2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册期末复习满分冲刺讲义

该初中数学讲义通过考点分类构建代数与几何融合的知识体系，以框架图呈现平方根与立方根、一元二次方程、勾股定理等15个核心考点，覆盖数与式、方程与不等式、图形与几何领域，突出二次根式性质、方程解法、直角三角形判定等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题夯实概念（如实数分类、方程解法），综合题融合实际情境（如房价增长率、头盔销售利润模型），培养抽象能力、模型意识。第63题通过销售利润建立方程模型，第75题竹竿过门问题强化勾股定理应用，助力基础学生掌握方法、优秀学生提升综合能力，支持教师精准分层复习。

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义 期末复习满分冲刺讲义（基础篇） 考点01：平方根与立方根 1. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 2. （2023-24金山区七年级下期中）实数a的立方根是3，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是已知一个数的立方根，求原数，根据立方根的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：∵实数a的立方根是3， ∴， 故答案为： 3.若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方、算术平方根的非负性，掌握相关知识是解题关键．根据平方、算术平方根的非负性求出，，再根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， ， 故答案为：． 4. （2024年黄浦区七年级下期中）若，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值、绝对值和算术平方根的非负性．根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再代入可得，即可求解． 【详解】解：由题意得： 解得：， ∴， 即的平方根是． 5. （2023-24金山区七年级下期中）下列运算正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，先分别求解每个选项中的算术平方根，再判断即可． 【详解】解：没有意义，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，正确，故C符合题意；D不符合题意 故选C 6. 下列说法中，正确的是（　　） A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B. 一个非零数的立方根与这个数同号 C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D. 一个数的立方根是非负数 【答案】B 【解析】 【分析】根据立方根的定义和性质，逐项分析即可． 【详解】解：A、一个数的立方根有1个，故原说法错误，该选项不符合题意； B、一个非零数的立方根与这个数同号选项，正确，该选项符合题意； C、负数有立方根，但负数没有平方根，故原说法错误，该选项不符合题意； D、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，故原说法错误，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了立方根，掌握正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0是解题的关键． 7. （2024年黄浦区七年级下期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用．根据立方根、算术平方根的含义和求法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的为36时，输出的值是多少即可． 【详解】解：当输入x为36时，， 是有理数，， 是无理数， ∴当输入为36时，输出的值是． 故答案为：． 考点02：实数 8. （2023-24闵行区七年级下期中）在数，，，，，（相邻两个“3”之间“0”的个数依次加1个）中，无理数的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，立方根，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．据此解答即可． 【详解】解：． 无理数有，，（相邻两个“3”之间“0”的个数一次加1个），共3个． 故选：C． 9.（2024年黄浦区七年级下期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（ ） A. 3米和4米之间 B. 4米和5米之间 C. 5米和6米之间 D. 6米和7米之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．用用“夹逼法”求解即可． 【详解】解：∵一个正方形的花坛，它的面积是20平方米， ∴个正方形的边长为米， ∵， ∴． 故选B． 10.（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 11. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）下列说法正确的是（ ） A. 只有0的平方根是它本身 B. 无限小数都是无理数 C. 不带根号的数一定是有理数 D. 任何数都有平方根 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根，有理数，无理数定义分析判断即可． 【详解】解：A、正数的平方根有2个，只有0的平方根是它本身，故该选项正确； B、无限小数中的无限循环小数是有理数，故该选项错误； C、不带根号，但是无理数，故该选项错误； D、因为负数没有平方根，故该选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查平方根，有理数，无理数，熟悉它们的定义是关键． 12. （2024年黄浦区七年级下期中）已知数轴上两点表示的数分别为和，则间的距离为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意列得：， 则两点间距离为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了数轴表示两点之间的距离，掌握数轴上两点之间的距离等于较大的数字减去减小的数字，根据题意列出正确的算式是解本题的关键． 13. 化简：＝__． 【答案】＃＃ 【解析】 【分析】根据先估算的大小，进而根据二次根式的性质化简即可 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了无理数的大小估算，二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 14. （2023-24学嘉定区七年级下期中）比较大小：﹣4 ___（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】先比较出4与的大小，再根据两个负数比较大小． 【详解】解：∵16＜17， ∴4＜， ∴﹣4＞﹣， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查二次根式大小的比较，解题的关键是掌握比较有理数和根号形式无理数的大小的方法．比较两个负数，绝对值大的反而小 15. （2023-24金山区七年级下期中）下列说法正确的是（ ） A. 负数没有方根； B. 数轴上的每一个点都与一个有理数相对应； C. 平方根和立方根都等于它本身的数是0和1； D. 近似数0.0360有3个有效数字． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平方根和立方根，实数与数轴，有效数字，根据相关知识逐项判断即可 【详解】解：A、负数有立方根，故选项A说法错误，不符合题意； B、数轴上的每一个点都与一个实数相对应，故选项B说法错误，不符合题意； C、平方根等于它本身的数是0，立方根等于它本身的数是0，1和，故选项C说法错误，不符合题意； D、近似数0.0360有3个有效数字,说法正确，符合题意． 故选：D 考点03：二次根式及性质 16.使有意义的x的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分母不为0，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数，根据被开方数大于等于0，分母不等于0求解即可． 【详解】解： 由题意得，且， 解得且． 故选：A． 17. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）如果成立，那么实数的取值范围_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，即可求解． 【详解】解：变形得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，理解并掌握二次根式的性质是解题的关键． 18. 化简：＝____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，解题的关键是利用分母有理化和二次根式的性质进行化简． 先将被开方数的分子分母同乘分母进行分母有理化，再根据二次根式性质化简． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 19. 已知，化简______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查化简二次根式，二次根式的性质，先根据得出，再把二次根次分母有理化即可得出答案． 【详解】解∶∵， ∴， 故答案为：． 20．将根号外的因式移到根号内： 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，得，结合乘方的性质，推导得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了乘方、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 21. 已知实数满足，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，关键是依据题意，弄清的取值范围，体现了分类讨论思想．实数满足，分三种情况讨论，①②③，看哪个符合题意，然后把符合题意的代入，即可解答． 【详解】解：实数满足， ①当时，，不符合题意； ②当时，，不符合题意； ③当时，， ． 故答案为． 22. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）如果三角形三边长分别为，k ，，则化简 得_____ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值，化简二次根式. 首先根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出k的取值范围，然后根据求解即可. 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为、、， ∴， ∴， ∴ . 故答案为： 考点04：最简二次根式与同类二次根式 23. 在下列二次根式中，最简二次根式（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽的因数或因式，且开方数不含分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次函数，符合题意； C、被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 24. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把和各选项中的式子化为最简二次根式，再由同类二次根式的概念解答即可． 【详解】解：， A、与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； B、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； C、，与被开方数相同，是同类二次根式，符合题意； D、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 25.（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是 ． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：是最简二次根式， ∵， ， ， ∴、、不是最简二次根式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，①被开方数不含分母； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 考点05：分母有理化 26.（2024-25学年徐汇区南洋模范中学八年级上期中） 的一个有理化因式是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据有理化因式的定义进行求解即可．两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式为． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了有理化因式的概念和二次根式的运算，熟练掌握有理化因式的概念和平方差公式是解答此题的关键． 27. 如果，，那么、的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理数化，先把分母有理数化即可得出答案. 【详解】解：。 ∵， ∴， 故选：B. 28.计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键．先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 29. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）解不等式：的解集是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解不等式，二次根式的运算． 根据解不等式的步骤求解，最后将分母进行有理化，即可解答． 【详解】， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 即． 故答案为： 考点06：二次根式的运算 30. 下列等式正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算；根据二次根式的性质与混合运算逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 31. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算．先化简二次根式为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： 32. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先化简，将分母有理化，然后合并同类二次根式得到答案． 【详解】解： ． 33. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先逐项化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 34. 先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，完全平方公式的应用，先利用分母有理化得出，再将分式化简，代入求解即可． 【详解】解：， ， 将代入，原式． 35. 化简求值：已知，求的值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据二次根式的运算法则化简，再代入a,b即可求解． 【详解】 = = = = ∵ ∴原式= = =． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 考点07：一元二次方程的概念与解法 36. 下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、属于一元二次方程，故A选项符合题意； B、中若，不属于一元二次方程，故B选项不符合题意； C、中有含两个未知数、，不属于一元二次方程，故C选项不符合题意； D、不是整式方程，不属于一元二次方程，故D选项不符合题意； 故选：A． 37. 已知一个一元二次方程有一个根是1，且它的一次项系数是，写出一个符合要求的方程：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可设：， 将代入，得， ∴， 故该方程可为：． 故答案为：（答案不唯一）． 38. 一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程的根，则此三角形的周长为________． 【答案】13 【解析】 【分析】因式分解法解方程可求得三角形的第三边，再根据三角形三边关系进行取舍即可求得答案． 【详解】解：解方程可得或， 当第三边为5时，则三角形的三边长为3、5、5，满足三角形三边关系，其周长为13； 当第三边为8时，则三角形的三边长为3、5、8，不满足三角形三边关系，舍去． 则此三角形的周长为13． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，求得方程的两根是解题的关键，注意分类讨论． 39. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 首先把常数项移到等号右边，然后方程两边都加上一次项系数的一半的平方，配方即可． 【详解】解：移项，得， 配方，， 则． 故选：B． 40．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）已知，则______． 【答案】/ 【分析】设，则原式为，求解取值即可． 【详解】解：设， 则原式为， 整理得：， 配方得：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，配方法解一元二次方程，算术平方根等知识，熟练掌握解一元二次方程即可． 41. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把看做整体，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则， ， 解得． 42. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，去分母将方程化为一般形式，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：去分母，得：． 即． ∴ ∴或． ∴，． 43. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查配方法求解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元一次方程是解题的关键； 根据配方法解一元一次方程的方法即可求解； 【详解】解：两边都除以，得 配方，得 ∴， 考点08：一元二次方程的根的判别式 44. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴ ∴， 解得，， 故答案为：． 45. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程（为常数且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据题意得出，计算即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 的取值范围为且. 46. 在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，分别求出每个方程的解，进行判断即可． 【详解】解：A、， ∴；不符合题意； B、， ∴；符合题意； C、，此方程无解；不符合题意； D、， ∴， ∴；不符合题意； 故选B． 47. 已知关于x的一元二次方程 （1）当为何值时，此方程有实数根； （2）选择一个满足（1）的条件的，并求此时方程的根． 【答案】（1）当时，此方程有实数根． （2）当时，，． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的情况与判别式的关系是解答此题的关键． （1）根据，确定k取值范围； （2）从上题中求得的范围中找到一个喜欢的值代入后得到方程，求解即可． 【小问1详解】 解：要使方程有实数根，必须， ． 即． 解得． 当时，此方程有实数根． 【小问2详解】 解：当时，（答案不唯一）． 原方程变为． 解得． 即∶，． 48. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，请判断关于的方程是否有两个相等的实数根，并说明理由． 【答案】有两个不相等的实数根，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系． 首先根据方程有两个不相等的实数根，求出m的取值范围，然后求出方程根的判别式，进而作出判断． 【详解】解：有两个不相等的实数根，理由如下： ∵方程有两个不相等的实数根， ， ， 对于关于的方程， ， ， ∴，即， ∴方程一定有两个不相等的实数根． 考点09：一元二次方程的根与系数的关系 49. 已知方程和方程的根完全相同，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先解方程得到，，再把代入方程中求出，接着解方程方程可得到，然后计算的值． 【详解】解：， ，， 把代入方程得，解得， 解方程方程，解得，， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程—增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 50. 设方程的一个根的3倍少7为另一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则，．设方程的一个根为，则另一个根为，根据根与系数的关系得出，得出，另一个根为，进一步利用两根的积得出的数值即可． 【详解】解：设方程另一个根为，则一个根为， 则，解得， 因此． 故答案为：． 51．已知方程的两根分别为、，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，最后代入求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为、， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 52.已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系，单项式乘以多项式，由、是方程的两个实数根，则，，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算即可，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：． 53．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、， ∴ ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴． 考点10：一元二次方程的应用 54. 在实数范围内分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据公式法解，得出，再根据因式分解即可得出答案． 【详解】解：由，得：， 原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 55．用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程为 ． 【答案】 【分析】利用换元法，进行转化，再将分式方程转化为整式方程即可． 【解析】解：设， 则原方程化为：， 去分母，得：，即：； 故答案为：． 【点睛】本题考查换元法解分式方程．熟练掌握换元法，以及将分式方程转化为整式方程的方法，是解题的关键． 56.若关于x的分式方程无解，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先化分式方程为整式方程，分系数中含m和不含m两种情况求解，含m用一元一次方程的无解知识求解；不含m时，用分式方程的增根求解． 【解析】将方程去分母得到： ， 即， ∵分式无解， ∴ 将代入中， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查分式方程无解的情况，正确理解分式方程无解的意义 57．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步骤． 先去分母，将分式方程化为整式方程，再用因式分解法求解，最后进行检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， 检验：当时，；当时，； ∴是原分式方程的解． 58. 某地2024年4月份的房价平均每平方米为40100元，该地2022年同期的房价平均每平方米为39800元．假设这两年该地房价的平均增长率为x，根据题意可列出关x的方程为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量． 若设房价平均每年增长率为，根据增长后的量增长前的量增长率）即可列出方程． 【详解】解：设房价平均每年的增长率为， 根据题意，得． 故填空答案：． 59. 某药厂下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，已知每次降价的百分率相同．设降价的百分率为，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设降价的百分率为，则第一次下调后的价格为，第二次下调的价格为，根据题意列方程即可． 【详解】解：设降价的百分率为， 根据题意得：， 故答案为：． 60. 三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计场比赛．则有 _____支队伍参加比赛． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 有支队伍参加比赛，根据每支队伍与其他队伍只比一场，共计场比赛，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设有支队伍参加比赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即有支队伍参加比赛， 故答案为：． 61. 某校的分校区规划时决定在长为32米，宽为20米的长方形草坪中央修筑同样宽的两条互相垂直的小路，把长方形草坪分割成同样面积的四块小草坪，每块小草坪的面积为135平方米，问道路的宽是多少米？ 【答案】道路的宽度为2米. 【解析】 【详解】试题分析：把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（32-x）和（20-x），根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解． 试题解析：设道路的宽度为x米. 由题意得， （32-x）（20-x）=135×4 整理得， x2-52x+100=0 x1=2，x2=50不合题意，舍去 ∴ 答：道路的宽度为2米. 62. 某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长50米），用130米长的建筑材料围成一个占地总面积为825平方米的3个长方形仓库（如图），为了便于搬运货物，现决定在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为1米的门，求与墙垂直的边的长． 【答案】与墙垂直的边的长为25 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是理解题意，列出方程并计算求解，本题根据面积列出方程求解即可． 【详解】解：设与墙垂直的边的长为x． ∴长为米， 解得：， ∵， ∴， ∴， 答：与墙垂直的边的长为25 ． 63. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 考点11：直角三角形的性质与判定 64．如图，在中，，过点A作于点D，点为的中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．先求出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，点为的中点， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 65. 如图，在中，，，是的中线，是的中点，连接，，若，垂足为，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据垂直定义可得，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而得到，最后利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 是的中线，， 是斜边上的中线， ， ，是的中点， ， ， 由勾股定理得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质． 66. 如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定定理即可求出答案． （2）根据，可知，由于．从而可知． 【小问1详解】 证明：在等边三角形中，，， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ． ， ． 67.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，点分别在上，且，，． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先证明，进一步可得，结合，从而可得答案； （2）如图，过点E作于点F，证明，可得，结合，从而可得答案． 【详解】（1）解：， 为等腰直角三角形， ． ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点E作于点F， ， ， ． 在和中， ， ， ∵在中，， ， ． 考点12：角平分线 68．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）． A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的应用．根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可获得答案． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 69. 如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么__________°． 【答案】58 【解析】 【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质． 【详解】解：延长交于点， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 70.如图，是的角平分线，，则的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其性质及运用是关键． 先作于E，再根据角平分线的性质得到，最后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过D作于E， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：24． 71．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)试判断与之间存在的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 考点13：勾股定理 72.已知等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则腰上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，根据勾股定理求出△ABC底边上的高是解题的关键．过点A作于D，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点A作于D， ，即， 解得：， 故答案为： 73.如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，解一元二次方程，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点， 则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：． 74.如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键；由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点落在边的三等分点处，， ∴或， 由折叠可知：， ∴， 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 综上所述：的长为3或； 故答案为：3或． 75.如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长． 【分析】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高，进而解答即可． 【解答】解：设门高为x尺，则竹竿的长为（x+1）尺， 根据勾股定理可得： x2+42＝（x+1）2，即x2+16＝x2+2x+1， 解得：x＝7.5， ∴门高7.5尺，竹竿的长＝7.5+1＝8.5（尺）． 【点评】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般． 考点14：勾股定理的逆定理 76. 下列条件中，能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 根据直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用进行判定即可． 【详解】解：A、设， ∵， ∴，能判定是直角三角形，符合题意； B、∵， ∴，不能判定是直角三角形，不符合题意； C、，不能判定是直角三角形，不符合题意； D、∵，即， ∴不能判定是直角三角形，不符合题意； 故选：A ． 77.勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．5，15，20 D．9，40，41 【分析】根据勾股数的定义解答即可． 【解答】解：A、，，这三个数不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、，，这三个数不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C、∵52+152＝25+225＝250≠202， ∴5，15，20这三个数不是勾股数，不符合题意； D、∵92+402＝81+1600＝1681＝412， ∴9，40，41这三个数是勾股数，符合题意． 故选：D． 78．学校有一块四边形ABCD的空地，A，C之间有一条垂直于BC的小路AC，如图．学校计划在这块空地上种植花卉．已知：AB＝13米，BC＝12米，CD＝4米，DA＝3米． （1）这块空地ABCD的面积是多少平方米？（小路AC的面积忽略不计） （2）顶点D到小路AC的距离是多少米？ 【分析】（1）先由勾股定理求出AC＝5米，再用勾股定理的逆定理得出△ADC是直角三角形，然后用空地ABCD的面积＝S+计算即可； （2）过点D作DE⊥AC于E，利用等积法S求解即可． 【解答】解：（1）∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90° 由勾股定理，得（米）， ∵CD＝4米，DA＝3米 ∴CD2+DA2＝42+32＝25 ∵AC2＝52＝25 ∴CD2+DA2＝AC2 ∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形， ∴空地ABCD的面积＝S+＝（平方米）， 答：空地ABCD的面积为36平方米． （2）如图，过点D作DE⊥AC于E， 由（1）知△ACD是直角三角形， ∴S， ∴DE＝＝＝2.4（米）， 答：顶点D到小路AC的距离是2.4米． 考点15：综合提升 79．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； (2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； (3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 【答案】(1)①② (2)7或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）分别求出各方程的解，然后进行判断即可； （2）由根与系数的关系可得，再根据“根差2方程”的定义可得，即，然后根据完全平方公式得到关于a的方程求解即可； （3）根据（2）可得：、，即，然后化简即可解答 【详解】（1）解：①的解为，，则该方程为“根差2方程”； ②的解为，，则该方程为“根差2方程”； ③的解为，，则该方程不是“根差2方程”； 故答案为：①②． （2）解：设关于x的方程的解为，则， ∵关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”， ∴，即， ∴，解得：或． （3）解：∵关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”， ∴，， ∴， ∵ ∴． 80.已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； (3)如图，在（）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到，计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，同角的补角相等，垂线定义及同角的余角相等等，关键是依照基础示例引出正确辅助线． 81. 如图，在中，，．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，垂足为E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，的平分线与的延长线相交于点F，连接，的延长线与的延长线相交于点P，证明：； （3）在（2）的条件下，连接，当 时是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）15°或30° 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （1）可证得，，从而，进而证得； （2）可证得从而，进而证得，从而得出； （3）由题意可分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵是的平分线， ∴， 由（1）知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可分： ①当是以的等腰三角形时，则有：， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②当是以的等腰三角形时，如图所示： ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当时，则， ∴， ∵，且点P在的延长线上， ∴此种情况是不成立的； 综上所述：当或时，是等腰三角形； 故答案为：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义 期末复习满分冲刺讲义（基础篇） 考点01：平方根与立方根 1. 的平方根是____． 2. （2023-24金山区七年级下期中）实数a的立方根是3，那么________． 3.若，则 ． 4. （2024年黄浦区七年级下期中）若，求的平方根． 5. （2023-24金山区七年级下期中）下列运算正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 6. 下列说法中，正确的是（　　） A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B. 一个非零数的立方根与这个数同号 C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D. 一个数的立方根是非负数 7. （2024年黄浦区七年级下期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是____________． 考点02：实数 8. （2023-24闵行区七年级下期中）在数，，，，，（相邻两个“3”之间“0”的个数依次加1个）中，无理数的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9.（2024年黄浦区七年级下期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（ ） A. 3米和4米之间 B. 4米和5米之间 C. 5米和6米之间 D. 6米和7米之间 10.（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 11. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）下列说法正确的是（ ） A. 只有0的平方根是它本身 B. 无限小数都是无理数 C. 不带根号的数一定是有理数 D. 任何数都有平方根 12. （2024年黄浦区七年级下期中）已知数轴上两点表示的数分别为和，则间的距离为____________． 13. 化简：＝__． 14. （2023-24学嘉定区七年级下期中）比较大小：﹣4 ___（填“＞”、“＝”或“＜”）． 15. （2023-24金山区七年级下期中）下列说法正确的是（ ） A. 负数没有方根； B. 数轴上的每一个点都与一个有理数相对应； C. 平方根和立方根都等于它本身的数是0和1； D. 近似数0.0360有3个有效数字． 考点03：二次根式及性质 16.使有意义的x的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 17. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）如果成立，那么实数的取值范围_________． 18. 化简：＝____________________． 19. 已知，化简______． 20．将根号外的因式移到根号内： 21. 已知实数满足，那么______． 22. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）如果三角形三边长分别为，k ，，则化简 得_____ 考点04：最简二次根式与同类二次根式 23. 在下列二次根式中，最简二次根式（ ） A. B. C. D. 24. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 25.（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是 ． 考点05：分母有理化 26.（2024-25学年徐汇区南洋模范中学八年级上期中） 的一个有理化因式是 ___________． 27. 如果，，那么、的关系是（ ） A. B. C. D. 28.计算： ． 29. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）解不等式：的解集是____________． 考点06：二次根式的运算 30. 下列等式正确是（ ） A. B. C. D. 31. 计算： 32. 计算：． 33. 计算： 34. 先化简，再求值：已知，求的值． 35. 化简求值：已知，求的值． 考点07：一元二次方程的概念与解法 36. 下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 37. 已知一个一元二次方程有一个根是1，且它的一次项系数是，写出一个符合要求的方程：____________． 38. 一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程的根，则此三角形的周长为________． 39. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 40．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）已知，则______． 41. 解方程： （1）； （2）． 42. 解方程：． 43. 用配方法解方程：． 考点08：一元二次方程的根的判别式 44. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 45. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围． 46. 在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 47. 已知关于x的一元二次方程 （1）当为何值时，此方程有实数根； （2）选择一个满足（1）的条件的，并求此时方程的根． 48. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，请判断关于的方程是否有两个相等的实数根，并说明理由． 考点09：一元二次方程的根与系数的关系 49. 已知方程和方程的根完全相同，则______． 50. 设方程的一个根的3倍少7为另一个根，则______． 51．已知方程的两根分别为、，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2024 52.已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 53．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求m的值． 考点10：一元二次方程的应用 54. 在实数范围内分解因式：___________． 55．用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程为 ． 56.若关于x的分式方程无解，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 57．解方程：． 58. 某地2024年4月份的房价平均每平方米为40100元，该地2022年同期的房价平均每平方米为39800元．假设这两年该地房价的平均增长率为x，根据题意可列出关x的方程为____． 59. 某药厂下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，已知每次降价的百分率相同．设降价的百分率为，则可列方程为______． 60. 三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计场比赛．则有 _____支队伍参加比赛． 61. 某校的分校区规划时决定在长为32米，宽为20米的长方形草坪中央修筑同样宽的两条互相垂直的小路，把长方形草坪分割成同样面积的四块小草坪，每块小草坪的面积为135平方米，问道路的宽是多少米？ 62. 某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长50米），用130米长的建筑材料围成一个占地总面积为825平方米的3个长方形仓库（如图），为了便于搬运货物，现决定在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为1米的门，求与墙垂直的边的长． 63. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 考点11：直角三角形的性质与判定 64．如图，在中，，过点A作于点D，点为的中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 65. 如图，在中，，，是的中线，是的中点，连接，，若，垂足为，则的长为 ． 66. 如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点． （1）求证：； （2）求的度数． 67.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，点分别在上，且，，． (1)求的度数； (2)求证：． 考点12：角平分线 68．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）． A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 69. 如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么__________°． 70.如图，是的角平分线，，则的面积是 ． 71．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)试判断与之间存在的数量关系．并说明理由． 考点13：勾股定理 72.已知等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则腰上的高为 ． 73.如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 74.如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 75.如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长． 考点14：勾股定理的逆定理 76. 下列条件中，能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 77.勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．5，15，20 D．9，40，41 78．学校有一块四边形ABCD的空地，A，C之间有一条垂直于BC的小路AC，如图．学校计划在这块空地上种植花卉．已知：AB＝13米，BC＝12米，CD＝4米，DA＝3米． （1）这块空地ABCD的面积是多少平方米？（小路AC的面积忽略不计） （2）顶点D到小路AC的距离是多少米？ 考点15：综合提升 79．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； (2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； (3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 80.已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； (3)如图，在（）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点若，，求线段的长． 81. 如图，在中，，．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，垂足为E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，的平分线与的延长线相交于点F，连接，的延长线与的延长线相交于点P，证明：； （3）在（2）的条件下，连接，当 时是等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $