第13章 分式 【期末复习冲刺】讲义 2025-2026学年 沪教版（五四制）七年级数学上册

该初中数学讲义通过分类10个高频考点系统构建分式单元知识体系，以框架图呈现从概念、性质到运算、方程及综合提升的递进脉络，用对比表格归纳分式值的正负、整数条件等重难点，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如分式概念判断题夯实抽象能力，中档题如化简求值题提升运算能力，综合题如阅读理解题培养推理意识，如应用题50题通过工程问题建立分式方程模型，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第13章分式高频考点分类复习 考点01：分式的概念 考点02：分式的值为零 正数 负数 整数 考点02：分式的基本性质 考点03：约分与最简分式 考点04：求分式的值 考点05：分式的运算 考点06：分式化简求值 考点07：整数指数幂 考点08：可化为一元一次方程的分式方程 考点09：分式方程应用题 考点10：综合提升 考点01：分式的概念 1.下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）属于分式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 若分式有意义，则x满足的条件是___________． 3. 对于分式，当________时，该分式有意义． 4. 当x ______时，分式有意义． 5. 根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ） … 0 1 2 … … 0 * * 无意义 * … A B. C. D. 考点02：分式的值为零 正数 负数 整数 6. 如果分式的值为1，那么的值是__________． 7. 当的值为_______时，分式的值为零． 8. 如果当时，分式的值为0，那么可以是（ ） A. B. C. D. 9.若分式的值为负数，则的取值范围 ． 10.若使分式的值是整数，则所有符合条件的整数m的和为 ． 考点02：分式的基本性质 11. 对于分式，当、都扩大到原来的倍时，分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的3倍 C. 扩大到原来的9倍 D. 不能确定 12. 若把分式中的x，y的值都扩大3倍，那么分式的值将（ ） A. 缩小 B. 缩小 C. 扩大3倍 D. 扩大9倍 13. 在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为________． 14. 如果使分式有意义的和的值都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，那么整式可以是（ ） A. B. C. D. 考点03：约分与最简分式 15. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 16. 下列分式中最简分式是（ ） A. B. C. D. 17. 下列约分结果正确的是（　　） A. B. C. D. 18. 化简：_____． 考点04：求分式的值 19．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 20．若，则 ． 21. 已知，则___________________． 22. 已知为整数，且，．求的值．（用含、的代数式表示结果） 考点05：分式的运算 23. 计算：_______． 24. 计算：_____． 25. 计算：________． 26.已知，则M等于（ ） A. B. C. D. 27. 计算：（）2÷（﹣）×． 28. 化简：. 29. 计算：． 30. 化简：． 考点06：分式化简求值 31. 已知：，求的值． 32. 化简：，然后从中取一个你认为合适的数作为的值，再代入求值． 33. 先化简，再求值：，其中． 34. 化简：并在，2，三个数中选取两个求这个代数式的值． 35. 先化简，在求值：，其中． 考点07：整数指数幂 36. 计算分式结果是（ ） A. B. C. D. 37. 将分式表示成不含有分母的形式：______． 38. 将表示成只含有正整数指数幂的形式：______． 39. 计算：． 40. 计算：____________________．（结果不含负整数指数幂） 41. 计算：．（结果不含负整数指数幂） 42. 计算：（结果不含负整数指数幂）： 考点08：可化为一元一次方程的分式方程 43. 是下列哪个分式方程的根？（　　） A. B. C. D. 44. 如果方程有增根，那么增根是_______． 45. 如果是关于的方程的增根，那么的值为_____． 46. 如果关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是________． 47. 通过教材中分式单元的的阅读材料，我们知道了一个分式可以写成几个分式的和， 如：． 观察下列解方程的过程：． ． ． ． 在上述的解方程过程中，应用了，使解方程的过程变得简捷． 类似的，解方程， 这个方程的解是__________． 49. 解方程：． 考点09：分式方程应用题 50. 寒风乍起，甲安装队为小区安装台空调，乙安装队为小区安装台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装台．设乙队每天安装台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 51. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效． 某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如图的宣传，根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 52. 腊八节喝腊八粥是中华民族的传统习俗．市场上玫瑰味腊八粥每罐的进价比原味腊八粥每罐的进价多5元，某商家用4000元购进玫瑰味腊八粥的罐数与3000元购进的原味腊八粥的罐数相同． （1）玫瑰味腊八粥和原味腊八粥每罐的进价分别是多少元？ （2）在两种口味腊八粥销售中，该商家都增加了进价的20%作为售价，最后两种口味的腊八粥全部售完，那么商家总共盈利多少元？ 53. 某玩具经销商用万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完．该经销商又用万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每套进价多了10元． （1）该经销商两次共购进这种玩具多少套？ （2）若第一批玩具销售完后总利润率为，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？ 考点10：综合提升 54. 阅读理解 材料1：课后练习13.1（1）的第6题，如果是整数，那么整数可以取哪些值？ 解答过程如下： 解：因为是整数；于是的值为1、、3或； 所以，整数的取值是0、、2或． 材料2：如果一个分式，它只含有一个字母且分子、分母的次数都是一次，那么可以将这 样的分式变形为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母． 例如：． 阅读材料1、材料2，并解答下列问题． 问题1：如果分式的值是整数，那么整数的所有取值是__________． 问题2：如果分式的值是整数，那么所有满足条件的整数的和是多少？ 55. 如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． （3）已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第13章分式高频考点分类复习 考点01：分式的概念 考点02：分式的值为零 正数 负数 整数 考点02：分式的基本性质 考点03：约分与最简分式 考点04：求分式的值 考点05：分式的运算 考点06：分式化简求值 考点07：整数指数幂 考点08：可化为一元一次方程的分式方程 考点09：分式方程应用题 考点10：综合提升 考点01：分式的概念 1.下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）属于分式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分式的定义求解即可，一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母． 【详解】解∶ （1）是整式；（2）是分式；（3）是分式；（4）是整式；（5）是整式． 故分式有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 2. 若分式有意义，则x满足的条件是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：x+1≠0， ∴x≠-1． 故答案是：x≠-1． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 3. 对于分式，当________时，该分式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件：分母不为0．根据分式有意义的条件得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴ 解得， 所以时分式有意义． 故答案为：． 4. 当x ______时，分式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得 故答案为： 5. 根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ） … 0 1 2 … … 0 * * 无意义 * … A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件及分式的值为的条件解答即可，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时分式无意义， ∴不合题意； ∵当时，分式的值为， ∴不符合题意，符合题意， 故选：． 考点02：分式的值为零 正数 负数 整数 6. 如果分式的值为1，那么的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的值，根据题意得到，解出b的值即可． 【详解】解：∵分式的值为1， ∴， 解得， 故答案为：． 7. 当的值为_______时，分式的值为零． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，特别注意分母不为0的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：由题意，得且， 解得且， ∴， 即当x的值为时，分式的值为零， 故答案为： 8. 如果当时，分式的值为0，那么可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关定义是解题关键． 直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案． 【详解】解：A．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意； B．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意； C．当时，分式的值为0，故本选项符合题意； D．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意． 故选：C． 9.若分式的值为负数，则的取值范围 ． 【答案】 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】此题考查了分式的值，涉及的知识有：非负数的性质，以及解一元一次不等式，列出关于x的不等式是解本题的关键． 【详解】解：∵， 要使分式的值为负数，则， 解得， 故答案为：． 10.若使分式的值是整数，则所有符合条件的整数m的和为 ． 【答案】1 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的值，把握分母是4的因数是解题的关键；由题意，是4的因数，且为奇数，由此可求得m的值，进而求得所有整数m的和． 【详解】解：要使分式的值是整数，则是4的因数， 故， 但是奇数，则， 所以或0 ； 所以； 故答案为：1． 考点02：分式的基本性质 11. 对于分式，当、都扩大到原来的倍时，分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的3倍 C. 扩大到原来的9倍 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是关键． 根据题意，扩大后的分式为，由此即可求解． 【详解】解：分式，当、都扩大到原来的倍， ∴扩大后的分式为， ∴扩大到原来的3倍， 故选：B ． 12. 若把分式中的x，y的值都扩大3倍，那么分式的值将（ ） A. 缩小 B. 缩小 C. 扩大3倍 D. 扩大9倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，根据题意，得出将该分式中x和y都扩大3倍后的分式，再化简，即可解答． 【详解】解：把分式中的x，y的值都扩大3倍为， ∴把分式中的x，y的值都扩大3倍，分式的值缩小， 故选：B． 13. 在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，对分式的分子和分母同时乘以6，即可得出结论． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 如果使分式有意义的和的值都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，那么整式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：当表示时，，它的值与原分式的值相等，故A不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的相等，故B不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的2倍，故C符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的8倍，故D不符合题意； 故选：C． 考点03：约分与最简分式 15. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，若一个分式的分子和分母没有公共的因式和因数，那么这个分式就叫做最简分式，据此可得答案． 【详解】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，原分式不是最简分式，不符合题意； D、，原分式不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 16. 下列分式中最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简分式的定义，利用最简分式的意义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式；由此逐一分析探讨得出答案即可． 【详解】解：A、分子、分母不含有公因式，所以是最简分式，符合题意； B、分子、分母含有公因式，所以不是最简分式，不符合题意； C、∵，所以，分子、分母含有公因式，所以不是最简分式，不符合题意； D、∵，所以，分子、分母含有公因式，所以不是最简分式，不符合题意． 故选：A． 17. 下列约分结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了约分，约去分式分子与分母的公因式即可，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． 【详解】解：A、是最简分式，不能化简，不符合题意． B、，不符合题意． C、，符合题意． D、，不符合题意． 故选：C． 18. 化简：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的约分， 先确定公因式，再约分即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 考点04：求分式的值 19．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求分式的值．将分式变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 20．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式求值，先把整理得，再把通分整理得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 21. 已知，则___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值，解题关键是熟练掌握如何利用求分式倒数的方法求出分式的值，先根据已知条件，求出的值，从而求出，再求出，最后求出的值，从而求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴， ， ， ∵ ， ∴， 故答案为：． 22. 已知为整数，且，．求的值．（用含、的代数式表示结果） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，涉及负整数指数幂、积的乘方，根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，结合完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 考点05：分式的运算 23. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，先变形为同分母分式，再进行加减计算即可． 【详解】, 故答案为：． 24. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的减法运算，先通分，再计算减法即可． 【详解】解：； 故答案为：． 25. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除、同底数幂的除法，掌握相关法则是解题的关键． 根据分式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 26.已知，则M等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析： 故选A. 27. 计算：（）2÷（﹣）×． 【答案】 【解析】 【分析】先乘方，把除法转化为乘法后，再约分化简，结果要化为最简分式． 【详解】解：()2÷(﹣)× =×× = 28. 化简：. 【答案】 【解析】 【分析】首先将括号里面的分式进行通分，然后将每一个分式的分子和分母进行因式分解，最后根据分式的化简方法进行化简. 【详解】原式==. 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 29. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，原式括号中两项通分，然后把除法转化为乘法，约分即可得到结果． 【详解】解： ． 30. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的除法计算、完全平方公式和因式分解的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题先把除法化成乘法，再去括号，约分化简即可得到答案； 【详解】解：原式， ， ， ， ， ， ， ； 考点06：分式化简求值 31. 已知：，求的值． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式的加减，先将右边通分后相加，化成与坐标相同的形式，再根据对应系数和常数项相等得到一个关于m、n的二元一次方程组，从而求出m、n的值，继而得解．掌握分式的加减法则和二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 又∵， ∴， 解得：， ∴． 32. 化简：，然后从中取一个你认为合适的数作为的值，再代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，先将括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用分式有意义的条件是分母不为0得到，把代入计算即可求出值． 【详解】解： 若分式有意义可得， 当时，原式． 33. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；3 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、负整数指数幂，先将括号内的式子通分，再将除法转化为乘法，然后约分，最后将a的值代入化简后的式子计算即可，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 34. 化简：并在，2，三个数中选取两个求这个代数式的值． 【答案】；当时，值为25，当时，值为 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练的利用分配律进行简便运算是解本题的关键， 先把能够分解因式的地方分解因式，再利用分配律计算乘法，再合并即可，然后从选取一个使得原分式有意义的值，代入化简后的式子即可解答． 【详解】解：原式 ， ∵当是，分式无意义， ∴x可以取2和， 当时，原式； 当时，原式． 35. 先化简，在求值：，其中． 【答案】，9 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先利用分式的运算法则化简，再将代入即可得出答案． 【详解】解∶ ， 当时，原式． 考点07：整数指数幂 36. 计算分式结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，负整数指数幂，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、除法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 37. 将分式表示成不含有分母的形式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的意义进行变形即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 38. 将表示成只含有正整数指数幂的形式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据负整数指数幂的运算法则求解，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 39. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除法，分式的乘方，负整数指数幂，先根据负整数指数幂，分式的乘方法则进行运算，然后由分式的乘除法即可求解，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 40. 计算：____________________．（结果不含负整数指数幂） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算以及分式的化简知识点，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂的运算法则，并能正确运用平方差公式对式子进行化简。 先将原式中各项的负整数指数幂化为正整数指数幂的形式，再对分子进行变形，利用平方差公式因式分解，然后通过约分消去公因式，将结果化为不含负整数指数幂的形式。 【详解】原式 = 故答案为： 41. 计算：．（结果不含负整数指数幂） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，分式的混合运算，把原式化为，再计算分式的混合运算即可． 【详解】解： ． 42. 计算：（结果不含负整数指数幂）： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含负整数指数幂分式混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 考点08：可化为一元一次方程的分式方程 43. 是下列哪个分式方程的根？（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的根和解法，掌握以上知识是解题的关键； 解分式方程步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，注意分式方程最后要写检验，分式方程分母不为，根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可求解 【详解】解：A、，当时，分母为，错误； B、，是该分式方程的根，正确； C、，该分式方程根为，错误； D、，当时，分母为，错误； 故选：B 44. 如果方程有增根，那么增根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，最简公分母为零是解题关键．根据分式方程的最简公分母为零，可得分式方程的增根． 【详解】解：方程的最简公分母是， 依题意，，解得：， ∴分式方程的增根是， 故答案为：． 45. 如果是关于的方程的增根，那么的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，把代入计算即可求出a的值． 【详解】解：， 去分母得：， 把代入得：， 故答案为：． 46. 如果关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程方法步骤，根据解的取值范围，确定字母系数的取值范围，是解决问题的关键． 去分母解所得整式方程，根据方程的解为负数与分母不为0，解不等式，即得． 【详解】两边都乘以最简公分母， 得， 解得， ∵方程的解为负数， ∴且 ，， 解得且． 故答案为：且． 47. 通过教材中分式单元的的阅读材料，我们知道了一个分式可以写成几个分式的和， 如：． 观察下列解方程的过程：． ． ． ． 在上述的解方程过程中，应用了，使解方程的过程变得简捷． 类似的，解方程， 这个方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，根据题目提供的方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 48. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程；首先将分式方程化为整式方程，解出整式方程，检验即可得出结果． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 即， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 49. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母，化为整式方程，再解方程并检验即可． 【详解】解：， ∴， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为：． 考点09：分式方程应用题 50. 寒风乍起，甲安装队为小区安装台空调，乙安装队为小区安装台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装台．设乙队每天安装台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出题目中的关键语，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意工作时间=工作总量÷工作效率．利用“两队同时开工且恰好同时完工”，可得等量关系为：甲队所用时间=乙队所用时间．再列方程即可． 【详解】解：乙队每天安装x台，则甲队每天安装台， 甲队用的天数为：天，乙队用的天数为：天， 则列方程为：， 故选D． 51. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效． 某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如图的宣传，根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】新型机器人每天搬运的货物量为90吨 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据新型机器人搬运900吨货物的时间与旧型机器人搬运600吨货物的时间相同列出方程求解即可． 【详解】解：设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， 答：新型机器人每天搬运的货物量为90吨． 52. 腊八节喝腊八粥是中华民族的传统习俗．市场上玫瑰味腊八粥每罐的进价比原味腊八粥每罐的进价多5元，某商家用4000元购进玫瑰味腊八粥的罐数与3000元购进的原味腊八粥的罐数相同． （1）玫瑰味腊八粥和原味腊八粥每罐的进价分别是多少元？ （2）在两种口味腊八粥销售中，该商家都增加了进价的20%作为售价，最后两种口味的腊八粥全部售完，那么商家总共盈利多少元？ 【答案】（1）玫瑰味腊八粥每罐进价是元，原味腊八粥每罐的进价是元 （2）商家总共盈利元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设玫瑰味腊八粥每罐的进价是元，则原味腊八粥每罐的进价是元，根据商家用元购进玫瑰味腊八粥的罐数与元购进的原味腊点八粥的罐数相同，列出分式方程，解方程即可； （2）求出购进玫瑰味腊八粥数量原味腊八粥的数量灌，再根据该商家都增加了进价的作为售价，列式计算即可． 【小问1详解】 解：设玫瑰味腊八粥每罐的进价是元，则原味腊八粥每罐的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：玫瑰味腊八粥每罐的进价是元，原味腊八粥每罐的进价是元； 【小问2详解】 解：由（1）可知，购进玫瑰味腊八粥的数量原味腊八粥的数量：(罐)， ∴商家总共盈利： (元) 答：商家总共盈利元． 53. 某玩具经销商用万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完．该经销商又用万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每套进价多了10元． （1）该经销商两次共购进这种玩具多少套？ （2）若第一批玩具销售完后总利润率为，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？ 【答案】（1）400套 （2）13000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设该经销商第一次购进这种玩具x套，则第二次购进这种玩具套，根据购进第二批这种玩具的进价比第一批每套进价多了10元，列出分式方程，解方程即可； （2）先求出玩具的进价和售价，再列式计算即可． 【小问1详解】 解：设该经销商第一次购进这种玩具x套，则第二次购进这种玩具3x套， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴（套）， 答：该经销商两次共购进这种玩具400套； 【小问2详解】 解：由（1）可知，第一批每套玩具的进价为（元）， 又∵总利润率为， ∴售价为（元）， 第二批玩具的进价为170元，售价也为200元， ∴这二批玩具经销商共可获利： （元）． 答：这二批玩具经销商共可获利13000元． 考点10：综合提升 54. 阅读理解 材料1：课后练习13.1（1）的第6题，如果是整数，那么整数可以取哪些值？ 解答过程如下： 解：因为是整数；于是的值为1、、3或； 所以，整数的取值是0、、2或． 材料2：如果一个分式，它只含有一个字母且分子、分母的次数都是一次，那么可以将这 样的分式变形为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母． 例如：． 阅读材料1、材料2，并解答下列问题． 问题1：如果分式的值是整数，那么整数的所有取值是__________． 问题2：如果分式的值是整数，那么所有满足条件的整数的和是多少？ 【答案】问题1：或或或；问题2： 【解析】 【分析】本题考查的是分式的加减运算的逆用，分式的值为整数的含义； 问题1：把原式化为，再进一步解答即可； 问题2：把原式化为，再进一步解答即可； 【详解】解：问题1：， ∵分式的值是整数，是整数； ∴或， 解得：或或或； 问题2：∵， ∵分式的值是整数，是整数； ∴或； 解得：或或或； ∴所有满足条件的整数的和是． 55. 如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． （3）已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】（1）是；2 （2）①；② （3）m为1或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，分式的运算，解分式方程，读懂题意，理解新定义，并正确加以应用是解题的关键． （1）根据新定义，把分式A，B相加，和为常数2即可； （2）根据题意，把分式C，D相加，和为2，得到G的式子和x的值即可； （3）根据题意，得到分式方程，解分式方程得到结果． 【小问1详解】 解：与B是互为“和整分式”，理由如下： 分式， ， 与B是互为“和整分式”，“和整值”； 【小问2详解】 解：①分式，， ， 与D互为“和整分式”，且“和整值”， ， ； ②， 又为正整数，分式D的值为正整数t， 或， 解得或舍去， ； 【小问3详解】 解：与Q互为“和整分式”，且“和整值”， ， ， ， ， 当，即时，关于x的方程无解， 当时，方程有增根， ， 解得：， 综上所述，m为1或 1 学科网（北京）股份有限公司 $