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定角度得到的图象.已知曲线的图象是如图所示的斜椭圆，点是上任意一点，点，，为坐标原点，则下列说法错误的为（ ） A. 该椭圆的焦点在直线上 B. 该椭圆的离心率为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，漏选得部分分，多选错选均不得分.） 9. 外接圆半径为的满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的面积是 D. 的周长是 10. 定义：已知数列的前n项和，若，，使得，则称数列为分解数列．基于上述事实，则（ ） A. 若数列为非零常数列，则数列不可能为分解数列 B. 若，则数列为分解数列 C. 若首项为1的非常数列为分解数列，则 D. 若首项为2的非常数列为分解数列，则数列的前n项和小于1 11. 已知双曲线分别为双曲线左、右焦点，焦距为2c，为该双曲线上异于顶点的任一点，双曲线E的左、右顶点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线与双曲线的一个交点的横坐标恰好为c，则双曲线的离心率是 B. 若双曲线的离心率为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积等于（点为坐标原点），则实数的值等于 C. 设直线PA、PB的斜率分别为，则 D. 若在第一象限，内切圆圆心的横坐标为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 从6位同学中选出2人分别担任班长和团支书，则有______种不同选法.(用数字作答) 13. 已知直线与圆相交于、两点，则________. 14. 的展开式中的系数为36，则的值为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知菱形的中心为点边所在直线的方程是，对角线所在直线的方程是. （1）求对角线所在直线的方程； （2）求边所在直线的方程. 16. 已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）令，求的前项和. 17. 已知圆：，直线：，点． （1）判断直线与圆的位置关系； （2）设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程； （3）在（2）的条件下，若，求直线的方程． 18. 在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2． （1）求的轨迹的方程； （2）设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆的左顶点为，下顶点为，长轴长为4，且过点. （1）求的方程； （2）点为椭圆在第一象限上任一点，直线交轴于点，直线交轴于点. （i）若四条直线，，，的斜率分别记为，，，，证明：； （ii）记的面积为，四边形的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $