精品解析：天津市第七中学2025-2026学年上学期第二次月考九年级数学试卷

天津市第七中学初三12月月考数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. 4 C. D. 5 3. 下列事件中，是必然事件的是( ) A. 购买一张彩票，中奖 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 4. 已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则（　　） A. x＝﹣1，y＝2 B. x＝﹣1，y＝8 C. x＝﹣1，y＝﹣2 D. x＝1，y＝8 5. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 已知二次函数y＝2x ²－3，当－1≤x≤2时，y的取值范围是（ ） A. －1≤y≤5 B. －5≤y≤5 C. －3≤y≤5 D. －2≤y≤1 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 11. 如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( ) A. 2－ B. C. D. 1 12. 已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若、是抛物线上的两点，则有；④若为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②④ D. ②③ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球、2个白球和3个黄球，若从袋中任意摸取1个球，是白球的概率是______． 14. 边长为4cm的正六边形，它的内切圆与外接圆半径的比值是_____． 15. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______.（结果保留） 16. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 17. 如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为___． 18. 如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交，于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是．其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题：本题共7小题，共66分． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图所示，已知的三个顶点的坐标分别为 （1）画出关于点的中心对称图形； （2）将绕坐标原点逆时针旋转，得到．画出图形，并直接写出点的坐标． 21. 如图，中，，，以为圆心的圆与相切于点，交延长线于点，连接，交于点． （1）求的度数； （2）若，求的长． 22. 某服装公司试销一种成本为每件50元的恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于80元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似地看作一次函数（如图）． （1）求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）设公司获得的总利润为元，求与之间的函数表达式；根据题意判断：当取何值时，最大？最大值是多少？（总利润总销售额总成本） 23. 某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（假定树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜7°（即∠BAB′＝7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠CDA＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高度．（结果保留根号）（参考数据：sin37≈0.6，cos37＝0.8，tan37≈0.75） 24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为． （1）如图①，当点恰好落在上时，点坐标为___________，点的坐标___________； （2）如图②，当点落在线段上时，交于点，求点的坐标； （3）若点为线段的中点，连接，取的中点，连接，写出的取值范围（直接写出结果）． 25. 已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为． （1）求的值及顶点的坐标； （2）点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标； （3）点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第七中学初三12月月考数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 计算的结果是（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】直接由特殊角的三角函数值代入计算即可 【详解】． 故选D． 【点睛】本题主要考查特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角三角函数值是关键. 3. 下列事件中，是必然事件的是( ) A. 购买一张彩票，中奖 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 【答案】D 【解析】 【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． 【详解】A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意； B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件． 4. 已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则（　　） A. x＝﹣1，y＝2 B. x＝﹣1，y＝8 C. x＝﹣1，y＝﹣2 D. x＝1，y＝8 【答案】A 【解析】 【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．直接利用关于原点对称点的性质得出x，y的值进而得出答案． 【详解】解：∵点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称， ∴x﹣2+x+4＝0，y﹣5＝﹣3， 解得：x＝﹣1，y＝2， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 5. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分情况讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围． 【详解】解：①当时，，解得：； ②当时，关于x的方程有实数根， ∴， ∴且， 综上所述，k的取值范围为：． 故选：B． 6. 已知二次函数y＝2x ²－3，当－1≤x≤2时，y的取值范围是（ ） A. －1≤y≤5 B. －5≤y≤5 C. －3≤y≤5 D. －2≤y≤1 【答案】C 【解析】 【详解】先根据二次函数图象和性质可得:二次函数y＝2x ²－3在－1≤x≤2内有最小值,当,函数最小值是,再把代入二次函数解析式求函数值进行比较可得:当时,函数值最大,最大值是5,因此当－1≤x≤2时,y的取值范围是－3≤y≤5,因此正确选项是C. 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解，然后直接比较大小即可． 【详解】将A，B，C三点分别代入，可求得，比较其大小可得：． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像单调性判别，或者直接代入对应数值求解即可． 8. 如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，进而证明，，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴，，故A、B不符合题意，C符合题意； ∴， ∴，即，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，是解题的关键． 9. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可． 【详解】∵在中，为直径， ∴， ∵， ∴， 故选D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标． 【详解】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形． ∵OA=8， ∴CF=8-5=3， ∴PF=4， ∴OB=EF=5+4=9． ∵PF过圆心， ∴DF=CF=3， ∴BD=8-3-3=2， ∴D(9，2)． 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，以及垂径定理等知识，正确做出辅助线是解答本题的关键． 11. 如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( ) A. 2－ B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠DBB′=∠DBA=30°；求出BD、C′D的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D， 由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A， ∴△ABB′为等边三角形， ∴∠ABB′=60°，AB=B′B； 在△ABC′与△B′BC′中， ∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）， ∴∠DBB′=∠DBA=30°， ∴BD⊥AB′，且AD=B′D， ∵AC＝BC＝， ∴， ∴，，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线．作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点． 12. 已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若、是抛物线上的两点，则有；④若为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴上可得，根据二次函数的对称轴可得，由此即可判断说法①错误；根据二次函数的对称性可得当时的函数值与当时的函数值相等，即，由此即可判断说法②正确；根据二次函数的增减性即可判断说法③正确；先确定二次函数的解析式为，再将看作为二次函数与直线的交点的横坐标，结合函数图象即可判断说法④正确． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，说法①错误； 由函数图象可知，当时，， 由二次函数的对称性可知，当时的函数值与当时的函数值相等，即， ∴，说法②正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵、是抛物线上的两点，且， ∴，说法③正确； 由二次函数的对称性可知，当时的函数值与当时的函数值相等， ∴二次函数的解析式为， 又∵为方程的两个根， ∴可看作为二次函数与直线的交点的横坐标， 结合函数图象可知，，说法④正确； 综上，说法正确的有②③④， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球、2个白球和3个黄球，若从袋中任意摸取1个球，是白球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：从袋中任意摸取1个球，是白球的概率是． 故答案为： 【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）；P（不可能事件）是解题的关键． 14. 边长为4cm的正六边形，它的内切圆与外接圆半径的比值是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】从内切圆的圆心和外接圆的圆心向向正六边形的边引垂线，构建直角三角形，解三角形即可． 【详解】解：连接，，作于点G， ∵正六边形的边长为4cm， ∴正六边形的外接圆的半径4cm， 内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是（cm）， 因而正六边形的内切圆的半径与外接圆的半径之比为． 故答案为： ． 【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形． 15. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______.（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积. 根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得：这个圆锥的侧面积是； 故答案为：． 16. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 【答案】600 【解析】 【详解】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． ∴， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600． 17. 如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为___． 【答案】9﹣5 【解析】 【分析】根据旋转的想知道的PB=BC=AB，∠PBC=30°，推出△ABP是等边三角形，得到∠BAP=60°，AP=AB=2，解直角三角形得到CE=2-2，PE=4-2，过P作PF⊥CD于F，于是得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，∴∠ABP=60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP=60°，AP=AB=2，∵AD=2，∴AE=4，DE=2，∴CE=2﹣2，PE=4﹣2，过P作PF⊥CD于F，∴PF=PE=2﹣3，∴三角形PCE的面积=CE•PF=×（2﹣2）×（2﹣3）=9-5，故答案为9-5． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 18. 如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交，于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先根据定理证出，从而可得，再根据角的和差即可判断结论①；根据等腰三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可判断结论②；先根据正方形的性质可得，再根据可得，从而可得，由此即可判断结论③；过点作于点，连接，先根据角平分线的性质可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，取得最小值，然后解直角三角形即可得判断结论④． 【详解】解：四边形是正方形，， ， 在和中，， ， ， ， ， ，即，结论①正确； 平分，， ， ， ， ， ， ， ，结论②正确； ， ， ， ， 即，结论③错误； 如图，过点作于点，连接， 平分，，， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取得最小值， 由垂线段最短得：当时，取得最小值， 此时在中，， 即的最小值是，结论④正确； 综上，所有正确结论的序号是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是④，利用两点之间线段最短、垂线段最短得出当时，取最小值是解题关键． 三、解答题：本题共7小题，共66分． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可得出结果； （2）利用配方法解一元二次方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 20. 如图所示，已知的三个顶点的坐标分别为 （1）画出关于点的中心对称图形； （2）将绕坐标原点逆时针旋转，得到．画出图形，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 如图所示，即为所求，由图可知的坐标为． 【解析】 【分析】(1)利用中心对称的性质分别写出，，的对应点，，坐标，再描点连线即可； (2)根据旋转的性质即可将绕坐标原点逆时针旋转，得到，进而可以写出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转变换作图，解决本题的关键是掌握旋转和中心对称的性质． 21. 如图，中，，，以为圆心的圆与相切于点，交延长线于点，连接，交于点． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的切线性质、圆周角定理、直角三角形勾股定理．关键连接，识别为直角三角形．遗漏连接切点与圆心的辅助线，导致角度关系分析错误． （1）先连接，由切线性质得，结合证为直角三角形，再由圆周角定理求； （2）利用直角三角形得，过C作，利用相似三角形求． 【小问1详解】 连接，因与相切于C，故． ， 在中，，则． ，． ， ． 【小问2详解】 解： 过C作， ， 又，， ． ， ，， ， 由勾股定理得：， ． ． 又， ， ． 22. 某服装公司试销一种成本为每件50元的恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于80元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似地看作一次函数（如图）． （1）求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）设公司获得的总利润为元，求与之间的函数表达式；根据题意判断：当取何值时，最大？最大值是多少？（总利润总销售额总成本） 【答案】（1） （2）当时，最大，最大为元 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）设与之间的函数解析式为，将和代入解析式计算即可得出结果； （2）根据题意得出求与之间的函数表达式，再由二次函数的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：设与之间的函数解析式为， 将和代入解析式可得， 解得：， ∴与之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∵，且， ∴当时，最大，最大为元． 23. 某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（假定树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜7°（即∠BAB′＝7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠CDA＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高度．（结果保留根号）（参考数据：sin37≈0.6，cos37＝0.8，tan37≈0.75） 【答案】（3+4）米． 【解析】 【分析】过点A作AE⊥CD于点E，解Rt△AED，求出DE及AE的长度，再解Rt△AEC，得出CE及AC的长，进而可得出结论． 【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90． ∵在Rt△AED中，∠ADC＝37， ∴cos37＝， ∴DE＝4， ∵sin37＝， ∴AE＝3， 在Rt△AEC中， ∵∠CAE＝90﹣∠ACE＝90﹣60＝30， ∴CE＝AE＝， ∴AC＝2CE＝2， ∴AB＝AC+CE+ED＝2++4＝3+4（米）． 答：这棵大树AB原来的高度是（3+4）米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键. 24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为． （1）如图①，当点恰好落在上时，点坐标为___________，点的坐标___________； （2）如图②，当点落在线段上时，交于点，求点的坐标； （3）若点为线段的中点，连接，取的中点，连接，写出的取值范围（直接写出结果）． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，根据勾股定理求出，由旋转可得，，，证明得到，求出，，可得点坐标，证明得到，求出，，可得点的坐标； （2）由旋转可得，，，证明得到，求出，即可求解； （3）由题意可得，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，根据勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图①，过点作轴于点，过点作轴于点， 点，点，四边形是矩形， ，，， ， 由旋转可得，，， ，， ， ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 由旋转可得，，，， ， ， ， ， ， ，即， ， ； 【小问3详解】 由题意可得，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动， ，， ， ，， ． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，解答此题的关键是熟练掌握旋转的性质，相似三角形的判定与性质． 25. 已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为． （1）求的值及顶点的坐标； （2）点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标； （3）点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值． 【答案】（1），， （2） （3）点的坐标为，这个最小值为 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可，根据二次函数解析式求出顶点坐标即可； （2）连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，根据F为的中点，得出，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求出，根据，得出直线的解析式为，联立，求出点E的坐标即可； （3）过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，证明和都是等腰直角三角形，得出，从而说明，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当点M在点H处时，最小，且最小值为的长，根据等腰直角三角形的性质求出点M的坐标和这个最小值即可． 【小问1详解】 解：将代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标； 【小问2详解】 解：连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，如图所示： 把代入得：， ∴， ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴此时点E符合题意， ∵F为的中点， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 同理根据，可得直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴点E的坐标为； 【小问3详解】 解：过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点M在点H处时，最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，点的坐标为，这个最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $